第三章多维随机变量及其分布作业.

第三章 多维随机变量及其分布 作业

1．若对于所有y x ,有 ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的.

2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21

)(212

π，Y 的

密度函数⎩⎨⎧<≥=-0

,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = .

3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = .

4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>.

5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = .

6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件 时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数.

7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为

2

1}1{}0{=

===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2

1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于

4

1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .

11．设平面区域D 由曲线x

y 1=及直线2,1,0e y y x ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 关于Y 的边缘概率密度在2=y 处的值为 .

参考答案

1．}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤（由随机变量的独立性的定义可知）

2．⎪⎩

⎪⎨⎧≥∞<<-∞=--其它,00,,21),(22y x e y x f y x π（由连续型随机变量的独立性可知） 3．∞<<-∞--z e z ,41

16)16(2

π 4．),(),(),(1y x F x F y F ++∞-+∞-

5．))(1)(())(1)(()(z F z f z F z f z f X Y Y X N -+-=

6．⎰⎰+∞∞-+∞

∞-=-≥0),()()(),(21dxdy y x R y f x f y x R 且

7．4/3}1{,4/1}0{====Z P Z P 8．

8

7 9．4ln 4143- 10．75 11．41