初等数学常用公式

初等数学常用公式：（一）代数乘法及因式分解公式（1）(1) (2)(x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab(a±b)2=a2 ±2ab+b2(3) (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (4) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (5) (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc (6) a2-b2=(a -b)(a+b)(7) a3±b3= (a±b) (a2 ab +b2). (8) an-bn= (a-b)(an-1 +an-2b+an-3b2 +…+abn-2+bn-1) (9) an-bn= (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1) (10) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)2。

指数运算（设 a,b,是正实数，m,n 是任意实数）1. 指数定义 下面（1）--（3）式中，m、n 均为正整数． （1） = an (2) (n个a的乘积） ；(n为正整数) (n为偶数) (n为奇数)(3)(4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示. 例如12.指数运算法则 （1） （2） (3) (4) (5) 式中 a.>0 ， b>0 ； 3.对数定义 若 ax=b (a>0 , a ≠ 1) ，则 x 称为 b 的以 a 为底的对数，记作 当 a=10 时， 当 a=e 时， 4.对数的性质 （1） (3) (5)换底公式 （a） (b) （c） log a b = (2) (4) 由此可推出： （在换底公式中取 c=b） （在换底公式中取 c=10）ln b （在换底公式中取 c = e ≈ 2.71828"" ） ln ax1 ，x2 ，x 为任意实数．，称为常用对数. ，称为自然对数.25.对数运算法则(1) (2) (3)1.基本不等式（x 为任意实数）在下面 1）～5）各式中，设 a >b, 则 1) a ± c > b ± c 2) ac > bc (c>0)； 3) , ac<bc (c<0)4) an>bn ( n>0, a>0, b>0) ; an<bn ( n<0, a>0, b>0) 5) 6）设 (n 为正整数,a>0,b>0) 且 b, d 同号，则2. 有关绝对值的不等式 (1) 绝对值的定义•实数 a 的绝对值3实数的绝对值是数轴上点到原点的距离． (2) 有关绝对值的不等式 (a) 若 a , b,…, k 为任意复数（包含实数） ，则(b） 若 a ,b 为任意复数（包含实数） ，则(c） 若 -b≤a≤b （d） 若 （e ）则 特别有 则 a>b 或 a<-b（f） 若 a , b,…,k 为任意复数（包含实数） ，则 (g） 若 a , b,…,k 为任意复数（包含实数） ，则 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式 1) sinx<x<tgx 2) cosx< 3) 4) 5) <1 ( (0<x< )(0<x<π ) ) (-∞<x<∞, x≠0 ) ( x>0 )46) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 特别取( 0<x<) )( 0<x<1, x≠ ( x≠0 ) ( x<1, x≠0 )(n 为自然数，x>0) ( x≠0 ) ( x>-1, x≠0 ) ( x>-1, x≠0 ) ( x> -1, x≠0 ) (n 为自然数 ), 有15）lnx≤ x-1( x>0 )阶乘、排列、组合、二项与多项式1.阶乘5定义 0！=1 (-1)!!=0说明 规定 n 的阶乘 规定(2n + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 1) =0!!=0(2n + 1)! 2n n!奇数的阶乘 规定 偶数的阶乘注：表中 n 为自然数 2.排列 (a) 从 n 个不同的元素中每次取出 k 个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列， 称为排列．其排列种数为：(b) 特别当 k=n 时，此排列称为全排列．其排列种数为：3.组合 (a) 从 n 个不同的元素中每次取出 k 个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组， 称为组合．其组合种数为：(b) 组合公式64. 求和公式及二项式展开 (1)∑i = 1+ 2 +"+ n =i =1nn(n + 1) ; 2(2)∑qi =1ni= q + q2 +" + qn =1 − q n +1 , q ≠ 1. 1− q(3) 二项式展开0 n 1 n −1 2 n−2 2 n n a + Cn a b + Cn a b + " + Cn b ( a + b) n = C n= a n + na n −1b +k 其中 C n =n(n − 1) n − 2 2 a b + " + nab n −1 + b n 2!n! n ⋅ (n − 1) " (n − k + 1) k n−k ,而且 = , Cn = Cn (n − k )!k! k!0 n Cn = Cn = 1.代数方程1． 一元 n 次代数方程其中n为正整数；a0 , a1 ,…, an是属于数域 S（实数域或复数域）的常数；x为未知 数. f(x)称为一元n次多项式；方程 f(x)=0 称为一元n次代数方程；最高次项系数 a0称为 首项系数. 设 c 是一常数，使 f(c)=0 , 则称 c 为多项式 f(x) 或方程 f(x)=0 的根． 代数基本定理 每个复数域上 n 次代数方程在复数域中至少有一个根． 代数基本定理的推论 2． 一元二次方程 方程 每个 n 次代数方程在复数域中有且只有 n 个根.7根的表达式根与系数关系判别式 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根二.倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1三角函数公式表商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α同角三角函数的基本关系式（六边形记忆法： 图形结构 “上弦中切下割， 左正右余中间 1” ；记忆方法“对角线上两 个函数的积为 1；阴影三角形上两顶点的三 角函数值的平方和等于下顶点的三角函数 值的平方； 任意一顶点的三角函数值等于相 邻两个顶点的三角函数值的乘积。

” ）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

） sin（－α）＝－sinα sin（π/2－α）＝cosα cos（－α）＝cosα sin（π－α）＝sinα tan（－α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cot（－α）＝－cotα sin（2π－α）＝－sinα8cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαcos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotαcos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中 k∈Z)两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）=------—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝------—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝--—————— 2 1＋tan (α/2)万能公式1－tan (α/2) cosα＝----——————-2 1＋tan (α/2) 2tan(α/2) tanα＝-----—————— 2 1－tan (α/2)2半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos α－sin α＝2cos α－1＝1－2sin α 2tanα tan2α＝————— 2 1－tan α2 2 2 2三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin α cos3α＝4cos α－3cosα 3tanα－tan α tan3α＝—————— 2 1－3tan α3 3 39三角函数的和差化积公式 α＋β α－β sinα＋sinβ＝2sin———·cos——— 2 2 α＋β α－β sinα－sinβ＝2cos———·sin——— 2 2 α＋β α－β cosα＋cosβ＝2cos———·cos——— 2 2 α＋β α－β cosα－cosβ＝－2sin———·sin——— 2 2三角函数的积化和差公式 1 sinα ·cosβ＝ ---[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 2 1 cosα ·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）] 2 1 cosα ·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 2 1 sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造如下图三.初等几何10在下列公式中，字母 R，r 表示高，l 表示斜高，s 表示底面积 1.园：周长 = 2πr1 2.扇形：面积 = r 2θ ⋅ ⋅ ，其中 r 为半径， θ 为扇形的园心角（以弧度 2计） ， r θ 为扇形的弧长1 3.棱锥：体积 = sh 3 1 4.正园锥：体积 = πr 2 h ； 侧面积 = πrl ； 35.截圆锥：体积 = 6. 全面积 = πr (r + l )πh 2 ( R + r 2 + Rr ) ； 3表面积 = 4πr 2斜棱柱侧面积侧面积 = πl ( R + r )4 体积 = πr 3 ； 3直棱柱侧 S=c·h 面积 正棱锥侧 S=1/2c. ⋅ h' 面积S=c' ⋅ h正棱台侧面积S=1/2 (c+c') ⋅ h' S=4 π ⋅ r2 S=1/2 ⋅ c ⋅ l= π ⋅ r ⋅ l s=1/2 ⋅ l ⋅ r11圆台侧面 S=1/2(c+c')l= π ⋅ (R+r)l 球的表面积 积 圆柱侧面 S=c ⋅ h=2 ⋅ π ⋅ h 积 弧长公式 l=a ⋅ r 圆锥侧面积a 是圆心角的弧 扇形面积公式度数 r >0 锥体体积 V=1/3 ⋅ SH 公式 斜棱柱体 V=S'L 积 柱体体积 V=s ⋅ h 公式 圆柱体 圆锥体体积公式 V=1/3 ⋅ π ⋅ r2h 注：其中,S'是直截面面积， L 是侧 棱长 V= π ⋅ r2h常用直线方程（点斜式、斜截式、两点式和截距式）(一)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k，并且经过点 P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线 l 的方程(图 1-24)？设点 P(x，y)是直线 l 上不同于 P1 的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)， 因此，点 P1 不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能 称作直线 l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆 推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上，所以这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的直线 l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．12当直线的斜率为 0°时(图 1-25)，k=0，直线的方程是 y=y1．当直线的斜率为 90°时(图 1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜 式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1．(二)斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b，斜率为 b，求直线的方程． 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率 k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0) 也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和 它在 y 轴上的截距确定的．13当 k≠0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中 k 和 b 的几 何意义就是分别表示直线的斜率和在 y 轴上的截距． (三)两点式 已知直线 l 上的两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线 l 的方程．当 y1≠y2 时，为了便于记忆，我们把方程改写成这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程， 只要记住左边就行了， 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到， 足码的规律完全一样．(四)截距式已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0，b≠0)，求直 线 l 的方程．解：因为直线 l 过 A(a，0)和 B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得例1就是14这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式． 对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不 能用截距式表示．15。