工程力学(李卓球)_第8章_梁的弯曲应力与强度计算

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8章弯曲应力及弯曲强度

弯矩图特点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起与 F相同
以轴线变弯为主要特征的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外力或外力偶的矢量方向垂直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0

梁的弯曲应力和强度计算

20kN.m
M max
10kN.m
2、求最大正应力
s在smm正axax、负MWM弯Wmz矩amxza作x用10下200，6截2150面06 抗2 弯 1模9量.2相M同Pa
3、校核强度
smax 19.2MPa s 40MP 安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题

6Q bh3线
t max

3Q 2bh

3Q 2A
Q
t
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍
t tmax
2、工字型截面梁（1）分工：
翼缘主要承担弯矩腹板承担95％~97％的剪力
（2）公式： t QSZ*
bI Z
（3）规律：剪应力沿腹板高度仍按抛物线变化。
h b
圆形：
z
D
空心圆截面：
外径为D，内径为d, d
D
WZ

IZ ymax

64
D4 d 4 D
D3 1 4
32
2
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨
l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
M ql 2 201.22
max
2
2
14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
IZ

BH 3 12
bh3 12
736cm4
（3）计算应力
s 外max

M max IZ
H 2
14.4 106 736104

工程力学8、弯曲内力与强度计算

最大弯矩可能剪力为零的截面的截面位置
剪力突变的截弯矩突变的某一
面
侧
3.其它规律：
①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；
③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
Y 0,Q2 RB 0 Q2 RB 9kN
RA
RB
Mo' 0,RB 1.5 M2 0 矩心o’—2-2截面形心
M 2 1.5RB 13.5kN m
三、直接法求梁的内力：
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；
2
(0 x l )
力
反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的
图曲线，称作剪力（弯矩）图。
及其绘制
二、剪力图和弯矩图的作法：取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定
正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；
可先列内力方程再作其函数曲线图。
如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0;
x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.
例8-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡
MB 0,P1 8 P2 3 RA 6 0 RA 14kN
MA 0,P1 2 P2 3 RB 6 0 RB 9kN
校核：Y YA YB P1 P2 14 9 3 20 0 反力无误
Pl 1 ql2 2

弯曲应力及强度计算

桥梁的受弯破坏问题
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离

第8章梁的弯曲应力与强度计算

My σ= Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例: 已知 l=1m,q=6kN/m,10号槽 , , 号槽钢.求最大拉应力和压应力. 求最大拉应力和压应力. 解:(1)作弯矩图 ) 1 2 M max = ql = 3000 N m 2 (2)由型钢表查得,10号槽钢 )由型钢表查得, 号槽钢
σ = Eε
代入上式, 将 (a) 代入上式,得
σ =E
y
ρ
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y )表明横截面上任意一点的正应力成正比. 成正比. 在中性轴上: 0 在中性轴上:y=0, σ=0. 0
8 梁的弯曲应力与强度计算静力学关系
FN = ∫ σ dA
A
I z = 25.6cm 4 b = 4.8cm y1 = 1.52cm
(3)求最大应力 )
σ t ,max
σ c ,max
M max y1 (3000 N m)(1.52 ×10 2 m) = 178.1MPa = = -8 4 25.6 ×10 m Iz
M max y2 (3000 N m) ( 4.8 1.52) ×10 2 m = = 384.4MPa = -8 4 25.6 ×10 m Iz
σ c ,max
C截面: 截面: 截面
M B y1 (4 ×103 N m)(52 ×10 3 m) = = = 27.3MPa < [σ t ] 8 4 Iz 763 × 10 m M B y2 (4 ×103 N m)(88 × 10 3 m) = = = 46.1MPa < [σ c ] 8 4 Iz 763 × 10 m
8 梁的弯曲应力与强度计算

工程力学基础课件：第8章弯曲强度

A
C
横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有切力。
a F
F
D
B
a
F
M
zM
Fa
Fa
O
dA x
dA
y
梁横截面上的弯矩
z M ydA 直接导出弯曲正应力
y
A
1、几何关系
（1）变形现象
（a）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。
（b）各横向线相对转过了一个角度，仍保持为直线。（c）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
平面弯曲
梁的弯曲平面（即弯曲前与弯曲后梁轴线所确定的平面）与载荷平面（即梁上载荷所在平面）重合（或平行）的这种弯曲，称为平面弯曲。
通过梁轴线和截面对称轴的平面，称为纵向对称面。当梁上载荷（含支座反力）位于纵向对称面内时，将发生平面弯曲。
纵向对称面
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲
纵对称面
将应力表达式代入第二式，得
A z
dA
E
yzdA 0
A
此即保证梁为平面弯曲的条件。
E y
M z ydA M 3
A
将应力表达式代入第三式，得
M ydA E y2 dA
A
A
A y2 dA IZ
1 M
E Iz
中性层曲率半径的确定也即梁弯曲变形的基本公式
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
中性轴
中性层
z
横截面
（4）应变变化规律
O
b1'b2' ydq
b1b2 dx O1O2 O1'O2' dq
( y)dq dq y
dq
M

第8章弯曲应力

研究思路
几何应变物理应力静力应力变形分布关系分布关系计算关系
公式
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
工程力学
（Engineering Mechanics）
1、几何关系
取微段d 为研究对象取微段dx为研究对象 ρ为中性层 1O2的曲率半径，为中性层O 的曲率半径，两截面间夹角为dθ，考察任一两截面间夹角为纵向纤维（的应变，纵向纤维（a’a’）的应变，a’a’ 到中性层的距离为y。到中性层的距离为。变形前：变形前：
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式
工程力学
（Engineering Mechanics）
M y σ= Iz
应用说明：应用说明：
（2）各种截面形状的直梁；）各种截面形状的直梁；（3）纯弯曲梁、横力弯曲；）纯弯曲梁、横力弯曲；（4）线弹性材料）
任艳荣
工程力学
§8-2 对称弯曲正应力
x σdA
—即中性轴过截面的形心。
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
② My= ∫Azσ dA=0 My= ∫Az Ey/ρ dA= E /ρ ∫Az y dA=0 Iyz=0 —中性轴为截面的形心主轴
③ Mz= ∫AyσdA =M
工程力学
（Engineering Mechanics）
z
y z y
x σdA
F
M
300
A B C D
3m
2m
180
50
解：计算固定端弯矩： ① 计算固定端弯矩：
M=m - F×3= -25kN.m ×
任艳荣
轴的惯性矩： ② 截面对 z 轴的惯性矩： Iz= bh3/12 = 40.5×10-5m4

工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算

弯曲应力是指由于外力矩作用，使梁发生弯曲变形时，在梁的横截面上产生的应力。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀，产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起重机的吊臂、汽车的车身等，梁的强度计算是保证其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影响。

工程力学梁的弯曲应力与强度计算

工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。例如：AC和DB段。称为横力弯曲(剪切弯曲)。横截面上有弯矩没有剪力。例如：CD段。称为纯弯曲。
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 ? max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号则
? max
?
M max ymax Iz
Wz ?
Iz ymax
? max
?
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为 m3。
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
? FN ?
? dA
A
? ? M y ?
z? dA
? dA ? 0
A
(c)
? M y ?
z? dA ? 0
A
(d)
? M z ?
y?
A
dA ?
Me
(e)
将式 ? ? E y 代入式(c)，得 ?
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维组成，由底部纤维的伸长连续地逐渐变为顶部纤维的缩短，中间必定有一层纤维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也不缩短的一层纤维。中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）中性轴垂直于纵向对称面。

工程力学8章—弯曲应力

1
ρ
为曲率半径
曲率
1
ρ
表示梁弯曲变形的程度。
1
ρ
1
∝M
M
⇒ 轴线越弯曲;
1 ∝ ρ EI z
EI z
⇒ 轴线变形越小(越平缓) 。
抗弯刚度(Flexural Rigidity) 因此 EI z 叫做梁的抗弯刚度抗弯刚度
14
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
正应力的有关公式
几何方程
物理方程
ρ σ = Eε
A
从静力学里得到，均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标：
yC
∫ =
A
ydA A
Sz = A
zC
∫ zdA = S =
A
y
A
A
A 为截面面积
由
yC
为截面形心到中性轴的距离
Sz = ∫ ydA = yC A = 0
A
→
目录
yC = 0
18
中性轴应通过横截面的形心。中性轴应通过横截面的形心
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
I z = 5.832×10−5 m4
x
K
z 3. 全梁最大正应力 y
FBY
FS
90kN
最大弯矩 Mmax = 67.5kN⋅ m
(+)
(−)
σmax =
x 90kN
Mmax ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
29
目录
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
y
Sz = ∫ ydA = 0

第八章弯曲内力、应力及强度计算

例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程

08(2)工程力学-梁弯曲时内力和应力

b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
12
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
例1 受均布载荷作用的简支梁如
图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
M M1
§8-3 梁的正应力强度条件 • 梁的合理截面一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；
s
M
s
s
2、正应力强度条件：
s max
M max s Wz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
120 y + qL2 8 Mmax
z
Wz I z / 2 6.48104 m3
s1 s 2
M1 y Iz
x
60 60 105 61.7MP a 5.832
M
M Wz
… …(5)
抗弯截面模量。
d
4
64
空心圆： I z
d 4
64
(1 4 )
bh3 矩形： I z 12
（六）抗弯截面模量：
Iz D3 圆 Wz ymax 32
D d
D
d D
I z D3 圆环 Wz (1 4 ) ymax 32
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变

08(1)工程力学-梁弯曲时内力和应力

P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
11
§ 8–2
一、弯曲内力：
梁的剪力和弯矩
a A l XA A YA P B RB P B
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
17
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 MO L Q(x) M ( x) P 解：①求支反力
YO P ; MO PL
YO Q(x)
x
②写出内力方程
P
Q( x ) YO P
–PL
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
M ( x)
x
③根据方程画内力图
Q(P 1P 2 P n ) Q1( P 1) Q2 ( P 2 ) Qn (P n)
M (P 1P 2 P n ) M1(P 1) M 2(P 2 ) M n (P n)
四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
9
③固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
XA
YA
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
10

梁的弯曲计算—弯曲正应力的计算(工程力学课件)

x(轴线)
横截面上σ的分布规律
My
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
Iz
D4 64
(14 )
My
Iz
式中各量均以绝对值代入！ σ的正负自己判断
【例 1】求梁固定端A的右侧截面上的指定点的正应力
40kN.m
c 0
A
B
a
M ya Iz
40 106 N mm 300 2
33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
40 106 N mm 75 mm 33.75107 mm4
8.88
MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
40 106 N mm 300
2 33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
a
M ya Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
76106 50 48.6 106
78.19MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa （压应力）
c 0
（压应力）
习题1：求悬臂梁固定端A的右侧截面上各点的正应力
76kN.m
20kN/m
18kN
58kN
（1）求支座反力（2）画弯矩图
76
28
A
M图(kN m) B
习题1：求悬臂梁固定A
B
（3）求正应力
Iz
100 1803

建筑力学教学课件第8章梁的弯曲

M=(左或右侧)∑MOFi(8-2) 式中,外力对截面之矩的正负号规定与内力矩符号规定一致,即使梁轴线产生下凸上凹变形时为正,
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
1. 列方程作图
梁在外力作用下,各截面上的剪力和弯矩一般是不相同的,其中弯矩
或剪力最大的截面对等截面梁的强度而言是危险截面。剪力最大和弯
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
(8-5) (8-6)
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
式(8-5)和式(8-6)说明：剪力对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的分布荷载集度,即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的分布荷载集度qx；而弯矩对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的剪力FSx。用式(8-6)对x求导,并利用式 (8-5)可得
图8-12 【例8-3】图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
AB段梁上作用有分布荷载,因此弯矩图为开口向上的抛物线；BC段、CD段梁上无分布荷载,故弯矩图为斜直线。连接各截面弯矩值得弯矩图，如图8-12(c)所示。
8.3 弯曲应力
PART
8.3.1 纯弯曲时梁横截面上的应力
化,需分段列方程,即以集中力、集中力偶、分布力的两端为方程分段的
分界点。
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和弯矩的变化情况,可绘制剪力图和弯矩图。其作图的方法同轴力图和扭矩图,即以与梁轴线平行的轴表示梁的截面位置,与轴线垂直的轴表示剪力或弯矩, 根据剪力和弯矩方程按比例描点得出剪力图和弯矩图。对剪力图,正值画在轴线的上侧,负值画在轴线的下侧；对弯矩图，正值画在轴线的下侧,负值画在轴线的上侧,即弯矩坐标正向向下。

工程力学第8章梁的弯曲

2.简易法作内力图的步骤：
先求出约束反力；根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
建立 FS一x 和 M一x 坐标系，求出控制面的剪力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中；应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
q A
第 8 章弯曲
8.1 工程中的弯曲构件一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，那么杆的轴线由直线变为一条曲线。这种变形称为弯曲变形受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
Fb l
C
l
Fb FQ1 x l Fa B FQ2 x l Fb M1 x x l Fa l x M 2 ( x) l x
* 集中力作用处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。弯矩图有折角。
M
Fa l Fab l
x
例题
图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 b Me a A FA
P
q
M
FA
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
FB
三、梁的约束与类型
1.支座形式与支反力
（1）活动支座
FR FRx
FRy
（2）固定铰支座（3）固定端
FRx FRy M
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩一、计算梁内力的方法计算内力仍采用截面法：在截面m-m处假想地把梁切为两段取左端为研究对象，由于左端作用着外力FRA则在截面上必有与FRA 大小相等,方向相反的力FQ, 由于该内力切于截面, 因此称为剪力。又由于FRA 与FQ形成一个力偶, 因此在截面处必存在一个内力偶M 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。 FQ = FRA M = FRA ·x 截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主矩）。

材料力学——第8章(平面弯曲杆件的应力与强度计算)

( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
3FS 4 y 2 1 2 2bh h
1
F1

y
x
F2
图c
24
FS
( y )
3FS 4 y 2 1 2 2bh h
max
3 FS 1.5 2 A
方向：与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
梁的纵向材料其变形是伸长或缩短；为简单拉伸和压缩变形。
M
A
B
M
a
a
b B
b A
凹部材料aa 缩短，凸部bb材料伸长， M 总有一层材料既不伸长又不缩短，此层称为中性层。
d
A a b A B a b B
M
⒊推论：有中性层存在
中性层与横截面的交线称为中性轴。
变形后
中性轴
中性层(面)
6
⒋变形几何关系
图a Fs(x)+d Fs(x) 距中性轴等距离处，切应力相等。图b ⑵研究方法：分离体平衡。在微段上取一块如图c，有平衡方程 x
F2
dx
在梁上取微段如图b； M(x)+d M(x) z
1
F1

y
F
图c
x
F2 F1 1b( dx ) 0
22
M F1 dA A Iz
§8-1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§8-2 横力弯曲时梁横截面的应力
§8-3 梁的强度计算 §8-4 梁的合理强度设计
1
概念回顾: 1.平面弯曲
q 纵向对称面
F
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。

工程力学第8章梁弯曲时的强度计算

A
E
6
B
E
CF
D
6kN·m
8.2.4 按叠加原理作弯矩图
叠加原理：当梁在载荷作用下发生微小变形时，其跨长的改变可以略去不计，因此在求梁的约束力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得的结果均与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，当梁上受几种荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。
F
1
2
A
C
200
1265
F FB
3
D
B
115
CD段 FSC右 FA F 1.7kN
+ 23.6kN
DB段 FSD右 FB 27kN
1.7kN
27kN
FSB右 0kN
FSmax 27kN
每段梁的弯矩图均为斜直
线，且梁上无集中力偶. FA
MA 0
A
M C FA 0.2 4.72kNm
q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上某段无分布荷载即q(x) = 0 剪力图为一条水平直线，弯矩图为一斜直线.剪力图是正号，弯矩图为斜向上的直线;剪力图是负号，弯矩图为斜向下的直线；剪力图为零，弯矩图为水平线。
2.梁上某段有均布荷载。剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。
q(x) > 0，剪力图为斜向上的直线，弯矩图为向上凸的二次抛物线；
例题8 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN, 有关尺寸如图所示.试作剪力图和弯矩图.
解：（1）求梁的支反力
FA 23.6kΝ FB 27 kN
FA
F
1
2
A

梁的弯曲应力

第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。

弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。

所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。

本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。

并简要介绍一点的应力状态和强度理论。

8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。

而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。

应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。

8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。

取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。

然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。

从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。

（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。

（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。

前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。

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应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
A
FN dA 0
A
( c) (d) ( e)
M y z dA 0
A
M z y dA M e
A
将式 E
y

代入式(c)，得
dA
A
Ey
A

dA 0
E

＝常量，
E

A
y dA 0 S z 0 z 轴（中性轴）通
过截面形心。
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力实验观察变形纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧缩短，凸侧伸长。横向线(mm、nn): 仍保持为直线，发生了相对转动，仍与弧线垂直。平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
的距离，横截面上的最大正应力为
σ max
M y max Iz
IZ WZ ymax
C
ymax
Z
WZ
称为抗弯截面模量 W
max z
M
ymax
y
8 梁的弯曲应力与强度计算横截面上正应力的画法：
min
M
min
M
max
max
8 梁的弯曲应力与强度计算
对于中性轴不是对称轴的横截面？
M EI z
M y Iz
1
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
A
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M y dA
A
E

A
y 2 dA
M
E

Iz
M EI z
1
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。 EIz 称为梁的弯曲刚度。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y

(b)
d
离 y 成正比。

y

(a)
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y d d
物理关系：
d

y

(a)
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得
E
y

(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y 成正比。在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算静力学关系
FN dA
A
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
M y z dA
A
M z y dA
工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。例如：AC和DB段。称为横力弯曲(剪切弯曲)。横截面上有弯矩没有剪力。例如：CD段。
对于直径为 D 的圆形截面
Iz D 4 / 64 D 3 Wz D/2 ymax 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Iz D 4 (1 4 ) / 64 D 3 (1 4 ) Wz 32 ymax D/2
8 梁的弯曲应力与强度计算
y max 当中性轴为对称轴时，表示最大应力点到中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
横截面的对称轴横截面
中性层
中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系：
设横截面的对称轴为y 轴，向下为正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb y d
bb dx OO OO d
y d d
求得相应的最大正应力

My
yc max
y
M
I
z
Z
yt max
y
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众
多纵向纤维组成，由底部纤维的伸长连续地逐渐变为顶部纤维的缩短，中间必定有一层纤维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也
不缩短的一层纤维。中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）中性轴垂直于纵向对称面。
max
引用记号
M max ymax Iz
Iz Wz ymax
则
M max max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
bh3 / 12 bh2 Iz Wz h/2 6 ymax
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y

E
(b)
M y z dA 0
A
( d) ( e)
将式(b)代入式(d)，得
M z y dA M
A
z dA
A
A
y z dA 0
y z dA I yz 0
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正