人教版高中数学选修4-4课件 参数方程的概念
选修4-4 第五节几种常见的参数方程

x=1+2cos t, (0≤t≤π),把它化为普通 y=-2+2sin t
方程,并判断该曲线表示什么图形.
所求的曲线的参数方程为 (x-1)2+(y+2)2=4(-2≤y≤0). 这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2+y2+2x-6y+9=0, 将它化为参
轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1, 25 16 x=4cos θ , 故参数方程为 (θ 为参数). y=5sin θ
y2
x2
(x-1)2 (y+2)2 1. 写出圆锥曲线 + =1 的 3 5
例1
x=5+3t, 设直线的参数方程为 y=10-4t.
(1)求直线的普通方程; (2)化参数方程为标准形式.
解析:(1) 4x+3y-50=0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α =- ,sin α = . 5 5 3 x=5- u, 5 则参数方程的标准形式为: 4 y=10+ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x-4y+1=0,点 P(1,1)在 直线 l 上,写出直线 l 的参数方程,并求点 P 到点 M(5,4)和 点 N(-2,6)的距离.
3 解析:由直线方程 3x-4y+1=0 可知,直线的斜率为 ,设直线的 4 3 3 4 则 tan α = ,sin α = ,cos α = . 4 5 5
制作人:葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x=x0+tcosα , 1. 经过点 M0(x0, y0), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y=y0+tsinα
(t 为参数).
t0
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件

[解] 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy==bascions
θ, θ.
这就是所求的轨迹方程.
9.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a, 射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线 交于B点,作PQ⊥OA,PB∥OA,试求点P 的轨迹方程.
解:设 P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ, 由 PQ⊥OA,PB∥OA,得 x=OD=OQcosθ=OAcos2θ= 2acos2θ,y=AB=OAtan θ=2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy==22aatcaons2θθ,, θ∈-π2,π2.
解析:x轴上的点横坐标可取任意实数,纵坐标为0.
答案:D
2.若点P(4,a)在曲线x=2t , (t为参数)上,则a等于(
)
y=2 t
A.4
B.4 2
C.8
D.1
解析:根据题意,将点P坐标代入曲线方程中得
4=2t , a=2 t
⇒ta==84,2.
答案:B
3.在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线 位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的.
1.已知点 M(2,-2)在曲线 C:x=t+1t , (t 为参数)上, y=-2
则其对应的参数 t 的值为________. 解:由 t+1t =2 知 t=1. 答案:1
2.已知某条曲线 C 的参数方程为xy==a1t+2 2t, (其中 t 为参数, a∈R).点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a.
人教版高中数学选修4-4课件:第二讲一第2课时圆的参数方程

x=-1+cos θ,
所以参数方程为
(θ 为参数).
y=3+sin θ
x=-1+cos 答案:y=3+sin θ
θ, (θ
为参数)(答案不唯一)
5.已知点
P12,
23,Q
是圆xy==scions
θ, θ (θ
为参数)
上的动点,则|PQ|的最大值是________.
解析:由题意,设点 Q(cos θ,sin θ),
参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小
值.
解:(1)直角坐标方程为 x2+y2-4x-4y+6=0,
将方程配方为(x-2)2+(y-2)2=2,
所以圆心为(2,2),半径 r= 2,
x=2+ 2cos α,
故圆的参数方程为
(α 为参数).
y=2+ 2sin α
失分警示:若没有此说明,则扣 1 分. d 取得最大值 2+ 2.(10 分)
归纳升华 1.根据圆的参数方程可知圆 x2+y2=r2 上动点 M(x, y)可直接写成 M(rcos θ,rsin θ),圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上动点 M(x,y)可直接写成 M(a+rcos θ,b+rsin θ),这 样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题.
形;
(2)已知圆的普通方程为 x2+y2+2x-6y+9=0,将它
化为参数方程.
x=1+2cos t, 解:(1)由曲线的参数方程
y=-2+2sin t, x-1=2cos t, 得 y+2=2sin t. 因为 cos2t+sin2t=1, 所以(x-1)2+(y+2)2=4. 由于 0≤t≤π,
x=-1+cos θ,
人教A版高中数学选修4-4课件 参数方程的概念课件3

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
.........................(2) g(t)
并且对于t的每一个允许值,由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于
,即
x 100t
y
500
1 2
①
g t2
g是重力加速度 g
9.8m / s2
.
在t的取值范围内,给定t 一个 值,由①可以 惟一确定 x, y 的
y 500
A
v 100m/s
值.也就是说,当t 确定时,点
M
M x, y的位置就惟一确定了.
比如,当t 6s时, x 600m, y O 图2 2
参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
参 数是 联 系变 数x, y的 桥梁,可 以是 一 个物 理 意 义 或几 何 意义 的 变 数,也 可以 是 没有 明 显 实际 意 义的 变 数.
y
A
M(x,y)
o
x
例1、已知曲线C的参数方程x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
设点M (cos ,sin )则
MA 2 MB 2 MC 2 [(cos 1)2 sin2 ]
[(cos 1 )2 (sin 3 )2 ] [(cos 1 )2
2
2
2
(sin 3 )2 ] 6
2
例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O 作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件:2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示:
由动点C在该椭圆上运动,故可设C的坐标为(6cosθ,3sinθ), 点G的坐标为(x,y),由题意可知A(6,0),B(0,3),由三角形重心坐 标公式可知:
x=6+0+6cosθ=2+2cosθ, 3 0+3+3sinθ y= =1+sinθ. 3 x-22 由此,消去参数θ,得到所求的普通方程为 4 +(y-1)2= 1.
x-1=cosθ, 3 【解】 (1)由题意可设 y+2 =sinθ, 5
x=1+ 3cosθ, y=-2+ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求.
2 2 x y (2)x2-y2=4变形为: 4 - 4 =1.
x=2secα, ∴参数方程为 y=2tanα
2 x = 2 pt , 2 2.抛物线y =2px(p>0)的参数方程为 y=2pt
y 1 由于 x = t ,因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数. 3.几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 + a2 =1(a>b>0),其参 数方程是 [0,2π).
x2 y2 a2+b2=1
x=acosφ, y=bsinφ
x2 y2 a2-b2=1
x=asecφ, y=btanφ
点的坐标
(rcosθ, rsinθ)
(acosφ,bsinφ)
(asecφ,btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式.其中圆的参数θ 表示旋转角,而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角,几何意义是不 同的,它们的参数方程主要应用价值在于: (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标; (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题,从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题.
人教版高数选修4-4第2讲:参数方程(学生版)

参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数:()()x f ty g t=⎧⎨=⎩;反过来,对于t的每个允许值,由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程,变量t是参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程,参数方程可以转化为普通方程.2.关于参数的说明.参数方程中参数可以有物理意义、几何意义,也可以没有明显意义.3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程;若知道变数x、y中的一个与参数t的关系,可把它代入普通方程,求另一变数与参数t的关系,则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩,就是参数方程.二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数:cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数).我们把这个方程叫作以圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程. 圆的圆心为O 1(a ,b),半径为r 的圆的参数方程为:cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数).三.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).规定θ的范围为θ∈[0,2π).这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程.四.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数).规定φ的范围为φ∈[0,2π),且φ≠π2,φ≠3π2.这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线参数方程.五.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt (t 为参数,t ∈R)其中p 为正的常数.这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程.六.直线的参数方程1.过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),这一形式称为直线参数方程的标准形式,直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值.当t >0时,M 0M →的方向向上;当t <0时,M 0M →的方向向下;当点M 与点M 0重合时,t =0.2.若直线的参数方程为一般形式为:⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt (t 为参数), 可把它化为标准形式:00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数).其中α是直线的倾斜角,tan α=ba ,此时参数t′才有如前所说的几何意义.类型一.参数方程与普通方程的互化例1:指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数,0<θ<π2表示什么曲线练习1:指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数,0≤θ<2π).表示什么曲线例2:设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2:若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3:已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围为______.练习1:已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4:已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1:已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5:已知双曲线方程为x 2-y 2=1,M 为双曲线上任意一点,点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2,求证:d 1与d 2的乘积是常数.练习1:将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1t ,y =b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -1t (t 为参数,a >0,b >0)化为普通方程.类型三.直线参数方程例6:曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1:直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+3t ,y =-1+t (t 为参数)上对应t =0,t =1两点间的距离是( )A .1 B.10 C .10 D .2 2类型四.曲线参数方程的应用例7:在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4,π2,判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.练习1:已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =12(e t +e -t)cos θ,y =12(e t-e-t)sin θ.当t 是非零常数,θ为参数时,C 是什么曲线?当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数,t 为参数时,C 是什么曲线?两曲线有何共同特征?类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8:(2015·广东卷Ⅱ,数学文14)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =t2y =22t(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为________. 练习1:求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θ,y =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A .y =x -2 B .y =x +2C .y =x -2(2≤x≤3)D .y =x +2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B .221C.29D .2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =e t-e -t,y =e t +e -t(t 为参数)表示的曲线是( ) A .双曲线 B .双曲线的下支 C .双曲线的上支D .圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =4+t (t为参数).以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4,则直线l 和曲线C 的公共点有________个. 6.若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=________. 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时,动点P (2cos θ,3sin θ)所确定的曲线必过( ) A .点(2,3)B .点(2,0)C .点(1,3)D .点⎝⎛⎭⎪⎫0,π22.双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A .(0,-43),(0,43)B .(-43,0),(43,0)C .(0,-3),(0,3)D .(-3,0),(3,0)3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =sin α2+cos α2,y =2+sin α(α为参数)的普通方程为( )A .y 2-x 2=1B .x 2-y 2=1C .y 2-x 2=1(|x |≤2)D .x 2-y 2=1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .线段 D .射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心,P 是椭圆上对应于α=π6的点,那么直线OP的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ,y)在椭圆4x 2+y 2=4上,则x +y 的最大值为______,最小值为________.8.在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+s ,y =1-s (s 为参数)和C :⎩⎪⎨⎪⎧x =t +2,y =t 2(t 为参数),若l 与C 相交于A 、B 两点,则|AB|=________. 能力提升9.点(2,33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A .k π+π6(k∈Z)B .k π+π3(k∈Z)C .2k π+π6(k∈Z)D .2k π+π3(k∈Z)10.椭圆x 29+y24=1的点到直线x +2y -4=0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655 D .0 11.(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2-12t ,y =-1+12t(t 为参数)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为________.12.在平面直角坐标系xOy中,若l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C :3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点,则常数a 的值为________.13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为:3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数),以Ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=0,则圆C 截直线所得弦长为________.14.(2014·辽宁卷)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.课程顾问签字: 教学主管签字:。
选修4-4参数方程

= 4(sin +cos ) 16(1+sin )
2 2
=16sin(2cos -1)>0 1 3 cos ,0 sin . 2 2 由直线参数方程中参数的几何意义知 4 |PA||PB|=|t 2 |=|t1 t 2 |= , 1||t 2 1+sin 16 <|PA||PB|<4. 7
.
的参数方程为
.
x 2cos , ( 为参数) y 2 2sin
4t x , 2 1 t (t为参数) 2 y 4t 1 t2
典型例题—直线的参数方程几何意义的运用
例3直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角为 ,它与椭圆
4 cos , 6 2x+y max 4.
典型例题—求动点的轨迹方程
例6已知线段BB 4 ,直线 l 垂直平分 BB,交 BB
于点 O ,在 l 上并且以 O 为起点的同一射线上取两
点 P, P ,使 OP OP 9 ,求直线 BP 与直线 BP
典型例题—曲线上的点到定点或定直线的距离
于 A, B 两点,在椭圆C 上找一点 P ,使 ABP
x2 y2 1 例4设直线l : x 2 y 2 0 ,交椭圆 C : 9 4
分析:因为三角形一边AB为定值,故只需 面积最大 . 求AB边上的高的最大值. 解: 由椭圆的参数方程,
x y 2 1相交于A, B 两点,求 PA PB 的取值范围. 2
解: x=2+tcos , 设直线l的参数方程为 (t为参数), y=1+tsin
2
将上式代入到椭圆方程x2 +2y2 =2中, 得(2+tcos ) 2 2(1+tsin ) 2 2 整理,得(1+sin )t +4(sin +cos )t+4=0,
选修4-4 第2讲 参数方程

例1
(1)求直线xy= =2-+1t-,t
(t
为参数)与曲线xy= =33csions
α, α
(α 为
参数)的交点个数.
[解] 将xy= =- 2+1-t,t 消去参数 t 得直线 x+y-1=0;
将xy= =33csions
α, α
消去参数 α,得圆 x2+y2=9.
又圆心(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d= 22<3. 因此直线与圆相交,故直线与曲线有 2 个交点.
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2:y=1k(x+2).
y=kx-2 设 P(x,y),由题设得y=1kx+2 ,
消去 k 得 x2-y2=4(y≠0). 所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y≠0).
(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ-sin2θ) =4(0<θ<2π,θ≠π). 联立ρρ2ccoossθ2θ+-sisninθ2θ-=42,=0 得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故 tan θ=-13,从而 cos2θ=190,sin2θ=110. 代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,所以交点 M 的极径为 5.
(t 为参数)
圆
x2+y2=r2
x=rcos θ, y=rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22+by22=1(a>b>0)
x=acos φ, y=bsin φ
(φ 为参数)
抛物线 y2=2px(p>0)
x=2pt2, y=2pt
(t 为参数)
[知识感悟] 1.在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保 持一致.否则不等价. 2.直线的参数方程中,参数 t 的系数的平方和为 1 时,t 才有几 何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距 离,即|M0M|=|t|.
人教A版高中数学选修4-4课件 参数方程的概念课件8
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程也不同,如前面椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1又可化为参数方程
x=asint, y=bcost
(t
为参数).
(3)参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取值范 围,从而使两种方程表示的曲线不一致,因此,在相互转化中, 要注意两种方程的等价性.
例如,参数方程xy==csions22θθ,, 消去参数θ后得x+y=1,它表示
一条直线对吗?这是不对的.因为在参数方程
x=cos2θ, y=sin2θ
中,
x,y的取值范围是[0,1],所以
x=cos2θ, y=sin2θ
表示的是一条线段x+y
=1(0≤x≤1),而不是直线x+y=1.
4.求曲线的参数方程的方法 (1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确 定其参数方程. (2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参 数,再利用已知条件求参数方程.
(2)由(1)可得,曲线C的参数方程是xy==1t2+,2t,
解法一:∵10= =1t2+2t, 有解,且t=0, ∴点P(1,0)在曲线C上; ∵3-=11=+t22t, 无解,∴点Q(3,-1)不在曲线C上. 解法二:将t=12(x-1)代入y=t2, 得y=14(x-1)2① 易知点P(1,0)的坐标是方程①的解,点Q(3,-1)的坐标不是 方程①的解,所以点P(1,0)在曲线上,点Q(3,-1)不在曲线C上.
第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解引入参数方程的必要性.理解参数方程、普通方程的概 念. 2.掌握圆的参数方程及其参数的意义,并能运用圆的参数方 程解决简单的最值问题. 3.掌握参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用.
最新人教版高中数学选修4-4《参数方程》本章概览_1
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第二讲 参数方程
本章概览
内容提要
1.参数方程的定义:设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x 、y 表示为第三个变
量t 的函数:⎩
⎨⎧==)(),(t g y t f x (a≤t≤b),若对于t 的每一个值,所确定的点M(x,y)都在一条曲线上;而曲线上的任一点M(x,y)都可通过t 的某个值而得到,则上式即称为该曲线的参数方程.
2.圆的参数方程⎩⎨⎧==θ
θsin ,cos r y r x (θ为参数). 3.椭圆的参数方程⎩
⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ为参数). 4.双曲线的参数方程⎩⎨⎧==θ
θtan ,sec b y a x (θ为参数). 5.抛物线的参数方程⎩⎨⎧==pt
y pt x 2,22(t 为参数).
6.过M 0(x 0,y 0)的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θ
θsin ,cos 00t y y t x x (θ为参数).
7.圆的渐开线⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (φ是参数). 8.圆的摆线⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数). 学法指导
1.掌握直线和圆的参数方程,学会参数方程和普通方程的互化.
2.掌握圆锥曲线的参数方程,通过具体问题的分析,体会用参数方程解决某些问题.
3.分析建立曲线的参数方程的步骤,总结用向量方法建立参数方程.
4.体会从实践中抽象出数学问题的过程及数学在实践中的应用价值.。
高二数学选修4-4:第二讲 一 曲线的参数方程 1.参数方程的概念
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求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画 图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之 间的关系. (2)选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是 曲线上每一点的坐标 x,y 与参数的关系比较明显,容易列出 方程;二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运 动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选 旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等, 建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.
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求曲线的参数方程
[例 2] 如图,△ABP 是等腰直角三角形, ∠B 是直角,腰长为 a,顶点 B,A 分别在 x 轴、y 轴上滑动,求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程.
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取.本例中由 于 A,B 的滑动而引起点 P 的运动,故可以 OB 的长为参数, 或以角为参数,此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解.
则其对应的参数 t 的值为________.
解析:由 t+1t=2,解得 t=1. 答案:1
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2.已知某条曲线 C 的参数方程为xy==a1t+2 2t, (其中 t 为参数, a∈R).点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a. 解:∵点 M(5,4)在曲线 C 上,∴45==a1+ t2,2t, 解得ta==21,. ∴a 的值为 1.
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人教A版数学【选修4-4】ppt课件:第二讲《参数方程》小结
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本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念,以及常用曲线的参数方程和 它们的应用. 1.曲线参数方程的定义 一般地,在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变量t的函数
x=ft, y=gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值,由方程(1)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程, 联系x,y之间关系的变数叫作参变数,简称参数.参数方程的 参数可以有物理意义,几何意义,也可以没有明显的意义.
(t为参数).
代入圆的方程x2+y2=7,得 3 2 1 2 (-4+ t) +( t) =7,化简得 2 2 t2-4 3t+9=0.
(1)设点A,B所对应的参数分别为t1和t2,由韦达定理,得t1+ t2=4 3,t1· t2=9. ∴|AB|=|t1-t2| = t1+t22-4t1t2 = 4 32-4×9=2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2=|P0A|· |P0B|=|t1t2|=9. ∴切线长|P0T|=3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了),则必须注明,将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上).由于选取参数不同,同一 曲线的参数方程也不一样.因此,一般曲线的参数方程不唯 一.另外,不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的. 化参数方程为普通方程,常用的方法有:代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等.
(φ 为参数).
【答案】
x=2cosφ+φsinφ, y=2sinφ-φcosφ
(φ为参数)
x=2φ-sinφ, y=21-cosφ
人教A版高中数学选修4-4课件参数方程的概念ppt
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意义。
2. 2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力,重 力加速g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? (精确到1m)
例1:已知曲线C的参数方程是
B
( 25 , 0); 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos 2
的一个点的坐标是 () C
A、(2,7)B、(1 , 1),C、(1 , 1), D(1,0)
32
22
训练2:
已知曲线C的参数方程是
x y
1 2t at 2.
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t为参数,a
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
训练1
1、曲线与xx轴的1 交t 2点, (坐t为标参是数()) y 4t 3
A、(1,4);B、(12C65、, 0D)、; (1, 3);
小结:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
(2)
并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y) 那都么在方这程条(曲2线)上就,叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。
2
思考题:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨 迹参数方程。
高中数学选修4-4-参数方程
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参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1.参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,即,并且对于t的每一个允许值,由该方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做普通方程.2.参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程:消去参数,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.3.直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.4.圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M0M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数),则直线l被圆C截得的弦长为___.例2.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长是___.例3.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数),设直线l与抛物线C的两交点为A、B,点F为抛物线C的焦点,则|AF|+|BF|=___.当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程是=(θ为参数),直线l与圆C交于两个不同的点A、B,当点P在圆C上运动时,△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程(θ∈R)所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为2,若该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中P点对应的t值为____.练习4.设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为___。
高中数学人教A版选修4-4课件:2.1曲线的参数方程
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2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
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1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
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参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线 位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的.
16
3.曲线(x-1)2+y2=4上的点可以表示为( )
A.(-1+cos θ,sin θ)
B.(1+sin θ,cos θ)
C.(-1+2cos θ,2sin θ) D.(1+2cos θ,2sin θ)
a2-t2,
(0<t<a).
7
法二:设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 Q,如图所示.
取∠QBP=θ, θ 为参数(0<θ<π2), 则∠ABO=π2-θ. 在 Rt△OAB 中, |OB|=acos(π2-θ)=asin θ.
8
在 Rt△QBP 中,
|BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参来自方程为x=asin θ+cos θ, y=asin θ.
(θ 为参数,0<θ<π2).
9
求曲线参数方程的主要步骤 第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任 意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的 位置,以利于发现变量之间的关系.
10
第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点: 一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列 出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运 动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋 转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、 斜率、截距等也常常被选为参数.
1
2
1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,曲线上任一点的坐标 x,y 都是 某个变数 t(θ,φ,…)的函数:xy==gftt ①,并且对于每一 个 t 的允许值,方程组①所确定的点(x,y)都在这条曲线上, 那么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ,t 叫做参数,相对 于参数方程而言,直接给出坐标间关系的方程叫普通方程 .
14
[解] (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组, 得:01==32tt, 2+1.
解得:t=0.∴点 M1 在曲线 C 上. 同理:可知点 M2 不在曲线 C 上. (2)∵点 M3(6,a)在曲线 C 上,∴6a==32tt, 2+1. 解得:t=2,a=9. ∴a=9.
3
2.参数的意义
参数 是联系变数x,y的桥梁,可以是有 物理 意义或
几何 意义的变数,也可以是
的变数.
4
5
[例1] 如图,△ABP是等腰直角三角形, ∠B是直角,腰长为a,顶点B、A分别在x轴、 y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取.本例中由 于A、B的滑动而引起点P的运动,故可以OB的长为参数, 或以角为参数,不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解.
第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.
11
1.设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆作匀角速度运动,
角速度为6π0 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨 迹的参数方程.
解:如图,运动开始时质点位于点 A 处,此时 t=0,设动点
13
[例 2] 已知曲线 C 的参数方程是xy==23tt2+1 (t 为参数). (1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系. (2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值. [思路点拨] 由参数方程的概念,只需判断对应于点的 参数是否存在即可,若存在,说明点在曲线上,否则不在曲 线上.
18
M(x,y)对应时刻
t,由图可知:xy==22scions
θ, θ,
又 θ=6π0·t,
故参数方程为:x=2cos6π0t,
y=2sin6π0t.
12
2.选取适当的参数,把直线方程y=2x+3化为参数方程. 解:选 t=x,则 y=2t+3 由此得直线的参数方程为xy==2t,t+3, (t 为参数). 也可选 t=x+1,则 y=2t+1. 参数方程为:xy==2t-t+11,. (t 为参数)
6
[解] 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴 的垂线交 x 轴于 Q.
如图所示,则
Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t<a). ∵|OA|= a2-t2, ∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x=t+ y=t,
解析:将点的坐标代入方程,使方程成立的即可.
答案:D
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4.已知某条曲线 C 的参数方程为xy==a1t+2 2t, (其中 t 为参 数,a∈R).点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a. 解:∵点 M(5,4)在曲线 C 上, ∴54= =1a+ t2,2t, 解得:ta==21,. ∴a 的值为 1.