概率论与数理统计第四版第四章

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概率论与数理统计第四版第四章

概率论与数理统计第四版第四章
《概率论与数理统计（第四版）》是2008年高等教育出版社出版的图书，作者是盛骤、谢式千、潘承毅。

《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在2001年出版的《概率论与数理统计》(第三版)的基础上增订而成。

本次修订新增的内容有:在数理统计中应用Excel,bootstrap方法,户值检验法,箱线图等;同时吸收了国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实。

《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在2001年出版的《概率论与数理统计》(第三版)的基础上增订而成。

《概率论与数理统计》主要内容包括概率论、数理统计、随机过程三部分,每章附有习题;同时涵盖了《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的所有知识点。

《概率论与数理统计》可作为高等学校工科、理科(非数学专业)各专业的教材和研究生入学考试的参考书,也可供工程技术人员、科技工作者参考。

第四章随机变量的数字特征
1 数学期望
2 方差
3 协方差及相关系数
4 矩、协方差矩阵。

概率论与数理统计第四版 (4)

(四) 不相关与相互独立的关系:
a. 若X, Y相互独立, 则X, Y不相关; b. 上面的逆命题一般不真;
反例, 二维r.v.( X , Y )的密度函数是
f
(
x,
y)
1
,
x2 y2 1,
0, 其它,
其Cov(
X
,Y
)
0,
但f ( x, y)
f
X
(
x)
fY
(
y).
c. 当(X, Y)服从二维正态分布时, 逆命题亦成立
(4.1)
又若( X ,Y )为离散型r.v.
其分布律为P X xi ,Y yj pij , i, j 1, 2,3,
则有E(Z ) E g( X ,Y ) g( xi , yj ) pij , (4.2) j1 i1
(假设上述积分、级数分别绝对收敛)
例4. 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
则其密度函数为
f
(
x)
e1
x
,
x 0,
0 , x 0.
E(X)
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2
30 正态分布: 设X~N(, 2 ) E(X) ，D(X) 2
§3. 协方差和相关系数
(一) 定义:
二维r.v.( X , Y ) ,若E{[X E( X )][Y E(Y )]}存在,
四. n维正态随机变量:
1. 定义 : 设有n维r.v.( X1, X 2 , , X n ), 记
x1
1
11 12
X
x2
,
2
,
C
21
22
1n
2n

概率论与数理统计第四版第四章

定理2的结果用于计算卡方分布的期望值和方差。

解：让定理2 xedx 4成为随机变量。

尝试证明定理5。

证明：因为，让定理1让总体x服从[0，b]上的均匀分布，并且B是未知的。

尝试找到未知样本值（1.3、0.6、1.7、2.2、0.3、1.1）以找到未知样本，即样本，尝试进行分析：X的概率密度是给定样本值的概率密度，要求使用尽可能小的值，并且最大值应为（相对于给定样本值，如果可能的话）。

最大似然估计方法用于估计总体的未知参数，并且总体θ的概率密度是lnln的样本。

（1）样本方差s的无偏估计。

（2）对于任何α，它也是λ的无偏估计。

解决方案：（1）无偏估计原因。

（2）因为x 是λ的无偏估计，所以它也是λ的无偏估计。

11.对于已知平方差的正常总体，要使总体置信区间的平均值不大于给定正数l的样本大小n是多少？当已知总体的置信区间为-3.0％时，正常解的置信区间为-3.0％，并且已知总体的置信区间为-0.9％。

总体平均值的95％置信区间为315.5％。

因此，正常总体平均值的95％置信区间是样本值，而正常总体平均值的95％置信区间为（-2.751，3.501）。

质量指标数据如下：0.143、0.142、0.143、0.137批次：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140。

测试数据独立且未知。

尝试找出95％的置信区间，是否可以认为这两个批次的产品质量存在显着差异？样本值0023的95％置信区间为（-0.002，0.006）。

14.某种容量为100的电子管的寿命样本的标准偏差为45。

给出了这些管的寿命种群（设置为正常种群）的标准偏差σ的95％置信区间。

因为05的95％置信区间为（1566.212747.74），所以标准偏差的95％置信区间为（39.58,52.42）。

15.为了检查两名工人的生产技能的稳定性，在一天中从他们的产品中选择了容量分别为25和15的两个样本，样本的方差计算如下。

让这两个样本来自正常总体，并尝试找到方差。

概率论与数理统计(理工类第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章

概率论与数理统计(理工类第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章第四章随机变量的数字特征4.1数学期望习题1设随机变量某服从参数为p的0-1分布，求E(某).解答：依题意，某的分布律为某01P1-pp由E(某)=∑i=1∞某ipi,有E(某)=0(1-p)+1p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和某的期望.分析：.解答：设某i表示第i次取得的号码，则某=∑i=1k某i,且P{某i=m}=1n,其中m=1,2,,n,i=1,2,,k,故E(某i)=1n(1+2++n)=n+12,i=1,2,,k,从而E(某)=∑i=1kE(某i)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备.以某表示一天中调整设备的次数，试求E(某)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：某的可能取值为0,1,2,3,4,且知某～b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101某0.1某0.99-0.910≈0.2639,所以E(某)=4某p=4某0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令某=“从一个参保人身上所得的收益”，由某的概率分布为某aa-bpkp1-p∴E(某)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0,即a00,某≤0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.解答：先求出利润函数L(某).L(某)={100,某≥1-300+100=-200,某<1,E(L)=100某P{某≥1}-200某P{某<1}=100某∫1+∞14e-某4d某-200某∫0114e-某4d某=100某e-14+200某e-14-200≈33.64(元).习题10设随机变量某的概率密度为f(某)={e-某,某>00,某≤0,求：(1)Y=2某的数学期望；(2)Y=e-2某的数学期望.解答：(1)E(Y)=E(2某)=∫-∞+∞2某f(某)d某=∫0+∞2某e-某d某=2.(2)E(e2某)=∫-∞+∞e-2某f(某)d某=∫0+∞e-3某d某=13.习题11设(某,Y)的分布律为Y\\某123-1010.20.10.00.10.00.30.10.10.1(1)求E(某),E(Y);(2)设Z=Y/某,求E(Z);(3)设Z=(某-Y)2,求E(Z).解答：(1)先求某与Y的边缘分布律，然后求E(某),E(Y).某123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3所以E(某)=1某0.4+2某0.2+3某0.4=2.0,E(Y)=-1某0.3+0某0.4+1某0.3=0.(2)可以利用某,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z),也可以利用定理直接求E(Z),下面采取直接求法.E(Z)=E(Y某)=∑i∑jyj某ipij=(-1某0.2+1某0.1)+(-12某0.1+12某0.1)+(-13某0+13某0.1)=-115.(3)E(Z)=E[(某-Y)2]=∑i∑j(某i-yj)2pij=(1-(-1))2某0.2+(1-0)2某0.1+(1-1)2某0.1+32某0.1+22某0.0+12某0.1+42某0.0+32某0.3+22某0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(某-Y)2]=E(某2-2某Y+Y2)=E(某2)-2E(某Y)+E(Y2)=(12某0.4+22某0.2+32某0.4)-2[-1某0.2+1某0.1+(-2)某0.1+2某0.1+(-3)某0.0+3某0.1]+(-1)2某0.3+12某0.3=5.习题12设(某,Y)的概率密度为f(某,y)={12y2,0≤y≤某≤10,其它,求E(某),E(Y),E(某Y),E(某2+Y2).解答：如右图所示.E(某)=∫-∞+∞∫-∞+∞某f(某,y)d某d y=∫01d某∫0某某12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(某,y)d某dy=∫01d某∫0某y12y2dy=35,E(某Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞某yf(某,y)d某dy=∫01d某∫0某某y12y2dy=12,E(某2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(某2+y2)f(某,y)d某dy =∫01d某∫0某(某2+y2)12y2dy=23+615=1615.习题13设某和Y相互独立，概率密度分别为1(某)={2某,0≤某≤10,其它,2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(某Y).解答：解法一由独立性.E(某Y)=E(某)E(Y)=∫01某2某d某∫0+∞ye-(y-5)dy=23某6=4.解法二令z=y-5,则E(某Y)=E(某)E(Y)=∫01某2某d某E(z+5)=23某(1+5)=4.4.2方差习题1设随机变量某服从泊松分布，且P(某=1)=P(某=2),求E(某),D(某).解答：由题设知，某的分布律为P{某=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{某=1}=P{某=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(某)=2,D(某)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若某～p(λ),则E(某)=D(某)=λ;(B)若某服从参数为λ的指数分布，则E(某)=D(某)=1λ;(C)若某～b(1,θ),则E(某)=θ,D(某)=θ(1-θ);(D)若某服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(某2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(某)=1λ,D(某)=1λ2.习题3设某1,某2,,某n是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξˉ=1n∑i=1nξi服从的分布是ˉ.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(某ˉ)=μ,D(某ˉ)=σ2n.习题4若某i～N(μi,σi2)(i=1,2,,n),且某1,某2,,某n相互独立，则Y=∑i=1n(ai某i+bi)服从的分布是.解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量某服从泊松分布，且3P{某=1}+2P{某=2}=4P{某=0},求某的期望与方差.解答：设随机变量某的概率密度为f(某)={a某2+b某+c,0并已知E(某)=0.5,D(某)=0.15,求系数a,b,c.解答：由概率密度性质有1=∫-∞+∞f(某)d某=∫01(a某2+b某+c)d某=a3+b2+c,即13a+b2+c=1.①又E(某)=∫-∞+∞某f(某)d某=∫01某(a某2+b某+c)d某=a4+b3+c2,所以14a+13b+12c=0.5.②又E(某2)=D(某)+E2(某)=0.15+0.25=0.4,E(某2)=∫-∞+∞某2f(某)d某==∫01某2(a某2+b某+c)d某=15a+14b+13c,所以15a+14b+13c=0.4.③解由式①，②，③联立而成的方程组得a=12,b=-12,c=3习题12卡车装运水泥，设每袋水泥重量某(以kg计)服从N(50,2.52),问最多装多少水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05？解答：设最多装n袋水泥.由题设，每袋水泥重量某i～N(50,2.52),i=1,2,,n,且某1,某2,,某n相互独立.总重量∑i=1n某i,要求P{∑i=1n某i>2000≤0.05,求n？∑i=1n某i～N(50n,n2.52),所以P{∑i=1n某i>2000=P{∑i=1n某i-50n2.5n>2000-50n2.5n=1-Φ(2000-50n2.5n)≤0.05,即Φ(4000-100n5n)≥0.95,查标准正态分布表得4000-100n5n=1.645.由方程400n2-32002.706n+800=0解得n≈39.483(袋),故最多装n=39袋才能使总重量超过2000kg的概率不大于0.05.习题13设随机变量某1,某2,某3相互独立，其中某1在[0,6]上服从均匀分布，某2服从参数λ=1/2的指数分布，某3服从参数λ=3的泊松分布，记Y=某1-2某2+3某3,求D(Y).解答：因某1在[0,6]上服从均匀分布，故D(某1)=(6-0)212=3;又因某2～e(1/2),某3～P(3),故D(某2)=1/(1/2)2=4,D(某3)=3.因某1、某2、某3相互独立，根据方差的性质得D(Y)=D(某1-2某2+3某3)=D(某1)+4D(某2)+9D(某3)=3+4某4+9某3=46.习题14设某服从参数为1的指数分布，且Y=某+e-2某,求E(Y)与D(Y).解答：由于某服从λ=1的指数分布，因此E(某)=1,D(某)=1,E(某2)=D(某)+(E(某))2=2,E(Y)=E(某+e-2某)=E(某)+E(e-2某)=1+∫0+∞e-2某e-某d某=1+1/3=4/3,E(Y2)=E((某)+e-2某)2)=E(某2+2某e-2某+e-4某),E(某e-2某)=∫0+∞某e-2某e-某d某=∫0+∞某e-3某d某=19,E(e-4某)=∫0+∞e-4某e-某d某=∫0+∞e-5某d某=15,E(某2)+2E(某e-2某)+E(e-4某)=2+2/9+1/5=109/45,D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=109/45-16/9=29/45.习题15已知某～N(1,32),Y～N(0,42),ρ某Y=-12,设Z=某3+Y2,求Z的期望与方差及某与Z的相关系数.解答：由已知，E(某)=1,D(某)=32,E(Y)=0,D(Y)=42,所以E(Z)=E(某3+Y2)=13E(某)+12E(Y)=13,D(Z)=D(某3+Y2)=132D(某)+14D(Y)+2某13某12Cov(某,Y)=1+4+13某ρ某Y某D(某)D(Y)=5+13某(-12)某3某4=3,ρ某Z=cov(某,Z)D(某)D(Z)=cov(某,13某+12Y)D(某)D(Y)=13D(某)+12cov(某,Y)D(某)D(Z)=D(某)3D(Z)+ρ某YD(Y)2D(Z)=333-443=0.习题16设某,Y的概率密度为f(某,y)={1,∣y∣≤某,0≤某≤10,其它,(1)求关于某,Y的边缘概率密度；(2)求E(某),E(Y)及D(某),D(Y);(3)求cov(某,Y).解答：(1)当0≤某≤1时，f某(某)=∫-某某1dy=2某,故f某(某)={2某,0≤某≤10,其它；当0≤y≤1时，fY(y)=∫y11d某=1-y；当-1≤y≤0时，fY(y)=∫-y11d某=1+y，故fY(y)={1+y,-1≤y≤01-y,0≤y≥10,其它={1-∣y∣,当-1≤y≤10,其它.(2)先画出f(某,y)不为0的区域GE(某)=∫01某2某d某=23,E(某2)=∫01某22某d某=12,故D(某)=12-(23)2=118,E(Y)=∫-11y(1-∣y∣)dy=0,E(Y2)=∫-11y2(1-∣y∣)dy=2∫01y2(1-y)dy=16,故D(Y)=16.(3)E(某Y)=∫∫G某ydy=∫01d某∫-某某某ydy=0,故cov(某,Y)=0.习题17设随机变量某～U(0,1),Y～U(1,3),某与Y相互独立，求E(某Y)与D(某Y).解答：因为f某(某)={1,0f(某,y)={1/2,0则设E(某)=2,E(Y)=4,D(某)=4,D(Y)=9,ρ某Y=0.5,求：(1)U=3某2-2某Y+Y2-3的数学期望；(2)V=3某-Y+5的方差.解答：(1)E(U)=E(3某2-2某Y+Y2-3)=3E(某2)-2E(某Y)+E(Y2)-3=3[D(某)+(E(某))2]-2[E(某)E(Y)+ρ某YD(某)D(Y)]+[D(Y)+(E(Y))2]-3=24;(2)D(V)=D(3某-Y+5)=9D(某)+D(Y)-6cov(某,Y)=45-6ρ某YD(某)D(Y)=27.习题19设W=(a某+3Y)2,E(某)=E(Y)=0,D(某)=4,D(Y)=16,ρ某Y=-0.5.求常数a,使E(W)为最小，并求E(W)的最小值.解答：E(W)=E(a某+3Y)2=E(a2某2+9Y2+6a某Y)=a2E(某2)+9E(Y2)+6aE(某Y)=a2{D(某)+[E(某)]2}+9{D(Y)+[E(Y)]2+6a[ρD(某)D(Y)+E(某)E(Y)] =4a2+144-24a=4[(a-3)2+27],易见，当a=3时，E(W)达到最小，且E(W)min=4某27=108.注：求E(W)最小时的a,也可利用求导法.dEda=8(a-3),令dEda=0,得a=3是唯一驻点.又因d2Eda2=8>0,故a=3为极小点，也是最小点，所以，当a=3时E(W)最小，且最小E(W)值为108.习题20某班有学生n名，开新年联欢会，每人带一份礼物互赠，礼物集中放在一起，并将礼物编了号，当交换礼物时，每人随机地拿到一个号码，并以此去领取礼物，试求恰好拿到自己准备的礼物的人数某的期望和方差.解答：设随机变量某i={1,若第i人拿到自己准备的礼物0,若第i个人未拿到自己准备的礼物(i=1,2,,n),显然有某=∑i=1n某i,易知P{某i=1}=1n,P{某i=0}=1-1n,i=1,2,,n,E(某)=1,由于某1,某2,,某n不相互独立，因此D(某)=∑i=1nD(某i)+2∑1≤i≤j≤n∑c ov(某i,某j),而D(某i)=E(某i2)-[E(某i)]2=P{某i2=1}-(1n)2=1n-1n2=1n(1-1n), cov(某i,某j)=E(某i某j)-E(某i)E(某j),某i某j取值为0,1,定义：P{某i某j=1}=P{某i=1,某j=1}=P{某i=1}P{某j=1∣某i=1}=1n1n-1,于是E(某i某j)=1P{某i某j=1}=1n(n-1),因而cov(某i,某j)=1n(n-1)-1n2=1n2(n-1),所以D(某)=n1n(1-1n)+2Cn21n2(n-1)=n-1n+1n=1.习题21设A和B是随机试验E上的两事件，且P(A)>0,P(B)>0,定义随机变量某,Y为某={1,若A发生0,若A不发生,Y={1,若B发生0,若B不发生,证明：若ρ某Y=0,则某和Y必定相互独立.分析：解答：某,Y的分布律分别为某10piP(A)P(Aˉ)Y10piP(B)P(Bˉ)某Y10piP(AB)1-P(AB)于是E(某)=P(A),E(Y)=P(B),E(某Y)=P(AB),0=ρ某Y=cov(某,Y)D(某)D(Y)=E(某Y)-E(某)E(Y)D(某)D(Y)E(某Y)=E(某)E(Y),即P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立，由事件独立的性质可知A与Bˉ,Aˉ与B,Aˉ与Bˉ也相互独立，于是P{某=1,Y=1}=P(AB)=P(A)P(B)=P{某=1}P{Y=1},P{某=0,Y=0}=P(ABˉ)=P(A)P(Bˉ)=P{某=1}P{Y=0},P{某=0,Y=1}=P(AˉB)=P(Aˉ)P(B)=P{某=0}P{Y=1},P{某=0,Y=0}=P(AˉBˉ)=P(Aˉ)P(Bˉ)=P{某=0}P{Y=0},故某与Y相互独立.习题22设二维随机变量(某,Y)～N(0,0,σ12,σ22,ρ),其中σ12≠σ22.又设某1=某coa+Yina,某2=-某ina+Ycoa,问何时某1与某2不相关，某1与某2独立？解答：因为(某1,某2)是(某,Y)的线性变换，所以(某1,某2)仍然是二维正态随机变量，若某1与某2不相关，某1与某2必然独立.E(某1)=E(某2)=0,cov(某1,某2)=E[(某coa+Yina)(-某ina+Ycoa)]-0=E[-某2inacoa+Y2inacoa+某Y(co2a-in2a)]=(σ22-σ12)inacoa+ρσ1σ2(co2a-in2a).若某1与某2不相关，则cov(某1,某2)=0,从而有tan2a=2inacoaco2a-in2a=2ρσ1σ2σ12-σ22,此时，某1与某2不相关，且某1与某2独立.习题23在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400～600之间的概率.解答：设某表示在1000次独立事件重复试验中，事件A发生的次数，则某～b(1000,0.5),。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

空测量的误差随机变量 X 的分布列为
X (m) 30
20
10
0
10
20
30
P
0.05 0.08 0.16 0.42 0.16 0.08 0.05
而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即Y 350 X ，
求场地面积的数学期望．
解：设场地面积为 S ，则 S Y 2 ，
E( X ) 30 0.05 (20) 0.08 (10) 0.16 0 0.42 10 0.16
X (3) 设 Z ( X Y )2 ，求 E(Z ) ．
解：(1) E( X ) 1 (0.2 0.1 0.1) 2 (0.1 0 0.1) 3 (0 0.3 1) 2 ，
E(Y ) (1) (0.2 0.1 0) 0 (0.1 0 0.3) 1 (0.1 0.1 0.1) 0 ，
0
432
0.15 D(X )
[x
E(X
)]2
f
( x)d x
1
(x
0.5)2
(a
x2
bx
c)d
x
0
1a1b1c1 ， 5 434
解之得
a 12 ， b 12 ， c 3．
13．设 ( X ,Y ) 的分布律为
Y
X
1
2
3
1
0.2
0.1
0
0
0.1
0
0.1
1
0.1
0.1
0.1
(1) 求 E( X ) 及 E(Y ) ； (2) 设 Z Y ，求 E(Z ) ；
由题可知exey?dxdy?2则22222222exdx?ex???eydy?ey???eze?x??y????eze?x??y????1222222dzd?x??y?dx??dy????122222dzd?x??y?dx??dy????22222ezze?x??y?x??ye?x??y1222222222?ex??ey??????222covzzezz?ezez????12121222covzz???12?zz22

概率论与数理统计第四章

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2

概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分

概率论与数理统计（第四版）
浙江大学盛骤
2019/3/16
1
概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。
2
第一章
• • • • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
概率论的基本概念
随机试验样本空间概率和频率等可能概型（古典概型）条件概率独立性
第二章
• • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
第九章方差分析及回归分析
• • • • 9.1 9.2 9.3 9.4 单因素试验的方差分析双因素试验的方差分析一元线性回归多元线性回归
5
第十章随机过程及其统计描述
• 10.1 随机过程的概念 • 10.2 随机过程的统计描述 • 10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章马尔可夫链
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称fn ( A)为A在这n次试验中发生的频率。例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
1 n；一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表 2
实验者
德·摩根蒲丰
K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
nH
fn(H)
2048 4040
12000 24000
关键词：样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性

概率论与数理统计教程第四版(沈恒范)(超全免费版)

若事件、相互独立，且，则有
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即时，有；
3° ，；
4° ，即是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量，；
对于连续型随机变量，。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X～N（
但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
若，则的分布函数为
。。
参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为
，，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。
如果 ~ ，则 ~ 。
。
（6）分位数
下分位表：；
上分位表：。
（7）函数分布

概率论与数理统计第四章

)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布

概率论与数理统计第四版第四章

第四章　随机变量的数字特征1．（１）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布律并求E（X）．“T H E GIRL P U T ON H ER BEA U T IF U L RED H A T”．（２）在上述句子的３０个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E（Y）．（３）一人掷骰子，如得６点则掷第２次，此时得分为６＋第二次得到的点数；否则得分为他第一次掷得的点数，且不能再掷，求得分X的分布律及E（X）．解（１）随机试验属等可能概型．所给句子共８个单词，其中含２个字母，含４个字母，含９个字母的各有一个单词，另有５个单词含３个字母，所以X的分布律为X２３４９p k１８５８１８１８数学期望E（X）＝２×１８＋３×５８＋４×１８＋９×１８＝１５４．（２）随机试验属等可能概型，Y的可能值也是２，３，４，９．样本空间S由各个字母组成，共有３０个样本点，其中样本点属于Y＝２的有２个，属于Y＝３的有１５个，属于Y＝４的有４个，属于Y＝９的有９个，所以Y的分布律为Y２３４９p k２３０１５３０４３０９３０数学期望　E（Y）＝２×２３０＋３×１５３０＋４×４３０＋９×９３０＝７３１５．（３）分布律为X１２３４５７８９１０１１１２p k１６１６１６１６１６１３６１３６１３６１３６１３６１３６E（X）＝１×１６＋２×１６＋３×１６＋４×１６＋５×１６＋７×１３６＋８×１３６＋９×１３６　＋１０×１３６＋１１×１３６＋１２×１３６＝４９１２．2．某产品的次品率为０畅１，检验员每天检验４次．每次随机地取１０件产品进行检验，如发现其中的次品数多于１，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）．（设诸产品是否为次品是相互独立的．）解先求检验一次，决定需要调整设备的概率．设抽检出次品件数为Y，则Y～b（１０，０畅１）．记需调整设备一次的概率为p，则p＝P｛Y＞１｝＝１－P｛Y＝０｝－P｛Y＝１｝＝１－０畅９１０－１０１·０畅９９·０畅１＝０畅２６３９．又因各次检验结果相互独立，故X～b（４，０畅２６３９）．X的分布律为X０１２３４p k（１－p）４４p（１－p）３６p２（１－p）２４p３（１－p）p４于是E（X）＝１×４p（１－p）３＋２×６p２（１－p）２＋３×４p３（１－p）＋４×p４＝４p＝４×０畅２６３９＝１畅０５５６．以后将会知道若X～b（n，p），则E（X）＝n p．3．有３只球，４个盒子，盒子的编号为１，２，３，４．将球逐个独立地，随机地放入４个盒子中去．以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝３表示第１号，第２号盒子是空的，第３个盒子至少有一只球），试求E（X）．解法（i）　由于每只球都有４种放法，由乘法原理共有４３＝６４种放法．其中３只球都放在４号盒中的放置法仅有１种，从而P｛X＝４｝＝１６４．又｛X＝３｝表示事件“１，２号盒子都是空的，而３号盒子不空”．因１，２号盒子都空，球只能放置在３，４号两个盒子中，共有２３种放置法，但其中有一种是３只球都放在４号盒子中，即３号盒子是空的，这不符合X＝３的要求需除去，故有P｛X＝３｝＝２３－１６４＝７６４．88概率论与数理统计习题全解指南同理可得P ｛X ＝２｝＝３３－２３６４＝１９６４，P ｛X ＝１｝＝４３－３３６４＝３７６４．因此E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．注：P ｛X ＝１｝也可由１－（P ｛X ＝４｝＋P ｛X ＝３｝＋P ｛X ＝２｝）求得．解法（ii ）　以A i （i ＝１，２，３，４）记事件“第i 个盒子是空盒”．｛X ＝１｝表示事件“第一个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝１｝＝A —１，故P ｛X ＝１｝＝P （A —１）＝１－P （A １）＝１－３４３＝３７６４．（因第一个盒子为空盒，３只球的每一只都只有３个盒子可以放，故P （A １）＝（３／４）３．）｛X ＝２｝表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝２｝＝A １A —２．故P ｛X ＝２｝＝P （A １A —２）＝P （A —２A １）P （A １）＝（１－P （A ２A １））P （A １）＝１－２３３３４３＝１９６４．（因在第一个盒子是空盒的条件下，第二个盒子也是空盒，则３只球都只有２个盒子可以放，故P （A ２A１）＝２３３．）类似地，P ｛X ＝３｝＝P （A １A ２A —３）＝P （A —３A １A ２）P （A ２A １）P （A １）＝１－１２３２３３３４３＝７６４，P ｛X ＝４｝＝１－３７６４－１９６４－７６４＝１６４，因此，E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．解法（iii ）　将球编号．以X １，X ２，X ３分别记１号，２号，３号球所落入的盒子的号码数．则X １，X ２，X ３都是随机变量，记X ＝min ｛X １，X ２，X ３｝，按题意，本题需要求的是98第四章　随机变量的数字特征E（X）＝E［min｛X１，X２，X３｝］．因X１，X２，X３具有相同的分布律X j１２３４p k１４１４１４１４因而X１，X２，X３具有相同的分布函数F（z）＝０，z＜１，１４，１≤z＜２，２４，２≤z＜３，３４，３≤z＜４，１，z≥４．于是X＝min｛X１，X２，X３｝的分布函数为：F min（z）＝１－［１－F（z）］３＝１－（１－０）３＝０，z＜１，１－１－１４３＝３７６４，１≤z＜２，１－１－２４３＝５６６４，２≤z＜３，１－１－３４３＝６３６４，３≤z＜４，１－（１－１）３＝１，z≥４．X＝min｛X１，X２，X３｝的分布律为X１２３４p k３７６４１９６４７６４１６４得E（X）＝２５１６．4．（１）设随机变量X的分布律为P X＝（－１）j＋１３j j＝２３j，j＝１，２，…，说明X的数学期望不存在．（２）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再09概率论与数理统计习题全解指南从盒中随机地摸一只球．试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在．解（１）因级数钞∞j＝１（－１）j＋１３j j P X＝（－１）j＋１３j j＝钞∞j＝１（－１）j＋１３j j·２３j＝２钞∞j＝１（－１）j＋１j不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在．（２）以A k记事件“第k次摸球摸到黑球”，以A k记事件“第k次摸球摸到白球”，以C k表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k＝１，２，…．按题意C k＝A１A２…A k－１A　—k，P（C k）＝P（A　—k|A１A２…A k－１）P（A k－１|A１A２…A k－２）…P（A２|A１）P（A１）．P｛X＝１｝＝P（A　—１）＝１２，P｛X＝２｝＝P（A１A　—２）＝P（A　—２|A１）P（A１）＝１３·１２，P｛X＝３｝＝P（A１A２A　—３）＝P（A　—３|A１A２）P（A２|A１）P（A１）＝１４·２３·１２＝１４·１３，X＝k时，盒中共k＋１只球，其中只有一只是白球，故P｛X＝k｝＝P（A１…A k－１A　—k）＝P（A　—k　A１A２…A k－１）P（A k－１A１A２…A k－２）…P（A２A１）P（A１）＝１k＋１·k－１k·k－２k－１·…·２３·１２＝１k＋１·１k．若E（X）存在，则它应等于钞∞k＝１kP｛X＝k｝．但钞∞k＝１kP｛X＝k｝＝钞∞k＝１k·１k＋１·１k＝钞∞k＝１１k＋１＝∞，故X的数学期望不存在．5．设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min 计）是一个随机变量，其概率密度为f（x）＝１１５００２x，０≤x≤１５００，－１１５００２（x－３０００），１５００＜x≤３０００，０，其他．19第四章　随机变量的数字特征求E （X ）．解按连续型随机变量的数学期望的定义，有E （X ）＝∫∞－∞x f （x ）d x ＝∫０－∞x f （x ）d x ＋∫１５０００x f （x ）d x　＋∫３０００１５００x f （x ）d x ＋∫∞３０００x f （x ）d x＝∫０－∞x ·０d x ＋∫１５０００x ·x１５００２d x ＋∫３０００１５００x ·－（x －３０００）１５００２d x ＋∫∞３０００x ·０d x＝１１５００２x ３３１５０００＋１１５００２３０００×x ２２－x３３３０００１５００＝１５００（min ）．6．（１）设随机变量X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３求E （X ），E （X ２），E （３X ２＋５）．（２）设X ～π（λ），求E １X ＋１．解（１）X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３E （X ）＝（－２）×０畅４＋０×０畅３＋２×０畅３＝－０畅２．由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E （X ２）＝（－２）２×０畅４＋０２×０畅３＋２２×０畅３＝２畅８，E （３X ２＋５）＝［３（－２）２＋５］×０畅４＋［３（０）２＋５］×０畅３＋［３（２２）＋５］×０畅３＝１３畅４．如利用数学期望的性质，则有E （３X ２＋５）＝３E （X ２）＋５＝３×２畅８＋５＝１３畅４．（２）因X ～π（λ），故P ｛X ＝k ｝＝λke －λk ！．29概率论与数理统计习题全解指南E１X＋１＝钞∞k＝０１k＋１P｛X＝k｝＝钞∞k＝０１k＋１λk e－λk！＝钞∞k＝０λk e－λ（k＋１）！＝e－λλ钞∞k＝０λk＋１（k＋１）！＝e－λλ钞∞j＝１λjj！＝e－λλ钞∞j＝０λjj！－１＝e－λλ（eλ－１）＝１λ（１－e－λ）．7．（１）设随机变量X的概率密度为f（x）＝e－x，x＞０，０，x≤０．求（i）Y＝２X；（ii）Y＝e－２X的数学期望．（２）设随机变量X１，X２，…，X n相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布（i）求U＝max｛X１，X２，…，X n｝的数学期望，（ii）求V＝min｛X１，X２，…，X n｝的数学期望．解（１）由关于随机变量函数的数学期望的定理，知（i）E（Y）＝E（２X）＝∫∞－∞２x f（x）d x＝２∫０－∞x·０d x＋∫∞０x e－x d x＝２－x e－x∞０＋∫∞０e－x d x＝－２e－x∞０＝２；（ii）E（Y）＝E（e－２X）＝∫∞０e－２x·e－x d x＝∫∞０e－３x d x＝－１３e－３x∞０＝１３．（２）因X i～U（０，１），i＝１，２，…，n，X i的分布函数为F（x）＝０，　x＜０，x，　０≤x＜１，１，　x≥１．因X１，X２，…，X n相互独立，故U＝max｛X１，X２，…，X n｝的分布函数为F U（u）＝０，　u＜０，u n，　０≤u＜１，１，　u≥１．U的概率密度为f U（u）＝nun－１，０＜u＜１，０，其他．E（U）＝∫∞－∞u f U（u）d u＝∫１０u·nu n－１d u＝n∫１０u n d u＝n n＋１．39第四章　随机变量的数字特征V ＝min ｛X １，X ２，…，X n ｝的分布函数为F V （v ）＝０， v ＜０，１－（１－v ）n，　０≤v ＜１，１， v ≥１．V 的概率密度为f V （v ）＝n （１－v ）n －１，０＜v ＜１，０，其他．E （V ）＝∫∞－∞v f V （v ）d v ＝∫１０vn （１－v ）n －１d v＝－v （１－v ）n１０＋∫１０（１－v ）nd v＝－（１－v ）n ＋１n ＋１１０＝１n ＋１．8．设随机变量（X ，Y ）的分布律为X Y １２３－１０畅２０畅１０畅０００畅１０畅００畅３１０畅１０畅１０畅１（１）求E （X ），E （Y ）．（２）设Z ＝Y X，求E （Z ）．（３）设Z ＝（X －Y ）２，求E （Z ）．解由关于随机变量函数的数学期望E ［g （X ，Y ）］的定理，得（１）E （X ）＝钞３i ＝１钞３j ＝１x i p i j＝１·（０畅２＋０畅１＋０畅１）＋２·（０畅１＋０＋０畅１）＋３·（０＋０畅３＋０畅１）＝２． E （Y ）＝钞３j ＝１钞３i ＝１y j p i j＝（－１）·（０畅２＋０畅１＋０）＋０·（０畅１＋０＋０畅３）＋１·（０畅１＋０畅１＋０畅１）＝０．（２）E （Z ）＝EYX＝－１１P ｛X ＝１，Y ＝－１｝＋－１２P ｛X ＝２，Y＝－１｝　＋－１３P ｛X ＝３，Y ＝－１｝49概率论与数理统计习题全解指南　＋０１P ｛X ＝１，Y ＝０｝＋０２P ｛X ＝２，Y ＝０｝　＋０３P ｛X ＝３，Y ＝０｝＋１１P ｛X ＝１，Y ＝１｝　＋１２P ｛X ＝２，Y ＝１｝＋１３P ｛X ＝３，Y ＝１｝＝－０畅２－０畅０５＋０畅１＋０畅０５＋０畅１３＝－１１５．（３）E （Z ）＝E ［（X －Y ）２］＝钞３j ＝１钞３i ＝１（x i －y j ）２p i j＝２２×０畅２＋３２×０畅１＋４２×０＋１２×０畅１＋２２×０　＋３２×０畅３＋０２×０畅１＋１２×０畅１＋２２×０畅１＝５．注：（i ）可先求出边缘分布律，然后求出E （X ），E （Y ）．（ii ）在（３）中可先算出Z ＝（X －Y ）２的分布律Z ０１４９p k０畅１０畅２０畅３０畅４然后求得E （Z ）＝钞４k ＝１z k p k ＝５．题４畅９图9．（１）设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）＝１２y ２，０≤y ≤x ≤１，０，其他．求E （X ），E （Y ），E （XY ），E （X ２＋Y ２）．（２）设随机变量X ，Y 的联合密度为f （x ，y ）＝１ye －（y ＋x ／y ），　x ＞０，y ＞０，０，其他，求E （X ），E （Y ），E （XY ）．解（１）各数学期望均可按照E ［g （X ，Y ）］＝∫∞－∞∫∞－∞g （x ，y ）f （x ，y ）d x d y 计算．因f （x ，y ）仅在有限区域G ：｛（x ，y ）　０≤y ≤x ≤１｝内不为零，故各数学期望均化为G （如题４畅９图）上相应积分的计算．E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝∫∫Gx ·１２y ２d x d y＝∫１０d x ∫x０１２x y ２d y ＝４５．59第四章　随机变量的数字特征E（Y）＝∫∫G y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２y３d y＝３５．E（XY）＝∫∫G x y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２x y３d y＝１２．E（X２＋Y２）＝∫∫G（x２＋y２）１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２（x２y２＋y４）d y＝１６１５．（２）E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x y e－（y＋x y）d x d y＝－∫∞０e－y∫∞０x e－x／y d（－x y）d y＝－∫∞０e－y x e－x／y∞０－∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（Y）＝∫∞０∫∞０e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y［－y e－x／y］∞０d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y［∫∞０x e－x／y d x］d y．而 ∫∞０x e－x／y d x＝－y∫∞０x e－x／y d（－x y）＝y２，故 E（XY）＝∫∞０y２e－y d y＝Γ（３）①＝２．10．（１）设随机变量X～N（０，１），Y～N（０，１）且X，Y相互独立．求E X２X２＋Y２．（２）一飞机进行空投物资作业，设目标点为原点O（０，０），物资着陆点为（X，Y），X，Y相互独立，且设X～N（０，σ２），Y～N（０，σ２），求原点到点（X，Y）间距离的数学期望．解（１）由对称性知E X２X２＋Y２＝EY２X２＋Y２．69概率论与数理统计习题全解指南①Γ函数：Γ（α）＝∫∞０xα－１e－x d x，α＞０，它具有性质：Γ（α＋１）＝αΓ（α），α＞０，Γ（１）＝１，Γ（１２）＝π，Γ（n＋１）＝nΓ（n）＝n！（n为正整数）．而EX２X２＋Y２＋EY２X２＋Y２＝E（１）＝１，故EX２X２＋Y２＝１２．（２）记原点到点（X，Y）的距离为R，R＝X２＋Y２，由题设（X，Y）的密度函数为f（x，y）＝１２πσe－x２／（２σ２）·１２πσe－y２／（２σ２）＝１２πσ２e－x２＋y２２σ２，　－∞＜x＜∞，　－∞＜y＜∞．E（R）＝E（X２＋Y２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２＋y２１２πσ２e－（x２＋y２）／（２σ２）d x d y．采用极坐标E（R）＝∫２π０dθ∫∞０r２πσ２e－r２／（２σ２）r d r＝２π∫∞０１２πσ２r２e－r２／（２σ２）d r＝１σ２∫∞０r２e－r２／（２σ２）d r＝－∫∞０r d（e－r２／（２σ２））＝－r e－r２／（２σ２）∞０＋∫∞０e－r２／（２σ２）d r＝１２∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r＝１２１２πσ∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r２πσ＝１２×１×２πσ＝σπ２．11．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）＝１４e－x／４，x＞０，０，　x≤０．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利１００元，调换一台设备厂方需花费３００元．试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．解一台设备在一年内调换的概率为p＝P｛X＜１｝＝∫１０１４e－x／４d x＝－e－x／４１０＝１－e－１／４．以Y记工厂售出一台设备的净赢利值，则Y具有分布律Y１００１００－３００p k e－１／４１－e－１／４故有E（Y）＝１００×e－１／４－２００（１－e－１／４）＝３００e－１／４－２００＝３３畅６４（元）．12．某车间生产的圆盘直径在区间（a，b）服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．解设圆盘直径为X，按题设X具有概率密度f X（x）＝１b－a，a＜x＜b，０，其他，故圆盘面积A＝１４πX２的数学期望为E１４πX２＝∫b a１４πx２１b－a d x＝π１２（b－a）x３ba＝π１２（b２＋ab＋a２）．13．设电压（以V计）X～N（０，９）．将电压施加于一检波器，其输出电压为Y＝５X２，求输出电压Y的均值．解由X～N（０，９），即有E（X）＝０，D（X）＝９．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５｛D（X）＋［E（X）］２｝＝５（９＋０）＝４５（V）．另法　X的概率密度为f X（x）＝１３２πe－x２／１８，　－∞＜x＜∞．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５∫∞－∞x２３２πe－x２／１８d x＝５×９３２π－x e－x２／１８∞－∞＋∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５３２π∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５∫∞－∞f X（x）d x＝４５×１＝４５（V）．14．设随机变量X１，X２的概率密度分别为f１（x）＝２e－２x，x＞０，０，x≤０，　f２（x）＝４e－４x，x＞０，０，x≤０．（１）求E（X１＋X２），E（２X１－３X２２）．（２）又设X１，X２相互独立，求E（X１X２）．解若X服从以θ为参数的指数分布，其概率密度为f（x）＝１θe－x／θ，x＞０，０，其他，则E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x１θe－x／θd x，令u＝xθ，得到　E（X）＝θ∫∞０u e－u d u＝θΓ（２）＝θΓ（１）＝θ，E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２１θe－x／θd x＝θ２∫∞０u２e－u d u＝θ２Γ（３）　（其中u＝xθ）＝θ２·２Γ（２）＝θ２·２Γ（１）＝２θ２，故E（X１）＝１２，E（X２）＝１４，E（X２２）＝２（１４）２＝１８，于是（１）由数学期望的性质，有E（X１＋X２）＝E（X１）＋E（X２）＝３４，E（２X１－３X２２）＝２E（X１）－３E（X２２）＝５８．（２）因X１，X２相互独立，由数学期望的性质，有E（X１X２）＝E（X１）E（X２）＝１２×１４＝１８．15．将n只球（１～n号）随机地放进n个盒子（１～n号）中去，一个盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对．记X为总的配对数，求E（X）．解引入随机变量X i＝１，　若第i号球装入第i号盒子中，０，　若第i号球未装入第i号盒子中，i＝１，２，…，n，则总的配对数X可表示成X＝X１＋X２＋…＋X n．显然P｛X i＝１｝＝１n，　i＝１，２，…，n．X i的分布律为X i０１p k１－１n１n即有E（X i）＝１n，i＝１，２，…，n，于是E （X ）＝E （X １＋X ２＋…＋X n ）＝E （X １）＋E （X ２）＋…＋E （X n ）＝１．16．若有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁．设取到每只钥匙是等可能的．若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X 的数学期望．（１）写出X 的分布律．（２）不写出X 的分布律．解（１）以A k （k ＝１，２，…，n ）表示事件“第k 次试开是成功的”．｛X ＝k ｝表示前k －１次所取的钥匙均未能打开门，而第k 次所取的钥匙能将门打开．即有P ｛X ＝k ｝＝P （A —１A —２…A —k －１A k ）＝P （A —１A —２…A —k －１）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１A —２…A —k －２）P （A —k －１A —１A —２…A —k －２）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝…＝P （A —１）P （A —２A —１）P （A —３A —１A —２）…P （A k A —１A —２…A —k －１）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －k ＋１n －k ＋２·１n －k ＋１＝１n，X 的分布律为P ｛X ＝k ｝＝１n，　k ＝１，２，…，n ，故E （X ）＝钞nk ＝１kP ｛X ＝k ｝＝钞nk ＝１k ·１n ＝１n钞nk ＝１k＝１n ·n （n ＋１）２＝n ＋１２．（２）引入随机变量X k 如下：X １＝１，X k ＝１，　前k －１次试开均未成功，０，　前k －１次中有一次试开成功，k ＝２，３，…，n ，则X ＝X １＋X ２＋…＋X n ．沿用（１）中的记号，则有E （X １）＝１，E （X k ）＝１×P ｛X k ＝１｝＝１×P （A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１）P （A　—２A —１）…P （A　—k －１A —１A —２…A —k －２）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －（k －１）n －（k －２）＝n －k ＋１n， k＝２，３，…，n．故有E（X）＝１＋钞nk＝２E（X k）＝１＋钞nk＝２n－k＋１n＝n＋１２．17．设X为随机变量，C是常数，证明D（X）＜E［（X－C）２］，对于C≠E（X）．（由于D（X）＝E［［X－E（X）］２］，上式表明E［（X－C）２］当C＝E（X）时取到最小值．）证　E［（X－C）２］＝E（X２－２CX＋C２）＝E（X２）－２CE（X）＋C２＝E（X２）－［E（X）］２＋｛［E（X）］２－２CE（X）＋C２｝＝D（X）＋（E（X）－C）２≥D（X）．等号仅当C＝E（X）时成立．18．设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f（x）＝xσ２e－x２（２σ２），x＞０，０，x≤０，其中σ＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X）＝２σ∫∞０u１／２e－u d u＝２σΓ（３２）＝２σ１２Γ（１２）①＝π２σ．E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X２）＝２σ２∫∞０u e－u d u＝２σ２Γ（２）＝２σ２，故D（X）＝E（X２）－（E（X））２＝２σ２－π２σ２＝４－π２σ２．19．设随机变量X服从Γ分布，其概率密度为f（x）＝１βαΓ（α）xα－１e－x／β，x＞０，０，x≤０，①参见９６页注．其中α＞０，β＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０xβαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝xββΓ（α）∫∞０uαe－u d u＝βΓ（α）Γ（α＋１）＝βΓ（α）αΓ（α）＝αβ． Ε（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２βαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝x／ββ２Γ（α）∫∞０uα＋１e－u d u＝β２Γ（α）Γ（α＋２）＝β２Γ（α）（α＋１）αΓ（α）＝α（α＋１）β２． D（X）＝α（α＋１）β２－（αβ）２＝αβ２．20．设随机变量X服从几何分布，其分布律为P｛X＝k｝＝p（１－p）k－１，　k＝１，２，…，其中０＜p＜１是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝钞∞n＝１nP｛X＝n｝＝钞∞n＝１n p（１－p）n－１＝p钞∞n＝１n（１－p）n－１＝p１［１－（１－p）］２＝１p．这是因为１１－x＝１＋x＋x２＋…＋xk＋…，　x＜１，两边对x求导，就有１（１－x）２＝１＋２x＋３x２＋…＋kxk－１＋…，x＜１．（A）又E［X（X＋１）］＝钞∞n＝１n（n＋１）P｛X＝n｝＝p钞＋∞n＝１n（n＋１）（１－p）n－１．将上述（A）式两边关于x求导，就有２（１－x）３＝１·２＋２·３x＋…＋（k－１）·kxk－２＋…， x＜１，由此知E［X（X＋１）］＝p２［１－（１－p）］３＝２p２故D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝E［X（X＋１）－X］－［E（X）］２＝E ［X （X ＋１）］－E （X ）－［E （X ）］２＝２p ２－１p －１p ２＝１－pp２．21．设长方形的长（以m 计）X ～U （０，２），已知长方形的周长（以m 计）为２０．求长方形面积A 的数学期望和方差．解长方形的长为X ，周长为２０，所以它的面积A 为A ＝X （１０－X ）．现在X ～U （０，２），X 的概率密度为f X （x ）＝１２，０＜x ＜２，０，其他，所以E （A ）＝E ［X （１０－X ）］＝∫２０x （１０－x ）·１２d x ＝５２x ２－１６x ３２０＝２６３＝８畅６７，E （A ２）＝E ［X ２（１０－X ）２］＝∫２０x ２（１０－x ）２·１２d x ＝１２∫２０（１００x ２－２０x ３＋x ４）d x ＝１４４８１５＝９６畅５３，D （A ）＝E （A ２）－［E （A ）］２＝１４４８１５－２６３２＝２１畅４２．22．（１）设随机变量X １，X ２，X ３，X ４相互独立，且有E （X i ）＝i ，D （X i ）＝５－i ，i ＝１，２，３，４．设Y ＝２X １－X ２＋３X ３－１２X ４．求E （Y ），D （Y ）．（２）设随机变量X ，Y 相互独立，且X ～N （７２０，３０２），Y ～N （６４０，２５２），求Z １＝２X ＋Y ，Z ２＝X －Y 的分布，并求概率P ｛X ＞Y ｝，P ｛X ＋Y ＞１４００｝．解（１）E （Y ）＝E ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝２E （X １）－E （X ２）＋３E （X ３）－１２E （X ４）＝２×１－２＋３×３－１２×４＝７．因X １，X ２，X ３，X ４相互独立，故有D （Y ）＝D ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝４D （X １）＋D （X ２）＋９D （X ３）＋１４D （X ４）＝４×４＋３＋９×２＋１４×１＝３７畅２５．（２）因X，Y相互独立，且X～N（７２０，３０２），Y～N（６４０，２５２），故Z１＝２X＋Y，Z２＝X－Y均服从正态分布，且E（Z１）＝E（２X＋Y）＝２E（X）＋E（Y）＝２×７２０＋６４０＝２０８０，D（Z１）＝D（２X＋Y）＝４D（X）＋D（Y）＝４×３０２＋２５２＝４２２５，E（Z２）＝E（X－Y）＝E（X）－E（Y）＝７２０－６４０＝８０，D（Z２）＝D（X－Y）＝D（X）＋D（Y）＝３０２＋２５２＝１５２５，故有Z１～N（２０８０，４２２５），　Z２～N（８０，１５２５）．P｛X＞Y｝＝P｛X－Y＞０｝＝P｛Z２＞０｝＝１－P｛Z２≤０｝＝１－Φ０－８０１５２５＝Φ（２畅０４８６）＝０畅９７９８．又X＋Y～N（E（X）＋E（Y），D（X）＋D（Y）），即X＋Y～N（１３６０，１５２５）．故P｛X＋Y＞１４００｝＝１－P｛X＋Y≤１４００｝＝１－Φ１４００－１３６０１５２５＝１－Φ（１畅０２）＝１－０畅８４６１＝０畅１５３９．23．五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X１，X２，X３，X４，X５．已知X１～N（２００，２２５），X２～N（２４０，２４０），X３～N（１８０，２２５），X４～N（２６０，２６５），X５～N（３２０，２７０），X１，X２，X３，X４，X５相互独立．（１）求五家商店两周的总销售量的均值和方差．（２）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于０．９９，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解以Y记五家商店该种产品的总销售量，即Y＝X１＋X２＋X３＋X４＋X５．（１）按题设X i（i＝１，２，３，４，５）相互独立且均服从正态分布，即有E（Y）＝钞５i＝１E（X i）＝２００＋２４０＋１８０＋２６０＋３２０＝１２００，D （Y ）＝钞５i ＝１D （Y i ）＝２２５＋２４０＋２２５＋２６５＋２７０＝１２２５．（２）设仓库应至少储存n kg 该产品，才能使该产品不脱销的概率大于０畅９９，按题意，n 应满足条件P ｛Y ≤n ｝＞０畅９９．由于Y ～N （１２００，３５２），故有P ｛Y ≤n ｝＝PY －１２００３５≤n －１２００３５＝Φn －１２００３５，因而上述不等式即为Φn －１２００３５＞０畅９９＝Φ（２畅３３），从而n －１２００３５＞２畅３３，故应有n ＞１２００＋２畅３３×３５＝１２８１畅５５，即需取n ＝１２８２kg 畅24．卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从N （５０，２．５２），问至多装多少袋水泥使总重量超过２０００的概率不大于０畅０５．解设至多能装运n 袋水泥，各袋水泥的重量分别为X １，X ２，…，X n ，则X i ～N （５０，２畅５２），　i ＝１，２，…，n ，故卡车所装运水泥的总重量为W ＝X １＋X ２＋…＋X n ．按题意n 需满足P ｛W ＞２０００｝≤０畅０５．对于像这样的实际问题，认为X １，X ２，…，X n 相互独立是适宜的，此时E （W ）＝５０n ，　D （W ）＝２畅５２n ，于是W ～N （５０n ，２畅５２n ）．从而P ｛W ＞２０００｝＝１－Φ２０００－５０n２畅５n，即n 应满足Φ２０００－５０n２畅５n ≥０畅９５＝Φ（１畅６４５）．故应有２０００－５０n２畅５n≥１畅６４５，解得n ≤６畅２８３６，从而n ≤３９畅４８３．故n 至多取３９，即该卡车至多能装运３９袋水泥，方能使超过２０００kg 的概率不大于０畅０５．（在这里我们指出，若设W ＝nX ，其中X ～N （５０，２畅５２）而去求出n ≈３７，那就犯错误了，为什么？）25．设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布．（１）求E （XY ），E （X ／Y ），E ［ln （XY ）］，E ［|Y －X |］．（２）以X ，Y 为边长作一长方形，以A ，C 分别表示长方形的面积和周长，求A 和C 的相关系数．解（１）X ，Y 的概率密度都是f （x ）＝１，　０＜x ＜１，０，　其他．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）＝１２×１２＝１４．E X Y不存在（因∫１０∫１０xyd x d y发散）．题４畅２５图E ［ln （XY ）］＝∫１０∫１０（ln x ＋ln y ）d x d y ＝２∫１０∫１０（ln x ）d x d y＝－２．E （|Y －X |）　＝簇D|y －x |d x d y （如题４畅２５图D ＝D １∪D ２）　＝２簇D １（y －x ）d x d y ＝２∫１０∫１x（y －x ）d y d x ＝１３．（２）A ＝XY ，C ＝２（X ＋Y ），Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）．AC ＝２X ２Y ＋２XY ２，E （X ２）＝E （Y ２）＝D （X ）＋（E （X ））２＝１１２＋１４＝１３．E （AC ）＝２E （X ２Y ）＋２E （XY ２）＝２E （X ２）E （Y ）＋２E （X ）E （Y ２）＝２×１３×１２＋２×１２×１３＝２３．Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）＝２３－［E （X ）E （Y ）×２（E （X ）＋E （Y ））］＝２３－１２×１２×２１２＋１２＝１６．D （A ）＝E （X ２Y ２）－［E （X ）E （Y ）］２＝E （X ２）E （Y ２）－（１２×１２）２＝（１３）２－（１４）２＝７１４４．D （C ）＝D （２X ＋２Y ）＝D （２X ）＋D （２Y ）＝４×１１２＋４×１１２＝２３．故 ρAC ＝Cov （A ，C ）D （A ）D （C ）＝１６／７１４４×２３＝６７．26．（１）设随机变量X １，X ２，X ３相互独立，且有X １～b ４，１２，X ２～b ６，１３，X ３～b ６，１３，求P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝，E （X １X ２X ３），E （X １－X ２），E （X １－２X ２）．（２）设X ，Y 是随机变量，且有E （X ）＝３，E （Y ）＝１，D （X ）＝４，D （Y ）＝９，令Z ＝５X －Y ＋１５，分别在下列３种情况下求E （Z ）和D （Z ）．（i ）X ，Y 相互独立，（ii ）X ，Y 不相关，（iii ）X 与Y 的相关系数为０．２５．解（１）P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝P ｛X ２＝２｝P ｛X ３＝５｝．因P ｛X １＝２｝＝４２１２２１－１２４－２＝４２１２４，P ｛X ２＝２｝＝６２１３２１－１３６－２＝６２１３２２３４，P ｛X ３＝５｝＝６５１３５１－１３６－５＝６５１３５２３，故 P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝·P ｛X ２＝２｝·P ｛X ３＝５｝＝０．００２０３E （X １X ２X ３）＝E （X １）E （X ２）E （X ３）＝（４×１２）（６×１３）（６×１３）＝８．E （X １－X ２）＝E （X １）－E （X ２）＝２－２＝０．E （X １－２X ２）＝E （X １）－２E （X ２）＝－２．（２）对于E （Z ），在（i ），（ii ），（iii ）三种情况下都有E （Z ）＝E （５X －Y ＋１５）＝５E （X ）－E （Y ）＋１５＝１５－１＋１５＝２９．对于D （Z ），（i ）X ，Y 独立，则D （５X －Y ＋１５）＝D （５X －Y ）＝D （５X ）＋D （－Y ）＝２５D （X ）＋D （Y ）＝２５×４＋９＝１０９．（ii）X，Y不相关，即Cov（X，Y）＝０，D（Z）＝１０９．（iii）ρX Y＝０畅２５，则Cov（X，Y）＝D（X）D（Y）ρX Y＝２×３×０畅２５＝１畅５，D（５X－Y＋１５）＝D（５X－Y）＝２５D（X）＋D（Y）－１０Cov（X，Y）＝１００＋９－１０×１畅５＝９４畅27．下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的．（１）X～U（０，１），Y＝X２．（２）X～U（－１，１），Y＝X２．（３）X＝cos V，Y＝sin V，V～U（０，２π）．若（X，Y）的概率密度为f（x，y），（４）f（x，y）＝x＋y　０＜x＜１，０＜y＜１，０，其他．（５）f（x，y）＝２y，　０＜x＜１，０＜y＜１，０，其他．解　（１）E（X）＝１２，E（Y）＝E（X２）＝∫１０x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１０x３d x＝１４．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝１４－１２×１３≠０．故X，Y不相互独立，也不是不相关的．（２）E（X）＝０，E（Y）＝E（X２）＝∫１－１１２x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１－１１２x３d x＝０．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０－０＝０．故X，Y不相互独立，但不相关．（３）E（X）＝∫２π０１２πcos v d v＝０，E（Y）＝∫２π０１２πsin v d v＝０，E（XY）＝E（sin V cos V）＝１２E（sin２V）＝１２∫２π０１２πsin２v d v＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（Z）E（Y）＝０－０×０＝０，故X，Y不相互独立，但不相关．（４）f（x，y）＝x＋y，　０＜x＜１，　０＜y＜１，０，其他．f X（x）＝∫１０（x＋y）d y＝x＋１２，　０＜x＜１，０，其他，f Y（y）＝y＋１２，　０＜y＜１，０，其他．f（x，y）与f X（x）f Y（y）在平面上不几乎处处相等，X，Y不相互独立．E（X）＝∫１０x（x＋１２）d x＝７１２，　E（Y）＝７１２，E（XY）＝∫１０∫１０x y（x＋y）d x d y＝１３．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）≠０．故X，Y不是不相关的，因而一定也是不相互独立的．（５）f（x，y）＝２y，　０＜x＜１，　０＜y＜１，０，其他，f X（x）＝１，　０＜x＜１，０，　其他， f Y（y）＝２y，　０＜y＜１，０，其他．f（x，y）＝f X（x）f Y（y）对于任意x，y成立．故X，Y相互独立，因此X，Y也是不相关的．28．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝１π，x２＋y２≤１，０，其他．试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证　E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１xπd x d y＝１π∫１－１d y∫１－y２－１－y２x d x＝０．同样　E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１yπd x d y＝０，而　E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１x yπd x d y＝１π∫１－１y d y∫１－y２－１－y２x d x＝０，从而E（XY）＝E（X）E（Y），这表明X，Y是不相关的．又f X（x）＝∫∞－∞f（x，y）d y＝∫１－x ２－１－x２１πd y＝２π１－x２，－１＜x＜１，０，其他．同样f Y（y）＝２π１－y２，－１＜y＜１，０，其他．显然f X（x）f Y（y）≠f（x，y），故X，Y不是相互独立的．29．设随机变量（X，Y）的分布律为XY －１０１－１１８１８１８０１８０１８１１８１８１８验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证　先求出边缘分布律如下：X－１０１p k３８２８３８Y－１０１p k３８２８３８易见P｛X＝０，Y＝０｝＝０≠P｛X＝０｝P｛Y＝０｝，故X，Y不是相互独立的．又知X，Y具有相同的分布律，且有E（X）＝E（Y）＝（－１）×３８＋１×３８＝０．又　E（XY）＝钞３j＝１钞３i＝１x i y j p i j＝（－１）（－１）×１８＋（－１）×１×１８＋１×（－１）×１８＋１×１×１８＝０，即有E（XY）＝E（X）E（Y），故X，Y是不相关的．30．设A 和B 是试验E 的两个事件，且P （A ）＞０，P （B ）＞０，并定义随机变量X ，Y 如下：X ＝１，　若A 发生，０，　若A不发生，　Y ＝１，　若B 发生，０，　若B不发生．证明若ρX Y ＝０，则X 和Y 必定相互独立．解X ，Y 的分布律分别为X ０１p kP （A —）P （A ）Y ０１p kP （B —）P （B ）由X ，Y 的定义，XY 只能取０，１两个值，且P ｛XY ＝１｝＝P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ），于是得XY 的分布律为XY ０１p k１－P （AB ）P （AB ）即得　E （X ）＝P （A ），E （Y ）＝P （B ），E （XY ）＝P （AB ）．由假设ρX Y ＝０，得E （XY ）＝E （X ）E （Y ），即P （AB ）＝P （A ）P （B ），故知A 与B 相互独立．从而知A 与B —、A —与B 、A —与B —也相互独立，于是　P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝１｝，　P ｛X ＝１，Y ＝０｝＝P （AB —）＝P （A ）P （B —）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝０｝，　P ｛X ＝０，Y ＝１｝＝P （A —B ）＝P （A —）P （B ）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝１｝，　P ｛X ＝０，Y ＝０｝＝P （A —B —）＝P （A —）P （B —）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝０｝，故X ，Y 相互独立．题４畅３１图31．设随机变量（X ，Y ）具有概率密度f （x ，y ）＝１，y ＜x ，０＜x ＜１，０，其他．求E （X ），E （Y ），Cov （X ，Y ）．解注意到f （x ，y ）只在区域G ：｛（x ，y ）　y ＜x ，０＜x ＜１｝（题４畅３１图）上不等于零，故有E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝簇Gx d x d y＝∫１０d x ∫x－xx d y ＝∫１０２x ２d x ＝２３，E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇G y d x d y＝∫１０d x∫x－x y d y＝０，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇G x y d x d y＝∫１０d x∫x－x x y d y＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０．32．设随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）＝１８（x＋y），０≤x≤２，０≤y≤２，０，其他．求E（X），E（Y），Cov（X，Y），ρX Y，D（X＋Y）．解注意到f（x，y）只在区域G：｛（x，y）　０＜x＜２，０＜y＜２｝上不等于零，故有E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x８（x＋y）d y＝∫２０x８（x y＋１２y２）２０d x＝∫２０x４（x＋１）d x＝７６，E（X２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x２８（x＋y）d y＝１８∫２０x２（x y＋１２y２）２０d x＝１４∫２０（x３＋x２）d x＝５３，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x y８（x＋y）d y＝１４∫２０（x２＋４x３）d x＝４３．由x，y在f（x，y）的表达式中的对称性（即在表达式f（x，y）中将x和y互换，表达式不变），得知E（Y）＝E（X）＝７６，　E（Y２）＝E（X２）＝５３，且有D（Y）＝D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝５３－（７６）２＝１１３６．而　Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝４３－４９３６＝－１３６，ρX Y＝Cov（X，Y）D（X）D（Y）＝－１１１，D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋２Cov（X，Y）＝５９．33．设随机变量X～N（μ，σ２），Y～N（μ，σ２），且设X，Y相互独立，试求Z１＝αX＋βY和Z２＝αX－βY的相关系数（其中α，β是不为零的常数）．解法（i）　Cov（Z１，Z２）＝Cov（αX＋βY，αX－βY）＝α２Cov（X，X）－αβCov（X，Y）＋αβCov（Y，X）－β２Cov（Y，Y）＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２，而　D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＋２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）－２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．解法（ii）　Cov（Z１，Z２）＝E（Z１Z２）－E（Z１）E（Z２）＝E（α２X２－β２Y２）－［αE（X）＋βE（Y）］［αE（X）－βE（Y）］＝α２E（X２）－β２E（Y２）－｛α２［E（X）］２－β２［E（Y）］２｝＝α２｛E（X２）－［E（X）］２｝－β２｛E（Y２）－［E（Y）］２｝＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２．　D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２，　D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．34．（１）设随机变量W＝（aX＋３Y）２，E（X）＝E（Y）＝０，D（X）＝４，D（Y）＝１６，ρXY＝－０畅５．求常数a使E（W）为最小，并求E（W）的最小值．（２）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且有D（X）＝σ２X，D（Y）＝σ２Y．证明当a２＝σ２Xσ２Y时，随机变量W＝X－aY与V＝X＋aY相互独立．解（１）E（W）＝E［（aX＋３Y）２］＝a２E（X２）＋６aE（XY）＋９E（Y２），E（X２）＝D（X）＋［E（X）］２＝４，E（Y２）＝D（Y）＋［E（Y）］２＝１６，E（XY）＝Cov（X，Y）＋E（X）E（Y）＝ρX YD（X）D（Y）＝－４，故E（W）＝４a２－２４a＋１４４＝４（a－３）２＋１０８，故当a＝３时E（W）取最小值，min｛E（W）｝＝１０８．（２）因为（X，Y）是二维正态变量，而W与V分别是X，Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质３°知（W，V）也是二维正态变量．现在a２＝σ２Xσ２Y，故知有Cov（W，V）＝Cov（X－aY，X＋aY）＝Cov（X，X）－a２Cov（Y，Y）＝σ２X－a２σ２Y＝０，即知W与V不相关．又因（W，V）是二维正态变量，故知W与V是相互独立的．35．设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X～N（０，３），Y～N（０，４），相关系数ρX Y＝－１４，试写出X和Y的联合概率密度．解因μ１＝μ２＝０，σ１＝３，σ２＝２，ρ＝－１４，故X和Y的联合概率密度为f（x，y）＝１４３π１－１１６exp－１２（１－１１６）x２３＋x y４３＋y２４＝１３５πexp－８１５x２３＋x y４３＋y２４．36．已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是７３００，均方差是７００．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在５２００～９４００之间的概率p．解以X表示每毫升含白细胞数，由题设E（X）＝μ＝７３００，　D（X）＝σ＝７００而概率p＝P｛５２００＜X＜９４００｝＝P｛－２１００＜X－７３００＜２１００｝＝P｛X－７３００＜２１００｝．在切比雪夫不等式P｛X－μ＜ε｝≥１－σ２ε２中，取ε＝２１００，此时１－σ２ε２＝１－７００２２１００２＝８９，即知p＝P｛X－７３００＜２１００｝≥８９．37．对于两个随机变量V，W，若E（V２），E（W２）存在，证明［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．（A）这一不等式称为柯西施瓦茨（Cauchy‐Sch warz）不等式．证若E（V２）＝０，则P｛V＝０｝＝１（因E（V２）＝D（V）＋（E（V））２＝０，得D（V）＝０且E（V）＝０，由方差性质４°即得P｛V＝０｝＝１）．由此P｛V W＝０｝＝１，因此，E（V W）＝０，此时不等式（A）得证．同样对于E（W２）＝０时，不等式（A）也成立．以下设E（V２）＞０，E（W２）＞０．考虑实变量t的函数：q（t）＝E［（V＋tW）２］＝E（V２）＋２tE（V W）＋t２E（W２）．因为对于任意t，E［（V＋tW）２］≥０，E（W２）＞０，故二次三项式q（t）的判别式：Δ＝４［E（V W）］２－４E（V２）E（W２）≤０，即有［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．38．中位数．对于任意随机变量X，满足以下两式P｛X≤x｝≥１２， P｛X≥x｝≤１２的x称为X的中位数，记为x１２或M．它是反映集中位置的一个数字特征．中位数总是存在，但可以不唯一．画出X的分布函数F（x）的图．如果F（x）连续，那么x１２是方程F（x）＝１２的解（如题４畅３８图（１）），如果F（x）有跳跃点（见题４畅３８图（２）），用垂直于横轴的线段联结后，得一连续曲线，它与直线y＝１２的交点的横坐标即为x１２．由于交点可以不唯一，故可以有许多x１２．题４畅３８图（１）设X的概率密度为f（x）＝２e－２x， x≥０，０，其他．试求X的中位数M．（２）设X服从柯西分布，其概率密度为f（x）＝bπ［（x－a）２＋b２］，　b＞０．试求X的中位数M．解　设F（x）为分布函数．（１）M应满足F（M）＝１２．即１２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M０２e－２x d x＝－e－２x M０＝１－e－２M，故 e－２M＝１２， e２M＝２，得 M＝１２ln２．此即为所求的中位数．（２）由１２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M－∞bπ［（x－a）２＋b２］d x＝１πarctan x－a b M－∞＝１πarctan M－a b＋１２，得　M－a＝０，即知中位数M＝a．另外，易知X的概率密度函数f（x）的图形关于直线x＝a是对称的．即知P｛X≤a｝＝∫a－∞f（x）d x＝１２．故中位数为M＝a．。

概率论与数理统计第四版刘长安第四章答案

4.14.1.1()221,01500,(1500)1(3000),15003000,(1500)0,x x p x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪⎪⎩其他. 1500300022201500150030002220150031500323000015002()()11(3000)(1500)(1500)1(3000)(1500)111|(1500)|(1500)331500E X xp x dxx dx x x dx x dx x x dx x x x +∞-∞∴==+--⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰4.1.23231,,1,2(,)0,.y x x x y x p x y ⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其他1132321313211122()()(,)(,)3()232312ln 313ln ()2311ln |(l 2x x Y Dx x E Y yp y dyy p x y dx dy yp x y dxdyy dxdy D x y y dy dx x y dy dx x y x dx xd x x x d x x +∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞+∞+∞∴=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如下图所示131n )31324x dx x +∞+∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎰⎰132431242162151111()(,)1323112311()4311()431()|45343()455x Dx E p x y dxdy XYxy dxdy xy x y dy dx x y x dxx x dx x x x x +∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞--+∞=∂=⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=--=--=--+=-⨯-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.1.3()10.4+20.230.42E X ∴=⨯⨯+⨯= ()10.300.410.30E Y =-⨯+⨯+⨯=（2）由（X,Y ）的联合分布列得YZ=的分布列为 ()10.1()0.110.10.10.122315E Z ∴=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=-（3）由（X,Y ）的联合分布列得2()Z X Y =-的分布列为()00.110.240.390.45E Z ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=4.1.421200140()()(,)(,)12()=43445X DxE X xp x dxx p x y dy dx xp x y dxdyxy dxdy D x y dy dxx dx +∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如下图所示31300140()(,)12()34335DxE Y yp x y dxdyy dxdy D y dy dxx dx +∞+∞-∞-∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示31300150()(,)12()34132DxE XY xyp x y dxdyxy dxdy D x y dy dxx dx +∞+∞-∞-∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示2222222224112240000115500()()(,)()12()12124312124522163515DDDx xE X Y x y p x y dxdyx y y dxdy D x y dxdy y dxdyx y dy dx y dy dxx dx x dx +∞+∞-∞-∞+=+=+=+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示4.1.510101201323()1500{1500}2000{2000}2500{2500}3000{3000}1500{1}2000{12}2500{23}3000{3}11150020001010112500300010101500(x xx xE Y P Y P Y P Y P Y P X P X P X P X e dx e dxe dx e dx--+∞--=⋅=+⋅=+⋅=+⋅==⋅≤+⋅<≤+⋅<≤+⋅>=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰3311111010551010311105101)2000()2500()30001500500()ee e eeeeee----------+⋅-+⋅-+⋅=+++4.1.6（1） 11202022002020()()2()|11|22X x x x x x x E X xp x dx xe dx xd e xe e dx e dxe +∞-∞+∞-+∞-+∞-+∞-+∞--+∞===-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦==-=⎰⎰⎰⎰⎰224040440040()()4()|14X x x x x x E X xp x dx xe dx xd e xe e dx e dx +∞-∞+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-===-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰1212113()()()244E X X E X E X ∴+=+=+= 22222402402442004040()()4()|()2142111248X x x x x x xE X x p x dxx e dxx d e x e e d x xe dxxe dx +∞-∞+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-===-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦===⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221212(23)2()3()11523288E X X E X E X ∴-=-=⨯-⨯=(2) 1X 与2X 独立1212111()()()248E X X E X E X ∴==⨯=4.1.7（1）X 的所有可能取值为1,2,3,,.n设i A 表示事件“第i 次试开时打开了锁”（1,2,3,,i n = ）则1121211231213121{1}()111{2}()()(|)1{3}()()(|)(|)1211121{}P X P A nn P X P A A P A P A A n n nP X P A A A P A P A A P A A A n n n n n n P X n n===-===⋅=⋅=-===⋅⋅--=⋅⋅=--==1111()1231(123)1(1)122E X n n n n n n nn n n n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅=++++++=⋅= (2)由题意知X 取1到n 每个数字的机会是均等的，由数学期望的含义知，X 取值的平均位量为12n +，即1()2n E X +=. 4.1.8设X 表示一周内机器发生故障的次数，则~(5,0.2)X B . 设Y 表示获取的利润，由题意知：0=101=52=03=-2X Y X Y X Y X Y ===≥时，时，时，时，514332445555()10{10}5{5}0{0}-2{-2}=10{0}5{1}(2){3}10(0.8)50.2(0.8)(2)(0.20.80.20.80.2)5.20896E Y P Y P Y P Y P Y P X P X P X C C C ∴=⋅=+⋅=+⋅=+⋅=⋅=+⋅=+-⋅≥=⋅+⋅⋅⋅+-⋅++≈（）4.24.2.1~(,)() 2.4()(1) 1.44X B n p E X np D X np p ∴===-= 以上两式联立解得6,0.4n p ==4.2.2222222222222222202200202202()()()|22x x x x x x t t t t E X xp x dx xx e dx xd exe e dx edxe dtdt dt σσσσσσσ+∞-∞-+∞-+∞--+∞+∞-+∞=+∞-+∞-+∞--∞==⋅=-⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令又222222222222222202222002202220()()()|()()2|2x x x x x x E X x p x dx xx e dxx d ex e e d x ed x eσσσσσσσσσ+∞-∞-+∞-+∞--+∞+∞-+∞-+∞==⋅=-⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦==-=⎰⎰⎰⎰⎰222224()()[()]2)2D XE X E X πσσ-∴=-=-=4.2.31111()(1)(1)k k k k E X k p p p k p ∞∞--===⋅-=-∑∑设111()k k S x kx∞-==∑，则'11()()k k S x x∞==∑当1x <时，11k k x x x∞==-∑ ∴当1x <时，'121()()1(1)x S x x x ==-- 01011p p <<∴<-<∴令1x P =-则11211(1)(1)k k S p k p p∞-=-=-=∑ 12221211111()(1)()(1)(1)k k k k E X p S p p p pE X k p p p k p ∞∞--==∴=⋅-=⋅==-=-∑∑又设21'211()()k k k k S x kxkx ∞∞-====∑∑设13111()()kk k k S x kxx kx xS x ∞∞-=====∑∑又12()(1)xS x x =-（当1x <时） []''23231()()(1)(1)x xS x S x x x ⎡⎤+∴===⎢⎥--⎣⎦令1x p =-则232(1)p S p p--=()2222(1)pE X p S p p -∴=⋅-=[]22222211()()()p pD XE X E X p p p--∴=-=-= 4.2.4~(0,2)X U 1()1,()3E X D X ∴==而2(10)10A X X X X =-=-[]222()(10)10()()10()()()1261018.6733E A E X X E X E X E X D X E X ∴=-=-=--=--=≈[]()22222222202432202()()()26(10)()3126(10)()2312620100()23164002640()53321.42D AE A E A E X X x x dx x x x dx =-⎡⎤=--⎣⎦=-⋅-=-+-=-+-≈⎰⎰ 4.2.5（1）1234,,,X X X X 相互独立，12341232Y X X X X =-+-123412341()(23)212()()3()()2121233427E Y E X X X X E X E X E X E X ∴=-+-=-+-=⨯-+⨯-⨯= 123412341()(23)214()()9()()414(51)(52)9(53)(54)437.25D Y D X X X X D X D X D X D X =-+-=+++=⨯-+-+⨯-+⨯-= (2) 2~(720,30)X N ，2~(640,25)Y N22()720,()30,()640,()25E X D X E Y D Y ∴====又122,Z X Y Z X Y =+=-∴12,Z Z 也服从正态分布且1()(2)2()()2080E Z E X Y E X E Y =+=+=2()()()()80E Z E X Y E X E Y =-=-=21()(2)4()()65D Z D X Y D X D Y =+=+= 2()()()()1525D Z D X Y D X D Y =-=+=212~(2080,65),~(80,1525)Z N Z N ∴222{}{0}{0}1{0}1(0)10.9798Z P X Y P X Y P Z P Z F >=->=>=-≤=-=-Φ=Φ≈令3Z X Y =+则3()()()()7206401360E Z E X Y E X E Y =+=+=+=223()()()()30251525D Z D X Y D X D Y =+=+=+= 3~(1360,1525)Z N ∴333{1400}{1400}1{1400}1(1400)110.1539Z P X Y P Z P Z F ∴+>=>=-≤=-=-Φ=-Φ≈4.2.6(),X Y 的联合密度函数2,(,),(,)0,x y D p x y ∈⎧=⎨⎩其他.其中D 如下图所示.()()()()()222222()22()2()4D D D D D X Y E X Y E X Y x y dxdy x y dxdy D x y dxdy x y dxdy ⎡⎤+=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⋅-+⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 其中区域如上图所示又()()()222112201123022112(1)331112DD x x y dxdy x xy y dxdy x xy y dy dxx x dx -+=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()1101121101201()|21()223x Dx x y dxdy x y dy dx xy y dx x x dx --⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰211211161()24()1236918D X Y ∴+=⋅-⋅=-= 4.2.7（1）由题意知：1234512345()200,()240,()180,()260,()320;()225,()240,()225,()265,()270E X E X E X E X E X D X D X D X D X D X ==========5511()()1200i i i i E X E X ==∴==∑∑又125,,,X X X 相互独立5511()()1225i i i i D X D X ==∴==∑∑.（2）设至少储存x 千克产品. 由（1）知51~(1200,1225)ii XN =∑511200{}()0.9935i i x P X x =-∴<=Φ=Φ>∑12002.3335x -∴> 1281.55x ∴>，即1282x ≥∴商店的仓库应至少储存1282千克该产品.4.34.3.1由(),X Y 的分布列知X,Y ,XY 的分布列分别为()0,()0,()0E X E Y E XY ∴===(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-= 即X 和Y 不相关.又1{1,1}8P X Y =-=-=，而9{1}{1}64P X P Y =-⋅=-= {1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ∴=-=-≠=-⋅=-∴X 和Y 不是相互独立的.4.3.2由题意知X,Y 的分布列分别为()()E X P A ∴=,()()E Y P B =又即(){1}{1,1}()E XY P XY P X Y P AB ======、0,(,)0XY Cov X Y ρ==即 ()()()()()E XY E X E Y P A P B ==()()()P AB P A P B ∴=∴A,B 独立.,,A B A B A B ∴与与与也独立.()()(){11}{1}{1}()()(){10}{1}{0}()()(){01}{0}{1}()()(){00}{0}{0}P AB P A P B P X Y P X P Y P AB P A P B P X Y P X P Y P AB P A P B P X Y P X P Y P AB P A P B P X Y P X P Y ∴=====⋅======⋅======⋅======⋅=即，即，即，即，∴X,Y 独立.4.3.322002220()(,)()()1()81(22)81()476DE X xp x y dxdyx x y dxdy D x x y dy dx x x dx x x dx +∞+∞-∞-∞==+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示同理7()6E Y =又22200220()(,)()()1()814()4343DE XY xyp x y dxdyxy x y dxdy D x xy y dy dx x x dx +∞+∞-∞-∞==+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示2471(,)()()()()3636Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=-=- 而222222002202320()(,)()()1()81(22)81()453DE X x p x y dxdyx x y dxdy D x x y dy dxx x dx x x dx +∞+∞-∞-∞==+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中区域如上图所示同理25()3E Y =[][]2222225711()()()()36365711()()()()3636D XE X E X D Y E Y E Y ∴=-=-==-=-=1111XY ρ-∴===-()()()2cov(,)111112()36363659D X Y D X D Y X Y +=++=++⋅-= 4.3.4222~(,),~(,)()()X N Y N D X D Y μσμσσ∴==[][][]{}[]{}12121222222222222222222222222(,)()()()()()()()()()()()()()()()()()Cov Z Z E Z Z E Z E Z E X Y E X Y E X Y E X E Y E X E Y E XE X E Y E Y D X D Y αβαβαβαβαβαβαβαβσ∴=-=--+⋅-=--+=---=-=-X,Y 独立 ∴,X Y αβ也独立222221222222()()()()()()()()()()D Z D X Y D X D Y D Z D X Y D X D Y αβαβαβσαβαβαβσ∴=+=+=+=-=+=+122222222Z Z αβραβ-∴===+ 4.3.5 (1)[]22()0,()4()()()4E X D X E X D X E X ==∴=+=同理：由()0,()16E Y D Y ==知2()16E Y = 又0.5XY ρ=-()cov(,)()()cov(,)(0.5)244XY E XY X Y E X E Y X Y ρ∴=+===-⋅⋅=-2222222222()[(3)](69)()6()9()4241444(636)4(3)108E W E aX Y E a X aXY Y a E X aE XY E Y a a a a a ∴=+=++=++=-+=-+=-+∴3a =时，()E W 最小，此时()E W =108.（2）证: (,)X Y 服从二维正态分布,X Y ∴均服从正态分布又,W X aY V X aY =-=+,W V ∴也服从正态分布∴当0WV ρ=时，,W V 独立又WV ρ=∴当(,)0Cov W V =时，,W V 独立而[][]2222222222222(,)()()()()()()()()()()()()X YCov W V E WV E W E V E X a Y E X aY E X aY E X a E Y E X a E Y D X a D Y a σσ=-=---⋅+=--+=-=- ∴当2220XYa σσ-=即222XYa σσ=时，,W V 独立.。

概率论与数理统计课后答案第4章

概率论与数理统计课后答案第第4章大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？1 1 卄亠(1){D(x n)}; (2){D(x )}；(3){D(x 0},其中n =1,2;n n解：(1) (2)不是；(3)是。

4.2设分布函数F n(x)如下定义：‘0x 兰-nl /、x + nF n (x)=」---- 一n c x 兰n2n1 x > n问F(x) =lim F n(x)是分布函数吗？n_)pC解：不是。

4.3设分布函数列{ F n(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{F n(x)}在(」：，：：)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的；.0,取M充分大，使有1 —F(x) ：：；, —x _ M; F(x) ：：；,—x^ -M对上述取定的M，因为F(x)在［-M,M］上一致连续，故可取它的k分点：捲- -M :: X2 ：…X k4 ：：X k = M ，使有F(X j .J - F(xJ ：：；,1 一i ：：k ，再令x° - - ：：, X k 1 =：:，则有F(X i J —FW) ：：：；,0 G ：：k 1(1)这时存在N，使得当n • N时有| F n(X i) —F(X i)|：：；,0 叮牛 1(2)成立，对任意的X •(-：：,：：)，必存在某个i(0 _i 一k)，使得x・(X i,X i 1)，由(2) 知当n •N时有F n (X)— F n (X i i ) ：：： F(X j .J ；F n (X)_ F n (X i ) . F(X i )-；(4) 由( 1), (3), (4)可得F n (x) -F(x)：：： F(X i 1)-F(x) , F(X i i )-F(X i )；：：：2；,F n (x) - F (x) F (X i ) - F (x) - ； _ F (X i ) - F (X i .1)- ； -2 ；,即有F n （x ）-F （x ）名成立，结论得证4.5设随机变量序列「鳥同时依概率收敛于随机变量 •与，证明这时必有P （二）二1。

概率论与数理统计第四版第四章

概率论与数理统计第四版第四章《概率论与数理统计（第四版）》是2008年高等教育出版社出版的图书，作者是盛骤、谢式千、潘承毅。

《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在2001年出版的《概率论与数理统计》(第三版)的基础上增订而成。

《概率论与数理统计》可作为高等学校工科、理科(非数学专业)各专业的教材和研究生入学考试的参考书,也可供工程技术人员、科技工作者参考。

第四章：通过数学特征可以快速把握和理解随机变量，而不像看到复杂的分布函数那样一脸茫然。

一、数学期望E(x)数学期望表示随机变量取值的集中程度，是类似平均值的一个量，它是唯一的，因为对一个随机试验，当样本空间确定后，随机事件的概率也确定了，由概率的唯一性可得到期望的唯一性。

但是你做一系列试验，得到某随机变量的平均值可能与理论上的E(X)不同，为什么？因为你做的具体试验是用频率来代替的概率，是用频率加权平均值来代替的概率加权平均。

所以我们在实际中得到的平均值都是统计意义上的均值。

数学期望在实际中的应用非常多，它可以进行投资决策，用期望来判断哪个方案的获利期望大；它可以用来进行分组优化，比如可以优化抽检方案，判断哪种方案所需资源最少。

总之这些应用都要计算理论上的平均值，用数据来支撑我们的决策，而不是一时的赌博！二、方差D(X)方差代表着随机变量取值的离散程度，当两个随机变量的数学期望相同时，再进一步的对比就要使用方差了，比如血压的比较，投资方案的选取，是要稳健型，还是要激进型？比如仪器的比较，测量数据稳定了好。

概率论与数理统计教程第四章

应用之例: 正态随机数的产生；误差分析
第四章大数定律与中心极限定理
第22页
例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?
解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
第四章大数定律与中心极限定理
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
第16页
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
第31页
4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理
定理4.4.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ林德贝格中心极限定理
设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
1 n
lim
B n
2
2 n i1
xi Bn (x i )2 pi (x)dx 0
林德贝格条件
则
lim
P
1
n Bn
n
(Xi
i 1
i )
y
(
y)
第8页
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
第四章大数定律与中心极限定理

陈国华等主编概率论与数理统计第四章习题答案

( A) 1；
( B) −1 ；
(C )
( D) ρ XY < 1 ．
）．
4．若随机变量 X 和 Y 的协方差等于 0，则以下结论正确的是（
( A) X 和 Y 相互独立；
(C ) D( X − Y ) = D( X ) − D(Y ) ；
( B) D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ；
则Z = ⎨
⎧1000 X + 500(Y − X ), X ≤ Y 1 ， f ( x) = f ( y ) = ,10 ≤ X , Y ≤ 20 Y≤X 10 ⎩ 1000Y ,
E (Z ) =
20
10≤ x , y ≤ 20
20
∫∫
Z
20 x 20 y 1 dxdy = ∫ ∫ 10 ydydx + ∫ ∫ 5( x + y ) dydy 0 0 0 0 100
答案： fY ( y ) =
试求 E ( X | Y = y )
∫
1
0
f ( x, y )dx =
1 f ( x, y ) 2( x + y ) + y (0 < y < 1), f X |Y ( x | y ) = = 2 1+ 2 y fY ( y )
1 0
E ( X | Y = y) = ∫
+∞
的单位数（1 单位等于 1000 千克），它在[200，400]上服从均匀分布，又设每卖出一个单位，而因卖不出去油失效每单位将损失 1000 元，问工厂在每年开工前工厂可获得 3000 元利润，应决定生产多少单位的润滑油，才能使期望利润最大？答案：解：设 X 表示该厂一年内卖出润滑油的单位数，Y 表示利润，且工厂在每年开工前应决定生产 a 单位的润滑油，才能使期望利润最大.则

概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

第四章2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。

每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。

（设诸产品是否是次品是相互独立的。

）解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－0.7361=0.2639.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, 0.2639). P (X =0)=÷÷øöççèæ04×0.26390×0.73614 =0.2936.P (X =1)=÷÷øöççèæ14×0.26391×0.73613=0.4210, P (X =2)= ÷÷øöççèæ24×0.26392×0.73612=0.2264. P (X =3)=÷÷øöççèæ34×0.26393×0.7361=0.0541, P (X =4)= ÷÷øöççèæ44×0.2639×0.2639×0.73610.73610=0.0049.从而从而E (X )=np =4×=4×0.2639=1.0556 0.2639=1.05563.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。

第四章4 第四版概率论与数理统计答案

900 0.1 950 0.3
1000 0.8 1000 0.4
1100 0.1 1050 0.3
14
4、（3分）设一次试验成功的概率为 p，进行100次独立重复试验，当 p = __________ 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 __________ __ 。
15
其它
xf ( x ) dx = ∫
2
0
3( 2 x − x2 ) x⋅ dx = 1 4
⎧ 2 3 ( 2 x − x2 ) ⎪ dx = 1, 0 < x < 2 ⎪ ∫0 x ⋅ 4 E(X ) = ⎨ ⎪ 0 0 ⋅ xdx + +∞ 0 ⋅ xdx = 0, 其它 ∫2 ⎪ ∫−∞ ⎩
7
4.设X～N(μ,σ2), 求E(X2)：用如下两种方法 (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？ 5.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方差都不小于零相矛盾，为什么？ 6. D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)对吗？
X n )服从n维正态分布 + ln X n 服从一维正态分布
X n的任意线性组合l1 X 1 + l2 X 2 +
3. 若( X 1 , X 2 , X j ( j = 1, 2,
X n )服从n维正态分布，设Y1 , Y2 , n)的线性函数，则(Y1 , Y2 ,
Yk 是
Yk )也服从多维正态分布；

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第四章正态分布小结
一、正态分布的相关内容：
定义设连续型随机变量X ~ N , 2 ,
概率密度为 f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
分布函数是 F x
1
x 2
x
e
2 2
dx
2
特别地， 0, 1, X ~ N 0,1，
其概率密度为 x
1
x2
e 2,
1 ( 4.56 1) ( 4.56 1) 0.0402
2
2
8
4、测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X(米)具有
概率密度:
f (x)
1
( x20)2
e 3200
40 2
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。
解显然 X ~ N(20, 40). 在一次测量中误差的绝对值不超过
则Z X Y ~ N x y , x2 y2 .
（即：独立的正态随机变量的和仍服从正态分布）
定理3 设X1, X2,, Xn独立，且Xi ~ N i , i2 ，i 1,2,, n
n
则 ci X i
i 1
~
N
n i 1
ci i
,
n i 1
c 2 i
2 i
4
四、中心极限定理
bY )
a 2 D( X
)
b2
D(Y
)
a
2
2 1
b222
(2) E( Z 2 ) E( XY ) E( X )E(Y ) 1 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 21 21
E(Y 2 ) D(Y ) [E(Y )]2 22 2 2

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