圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线中一类过定点问题的统一性质
线经 过定 点 （ｐ，） ２ Ｏ．
６（ ＋ ） Ⅱ） 一Ⅱ６ ＝ ￡ ＋ ，
证 ２）（ ， 明设（ ， ２） Ⅳ ，则
，
（ ＋０） ｙ—Ｙ） ）一 ２． ’ ６ （ １ （， Ｙ） 一
令厂 ｙ ＝ Ｙ Ｙ ） Ｙ Ｙ） 贝 （ ） （ — （ — ２ ，４
入， 最终将 问题推广到 圆锥 曲线的一般情形． 现将
探 究过 程简 述如 下 ， 与大家 分享 ．
（詈 （ ） 一 ） 詈 ＝ 一
一
原题
， Ｎ是椭 圆 ＋ ＝ （ ｂ ０ 的 ２ １ ＞ ＞ ）
个点 ， Ａ是椭 圆的右顶点 ， Ａ 上Ａ 证 明： 且 Ｍ 直线
ＭＮ经过 一定 点．
・
２ ６・
中学教研 （ 学） 数
圆 锥 曲线 中 一 类 过 定 点 问题 的 统 一 性 质
●金 山 （ 启东中学 江苏启东 ２６０ ） ２２０
笔者 通 过 一 个 椭 圆定 点 问 题 的探 究 ， 层 深 层
Ｙ Ｙ Ｌ ｘ１＋ｍ （ ｘ ｌ２ ｋ ｋ ２＋ｍ ＝
詈： ） ￣ ＿６＝ ）ｏ］ ２２ ２
一
在此题中， 直线 Ａ 和 Ａ Ｎ的斜率乘积为 一 ， １ 直线 Ｍ Ｎ经过一定点． 当过顶点的这 ２ 条弦斜率乘 积为任一定值时 ， 直线 Ｍ Ｎ还经过一定点吗？经过 探究得到以下性质．
性 质 １ 过 椭 圆 ＋Ｙ ＝１ ０＞ｂ＞ ） （ ｏ 的顶 点
删经 （ 叫． 过
（） ２ 若直 线 Ｍ 的斜 率不存 在 ， 其方 程为 Ｎ 设
：ｍ ． 刚
Ｙｌ ２ Ｙ
Ａ ａ０ （ （ ，） 其余情形证明类似） 则 ，
ｋ
Ａ Ｍ
圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)五个统一性质统一证明
圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。
本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。
1 圆锥曲线的统一性质1.1圆锥曲线的统一性质1ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。
（如图1）1.2给出圆锥曲线的统一性质2过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。
（如图2）如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。
（如图3）1.3圆锥曲线的统一性质3若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：1.4圆锥曲线的统一性质4直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。
a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。
（如图4）则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，s△bgn现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）过有心二次曲线的两焦点f1，f2作两条射线（同向）交二次曲线于a，b两点，直线f1b和f2a相交于点p，则pf1+pf2为定值。
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
圆锥曲线的统一定义
变题:已知双曲线 x2 y2 1 的右焦点为F,点A(9,2),
9 16
试在此双曲线上求一点M,使|MA|+
3
|MF|的值
5
最小,并求出这个最小值.(与椭圆题型比较)
例8、椭圆上任意一点与焦点所在的线段叫做这点
的焦半径，设椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上三点P1、 P2、P3，F1、F2为左右焦点，求证：若P1、P2、P3 三点的横坐标成等差数列，则对应三点的焦半径
y
B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
y2 a2
x2 b2
A2
1(a
y
b
0)
F2 B2
B1 O x F1
范围 对称性
-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1
-b ≤x≤b, -a≤y≤a
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 准线方程
A1(-a,0), A2(a,0)
A1(0,-a), A2(0,a)
0)
l1 y
l2
M2 d2 P
.
F1
O
.
F2
x
M1 d1
P′
准线: x a2 c
定义式:
PF1 d1
PF2 d2
e
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a b 0)
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
这点的焦半径.
例6.P(x0,y0)为双曲线
x2 a2
y2 b2
圆锥曲线统一性质(动态图示)
目录一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二圆锥曲线动态结构135例众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究1动点P 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ =u u u u r u u u u r，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线 备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线 备用课件问题探究2已知定点(1,0)A -，定直线1l ：3x =-，动点N 在直线1l 上，过点N 且与1l 垂直的直线2l 上有一动点P ，满足PAPNλ=，请讨论点P 的轨迹类型. 实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究3已知两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足条件8PA PB +=，另一动点Q满足0,()0PA PB QB PB QP PA PB•=•+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4已知两定点(2,0),(2,0)A B -，动点P 满足条件2PA PB -=，动点Q 满足()0PA PBQB PA PB•+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()0PA PB QP PA PBλ++=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆） 备用课件5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质问题探究51．已知动点P在椭圆22143x y+=上，F为椭圆之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF+u u u u r u u u r是否为定值2．已知点P在双曲线22143x y-=上，F为双曲线之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF-u u u u r u u u r是否为定值实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质问题探究6过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质问题探究71．已知动点P在椭圆22143x y+=上，12,F F为椭圆之左右焦点，点G为△12F PF的内心，试求点G的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线22143x y-=上，12,F F为双曲线之左右焦点，圆G是△12F PF的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件 双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C ∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C ∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为(1,3)e =r 的直线l 过点(0,23)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=019．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一问题探究19已知椭圆22184x y +=，过点T(1,0)的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明∣TN ∣=∣TM ∣.实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点 T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二问题探究20已知椭圆22184x y +=，过点(0,1)T 的直线12,l l 分别交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点和3344(,),(,)C x y D x y 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明1324y y y y -=-.实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M 的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过双曲线虚轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）问题探究21已知椭圆22184x y +=，过原点(0,0)O ，点(2,1)T 的直线l 交椭圆于点N ，过点T 的中点弦为AB ，过A ，B 分别作切线12,l l 且交于点P ，求证：2||||||OT OP ON =.实验成果动态课件椭圆中心O 与点00(,)P x y 的连线交椭圆于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动.备用课件双曲线中心O 与点00(,)P x y 的连线交双曲线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动(直线保持平行).备用课件设过点P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||O Q O P O N ∞∞∞=.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线00()y y p x x =+作反向运动(直线保持平行).备用课件22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）问题探究22过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l 过点P 与抛物线交于两点C 、D ，与直线AB 交于点Q ，试探求||PQ PQPC PD +的值是否为定值.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，与椭圆切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，与双曲线切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件 过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）问题探究23已知椭圆22184x y +=，过点T (1,0)的直线1l ，2l 分别交椭圆于两点C 、D ，点Q 在直线l 上，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，试探求点Q 的轨迹.实验成果动态课件过椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然. 备用课件24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）问题探究24过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l ：2x =与抛物线交于点N ，与直线AB 交于点Q ，求证：（1）N 点处的切线与直线AB 平行.（2）AQ QB =u u u r u u u r.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦001Ax x By y +=.备用课件双曲线221Ax By +=中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦001Ax x By y +=. 备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦. 备用课件25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）问题探究25过抛物线2y x =外一点(1,2)Q 作抛物线的中点弦AB （Q 为AB 中点），两条切线PA ，PB 交于点P ，过点P 作直线l ，且l ∥AB ，点G 是直线l 上的动点，过G 作抛物线的两条切线GC 、GD ，求证：直线CD 过定点.实验成果动态课件点T 是与椭圆221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与双曲线221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与抛物线22y px =外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .（PQ 平行对称轴）备用课件26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究26已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分 备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分 备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分 备用课件27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二问题探究27已知双曲线22131x y -=，过(,0)N t 点的直线1l 交双曲线于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分. 备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过抛物线对称轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被对称轴平分 备用课件28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线问题探究28抛物线24y x =，直线l 过点(,0)F t 并交抛物线于M 、N ，若)0(>=λλFN MF ，直线x t =-与x 轴交于点E ，试探究：EN EM EF λ-与的夹角是否为定值.实验成果动态课件过点Q (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，2(,0)a P t三点共线.备用课件过点Q (T ,0)的任一直线交双曲线于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ， 2(,0)a P t三点共线.备用课件过点P (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，P ’(-t ,0)三点共线.备用课件29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质问题探究29过点(2,0)P 作抛物线24x y 的切线P A （斜率不为0），F 为焦点，研究斜率PF PA k k 与的关系.实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等. 备用课件30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质问题探究30过点(1,2)P 作抛物线24y x =的直线P A 、PB ，且斜率0PB PA k k =+. （1）探究直线AB 的斜率是否为定值.（2）试研究三角形P AB 的面积是否有最大值.实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件31．圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质问题探究31已知椭圆22184x y+=的动弦AB的中点为M，试研究斜率AB OMk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值1PA PBK K⋅=-备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=-备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=备用课件32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）问题探究32已知点P为椭圆22184x y+=上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率OPk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值1PO LK K⋅=-备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=-备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=备用课件。
探究圆锥曲线一个有趣的统一性质_王伯龙
我们称定直线 ｌ是点 Ｆ关于圆
锥曲线的极线，点 Ｆ为直线 ｌ关于
圆锥曲线的极点．
如图 ２，由引理，若将点 Ｍ 视
为定点，则定直线 ＦＮ是点 Ｍ关于
图２
椭圆的极线．同理，直线 ＦＭ是点 Ｎ关于椭圆的极线．
槡（ａ２·ｂ２ －ｎ２ａ２ －ｍ２ｂ２）３ ． ａｂ槡ｎ２ａ２ ＋ｍ２ｂ２
证明：当点 Ｆ在 ｙ轴上时，易证结论成立．下证当点 Ｆ不
在 ｙ轴上时的情形
（Ⅰ）设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），则椭圆 Ｔ在点 Ｍ处的切线 ｌ′方程为
ｘａ１２ｘ＋ｙｂ１２ｙ＝１．
①
由定理知，直线 ＰＦ：ｍｂ２ｘ＋ｎａ２ｙ＝ｎ２ａ２ ＋ｍ２ｂ２，点 Ｍ在
进行研究和探索．
１ 性质的初步探究
性质 ２ 已知定点 Ｆ（ｍ，０），
Ａ、Ｂ分别 是 椭 圆 的 左、右 顶 点，直 线 ｌ：ｘ＝ ａ２ 交 ｘ轴于点 Ｑ，过 Ｑ的
ｍ
直线与椭圆交于点 Ｃ、Ｄ，直线 ＡＣ、
ＢＤ交于点 Ｐ，则 ＰＦ⊥ ｘ轴，且 ＰＦ
图１
平分 ∠ＣＦＤ．
为了找到性质的简单证法，我们先看下面的一个引理： 引理［２］ 过定点 Ｆ（ｘ０，ｙ０）的两条动直线 ＡＣ、ＢＤ分别 与圆锥曲线相交于 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ．设 ＡＢ、ＣＤ相交于 Ｍ，ＡＤ、ＢＣ交
系数 的 关 系 得 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２ｍ，ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ２ｎ，ｘ１· ｘ２ ＝ （ｎ２ａｂ２２（＋ｎ２ｍａ２２ｂ＋２）ｍ－２ｂｎ）２２ａ４ｂ２．则线段 ＭＮ的中点坐标为（ｍ，ｎ），
即点 Ｆ（ｍ，ｎ）．
槡 又 ｜ＭＮ ｜＝
圆锥曲线的一个统一性质的探究与引申
ａ
＋ Ｙｏ：， 髦． ｏ Ｄ ａ
ＸＯ
Ｙ ２ ｌ 一ｍ（ １ Ｙ ）一 （ １ ）＋ ｍ ｙ＋ ２ ｎｘ＋２ ２ ｎ Ｘ 一ｍ（ ＋戈 ）＋ｍ １２ ｌ ２ ２
ｌ２ ｍ（ １ ）＋ｍ 一 一 ｘ＋２
ｙ ＝０ ．
） ， ０
４ｒ ｎ 口 ａ ２ 一２ｍａ ｂ
问 线 ＝的 接 中已 题１曲 等＋ １ 内 △ ，
知 Ｐ（ ， ， 线 ， 的倾 斜 角 互 补 ， 证 ： １√ ） 直 朋 求 直 线Ａ Ｂ的斜 率 为定 值．
则直 线 Ｐ 的方程 为 Ｂ Ｙ一 §＝一ｋ 一１ ． √ （ ） 得
【 Ｙ ：ｋ 一 ０ ， Ｙ— ｏ （ ） ｙ — ｐ， ＋ ２ ２，
２ 定理 的引 申
得 （ Ｂ ＋（ ｋ ｙ 一 ｋＢ ０ Ａ＋ ｋ ） ２ Ｂ ｏ ２ ｘ ＋Ｃ＋ ｋ ｘ＋ Ｄ） Ｂ ｏ ２ Ｂ ０ｏ Ｂ ０ Ｄ ０ Ｏ ｏ ｙ 一 ｋ ｘＹ ＋ ｋ 一ｋ ｘ ＋ ｙ ＋Ｆ＝ ．（ ） ０ ２ 已知 ， 为方程 （ ） ２ 。 ２ 的 个根 ， 因此
） ｎ
圆锥 曲线 ， 因此 它 们 具 有许 多统 一 的性 质． 者 通 笔 过对 ２个 问题 的 探究 ， 出几 个 有 趣 的结 论． 文 得 本 对 圆锥 曲线 的研究 是在 标准 方程 下进行 的 ， 因此给 出的性 质也 只 对 圆锥 曲线 的标准 方程适 用 ， 于非 至 标准 方 程下 的圆锥 曲线 还有 待进 一步 研究 ． １ 定理 的发 现
数） ．
直线 Ａ Ｂ平行． 对于双 曲线与抛物线 ， 明过程类 证 似． 由此得到圆锥曲线的 ３ 个重要性质 ： 性质 １ 过 圆 锥 曲线 上 任 一 定 点 Ｐ（。 Ｙ） ，ｏ （。 ， ≠ ） ≠０Ｙ Ｏ 作倾斜角互补的 ２条直线 ， ， ｏ 朋 与圆锥曲线 的交点分别为 Ａ ， ， （ ， ） 若 （ Ｙ） Ｂ Ｙ ． ２ 直线 ，Ｂ的斜率都存在 ， Ｐ 则直线 Ａ Ｂ的斜率等于 曲线在点 Ｐ关 于对 称轴 的对称 点处 的切线 的斜 率．
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析作者：周丹来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2014年第04期圆锥曲线是解析几何的重要部分，在考试大纲中大部分都是掌握的内容，而且分值占了20多分，足见其作用的重要.教材中主要从椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的定义、方程及性质横向的分别来研究的，可这三种曲线各有特点又都有共性，这就给记忆、证明及应用带来了麻烦，这里想对它们共同的特点，如统一的定义及方程、部分统一性质，从纵向的角度加以探究.圆锥曲线各自都有很多性质，其实性质的证明方法及应用都大同小异，因此对常用的性质进行研究.一、圆锥曲线的几种统一定义及方程1.它们都是平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线.教材中为了能得到椭圆、双曲线的标准方程，选的点和直线方程与抛物线选的不同，表面上看好象此定义不是完全统一的，其实这个点都是它们的焦点，直线都是它们的准线，比值就是离心率 .例1：平面内点M到点F（0，0）的距离和它到直线l∶x=-p（p>0）的距离之比是一个常数e，求点M的轨迹.解：过点M作MH⊥l，H为垂足，设M（x，y）则MF=eMH.即=e|x+p|两边平方，化简得（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.当00，M轨迹是椭圆.当e>1时，（*）式整理得（e2-1）（x-）2-y2=>0，M轨迹是双曲线.当e=1时，（*）式整理得y2=2px+P 2，点M的轨迹是抛物线.评注：此种定义的缺陷：不能表示圆的方程.（*）式为统一方程.2. 一动点与两个定点连线的斜率之积或差为实数的点的轨迹是圆锥曲线.例2：设A（a，0）B（-a，0）（a≠0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数P（P≠0），求点M的轨迹.解：设M（x，y）则kAM ·kBM =P即=P（x≠±a），整理得y2-Px2+Pa2=0-=1（*）（x≠±a）.当p=>0时（*）式+=1（x≠±a）为双曲线方程，当p=当p=-1时（*）式x2+y2= a2（x≠±a）为圆的方程.变式：若直线AM，BM的斜率之差是实数p（p≠0），求点M的轨迹.解：-=p，整理得y=（x2-a2），点M的轨迹是抛物线.评注：这种定义源于教材中的例题.动点的轨迹是圆锥曲线，主要是因为它的轨迹方程是关于x，y的二元二次方程.此定义能得到圆、椭圆、双曲线的标准方程.由例题可知，两个定点是椭圆、双曲线的顶点.如果两定点只是椭圆或双曲线上的两个关于原点对称的点，kAM kBM =P，点M的轨迹是什麽呢？变式：已知椭圆+=1（a>b>0），A、B为在椭圆上关于原点对称的两点，直线AM，BM 相交于M，且它们的斜率之积是实数p=-（p≠0），求点M的轨迹.解：设A（m，n）、B（-m，-n），M（x0，y0）.∵A在椭圆上，∴+=1，变形得n2 = b2 (1- )，∴kAM·kBM= ==-，∴+=1，∴点M的轨迹是方程为++=1（x0≠±m）的椭圆.思考：双曲线有这个结论吗？有，同理可证.3. 圆O半径为定长r，A是平面内一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交与点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什麽？解：QP=QA，①若点A在圆内（QA则OP=OQ+QP=OQ+QA=r>OA，Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆.②若点A在圆上（QA=r），则点Q与点O重合，Q与点O重合，Q的轨迹就是O点.③若点A在圆外（QA>r），则OP=QP-OQ= QA-OQ =rQ的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.评注：这种定义源于教材中的书后习题，适当建系后可得到曲线方程，但不够完整，无法表示抛物线.二、圆锥曲线的统一性质性质1：圆锥曲线（不包括圆）上过焦点的弦中，通径最短.证明：设曲线上过焦点的弦AB，由例1可知焦点F（0，0）且A、B满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.设弦AB直线方程若斜率不存在，则x=0 ，此时AB=2ep（通径），若斜率存在，弦AB直线方程y=kx，y=kx（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（1-e2+k2）x2-2e2px-e2p2=0（*），Δ=4e2p2（1+k2），AB==2ep|1+|>2ep，∴AB的最小值是2ep.性质2：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点的弦长与焦点弦的中点到相应准线的距离之比为常数.证明：由性质1可知，过焦点F（0，0）的弦AB=且AB中点的横坐标为，由例1可知曲线的一条准线l∶x=p，设AB中点的横坐标到准线的距离为d=|+p|==即=2e.特别当e=1时，即轨迹为抛物线，以焦点弦为直径的圆与准线相切.性质3：过曲线某点处的切线，结论相似.①过抛物线y2 =2px（p>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为yy0=p（x+x0）；②过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为+=1；③过双曲线-=1（a，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为-=1；结论②、③与圆的切线结论相似，同样有：④过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）作其切线，切线方程为 xx0+yy0=r2.证明方法一致，直线与曲线连立Δ=0.上述四个结论，如出一辙，曲线方程与切线方程的关联之处，不言而喻.性质4：以焦半径为直径的圆与以长（实）轴为直径的圆相切.证明：设曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x，y）由例1可知焦点F（0，0），且P满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*），则PF===e|x+p|，PF的中点坐标M（，），以长（实）轴为直径的圆C的方程为（x-）2+y2=，则CM===|x-|=|x+p-|，由x的范围可知=|e|x+p±|||=|=PF±Rc|，∴以PF为直径的圆与圆C相切.补充：当P在方程y2=2px（p>0）的抛物线上，则以PF为直径的圆与y轴相切.证明：设P（x0，y0），则PF=x0+，PF的中点坐标M（，），∴以PF为直径的圆与y轴相切.。
圆锥曲线又一个统一的几何性质
２ ｆ２２ ｙ＋ ２ ｍｙ － ｄ（ｌＹ ）
２ ‘ ｐａ一 ｄ・ｐｍ－ ｍ ２ ２ ２ － Ｏ，
③ 的两个根 ， 由根与 系数的关系得
一
－
＝
，
骊ｂ ａ ｄ ａ ２２ ２ ２ （－ ）
，
故ｋ Ｍ Ｂ ０， ：
故 尉
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅱ ＋ ＝ 逝 丝
，
把 点Ａ ，
即 ｔｎ／ＡＦ ｔｎ／ＢＦ ＝ ａ Ｘ＋ ａ Ｘ ０． 故 ｔｎ ａ
Ａ， 日两点 ． 则 ＡＦ 曰Ｆ Ｎ＝ Ｘ． 证明 设ＯＦ ＯＮ－ ．建 立直 角坐标 系 ＝ － ｄ
（孚 ）
＝
ｒ 上
２ １ 旦兰 （ ｌ ） ｍｙ ｙ
２ ２ Ⅱ ２ Ⅱ ｍａｂ（ ｄ） ２ ２２ ａｂｍｄ
点 ． ０ ＡＦ ＝＿ Ｆ 贝 Ｎ ／Ｂ Ｘ．
证 明 建 立 直 角 坐标 系如 图２ 示 ． 所 （２ｂ ） ａ＋ ｄ ａ （ － ） ｎⅡ ６
如 图１ 所示 ， 则抛物 线的方程 为
・ （ ） ，
则椭圆的方程为 ：
＋ ＝ ① ｌ
： ． ｜ Ｄ
即
＋ｐ ① ．又 直 线 曰过 ． － ｄ ２ａ ＆Ｎ（２ ，
定 理 ４ 圆 锥 曲线 的 一 个 类 焦 点 为 Ｆ 对 应 类 准 点 为 Ⅳ． 点Ⅳ的 直线 交 曲 线 ， 过 于Ａ， 两 点 ， 直 线 Ｆ Ｆ 与 曲 线 的对 称 Ｂ 则 Ａ， Ｂ 轴 俐 所 成 的角相 等 ． 特别地， 当Ａ， 两 点重 合 于一 点 时 ， Ｂ 直 线 Ｎ 与 圆 锥 曲线 相 切 于 点 ． 此 时 Ｍ ， 故 有 如下 结论 ： 上Ⅳ 定 理 ５ 圆 锥 曲线 的 一 个 类 焦 点 为
几个圆锥曲线切线问题的统一性质
・
于是
：一
即
一
‘
，
当 Ｙ＜ ０时， 曲线为
ｙ一
从 而切 线方 程为 （ ） ， ）一 ‘ （ ，
一 √ 凡 一 一√ 一 √ 。 ｍ ，
。 — 丽 Ｘ ２，
。 Ｘ ｏ ‘ Ｙ ｏ＝一
，
从而 ｃ ｏ ｓ ／ ＿Ｐ Ｆ Ａ＝ ＝
过 点 Ｐ作 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ切 曲线 于点 Ａ， Ｂ， 则直线 Ａ Ｂ过 定
点Ｃ （ ｐ ｍ， ｑ ｎ ） ． 若 曲线 为 椭 圆或 双 曲 线 ， 且 点 Ｐ在 该 曲线 的
一
条 准线上 ， 则 直线 Ａ Ｂ过该 曲线 相应 的焦点 Ｆ ．
１ — — —
ｋ ２ ， 础 ０—２ｋ ｍｙｏ一砒 ０ ｎ ｙ ｏ—ｋ ２ ｍｙ ｏ一２ ｋ ｎ ｘ 。 ～ ， Ｙｌ 百 ｉ 一 ；
— —
±√ ｍ， 也满足上述结论． 因此上述结论成立．
２ ２
１ １ ， ＋ ｍ
ｒ ｔ 十 ｎ ｔ
性质 ２ 若 点 Ｐ（ 。 ， Ｙ ｏ ） 为 曲线
（ ３ ） 图像 的对称性相似 ： 圆和椭 圆、 双 曲线 的
图像 均为 中心对 称 和轴 对称 图形 ． ２ 有 心 二次 曲线切 线 问题 的 ２个 引理
． ，
２
．
．
２
引理 １ 直 线 Ｚ 和 曲线 ＋ｙ ＝１ （ ｍｎ ≠０ ） 相
ＨＬ １ １ ，
显然 ， 若该 曲线为圆， 即当 ｍ＝ ｎ＝ ｒ 时， 切 线 方程 为 ＃ ｄ Ｏ Ｘ＋Ｙ ｏ Ｙ＝ｒ ２ ； 若 该 曲线 为 椭 圆 ， 即 当 ｍ＝
性质 ８ 若 点 Ｐ（ 。 ， ｙ 。 ） 为 椭 圆或 双 曲线
有心圆锥曲线的统一定义及性质
说明 因为有心圆锥曲线上的点与端点重合时, 斜率不 存在, 所以该定义要特别注意两个端点.
设 定 M (x, y) 是 曲 线 上 任 意 一 点, 由 已 知 得, 直 线
y
A1M 的 斜 率 kA1M
=
(x x−a
̸=
a), 直 线 A2M 的 斜 率
y
y2
kA2 M
=
(x x+a
̸=
−a), 由 kA1M · kA2M
=
y0 − x0 = 有心圆锥曲线的性质
性质 1 已知直线 l 与有心圆锥曲线 C : x2 + y2 = 1 mn
交于 A, B 两点, AB 的中点为 M , 若直线 AB 和 OM ( O 为
n 坐标原点) 的斜率都存在, 则 kAB · kOM = − m .
=
x2 − a2
=
e2 − 1(x
̸=
±a),
x2 a2
−
y2 a2(e2 − 1)
=
1(x
̸=
±a).
又因点
A1, A2 在曲线上, 得
x2
y2
a2 − a2(e2 − 1) = 1
⃝1
当 e = 0 即 e2 − 1 = −1 时, 方 程⃝1 化 为 x2 + y2 = a2,
该曲线 表 示圆; 当 e = c 即 a2(e2 − 1) = c2 − a2 时, 令
(1)
证明:
k
<
−
1 2
;
48
中学数学研究
2019 年第 4 期 (上)
(2)
设
F
为
C
的右焦点,
P
圆锥曲线一个有趣的统一性质
ｓ （ ＋ ）ｉ（ — ）一 ｉ（ ＋ ）ｉ（ 一 ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ ｌ ２ ｓ １ ２ ｓ １ ２ ０， ｎ ｎ ｎ ｎ
所 以
１
＋
）＝Ｙａ ，
， ＝ ｙ
》 ， ．
，
将 朋的 程 别 准 ｚ方 一 联 ，解 点 Ⅳ 纵 标，， 别 ， 方 分 与 线 的 程 ＝ 号 立可 得 ，的 坐 ）） 为 ，分
ｙ Ｍ
于是
— 一 一 —±－ 一 ± 一 —十一 —十 ＝ — ＝一 ：— ＋ — —
（ｎ将应焦 准 ｆ 程＝分与 船 方 ）相于点’ 线的 ２ ，的 ＋． 的 方 别
’
程联立 ， 可解 得 Ｍ， Ｎ的纵 坐标 Ｙ ， 分别 为 村Ｙ
ｙ
（ ｃ ｂｉｃ ａ＋ ） ｓ ｔ ｎ２ Ｃ １十 ＯＯ ） （ Ｃ Ｓ￣ ‘ ２
由点ＡＢ Ｆ ， ， 共线知， 与赢 共线， Ｆ Ａ 从而
ｂｉａ （ ｃｓｔ一 ）一 ｓ ａ （ ｃｓｌ Ｃ ０， ｓ １・ ａｏｏ ｃ ｂｉ ２・ ａｏ￣ — ）＝ ｎ ２ ｎ
即
Ｃ ｓ ａ 一ｓ ｃ ） （ｉ １ ｉ ｔ ｎ ｎ２
一 —
Ｓ Ｉ １一 ，Ｊ １ ｎ
因为
ｓ （ ＋ ）ｉ（ 一 ）一（ｉａ ＋ｓ ｃ ） ｓ ａ 一ｓ ｏ ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ １ ２ ｎ ｎ ｓ １ ｉ ￣ （ｉ １ ｉ ￣ ｎ ｎ２ ｎ ｎ２
ｌ 。＞ ０ 过焦 点 Ｆ的 弦 ， （ ６＞ ） Ｐ是椭 圆的左 （ 或
右） 顶点 ， 直线 Ｐ ， 曰分别 交相应 于 焦点 Ｆ的准线 ｆ ＡＰ 于点 ， 记 点 Ａ， Ｍ， Ⅳ， Ｂ， Ｎ的纵坐 标 分 别为 Ｙ ， Ｙ Ｙ ， Ｙ ， ， 则
从切线角度看圆锥曲线的统一性质
３ ９
于是 ￣＋ Ｄ １ Ｘ－ 叉 ６ ＋ ＝ 。 西 ，
，
＝ｌ 与 轴 ， ＝ｏ ，准 线 ＝ 的交 点 分别 为
筛 ＋ ，＝一ｏ旷 一 旷 ｌ 静 舶莹 ， ｌ Ｚ十 ｘ ｘ
： ＝ ｆ是
０ １一
ＸＯ
０ ，
） ，
） ．
ＸＯ
引理 １ 的证明可见文 ［ ］ １ ，引理 ２ 、引理 ３的证明都 比较简 单 ，这里从略． 性质 １ 如 图 １ ，过点 Ｐ作 对称 轴的垂线 ，垂 足为 Ａ，在 圆 锥 曲线上任取 异于点 Ｐ的一点 ，作点 曰关 于对称轴 的对 称点
收稿 日期 ：２ １－ ２ ２ ０ １ １— ０
证明 ：如 图 １ １ ，设点 Ｐ ‰，Ｙ） （一 ， （） （ ｏ，Ｂ ｘ，Ｙ） 则有 点 Ｃ ｘ，－ ． （ｔ ｙ） 直线
Ｙ ＝
的方程 ：Ｙ＝—ｙ （ 。， Ｉ — ）
Ｏ 一 １
（ 。， — ）
引理 １ （ 见文［］性质 ２ １ ）过椭圆 ＋鲁 ＝１ ＞ ＞ ） ｂ ０
Ｎ 。 ０２ Ｏ５ ２ １
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｃ
— — — —
Ｅｄ ｃ ｔｏ ｕ ａｉ ￣
—
２ ２年 ０１
第 ５期
摘 要 ：圆 锥 曲线 统 一 性 质 的 探 究 一 直 是 热 点 ，探 究 的 视 角
ｃ ，连接 ｃ Ａ，交 圆锥 曲线于另一点 Ｄ，连接 Ｂ Ｄ，交 对称 轴于一
首先约定， 本文仅以椭圆 ＋ ＝ ＞ ＞ ）为 鲁 １ ｂ ０ 例加以
说明 ，另两种 曲线对应情形只给出图示和必要的说 明．其 中涉及 的点 Ｐ ｘ，ｙ） （。 ｏ为椭 圆上异于顶点 的任 意一点 ，椭圆 的左 、右焦 点分别为 （ ｃ ） （ ，０ ． 一 ，０ ， ｃ ）
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。
如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
圆锥曲线一个性质的发现和统一
圆锥曲线一个性质的发现和统一
圆锥曲线是数学中一种十分重要的曲线，它可以用来描述不同的几何问题，从而得出一些有用的结论。
圆锥曲线的性质一直以来都是数学家们研究的热点，其中最重要的发现是关于它们具有相同的曲线性质的发现。
圆锥曲线的性质是什么呢？事实上，它们的性质是由一定的数学公式来描述的。
这些公式中最重要的是圆锥曲线的曲率和曲率半径。
曲率是指曲线在每一点处的变化率，而曲率半径则是指曲线在每一点处的半径。
在过去的几个世纪中，数学家们一直在研究圆锥曲线的曲率和曲率半径，并发现了它们有一定的共性。
比如，他们发现，不论是圆锥曲线的曲率还是曲率半径，它们都具有相同的性质。
这一发现可以帮助数学家们统一圆锥曲线的曲率和曲率半径，从而使得他们能够更准确地描述圆锥曲线的行为。
除了曲率和曲率半径的发现外，数学家们还发现了圆锥曲线的另一个重要性质。
那就是，圆锥曲线的曲率和曲率半径在连续变化的情况下是不断变化的。
比如，当圆锥曲线的曲率增大时，它的曲率半径也会随之增大；而当圆锥曲线的曲率减小时，它的曲率半径也会随之减小。
另外，数学家们还发现了圆锥曲线的另一个重要性质，那就是它们的曲率和曲率半径在同一曲线上都是一致的。
这一发现有助于数学家们理解圆锥曲线的行为，也有助于他们统一圆锥曲线的曲率和曲率半径，从而使得他们能够更好地描述圆锥曲线的特性。
总之，圆锥曲线的性质一直以来都是数学家们研究的热点，他们发现了关于它们具有相同的曲线性质的发现，以及它们曲率和曲率半径在同一曲线上都是一致的性质。
这些发现有助于数学家们更好地理解圆锥曲线的特性，也有助于他们更准确地描述圆锥曲线的行为。
有心圆锥曲线的统一性质
化 简得 ‘ ＝
ｘ ｌ ｙ ２ －ｘ ￣ ｙ ｌ ａ ＋
十 ｙ２ ，
口 ＝一
，
代 入上 式得 Ｐ Ｆ ￣ ＋ Ｐ Ｆ ２ ＝ — Ｌ （ ａ ＋ ｅ ｘ ２ ） ＋ — 一（ ｏ — ｅ 衲） 其中 Ｙ ｌ （ ｌ ＋
，
＋ Ｙ２
ｙｌ － ｌ － ｙ ２
２ ０ １ ３ 年 ３月 ２ ８ １ ３
课例 交 流
有 圆锥曲线的统一性质
文／ 卢
摘
茜
要： 圆、 椭 圆和双 曲线这 三种具有对称 中心 的圆锥 曲线为有心圆锥 曲线． 受两道高考题 的启 示， 进 而引发联想 ， 对其加 以引 申推
广， 从 而归纳 出有心 圆锥 曲线 的一种定义形 式， 并 由此推 导出椭 圆、 双 曲线 的几个有趣性质． 并 ０ 用几何 画板软件 可 以很好地论证结论 的 正确性 ， 所以在研 究问题 的过程 中， 应该很好地利用 多媒体辅助 ， 又快又准． 关键词 ： 椭圆； 双 曲线 ； 焦半径 借助 “ 几何画板” ， 笔者近 １ ３ 在学 习和教学 中发现了有心 圆锥 ： 曲线 中一 组漂亮 的统一性质 ， 现与大家分享。
其 中ｙ １ ＝ ｋ ｘ ， ＋ ｍ， Ｙ ２ ＝ Ｊ ｊ ｝ ２ ＋ ｍ
一 一
ａ ［ ２ ２ ＋ ， ｎ （ ｌ ＋ ２ ） ＋ （ ２ 二 Ｌ ２ ］ ．
ｍ（ ｘ 】 ， Ｘ ２ ） ＋ 础（ ２ ＋ ｔ ） ＋ ２ ｍ ａ
ｃ ） ， （ ｃ ） ， 即
・
（ 口 ， ０ ） ， 过Ｙ 轴上任 意一 点 Ｍ（ Ｏ ， ｍ） 作 一直线 ， 交椭 圆与 ｃ ， Ｄ两 ： 点， 与 轴 交于点 Ｑ（ 异 于 Ａ， 两点 ） ， 连接
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圆锥曲线的统一性质： 石家庄第一中学 冯伟冀 1． 第二定义的统一性
圆的准线在∞,0=e . 2． 极坐标方程的统一性
3． 曲线上一点光学性质的统一性
椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。
双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。
抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。
具体应用：探照灯
4． 一般弦长公式具有统一性 5． 过焦点弦长公式具有统一性 6． 过曲线上一点切线方程的统一性 7． 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8． 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性
9． 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10． 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11． 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12． 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13． 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性
14． 过同一焦点两任意焦点弦AB 和CD ，AC 和BD 交点轨迹统一 15． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角
16． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角，又任意一弦AN 延长
交准线于Q ，则FQ 平分BFA 外角后得到EFQ 是直角
17． 过一个焦点交圆锥曲线于MN ，做MN 的垂直平分线交轴与P 则离心率等于
2PF/MN 18． 二次曲线和二次曲线交于两点AB ，联立两方程消X 得0)(=Y H ,消Y 得
0)(=X G 则AB 为端点的圆的方程就是0)()(=+Y H X G （必须先保证X 和Y
系数相同）
19． 若有弦AB,AB 中点为),(00.y x P 则弦AB 方程为 0)2,2(),(00=---y y x x f y x f
20． 圆锥曲线通径长统一为定值ep 2
21． 利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型
22． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AD 垂直L ，BC 垂直L 则有BD 、AC 同时平分线段EF （一组关系）
23． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AB 是过焦点F 的弦，BC 平行FE ，N
是线段EF 的中点，则BC 和AN 交点C 在准线L 上
24 F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点，B 是圆锥曲线上一点，C 在L 上，BC 平行FE ，N 是线段EF 中点，则直线BF 和CN 的交点A 恰在圆锥曲线上
25过圆锥曲线准线L 上一点做圆锥曲线的两条切线MA 、MB 则切点弦必过焦点F 且和MF 垂直（一组关系）
25 F 是焦点，过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线交于Q ，则PFQ 是直角 26 点P 在圆锥曲线上时过P 的切线方程和点P 不在曲线上的切点弦方程一致
27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性：用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
28焦点关于切线的对称点的轨迹统一性问题
29过圆锥曲线外一点做和圆锥曲线有一个公共点的直线的统一性问题
30 圆锥曲线的以焦点为圆心以2a 为直径的特征大圆和以中心为圆点以a 为半径的特征小圆的统一性问题
31从圆锥曲线外一定点P 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，过圆锥曲线上的任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ，则CFD ∠是定值．
32从圆锥曲线外准线上一点P 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，过圆锥曲线上的
任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ，则2
π
=∠CFD ,是定值．
33AB 是圆锥曲线的(直径,长轴,实轴,轴)，过B 的直线l AB ⊥，点D 是圆锥曲线上除轴两端点外任意一点，直线AD 交直线l 于点E ，点C 是线段BE 的中点，那么DC 是圆锥曲线的切线。
(一组关系)
34过圆锥曲线焦半径的端点作切线，与以轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
35已知圆锥曲线E 的焦点为F,其对应准线为L,L 与F 所在的对称轴交于点A,动弦BC 平行于L,直线AB 与圆锥曲线E 相交于D,则C,D,F 三点共线.
36 自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线,则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心率的平方
37 与圆类似,若点A,P,B均在圆锥曲线C上,则称∠APB为曲线C的周角,弦AB为周角∠APB所对的弦.在文[1 ]中,已有结论:“圆锥曲线中,当k PA. k PB=- 1 ,则直周角所对的弦恒经过定点,且该定点恰在经过直周角顶点的法线上
38椭圆、双曲线和抛物线关于切线和法线的一条性质,现统一表述如下:图1定理(如图1)设P为圆锥曲线上的任一点(非顶点),e为离心率,F为焦点,l是过P的切线,法线PM交x轴于M,∠FPM=θ,l的倾斜角为α,(1)|FM|=e|PM|;(2)sinθ=e|cosα|.
39 设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为A,其相应的通径的一个端点为B,则直线AB一定与该圆锥曲线相切
40圆锥曲线的任意一条切线与两条定切线分别相交,则两交点与该圆锥曲图1定理1图线的同一个焦点连线的夹角为定角。