初三数学总复习总结

复习总结一、命题设计思想力求体现如下设计思想：1.立足基础性. 明确不深挖洞，不会出现偏题，怪题.不过分强调广积粮，考试内容上不追求面面俱到，重点内容重点考.除立足基础知识、基本技能的考查外，注重数学思想和方法的考查，突出体现学科的主干知识（后面要讲）.2.注重能力性. 强调对知识本质的把握和理解，重视对运用所学的基础知识和基本技能分析问题、解决问题能力的考查，重点考查运算能力、阅读理解能力、思维能力及空间想象能力.3.体验过程性. 考试过程也是学习过程，关注对获取数学信息能力、数学交流能力和运用新知识的能力的考查，实践新课标.4.强调应用性. 注重数学与现实联系的考查，学以致用，注重在具体情境中运用所学知识建模能力、分析和解决问题的能力以及“用数学”，“做数学”的意识.5.渗透探究性. 通过开放性、探究性试题，拓宽考生的思维空间，有助于创造性的发挥.6.关注创新性. 通过一些全新试题考查学生的创新意识、创新能力.7.重视综合性. 注意学科的内在联系和知识的综合性，引导考学生关注对所学知识适当的重组与整合；突出对所学知识综合运用能力的考查.8.感受时代性. 关注社会热点问题，具有时代气息.9.体现人文性. 关注学生的感受，试题卷面设计上尽量减轻学生的心理压力，答题卡设计尽量便于学生作答.有关考试方式、考试时间、知识内容分布、难易程度分布、题型分布等详见考试说明.二、主干知识梳理去年翟老师给初三老师做了主干知识梳理，今年请翟老师把这部分内容重新做了整理，四个区的教研员都有.对主干知识的认识所谓的主干知识是指：初中数学中的结构性、框架性知识；初中数学中对后续知识的学习，起到建构知识体系起支撑作用的基础性知识；初中数学中必须落实与主要考查的知识；主干知识中还应包括重要的数学方法以及知识所能蕴涵的思想方法．主干知识如下：代数一、数（有理、无理数、实数）１．概念：分类、相反数、倒数、绝对值、非负数、数轴；２．比大小：整数、分数、结合数轴；３．计算：精确、近似（精确度与有效数字）、估值及算法；科学记数法：整数与纯小数；数轴：表示数与字母，以及化简；找规律：数列、数组、计算、图形.定义新运算.二、代数式１．整式表示与读法；找规律中用整式表示计算与化简、纯计算、化简（恒等变形）求值；乘法公式：配方、整体代入、完全平方式系数的确定；因式分解：提取公因式、公式法（代数式的变形）；最值问题.２．分式：成立的条件与值为零；分式计算：四则混合运算与化简求值（算法）；３．根式：成立的条件与取值范围；根式计算：四则运算与估算（求近似值与精确值）；幂的运算：基本运算性质与零指数及负指数；非负数的应用．三、方程与不等式１．方程：代数式的关系方程成立的条件：首项系数不为零；方程的根：根的意义与作用；方程的解法：优化过程；用图象法解：近似解；应用题：淡化模式；根的判别式.２．不等式：代数式的关系不等式的解集的意义与表示；不等式（组）的解法以及解集的表示法；不等式（组）的应用．四、函数：取值范围：整式、分式、根式、复合(中考不要求)；直角坐标系：概念与作用；求函数解析式：各种函数的求法；画函数图象：明确规范画图还是示意图．几何１．一般概念：线段、角等概念（画法、计算、最短）；两条线的关系：平行（移角）：性质与判定；相交（特殊垂直）：性质．２．三角形一般概念与分类；两个三角形的关系：全等、相似（位似）、等积；特殊三角形：一般概念与关系（相互转化）；角平分线与中垂线：性质与识别．３．四边形一般概念与面积；特殊四边形：概念与作用；两个特殊四边形的关系：全等与相似、等积；４．解直角三角形三角函数的意义与作用；解直角三角形的方法与应用．５．圆位置关系；垂径定理；切线知识(性质与判定)与应用；有关计算：弧长、扇形、圆柱与圆锥．6．几何变换与对称性几何变换的作用与意义；几何变换：全等变换：平移、轴对称、旋转；位似变换：缩小与扩大；等积变换：函数关系与变换；对称性（对称图形）：中心对称、轴对称、旋转对称．统计与概率1．统计的意义与方法以及统计数据表示方法.2．统计量与各自的作用.3．事件与概率的求法与表示．能力要求问题１．运算能力准确运用计算法则与算律计算；正确运用估算方法计算．在计算过程中，移动题目(从试题到答题卡)后要检查是否正确（注意指令语言）、２．表述能力正确表达解题过程，注意解题语言运用的规范．在计算过程中不要跳步、３．简单推理能力因果关系清楚，逻辑关系正确，表达准确．在证明的过程中，从添加辅助线开始，就要严格按区里给出的要求表述，不要求写根据，但是关系必须清楚、明确、４．解读题意的能力理解指令语言；分解题目条件；寻求相应知识；理解与沟通知识之间关系；确定相应方法．５．恒等变形能力根据题目条件与要求选择相应方法进行代数式的变形．不要跳步，要写明变形过程.６．图形变换能力图形的分解与组合；根据图形需要确定相应的移动方法，并确定结果．移动图形必须写明移形的过程、７．知识应用能力确定相应知识，运用知识，合理解决问题．区里进入初三年级以来的三次统练、区里编的《中考试复习指导》中四套综合题、毕业考试复习题、每个专题所配的练习题以及其它三个区上学期的期末考题、模拟题基本含盖了主干知识的基础部分，不出基础片子，请各校根据再对这些基础题重新.三、使用答题卡要求区中招办专门对答题卡使用问题召开了全区会议， 明确今年考生答题凡是答错位置或超出答题范围或模糊不清，不再为考生查分，以往尽管答题卡上说明上述情况不给分，但软件的设计允许对这些情况进行标注，最后查找试卷有命题组再评分，今年中招办明确软件不再有标注功能，因此要用好区里编的《中考试复习指导》几套综合题的答题卡，是用去年的答题卡扫描后缩版的, 按要求严格训练.有关阅卷工作，区中招办给了90个阅卷名额，由于是计算机阅卷，主要请青年教师参加阅卷，请老师们给予支持.四、解题方法与策略1．选择题（单选题）：主要用直接法、验证法、排除法、特殊值法、图示法、操作法、工具法.（工具法、操作法对于好一点的同学可用来检验，对于差同学提供了一个方法）例1据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680 000 000元， 这个数用科学记数法表示正确的是（ ）(A) ? 109元 (B) ? 108 元(C) ? 107元 (D) 68 ? 106元（直接法）例2 如图，在△ABC 中，BC =8cm, AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E , △BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长等于（ ）(A) 6cm (B) 8cm (C)10cm (D) 12cm （直接法）选C. 例3 下列各组数中两个数互为相反数的是 ( )(A) 2)2(2--与 (B) 33)2(2--与(C) |-2| 与2 (D) 212--与 （验证法） 例4 在△ABC 中，BC =14, AC =9, AB =13, 其内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，那么AF 、BD 、CE 的长为（ ） (A) AF =4，BD =9，CE =5(B) AF =4，BD =5，CE =9 (C) AF =5，BD =4，CE =9 (D) AF =9，BD =4，CE =5（验证法）画草图，因为AF =AE , BD=BF 、CE=CD , 将四个选项代入只有A 项满足，B E D A B C即AF+BF=AF+BD =13, BD+CD=BD+CE =14. 所以选A .例5 下列说法正确的是（ ）(A) 有理数都是实数(B) 实数都是有理数(C) 带根号的数都是无理数(D) 无理数都是开方开不尽的数（排除法）由有理数和无理数统称为实数，可知A 正确，其它可排除掉.昌平、大兴一模都考了一道在数轴上估值问题，一般学生都能估计出15在3和4之间，而选择答案C, 但这道题估值要求较高，要判断出更靠近3还是4，像这样设置的选择支就不能看到有一个在符合条件的范围之内，就排出其它选项.例6 实数a , b 满足ab =1, 记 11,1111+++=+++=b b a a N b a M , 则M , N 的大小关系是（ ）(A) M >N (B) M=N (C) M <N (D) M=2N（特殊值法）取a=b=1, 则211,21111=+++==+++=b b a a N b a M ，所以M=N . 选B例7 不论x 为何值，二次函数c bx ax y ++=2的值恒小于0的条件是（ ）(A) a >0, Δ>0 (B) a >0, Δ<0 (C) a <0, Δ>0 (D) a <0, Δ<0（图示法）根据题意，抛物线在x 轴下方，即开口向下，与x 轴无交点. 选D.例8 若a >0, b <0, a +b >0, 则下列各式中成立的是（ ）(A) a >-b >-a >b (B) a >-b >b >-a(C) –b >a >b >-a (D) –b >a >-a >b（图示法）根据题意，在数轴上先标出a 与b 它们的相反数，可知选B.例9 如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（ ）(A) 1个 (B) 2个(C) 3个 (D) 4个（工具法）测量.选D.例10 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆与坐标轴的交点个数为（ ）(A) 1个 (B) 2个(C) 3个 (D) 4个（工具法）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，用圆规画圆，即可知圆与坐标轴的交点个数为3.选C.例11 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）(A) 75° (B)60°(C) 65° (D)55° α（操作法与工具度量结合）可先用一副三角板摆放好，再用量角器度量.选A.例12 如图，将一张正方形纸片经两次对折．．，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）（操作法）可动手折一折，可折出菱形， 展开后看折痕. 选D.例13 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）．??? （操作法）可动手折一折，观察折痕，如果能允许撕开更直观清楚.例14下列矩形中, 按虚线剪开后, 既能拼出平行四边形和梯形, 又能拼出三角形的是图形（ ）① ② ③ ④ ⑤(A) ①②③⑤ (B) ①②③ (C) ②⑤ (D) ②此题是组合选，有多选的功能，难度比较大，要认真审题，常用直接法和分析验证法. 这类形式的填空题常用直接法.例15 商店出售下列形状的瓷砖：正三角形、梯形、矩形、正五边形、正六边形.若只选购其中一种瓷砖密铺地面，可供选择的瓷砖共有（ ）种(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4这道题也有组合选的味道.任意一种同一规格的三角形、四边形都可以密铺地面.2．填空题：主要用直接法、验证法、操作法、工具法、特殊值法.例1 如图, 在△ABC 中，AB=BC , D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点, 若AB =12,则四边形BDEF 的周长为= .（直接法） 例2 已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，则该圆柱的侧面展开图的面积为 cm 2.（直接法）例3 函数y =中，自变量x 的取值范围是 . （直接法）例4不等式组⎩⎨⎧-≤-->+2334)1(223x x x x 的解集是 .（直接法） 例5 已知点P 在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P 的坐标是 （写出符合条件的一个即可）根据横坐标与纵坐标的和为1，可先给出横坐标一个数值，再凑出（或解出）相应的纵坐标的值.比如：横坐标取1，列式 1 + 0 = 1， P (1, 0). 对于此类比较复杂的问题，可通过解方程求解.（验证法）例6 以x =1为根的一元一次方程是 （只需填写满足条件的一个方程即可）. 利用方程的定义构造方程.先列一个含“1”的等式，比如： 2×1+3=5， 用x 替换1得2x +3=5. （验证法）例7 写出一个以⎩⎨⎧==7,0y x 为解的二元一次方程组 . 利用方程组的定义构造方程组先利用0，7列一组算式，比如：⎩⎨⎧-=-⨯=+,7702,770 F AB EC然后用⎩⎨⎧==y x 7,0代换，得⎩⎨⎧-=-=+.72,7y x y x （验证法） 例8 用两个全等的三角形，最多可以拼成 个不同的平行四边形.（操作法）可用两个全等的含30°角的三角板（允许的情况下可撕出两个全等三角形）拼图.这里边涉及到拼图思维的序. 答案为3.例9 如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA 于C , PD ⊥OD 于D , 写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可）. （工具法）可用刻度尺度量法.PD=PC . 例10 （1）将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S :2S 之比等于________ （2）将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A :2A 之比等于________ （赋特殊值法） “同底”三角形面积比等于其高的比，可赋特殊值，设含30°角的直角三角形的短直角边的长为1，则45°角的直角三角形的高为23. 3．解答题：可借助于操作法、工具法、特殊值法等帮助分析、猜想、探究.（1）操作法（折纸、翻动等）例1 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码． 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．（操作法）答案（2）工具法（探索线段之间、角之间的数量关系）例2 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连结BE 、DG .(1) 观察猜想BE 与DG 之间的大小关系,并证明你的结论;(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说出旋转过程; 若不存在,请说明理由. （工具法）可用刻度尺度量BE 与DG 的大小.例3 已知y = -x 2 +5x +n 过点A (1, 0), 与y 轴交于点B .(1) 求抛物线的解析式；（2）若点P 在坐标轴上，且△ABP 是等腰三角形，求P 点的坐标. （工具法）第（2）问可用圆规度量，观察到满足要求的P 8 9 16 1 5 12 13 4C PO DBAB C A 例4 如图，△ABO 中，OA = OB ，C 是AB 中点，⊙O 分别交OA 、OB 于点E 、F .（1）若OF=FB , ∠B =30°, 求证 AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 经过点C ，在△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB =34， 求¼ECF的长. 第（2）问，如果知道求弧长需知圆心角的度数，即便不会推理，亦可通过度量得到圆心角的度数，计算出弧长，也能得一步分. （3）特殊法：有些几何猜想问题可借助于特殊值或特殊位置猜想.例5已知，△ABC 是等边三角形．将一块含30°角的直角三角板DEF 如图放置，让三角板在BC 所在的直线L 上向右平移．当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板的斜边DF 上．问：在三角板平移过程中，图中是否存在与线段EB 始终相等的线段(假定AB 、AC 与三角板斜边的交点为G 、H )?如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由．(说明：结论中不得含有图中未标识的字母)几何猜想问题: 测量法：由于图形规范，可测量检验；操作法：可画一个边长等于三角板斜边上的高的等边三角形，让三角板移动，观察；特殊法：可从特殊位置入手分析，当点E 与点B 重合时，此时EB=GH =0; 可画几个不同位置的图形分析.立意：在先观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试能够证明它．观察易发现，与线段EB 相等的线段只可能是AH ，或GH ．在此基础上，进行探究性的推理．我们先把有关能直接得到的角的度数直接在图形上标出来，例如，∠CFH ＝30°，∠BCH ＝60°，便可发现：∠CHF ＝30°，于是，CF ＝CH ;其次，我们再根据题目中的其它条件作探究性推理．由条件“点A 且恰好落在三角板的斜边DF 上”、条件“三角形是含30°角的直角三角性”和条件“△ABC 是等边三角形”出发，设DE ＝a ，则DF ＝2a ，EF ＝32，AB ＝AC ＝BC ＝3;在这两个结论的基础上，便可发现：EB ＋CF ＝CH ＋AH ＝3，于是就有EB ＝AH 了.此题没有给边长，通过特殊角发现边的关系，从而通过计算推得边等.五、关注变化----中考新题型1．以网格为背景的中考题此类问题关键抓住网格中边、特殊角、各类对角线这些基本量以及对称关系.此类题经常出现在区统练中，多以研究基本量关系出现，对于学生不陌生，现举一有关对称的例子.例1 如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上.在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC 成轴对称的三角形共（ ）(A)5个 (B) 4个 (C) 3个 (D) 2个 答案：选A.从对称轴思考或从可画出的三角形思考，这里面运到分类讨论思想.符合要求的三角形如下：A CB AC BA CB A BC A B C F E C BO A例2 如图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格，△ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，且△A 1B 1C 1和△ABC 的相似比是2，△A 2B 2C 2和△ABC 的相似比是22； （2）在图（2）中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．图（1） 图（2）关键是利用好网格中特殊的边角关系.因为所画出的图形的位置没有特殊要求，所以可在网格中自由地选取一点作为△ABC 中的一点（如点C ）的对应点，当相似比为整数时，可在保持平行（如BC ∥B 1C 1）的意义下先确定第二点（如点B ），再以相同的方法确定第三点；此问若选B 点为位似中心，利用位似变换亦可.当相似比为无理数时，先画出长度易于确定的一条边（如A 1C 1，因为A 1C 1＝22AC ＝BC ），再根据等腰直角三角形的特性确定第三点就可以了．2．生活中的数学问题注意发现生活中蕴涵数学知识、数学规律的问题.例1 上学期期末考题第12题（地砖阴影面积）.例2 综合复习（二）有关菠萝两种卖法问题.例3 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y (cm)与饭碗数x (个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量I 的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．此类题给学生有益的启示：数学就在我们身边，只要我们去观察、去思考，便能找到数学的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活中的不少问题．经常性选用这样情景自然、又有价值的试题给学生练习，其潜移默化的影响是不可忽视的，教学中应当注意编制这类问题．3．图表信息类例1 小明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修理，车子修好后，因怕耽误上学时间，于是加快了车速，图中哪个符合上述情况（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）例2 某市甲、乙两个汽车销售公司，去年一至十月份每月销售同种品牌汽车的情况如图所示：（1）请你根据上图填写下表：（2）请你从以下两个不同的方面对甲、乙两个汽车销售公司去年一至十月份的销售情况销售公司平均数 方差 中位数 众数 甲9 乙 9 8 一 三 二 四 六 五 八 九 七 27 11 14 16 （辆） （月份） 甲： 乙：十 14 8 1013 36 9 12 15 5进行分析：①从平均数和方差结合看；②从折线图上甲、乙两个汽车销售公司销售数量的趋势看（分析哪个汽车销售公司较有潜力）.此类试题可避免试卷的整体表达方式有利于一种认知风格的学生、而不利于另一种认知风格的学生．实际上，对于一道试题，也可以力求这一点，如果一道试题，能让不同认知风格的学生都能较好地理解题意、切入解题，这无疑是对每一个学生更公平．例3 毕业考试8题，22题.4．探究数式规律与定义新运算探究数式规律见综合问题（二）相关内容.定义新运算见总复习《数与式》部分，特别要注意有序性.5.操作设计题图形割拼、图形折叠与变换、图案与设计、作图题.例1 右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是 .1:2例2 图（1）中的梯形符合 条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）.（1） （2）底角为60°，且上底与两腰相等的等腰梯形.例3 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知 ∠CED ′=60°, 则∠AED 的大小是（ ） (A) 60° (B)50°(C) 75° (D)55°选A.例4 (1) 观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；（2）借助图中⑤的网格，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写的两个共同特征.① ② ③ ④ ⑤两个特征：四个图形面积相等，都是轴对称图形.设计略.例5 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm, 宽30cm 的长条形桌面.现只有长80 cm ，宽45cm 的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求.（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）根据桌面的尺寸，横向分割比较好实现.比如：例6 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠CAB=30°, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.可利用角平分线或中垂线性质作图.如：6. 开放探究题例1 如图, 已知AB ∥DE , AB=DE , AF=DC , 请问图中有哪几对全等三角形? 并任选其中一对给予证明. 15cm 15cm 40cm 80cm 15cm 45cm 40cm 40cm 80cmDCB A 此题是结论开放性试题.例2如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由;(2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BP A 的度数.例3 如图，已知正方形ABCD 的面积为S . （1）求作：四边形A 1B 1C 1D 1，使得点A 1和点A 关于点B 对称，点B 1和点B 关于点C 对称，点C 1和点C 关于点D 对称，点D 1和点D 关于点A 对称，（只要求画出图形，不要求写作法）(2) 用S 表示（1）中作出的四边形A 1B 1C 1D 1的面积S 1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形， 面积仍为S , 并按（1）的要求作出一个新的四边形，面积为S 2 , 试探究S 1 与S 2之间有什么关系？（1）如图：(2) S 1=5S . 提示：设正方形(3) S 1= S 2. 提示：连接BD 1， 由AB 是△B DD 1的中线，可得S B D 1是△A A 1D 1的中线，可得S △ 所以 S △A A 1D 1=2 S △ABD . 同理可求得，S △CC 1B 1=2 S △ABD ; ，S △BA 1B 1 + S △DD 1C 1 =2 S △ABD . 从而易得 S 1=5S . 所以S 1= S 2.7．阅读理解问题 基本上每次区统练都有这类题，关键是提取知识信息并加以运用，重点考查学习过程. 例1已知下列 n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：① x 2 -1=0,② x 2+x -2=0,③ x 2+2x -3=0,……x 2+(n -1) x -n =0.（1）请你用因式分解法解上述一元二次方程①、②、③、 ;，并指出这n 个方程的根具有什么共同特点, 请你写出一条即可；A 1C 1P AB C D n n（2）请你也类似地构造出n个一元二次方程，使每一个方程都有一个根为-1，另一个根为分母依次为连续正整数的真分数(要求写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式).最初设计的毕业考题，实际也有阅读理解的味道。