3第三章 卫星运动的基础知识
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GPS测量原理及应用 重庆交通大学土木建筑学院测绘与国土信息工程系
Cuc , Cus——升交距角的余弦、正弦调和改正项振幅 Crc , Crs——卫星地心距的余弦、正弦调和改正项振幅 Cic , Cis——轨道倾角的余弦正弦调和改正项振幅 AODE——星历数据的龄期（外推星历的外推时间间隔） a0——卫星钟差 a1——卫星钟速（频率偏差系数） a2——卫星钟速变化率（漂移系数）
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1）.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与 地球质心重合。此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其
与地心的关系。由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨 道方程。r为卫星的地心距离，as为开普勒椭圆的长半径，es为 开普勒椭圆的偏心率；fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星 在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。 ms 2 bs as (1 es ) as fs r
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2.影响卫星轨道的因素及其研究方法
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力 场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体 的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮 汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂， 难以用简单而精确的数学模型加以描述。 在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，以 地球引力场的影响为主，其它作用力的影响相对 要小的多。若假设地球引力场的影响为1，其它引 力场的影响均小于10-5。
卫星
赤道 地心 春分点 轨道
fs
s
升交点
近地点
i y
x
开普勒轨道参数图解
卫星轨道
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3).真近点角fs的计算
在描述卫星无摄运动的6个开普勒轨道参数中，只有真近 点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算， 关键在于计算真近点角。 为了计算真近点角，需引入两个辅助参数： Es—偏近点角和Ms—平近点角。其中偏近点角如图所示,过卫星 质心m作平行于椭圆短轴的直线,分别交于近地点和椭圆中心连 线的m′点和以长半径a所作大圆的m″点,于是Es就是近地点至 m″点的圆弧对应的圆心角。 m bs as
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为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于 卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假 设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地 球非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐 射压力以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生 一些小的附加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大 小也随时间而改变。 在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。而在理想状态下的卫星 轨道则称为无摄轨道。
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开普勒轨道参数
• as为轨道的长半径，es为轨道椭圆偏心率，这两个参数确定了
开普勒椭圆的形状和大小。 • 为升交点赤经：即地球赤道面上升交点（当卫星由南向北运 行时其轨道与地球赤道面的一个交点）与春分点之间的地心夹 角。i为轨道面倾角：即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角。 这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定 向。
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二.GPS卫星星历
卫星星历是描述卫星运动轨道的信息， 是一组对应某一时刻的轨道根数及其变率。 根据卫星星历可以计算出任一时刻的卫星 位置及其速度，GPS卫星星历分为预报星
历和后处理星历。
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cos Es es cos f s 1 es cos Es
bs as
m
m
Es as ases
r fs
m′
近地点
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4.无摄运动卫星的瞬时位置
（1）在轨道直角坐标系中卫星的位置 取直角坐标系的原点与地球质心相重合，s轴指 向近地点、s轴垂直于轨道平面向上 , s轴在轨道平 面上垂直于s轴构成右手系，则卫星在任意时刻的坐 标为：
预报星历
预报星历是通过卫星发射的含有轨道信息的导航 电文传递给用户，经解码获得所需的卫星星历，也称 广播星历，包括相对某一参考历元的开普勒轨道参数 和必要的轨道摄动项改正参数。参考历元的卫星开普 勒轨道参数称为参考星历（或密切轨道参数），是根 据GPS监测站约1周的监测资料推算的。参考星历只代 表卫星在参考历元的瞬时轨道参数（或密切轨道参 数）。在摄动力的影响下，卫星的实际轨道将偏离其 参考轨道。偏离的程度主要取决于观测历元与所选参 考历元间的时间差。
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3.卫星的无摄运动
卫星发射升至预定高度后，开始绕地球运行。假 设地球为均质球体，根据万有引力定律，卫星的引力 加速度为
G ( M ms ) r r 3 r
G为引力常数，M为地球质量，ms为卫星质量，r 为卫星的地心向径。根据上式来研究地球和卫星之间 的相对运动问题，在天体力学中称为二体问题。引 力加速度决定了卫星绕地球运动的基本规律。卫星在 上述地球引力场中的无摄运动，也称开普勒运动，其 规律可通过开普勒定律来描述。 6
• s为近地点角距：即在轨道平面上，升交点与近地点之间的地
心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
• fs为卫星的真近点角：即轨道平面上卫星与近地点之间的地心
角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时位置。 由上述6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标系，广泛用 于描述卫星运动。 11
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导航电文中的星历参数
t0e——参考历元 Ms0——参考时刻的平近点角 es——轨道偏心率 as1/2——轨道长半径的平方根 0——参考时刻的升交点赤经 i0——参考时刻的轨道倾角 s——近地点角距 ——升交点赤经变化率 i ——轨道倾角变化率 n——由精密星历计算得到的卫星平均角速度 与按给定参数计算所得的平均角速度之差。
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一般来说，如果用轨道参数的摄动项 对已知的卫星参考星历加以改正，可以外 推出任意观测历元的卫星星历。 如果观测历元与所选参考历元间的时间 差很大，为了保障外推轨道参数具有必要 的精度，就必须采用更严密的摄动力模型 和考虑更多的摄动因素，由此带来了建立 更严格摄动力模型的困难，因而可能降低 预报轨道参数的精度。
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2）.无摄卫星轨道的描述
前述参数as、es、fs唯一地确定了卫星轨道的形 状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位置。但卫星轨道 平面与地球体的相对位置和方向还无法确定。确定卫 星轨道与地球体之间的相互关系，可以表达为确定开 普勒椭圆在天球坐标系中的位置和方向，尚需三个参 数。 卫星的无摄运动一般可通过一组适宜的参数来描 述，但这组参数的选择并不唯一，其中应用最广泛的 一组参数称为开普勒轨道参数或开普勒轨道根数。
卫星的预报星历是用跟踪站以往时间的观测资料推 求的参考轨道参数为基础，并加入轨道摄动项改正而外 推的星历。用户在观测时可以通过导航电文实时得到， 对导航和实时定位十分重要。但对精密定位服务则难以 满足精度要求。
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1 es cos f s
远地点
近地点
M
地球质心
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（2）开普勒第二定律： 卫星的地心向径在单位时间内所扫 过的面积相等。表明卫星在椭圆轨道上的运
行速度是不断变化的，在近地点处速度最大， 在远地点处速度最小。
远地点
近地点
地心
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第三章 卫星运动的基础知识 及GPS卫星星历
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一. 卫星运动的基础知识
1.概述
1).卫星轨道在GPS定位中的意义
卫星在空间运行的轨迹称为轨道，描述卫星轨道位置和 状态的参数称为轨道参数。由于利用GPS进行导航和测量时， 卫星作为位置已知的高空观测目标，在进行绝对定位时，卫 星轨道误差将直接影响用户接收机位置的精度；而在相对定 位时，尽管卫星轨道误差的影响将会减弱，但当基线较长或 精度要求较高时，轨道误差影响不可忽略。此外，为了制订 GPS测量的观测计划和便于捕获卫星发射的信号，也需要知道 卫星的轨道参数。
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为了保证卫星预报星历的必要精度，一般采用限 制预报星历外推时间间隔的方法。为此，GPS跟踪站 每天利用观测资料，更新用以确定卫星参考星历的数 据，计算每天卫星轨道参数的更新值，每天按时将其 注入相应的卫星并存储。据此GPS卫星发播的广播星 历每小时更新一次。 如果将计算参考星历的参考历元toe选在两次更新 星历的中央时刻，则外推时间间隔最大不会超过0.5 小时，从而可以在采用同样摄动力模型的情况下，有 效地保持外推轨道参数的精度。预报星历的精度，目 前一般估计为20-40m。
s cos f s r sin f s s s 0
s
卫星
r
fs
近地点
s
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5.卫星的受摄运动
卫星在空中运动时，考虑了地球引力场摄 动力、日月摄动力、大气阻力、光压摄动力、 潮汐摄动力对卫星运动状态的影响的运动称为 卫星的受摄运动。 在受摄运动中，卫星轨道参数不再是常 数，而是随时间变化的轨道参数，卫星的瞬时 轨道不再是椭圆，轨道在空间的方向也不是固 定不变的。
（3）开普勒第三定律：
卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之 比为一常量，等于GM的倒数。
T 4 2 a GM
2 s 3 s
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2/Байду номын сангаасs，可得：
GM n 3 as
1/ 2
即当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均 角速度也随之确定，且保持不变。
m
Es as ases
r fs
m′
近地点
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平近点角Ms—是一个假设量，当卫星运动 的平均角速度为n，则 Ms = n ( t - t0 )，t0 为卫星过近地点的时刻，t为观测卫星时刻。平 近点角与偏近点角间存在如下关系： Es = Ms + essinEs。由此可得真近点角：
2
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假设:
为观测站至所测卫星的距离;
为卫星轨道的误差; D 为两观测站间的基线长度; D 为由卫星轨道误差引起的基线长度误差.
则根据经验其间关系可近似地表示为:
D D
由此可见，为了满足精密定位的要求，卫星的轨道必须具有 足够的精度。
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由于预报星历每小时更新一次，在数据更 新前后，各表达式之间将会产生小的跳跃，其 值可达数分米，一般可利用适当的拟合技术 （如切比雪夫多项式）予以平滑。 GPS用户通过卫星广播星历可以获得的有关 卫星星历参数共16个，其中包括1个参考时刻， 6个相应参考时刻的开普勒轨道参数和9个反映 摄动力影响的参数。
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Cuc , Cus——升交距角的余弦、正弦调和改正项振幅 Crc , Crs——卫星地心距的余弦、正弦调和改正项振幅 Cic , Cis——轨道倾角的余弦正弦调和改正项振幅 AODE——星历数据的龄期（外推星历的外推时间间隔） a0——卫星钟差 a1——卫星钟速（频率偏差系数） a2——卫星钟速变化率（漂移系数）
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1）.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与 地球质心重合。此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其
与地心的关系。由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨 道方程。r为卫星的地心距离，as为开普勒椭圆的长半径，es为 开普勒椭圆的偏心率；fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星 在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。 ms 2 bs as (1 es ) as fs r
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2.影响卫星轨道的因素及其研究方法
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力 场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体 的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮 汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂， 难以用简单而精确的数学模型加以描述。 在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，以 地球引力场的影响为主，其它作用力的影响相对 要小的多。若假设地球引力场的影响为1，其它引 力场的影响均小于10-5。
卫星
赤道 地心 春分点 轨道
fs
s
升交点
近地点
i y
x
开普勒轨道参数图解
卫星轨道
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3).真近点角fs的计算
在描述卫星无摄运动的6个开普勒轨道参数中，只有真近 点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算， 关键在于计算真近点角。 为了计算真近点角，需引入两个辅助参数： Es—偏近点角和Ms—平近点角。其中偏近点角如图所示,过卫星 质心m作平行于椭圆短轴的直线,分别交于近地点和椭圆中心连 线的m′点和以长半径a所作大圆的m″点,于是Es就是近地点至 m″点的圆弧对应的圆心角。 m bs as
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为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于 卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假 设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地 球非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐 射压力以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生 一些小的附加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大 小也随时间而改变。 在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。而在理想状态下的卫星 轨道则称为无摄轨道。
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开普勒轨道参数
• as为轨道的长半径，es为轨道椭圆偏心率，这两个参数确定了
开普勒椭圆的形状和大小。 • 为升交点赤经：即地球赤道面上升交点（当卫星由南向北运 行时其轨道与地球赤道面的一个交点）与春分点之间的地心夹 角。i为轨道面倾角：即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角。 这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定 向。
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二.GPS卫星星历
卫星星历是描述卫星运动轨道的信息， 是一组对应某一时刻的轨道根数及其变率。 根据卫星星历可以计算出任一时刻的卫星 位置及其速度，GPS卫星星历分为预报星
历和后处理星历。
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cos Es es cos f s 1 es cos Es
bs as
m
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Es as ases
r fs
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近地点
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4.无摄运动卫星的瞬时位置
（1）在轨道直角坐标系中卫星的位置 取直角坐标系的原点与地球质心相重合，s轴指 向近地点、s轴垂直于轨道平面向上 , s轴在轨道平 面上垂直于s轴构成右手系，则卫星在任意时刻的坐 标为：
预报星历
预报星历是通过卫星发射的含有轨道信息的导航 电文传递给用户，经解码获得所需的卫星星历，也称 广播星历，包括相对某一参考历元的开普勒轨道参数 和必要的轨道摄动项改正参数。参考历元的卫星开普 勒轨道参数称为参考星历（或密切轨道参数），是根 据GPS监测站约1周的监测资料推算的。参考星历只代 表卫星在参考历元的瞬时轨道参数（或密切轨道参 数）。在摄动力的影响下，卫星的实际轨道将偏离其 参考轨道。偏离的程度主要取决于观测历元与所选参 考历元间的时间差。
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3.卫星的无摄运动
卫星发射升至预定高度后，开始绕地球运行。假 设地球为均质球体，根据万有引力定律，卫星的引力 加速度为
G ( M ms ) r r 3 r
G为引力常数，M为地球质量，ms为卫星质量，r 为卫星的地心向径。根据上式来研究地球和卫星之间 的相对运动问题，在天体力学中称为二体问题。引 力加速度决定了卫星绕地球运动的基本规律。卫星在 上述地球引力场中的无摄运动，也称开普勒运动，其 规律可通过开普勒定律来描述。 6
• s为近地点角距：即在轨道平面上，升交点与近地点之间的地
心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
• fs为卫星的真近点角：即轨道平面上卫星与近地点之间的地心
角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时位置。 由上述6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标系，广泛用 于描述卫星运动。 11
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导航电文中的星历参数
t0e——参考历元 Ms0——参考时刻的平近点角 es——轨道偏心率 as1/2——轨道长半径的平方根 0——参考时刻的升交点赤经 i0——参考时刻的轨道倾角 s——近地点角距 ——升交点赤经变化率 i ——轨道倾角变化率 n——由精密星历计算得到的卫星平均角速度 与按给定参数计算所得的平均角速度之差。
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一般来说，如果用轨道参数的摄动项 对已知的卫星参考星历加以改正，可以外 推出任意观测历元的卫星星历。 如果观测历元与所选参考历元间的时间 差很大，为了保障外推轨道参数具有必要 的精度，就必须采用更严密的摄动力模型 和考虑更多的摄动因素，由此带来了建立 更严格摄动力模型的困难，因而可能降低 预报轨道参数的精度。
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2）.无摄卫星轨道的描述
前述参数as、es、fs唯一地确定了卫星轨道的形 状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位置。但卫星轨道 平面与地球体的相对位置和方向还无法确定。确定卫 星轨道与地球体之间的相互关系，可以表达为确定开 普勒椭圆在天球坐标系中的位置和方向，尚需三个参 数。 卫星的无摄运动一般可通过一组适宜的参数来描 述，但这组参数的选择并不唯一，其中应用最广泛的 一组参数称为开普勒轨道参数或开普勒轨道根数。
卫星的预报星历是用跟踪站以往时间的观测资料推 求的参考轨道参数为基础，并加入轨道摄动项改正而外 推的星历。用户在观测时可以通过导航电文实时得到， 对导航和实时定位十分重要。但对精密定位服务则难以 满足精度要求。
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1 es cos f s
远地点
近地点
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地球质心
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（2）开普勒第二定律： 卫星的地心向径在单位时间内所扫 过的面积相等。表明卫星在椭圆轨道上的运
行速度是不断变化的，在近地点处速度最大， 在远地点处速度最小。
远地点
近地点
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第三章 卫星运动的基础知识 及GPS卫星星历
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一. 卫星运动的基础知识
1.概述
1).卫星轨道在GPS定位中的意义
卫星在空间运行的轨迹称为轨道，描述卫星轨道位置和 状态的参数称为轨道参数。由于利用GPS进行导航和测量时， 卫星作为位置已知的高空观测目标，在进行绝对定位时，卫 星轨道误差将直接影响用户接收机位置的精度；而在相对定 位时，尽管卫星轨道误差的影响将会减弱，但当基线较长或 精度要求较高时，轨道误差影响不可忽略。此外，为了制订 GPS测量的观测计划和便于捕获卫星发射的信号，也需要知道 卫星的轨道参数。
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为了保证卫星预报星历的必要精度，一般采用限 制预报星历外推时间间隔的方法。为此，GPS跟踪站 每天利用观测资料，更新用以确定卫星参考星历的数 据，计算每天卫星轨道参数的更新值，每天按时将其 注入相应的卫星并存储。据此GPS卫星发播的广播星 历每小时更新一次。 如果将计算参考星历的参考历元toe选在两次更新 星历的中央时刻，则外推时间间隔最大不会超过0.5 小时，从而可以在采用同样摄动力模型的情况下，有 效地保持外推轨道参数的精度。预报星历的精度，目 前一般估计为20-40m。
s cos f s r sin f s s s 0
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卫星
r
fs
近地点
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5.卫星的受摄运动
卫星在空中运动时，考虑了地球引力场摄 动力、日月摄动力、大气阻力、光压摄动力、 潮汐摄动力对卫星运动状态的影响的运动称为 卫星的受摄运动。 在受摄运动中，卫星轨道参数不再是常 数，而是随时间变化的轨道参数，卫星的瞬时 轨道不再是椭圆，轨道在空间的方向也不是固 定不变的。
（3）开普勒第三定律：
卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之 比为一常量，等于GM的倒数。
T 4 2 a GM
2 s 3 s
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2/Байду номын сангаасs，可得：
GM n 3 as
1/ 2
即当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均 角速度也随之确定，且保持不变。
m
Es as ases
r fs
m′
近地点
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平近点角Ms—是一个假设量，当卫星运动 的平均角速度为n，则 Ms = n ( t - t0 )，t0 为卫星过近地点的时刻，t为观测卫星时刻。平 近点角与偏近点角间存在如下关系： Es = Ms + essinEs。由此可得真近点角：
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假设:
为观测站至所测卫星的距离;
为卫星轨道的误差; D 为两观测站间的基线长度; D 为由卫星轨道误差引起的基线长度误差.
则根据经验其间关系可近似地表示为:
D D
由此可见，为了满足精密定位的要求，卫星的轨道必须具有 足够的精度。
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由于预报星历每小时更新一次，在数据更 新前后，各表达式之间将会产生小的跳跃，其 值可达数分米，一般可利用适当的拟合技术 （如切比雪夫多项式）予以平滑。 GPS用户通过卫星广播星历可以获得的有关 卫星星历参数共16个，其中包括1个参考时刻， 6个相应参考时刻的开普勒轨道参数和9个反映 摄动力影响的参数。