第五章 三要素法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.4 一阶电路的三要素法
本节推出适用于直流输入情况的三要素法。 以电容为例：图(b)中若令 uoc(t) = U，以 uC 为未知量的微分方 程为 uC duC = – τ + U τ dt 其中 τ= RoC 为电路时间常数，解答为 uC(t) = Ke– t / τ + U 若设 uC(0) 和 uC(∞) 分别为 uC 的初始值和 稳定值，则下列关系必然成立，即 uC(0+) = K + U， uC(∞) = U + – uoc Ro （7-46）
+ C – u (t)
C
图（b） 戴维南等效
由此可知
K = uC(0+) – uC(∞)
于是，解答可写为 uC(t) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ + uC(∞) 为便于记忆 ， 上式也可写为 uC(t) – uC(∞) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ （5-4-1）
例2 求图7-36所示电路在开关闭合 后各电压、电流的初始值。在开关 闭合前电路已经稳定。
R= 1Ω +
R1= 4Ω iL 0.1H
解：先求出开关闭合前的电感电流 iL(0)。根据已知条件，此时电路处于 – 10V 稳态，电感可看成短路，得 t=0– 的等 效电路如图7-37(a)所示，由此可知 图7-36 例2 10 iL(0–) = 1 + 4 = 2A 其它结果如图所示：
+ uC(0– ) –
+
i1(0+) 20kΩ 30kΩ 10V
iC(0+) +
–
– 6V (b)
(a) 图7-35
(a) t=0– 等效电路 (b) t=0+ 等效电路
显然，由图7-35(a) t=0– 时刻等效电路可得 30 = 6V uC(0–) = 30+20 10× 故得 uC(0+) = 6V 由图7-35(b) t=0+ 时刻等效电路可得： i1(0+) = 0， i(0+) = iC(0+) = (10–6)÷20 = 0.2mA， uR(0+) = Ri(0+) = 4V
uC(t) – uC(∞) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ 三要素法：在直流 直流一阶电路中的所有电流和电压都可以在求得 直流 它们的初始值、稳态值和时间常数后，直接写出它们的解答式， 它们具有相同的时间常数。 设电容初始电压 uC(0+) 或电感初始电流 iL(0+) 已知，三要 素法可按如下步骤进行： （1）用电压为uC(0+) 的电压源置换电容，或用电流为 iL(0+)的 电流源置换电感，得到一个直流电阻电路，称为 t=0+ 时刻的等 效电路，由该电路可求得各支路电流或电压的初始值 uj(0+) 或 ij(0+)。 （2）用开路代替电容，或用短路代替电感，得到一个直流电阻 电路，称为 t= ∞ 时刻的等效电路，由该电路可求得各支路电流 或电压的稳态值 uj(∞) 或ij(∞)。
i(∞)]e–t / τ +
i(A) O –5 –11.32 –15 3 6 9 12 t(s)
(b)
10V
10V
例7-11 (1)若已知 i(0)= –5A、i(∞) = 10A、τ = 2s，试绘出 i(t) 按 指数变化的波形图，并写出i(t) 的表达式。 (2)若已知 i(0)= –5A、i(∞) = –15A、τ = 3s，重复(1)中要求。 解 (1)由于i(0) > i(∞)， i(t) 按指数规律上升，根据(7-51)式可得 i(t) = [i(0) – i(∞)]e– t / τ + i(∞) = 10 – 15 e– t / 2 根据该式绘出的曲线如图7-38(a) 所示。
（3）求N1的戴维南或诺顿等效电路以计算电路的时间常数 τ = RoC 或 τ = L / Ro。 （4）若时间常数 0<τ< ∞，根据三要素法，依照 f(t) – f(∞) = [f(0) – f(∞)] e–t / τ 的形式，直接写出电压uj(t) 或电流ij(t)的解答式。 例1 求图7-34所示电路在开关断开 后各电压电流的初始值。在开关断 开以前电路已经稳定。
上式表明： 解答 uC(t) 是由三个参量决定： uC(0+)、uC(∞)、 τ 。 、 ∞、 也就是说：只要知道这三个参量，就可以由 式(5-4-1)直接 写出结果来，不必求解微分方程。 问题是：直流一阶电路中任一支路电流、支路电压是否都能表 示成(5-4-1)的形式？时间常数是否一致？能否直接求解？ 证明见《电路分析基础》，李瀚荪
i(0–)=2A + – uR(0–)=2V uR1(0–)=8V R= 1Ω R1= 4Ω iL(0–) i1(0–)=0 =2A u (0 )=10V uR1(0+)=8V i(0+)=10A R + iL(0+) =2A R1= 4Ω R= 1Ω + – (a) t=0– 等效电 路 i1(0+) =8A (b) t=0+ 等效电路
20kΩ 30kΩ
+
0.1µF
– 10V 解：三要素法步骤(1)中的电容初始 电压 uC(0) 或电感初始电流 iL(0) 需根 图7-34 据电路实际运用连续性获得。
例1
在本例中，设开关断开前后的瞬间为 t=0来自百度文库 和 t=0– ，则由于 uC(0–) = uC(0+)
+
20kΩ 30kΩ
– 10V
i(A) 10
(2)由于i(0) < i(∞)， i(t) 按指数规 4.48 律下降，根据(7-51)式可得 i(t) = [i(0) – i(∞)]e–t / τ + i(∞) = –15 + 10e– t / 3
O –5 2 4 6 8 t(s)
(a)
i(t) = [i(0) – i(∞) = –15 + 10e– t / 3 根据该式绘出的曲线如图7-38(b) 所示。
本节推出适用于直流输入情况的三要素法。 以电容为例：图(b)中若令 uoc(t) = U，以 uC 为未知量的微分方 程为 uC duC = – τ + U τ dt 其中 τ= RoC 为电路时间常数，解答为 uC(t) = Ke– t / τ + U 若设 uC(0) 和 uC(∞) 分别为 uC 的初始值和 稳定值，则下列关系必然成立，即 uC(0+) = K + U， uC(∞) = U + – uoc Ro （7-46）
+ C – u (t)
C
图（b） 戴维南等效
由此可知
K = uC(0+) – uC(∞)
于是，解答可写为 uC(t) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ + uC(∞) 为便于记忆 ， 上式也可写为 uC(t) – uC(∞) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ （5-4-1）
例2 求图7-36所示电路在开关闭合 后各电压、电流的初始值。在开关 闭合前电路已经稳定。
R= 1Ω +
R1= 4Ω iL 0.1H
解：先求出开关闭合前的电感电流 iL(0)。根据已知条件，此时电路处于 – 10V 稳态，电感可看成短路，得 t=0– 的等 效电路如图7-37(a)所示，由此可知 图7-36 例2 10 iL(0–) = 1 + 4 = 2A 其它结果如图所示：
+ uC(0– ) –
+
i1(0+) 20kΩ 30kΩ 10V
iC(0+) +
–
– 6V (b)
(a) 图7-35
(a) t=0– 等效电路 (b) t=0+ 等效电路
显然，由图7-35(a) t=0– 时刻等效电路可得 30 = 6V uC(0–) = 30+20 10× 故得 uC(0+) = 6V 由图7-35(b) t=0+ 时刻等效电路可得： i1(0+) = 0， i(0+) = iC(0+) = (10–6)÷20 = 0.2mA， uR(0+) = Ri(0+) = 4V
uC(t) – uC(∞) = [uC(0+) – uC(∞)]e–t / τ 三要素法：在直流 直流一阶电路中的所有电流和电压都可以在求得 直流 它们的初始值、稳态值和时间常数后，直接写出它们的解答式， 它们具有相同的时间常数。 设电容初始电压 uC(0+) 或电感初始电流 iL(0+) 已知，三要 素法可按如下步骤进行： （1）用电压为uC(0+) 的电压源置换电容，或用电流为 iL(0+)的 电流源置换电感，得到一个直流电阻电路，称为 t=0+ 时刻的等 效电路，由该电路可求得各支路电流或电压的初始值 uj(0+) 或 ij(0+)。 （2）用开路代替电容，或用短路代替电感，得到一个直流电阻 电路，称为 t= ∞ 时刻的等效电路，由该电路可求得各支路电流 或电压的稳态值 uj(∞) 或ij(∞)。
i(∞)]e–t / τ +
i(A) O –5 –11.32 –15 3 6 9 12 t(s)
(b)
10V
10V
例7-11 (1)若已知 i(0)= –5A、i(∞) = 10A、τ = 2s，试绘出 i(t) 按 指数变化的波形图，并写出i(t) 的表达式。 (2)若已知 i(0)= –5A、i(∞) = –15A、τ = 3s，重复(1)中要求。 解 (1)由于i(0) > i(∞)， i(t) 按指数规律上升，根据(7-51)式可得 i(t) = [i(0) – i(∞)]e– t / τ + i(∞) = 10 – 15 e– t / 2 根据该式绘出的曲线如图7-38(a) 所示。
（3）求N1的戴维南或诺顿等效电路以计算电路的时间常数 τ = RoC 或 τ = L / Ro。 （4）若时间常数 0<τ< ∞，根据三要素法，依照 f(t) – f(∞) = [f(0) – f(∞)] e–t / τ 的形式，直接写出电压uj(t) 或电流ij(t)的解答式。 例1 求图7-34所示电路在开关断开 后各电压电流的初始值。在开关断 开以前电路已经稳定。
上式表明： 解答 uC(t) 是由三个参量决定： uC(0+)、uC(∞)、 τ 。 、 ∞、 也就是说：只要知道这三个参量，就可以由 式(5-4-1)直接 写出结果来，不必求解微分方程。 问题是：直流一阶电路中任一支路电流、支路电压是否都能表 示成(5-4-1)的形式？时间常数是否一致？能否直接求解？ 证明见《电路分析基础》，李瀚荪
i(0–)=2A + – uR(0–)=2V uR1(0–)=8V R= 1Ω R1= 4Ω iL(0–) i1(0–)=0 =2A u (0 )=10V uR1(0+)=8V i(0+)=10A R + iL(0+) =2A R1= 4Ω R= 1Ω + – (a) t=0– 等效电 路 i1(0+) =8A (b) t=0+ 等效电路
20kΩ 30kΩ
+
0.1µF
– 10V 解：三要素法步骤(1)中的电容初始 电压 uC(0) 或电感初始电流 iL(0) 需根 图7-34 据电路实际运用连续性获得。
例1
在本例中，设开关断开前后的瞬间为 t=0来自百度文库 和 t=0– ，则由于 uC(0–) = uC(0+)
+
20kΩ 30kΩ
– 10V
i(A) 10
(2)由于i(0) < i(∞)， i(t) 按指数规 4.48 律下降，根据(7-51)式可得 i(t) = [i(0) – i(∞)]e–t / τ + i(∞) = –15 + 10e– t / 3
O –5 2 4 6 8 t(s)
(a)
i(t) = [i(0) – i(∞) = –15 + 10e– t / 3 根据该式绘出的曲线如图7-38(b) 所示。