第2章_矩量法剖析讲解
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矩法估计PPT课件
设总体的分布函数形式已知, 但它的一个或 多个参数为未知, 借助于总体的一个样本来估计总 体未知参数称为点估计问题.
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
19
例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
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二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
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一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
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例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
第2章_矩量法
则 L 称为L的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有：
a
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法 假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
a G( z, z' ) f ( z' )dz' g ( z)
式中 G ( z , z ' ) 为核，g ( z )为已知函数，f ( z ' ) 为未知函数。
b
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
f ( z' ) a n f n ( z' )
n 1
N
f n ( z ' ) 为算子域内 其中 a n为待定系数（可为复数）， 的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
a
n 1
N
n
L[ f n ( z' )] g ( z)
由于是用近似式表示，故有误差，为：
n 1
I z I n z i 1
i 1
N
n
L I z I n sinnk z 对称振子的电流分布接近正弦分布： n 1 2
矩量法
2) 子域基函数
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零 的基函数Jn，则J为子域基函数
f (I i ) J z 0 当z在z i以内时 在其它地方
矩量法
由于狄拉克函数有：
m , f x m f xdx f xm
因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计 算可以减少一个积分运算。 狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界 条件只施于表面S上的离散点上，而不是连续地施于整个 表面上。故称此方法为点匹配法。同时也可以看出此方法 求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位 置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好， 但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏 感。
a
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法 假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
a G( z, z' ) f ( z' )dz' g ( z)
式中 G ( z , z ' ) 为核，g ( z )为已知函数，f ( z ' ) 为未知函数。
b
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
f ( z' ) a n f n ( z' )
n 1
N
f n ( z ' ) 为算子域内 其中 a n为待定系数（可为复数）， 的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
a
n 1
N
n
L[ f n ( z' )] g ( z)
由于是用近似式表示，故有误差，为：
n 1
I z I n z i 1
i 1
N
n
L I z I n sinnk z 对称振子的电流分布接近正弦分布： n 1 2
矩量法
2) 子域基函数
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零 的基函数Jn，则J为子域基函数
f (I i ) J z 0 当z在z i以内时 在其它地方
矩量法
由于狄拉克函数有：
m , f x m f xdx f xm
因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计 算可以减少一个积分运算。 狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界 条件只施于表面S上的离散点上，而不是连续地施于整个 表面上。故称此方法为点匹配法。同时也可以看出此方法 求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位 置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好， 但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏 感。
[理学]矩量法 Method of Moment课件_OK
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N
n[
n1
d2 dx2
(x
x n1 )]
1
4x2
在这个例子中取 函数为权函数即
m (x xm )
m
xm
N
,m 1
1, 2,...,
N
其中，xm是这个问题的选配点，于是有
N
n[n(n 1)xn1] 1 4x2 26
n1
lmn
m, L(un )
1 0
n(n 1)xn1 (x
xm )dx
而来，即把激励矢量 g 和 L(un) 分别向权空间投影，取它
的矩，根据矩的大小确定展开系数。
如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式
(5-17-20)写成矩阵形式
其中 于是可以解出
lmnn gm
lmn m, L(un ) n lmn1gm
(5-17-21) (5-17-22)
14
(5-17-23)
称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表
示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(5-17-
7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-17-7)和
方程组(5-17-8)内只有三个未知数 、1 和2
组超定。
U，于是方程
6
为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多
11 30 7 12 51 70
1 2 0 1 3
u(x)
1 2
(x
x2)
1 (x 3
x4)
5 6
x
1 2
x2
1 3
x4
u0 ( x)
21
十分明显，N=3时已得到了精确解u0 (x)。u(x) 矩量解的曲
MOM矩量法剖析
H J j E
A k2A J j,k
矢量恒等式
( A) 2 A k 2 A J j
MOM
选择 A j
( A) 2 A k 2 A J j
2 A k 2 A J 亥姆霍兹方程A kBiblioteka 2 A J j 取散度A j
2 k 2 1 J j
a
a
d
( ,) 4 0 R
待求面电荷密度
R
[(x
)2
(y
)2
z2
1
]2
边界条件 (x, y,0) 0 ( x a, y a)
算子方程
算子
0
a
a
d
a a
d
( ,) 4 0 R
L
L
a a
d
a a
d
1
4 0 R
MOM
<1>利用MM法，首先分扳为N个均匀小块 Sn，并选基函数为分域脉冲函数
(a)
Ea , Ha
nˆ
Eb , Hb
(b)
Eb , Hb
nˆ
Eb , Hb
Ea , Ha
(c)
(d)
Js nˆ (Ha Hb ); Jms nˆ (Ea Eb )
MOM
拉芙（Love）场的等效原理
nˆ
E, H
V1
S
（a）
nˆ
E, H
V2
零场
V2
V1
J ms
S
（b） J s
Js nˆ H; Jms nˆ E
1
x2 x x3
x1
三角函数
P(xj , x1, x2)
x2
x3
MOM
矩量法 Method of Moment课件
第二章 矩量法(Method of Moment)
2.1 引言 2.2 矩量法的一般过程 2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子
矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程 和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。
1 2 23 1 2 2 3 2 3 u ( x) ( x x ) ( x x ) x x x 10 3 30 10 3
L(u ) g
n 1 n n
N
(5-17-19)
从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以 是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。
现在规定适当的内积 , g 。在算子L的值域内定义一类 1 权函数(或检验函数),2 ,,N ,作用于式(5-17-19)两边， 且取内积，有 N (5-17-20) n m , L(un ) m , g
1
n(n 1)( x x
n 0
1
m n
mn )dx m n 1
gm m , g ( x x
1
m1
)(1 4 x )dx
2
( x x
0
0 1
m1
4x 4x
3
m 3
)dx
1 1 4 m(3m 8) 1 2 m2 m 4 2(m 2)(m 4)
图5-17-1导体圆盘上的电荷分布
e
Q 4 0 x y d
2.1 引言 2.2 矩量法的一般过程 2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子
矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程 和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。
1 2 23 1 2 2 3 2 3 u ( x) ( x x ) ( x x ) x x x 10 3 30 10 3
L(u ) g
n 1 n n
N
(5-17-19)
从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以 是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。
现在规定适当的内积 , g 。在算子L的值域内定义一类 1 权函数(或检验函数),2 ,,N ,作用于式(5-17-19)两边， 且取内积，有 N (5-17-20) n m , L(un ) m , g
1
n(n 1)( x x
n 0
1
m n
mn )dx m n 1
gm m , g ( x x
1
m1
)(1 4 x )dx
2
( x x
0
0 1
m1
4x 4x
3
m 3
)dx
1 1 4 m(3m 8) 1 2 m2 m 4 2(m 2)(m 4)
图5-17-1导体圆盘上的电荷分布
e
Q 4 0 x y d
第2章 矩量法
以内时
i
当z在z
以外时
i
分段正弦：
Jz
Ii
sin
k zi1
z I i1
sin kzi
sin
kz zi
0
当z在z
以内时
i
当z在z
以外时
i
二次插值法：
J
z
Ai
Bi
z
zi
Ci
z
zi
2
0
当z在z i以内时 当z在z i以外时
正弦插值法：J z
3.代入第一式，并利用其线性特性：
I n Lop J n Ei
n
用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的 点积在表面积分所得到的标量）：
I n Wm , Lop J n Wm , Ei
n
矩量法
4.矩阵方程为： ZI V
W1, LopJ1
Z
W2 , LopJ1
WN , LopJ1
n1
其中 a n为待定系数（可为复数），f n (z' )为算子域内
的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
N
an L[ f n (z' )] g(z)
n1
由于是用近似式表示，故有误差，为：
N
(z) an L[ f n (z' )] g(z)
n1
称为残数
矩量法
②现选取检验函数 wm ，将上表示式两端与检验函 数求内积：
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法
假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
b
a G(z, z' ) f (z' )dz' g(z)
西南交通大学研究生课件-矩量法
矩量法(Method of Moment)MoM, MM§1矩量法的基本原理1、内积两元素f和g的内积<f, g>是一个标量，性质：<f, g>=<g, f><(a1f+ a2g), h>= a1<f, h>+ a2<g, h> , a1，a2为标量<f, f*> >0 (0f); <f, f*> >0 (f=0) . f*为f的共轭2、算子方程L(f)=g, L～微分、差分、积分算子线性算子L ：L(a 1 f 1+a 2f 2 )=a 1L(f 1)+a 2L(f 2), （a 1，a 2为常数） 若 <Lf, g>=<f, L a g>, 则称L a 为L 的伴随算子 若L a =L ，则L a 为自伴算子互易定理：若 源a ：a m a J J ,→场a ：a a H E ,；源b ：b m b J J ,→场b ：b b H E,； 则 <La, b>=dV J d H J d E bm a b V a )(1∙-∙⎰⎰⎰<a, L b>=dV J d H J d E amb a V b )(2∙-∙⎰⎰⎰ 若V1和V2重合，则<La, b>=<a, Lb> →互易定理（反应守恒）3、矩量法)()'((z g z f L = (1)g(z)为已知函数，为待求的未知函数（注意f, g 完全可能是矢量）∑==≈Nn n n n z f a z f 1)'()'( (2)n a 为待定系数（可以是复数），)'(z f n 为基函数（线性独立） 将（2）带入（1），交换L 与求和的次序（线性算子的性质）)()]'([1z g z fL a N n n nn≈∑== (3)残数（残差）：)()]'([)(1z g z f L a z N n n n n -=∑==ε 将上式两端与检验函数（权函数）求内积：><-><>=<∑==)(,)]'([,)(,1z g W z f L W a z W m Nn n n m n m ε (4)若令残数矢量对检验函数空间的投影为零，即：><)(,z W m ε=0 (5)即：0)(−−→−∞=N z ε由于误差正交于投影，所以它是二阶无穷小。
矩量法
p = 0,1,2, L
上式是可积的。 上式是可积的。 1.当 1.当 m=n 时，求得
B mn
∫ (W LN ) d Ω = ∫ (W m LN n ) d Ω Ω
Ω m n
mn
[B [a 矩阵[Kmn ]是 M × M 阶矩阵， n ] 是 M × 1 阶矩阵， ] 是 M × M 阶矩阵。
5 5 第三章 静电场边值问题解法
所以矩量法利用基函数和权函数将最初 的本征值问题（ 3.7- ））转换成了矩 的本征值问题（式（3.7-1））转换成了矩 阵的本征值问题（ 3.7- ））, 阵的本征值问题（式（3.7-6））,通过求 解矩阵方程可到近似解。 解矩阵方程可到近似解。 为使矩阵方程（3.7- [ 有非零解, 为使矩阵方程（3.7-6）a ] 有非零解,其系 的行列式必须为零， 数矩阵 [K mn ]－λ[ Bmn ] 的行列式必须为零，即 det([K mn ] − λ [Bmn ]) = 0 3.7（3.7-7）
3.7（3.7-4）
3.7式（3.7-4）可以重新写成
4 4 第三章 静电场边值问题解法
∑a ∫ (W LN )dΩ = λ∑a ∫ (W LN )dΩ
n=1 n Ω m n n=1 n Ω m n
M
M
(m = 1,2,L, M )
3.7（3.7-5） 将式（3.7将式（3.7-5）写成矩阵的形式 [K mn ][a n ] = λ [Bmn ][a n ] （3.7-6） 3.7其中: K mn = 其中:
1.脉冲函数
脉冲函数定义为: 脉冲函数定义为
1 Pn ( r ) = 0 ∆r ∆r r 位于 rn − , rn + 2 2 中 ∆r ∆r r 位于 r n − , rn + 外 2 2
矩量法报告
普遍解是所有的电流元 J z ds产生的Ez叠加,即
kη ∫C J z ( ρ ')G( ρ , ρ ')d ℓ ', 4 G ( ρ , ρ ') = H 0(2) (k | ρ − ρ ' |), 二维自由空间格林函数 Ezi ( ρ ) =
导电柱体，ＴＭ情况 导电柱体，ＴＭ情况 ，ＴＭ 怎样使用任务
1 ˆ ˆ n × ∫ n'×H × ∇' Gds ' S 2π 1 或者 J ( r ) = 2n × H i (r ) + ˆ ˆ n × ∫ J (r ' ) × ∇' Gds' S 2π e − jk|r −r '| 在这里 G(r , r ' ) = 是三维的格林函数 | r − r '| ˆ ˆ n × H ( r ) = 2n × H i ( r ) +
The Moment Methods 矩量法
祁云平 2008-10-30 008-10-
预备知识
– 线性操作符 １内积 < f, g > = < αf + βg, h > = α < f, h > + β < g, h >
< f , g >= < g , f >
< f , f >:= f
–
2
> 0 = 0
0 fn (ρ ) = 1
令 J z = ∑α n fn
在 ∆Cn上 在所有其余 ∆Cm上
，带入（２）式，并在每个 ∆Cm的中点(xm ,y m ) 满
足所得方程，便得到以下矩阵方程
导电柱体，ＴＭ情况 导电柱体，ＴＭ情况 ，ＴＭ 存储建模
计算电磁学 第10讲 矩量法
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择 一维分段线性插值（三角形函数）
x − x i −1 ( x i −1 ≤ x ≤ x i ) x x − i −1 i x − x i +1 fi ( x) = ( xi ≤ x ≤ xi +1 ) x − x i +1 i (在 其 他 子 区 间 ) 0
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择 拉格朗日插值多项式：
No.19
已知函数 f(x)的函数值 yk=f(xk), k=0,1,2,…。 构造一个多项式 P(x)， 使得 P(xk)=yk。 用 n 次多项式
Pn ( x) = yk lk ( x) + yk +1lk +1 ( x) + ⋯ + yk + nlk + n ( x) = ∑ yi li ( x)
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择
基函数： 基函数：
No.13
MoM 法的一个重要问题是基函数 f n 的选取， 理论上有许 多基函数可供选择，只要它们是线性独立的即可。 实际上，人们往往只能有少量的某些函数可较好地逼近 待求的 f ，通常选取的基函数应使矩阵有较少的阶次，求逆 矩阵方便，收敛快等性质。
第十讲 矩量法
No.1
第十讲 矩 量 法
矩量法（ 矩量法（Method of Moment，MOM）在 天线、 天线、微波技术和电磁散射等方面广泛应 用的一种方法， 用的一种方法，这些实际工程问题涉及开 域、激励场源分布形态较为复杂。 激励场源分布形态较为复杂。 矩量法是将待求的积分或微分问题转化为 一个矩阵方程问题， 一个矩阵方程问题，借助于计算机， 借助于计算机，求得 其数值解。 其数值解。 R.F.Harrington 对用矩量法求解电磁场问 题做了全面和深入的分析， 题做了全面和深入的分析，其经典著作已 于1968年出版。 年出版。
矩量法原理
(
)
(5-12)
Φ=
1
ε
∫L
− 1 di (l ′ ) e r r dl ′ jω dl ′ 4π r − r ′
r r − jk r − r ′
那么根据公式(5-12)、双位积分方程、磁矢位、标量电位可得：
r r lˆ ⋅ E i = −lˆ ⋅ E
r = − lˆ ⋅ − jωA − ∇ Φ
(
)
§5.3 矩量法在线天线分析中的应用
(1) 单根天线的分析
有了上节矩量法原理的基础和总结，就可以用矩量法对任意形状线天线进行分析。 如下图所示：
NN
−
N
+
1
−
1
1 2
图 5.1 任意一线天线及分段示意图
−
+
假设上图中任意形状天线的长度为 L ， 半径为 a ， 波长为 λ 。 由于是线天线， 所以 a << L ， a << λ 。 在已知馈电点的场强为 E 的作用下,可以用双位积分方程来求解此线天线上的电流分布 i (l ′ ) 以及在远 区场点 P( x，y，z ) 处产生的辐射场强 E 。 双位积分方程： E = − jωA − ∇Φ 。 根据理想导体表面的边界条件：切向电场为零，即：
−1 −1
L(a1 f1 + a 2 f 2 ) = a1 L( f1 ) + a 2 L( f 2) ，
则称 L 为线性算子，而我们后面用到的积分公式均为线性，即满足这个条件。 首先用在算子 L 的定义域内线性独立的函数 f n 来近似表示未知函数 f ，即：
f ≈ ∑ an f n
n =1
N
(5-2)
ri
动量矩定理dongliang
对于x，y，z轴的 动量矩等于质系中各 质点动量对于x，y，z 轴动量矩的代数和。
dL x (e) = ∑ M x (F ) dt dL y (e) = ∑ M y (F ) dt dL z (e) = ∑ M z (F ) dt
Lx =
质系相对质心的动量矩定理： ：在相对随 在相对随 质系相对质心的动量矩定理 质心平动坐标 标系的运动中，质系对质心 系的运动中，质系对质心 质心平动坐 的动量矩对于时间 时间的一 的一阶导 阶导数，等于外 数，等于外 的动量矩对于 力系对质心的主矩。 力系对质心的主矩。
讨 讨
论 论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相 对质心的运动，则可分别用质心运动定理和 相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外 力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主 矩有关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对 质心的动量矩守恒。
第五节 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。 刚体在相对运动中对质心的动量矩为
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些 力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.
开始时系统的动量矩为
P P 2 Lz1 = 2 g aω 0 a = 2 g a ω 0
细线拉断后的动量矩为
Lz 1 = l z 2
P Lz 2 = 2 (a + l sin α ) 2 ω g
M O (mv) = r × mv
质点对于O点的动量矩为矢量，它 垂直于矢径r与动量mv所形成的平 面，指向按右手法则确定，其大 小为
M O ( mv) = 2∆OMD = mvd
Ø质点对某轴的动量矩 质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投 影等于质点的动量对z轴的动量矩
dL x (e) = ∑ M x (F ) dt dL y (e) = ∑ M y (F ) dt dL z (e) = ∑ M z (F ) dt
Lx =
质系相对质心的动量矩定理： ：在相对随 在相对随 质系相对质心的动量矩定理 质心平动坐标 标系的运动中，质系对质心 系的运动中，质系对质心 质心平动坐 的动量矩对于时间 时间的一 的一阶导 阶导数，等于外 数，等于外 的动量矩对于 力系对质心的主矩。 力系对质心的主矩。
讨 讨
论 论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相 对质心的运动，则可分别用质心运动定理和 相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外 力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主 矩有关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对 质心的动量矩守恒。
第五节 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。 刚体在相对运动中对质心的动量矩为
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些 力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.
开始时系统的动量矩为
P P 2 Lz1 = 2 g aω 0 a = 2 g a ω 0
细线拉断后的动量矩为
Lz 1 = l z 2
P Lz 2 = 2 (a + l sin α ) 2 ω g
M O (mv) = r × mv
质点对于O点的动量矩为矢量，它 垂直于矢径r与动量mv所形成的平 面，指向按右手法则确定，其大 小为
M O ( mv) = 2∆OMD = mvd
Ø质点对某轴的动量矩 质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投 影等于质点的动量对z轴的动量矩
2 矩量法
V 0.98V 。
练习题 1、为例 2-1 编写计算机程序，计算各段的电荷分布，在程序中考虑单元数为 2， 4，10，20 的情况，讨论单元数对电位的影响。 2、计算各处的电位分布，比较 x 轴上各点的电位与单元数的关系。 3、各计算结果保存到文件中。
注意： 求解矩阵的程序去图书馆响应的数值计算书中查找。
R22 a 0.01m
图 2-3 两单元导体模型
在计算中， 还假设每单元的线电荷在对应单元内保持不变。 现在能用式 （2-6） 计算 V ji 为
V11
V12 1 4 1 4
1 1 0.1 9 1011 4 0.001
1 0 . 10 9
V21
1 0 .1 0.001 0.1
2 2
8.99 10 9
1 1 0.1 9 1011 4 0.001 把所有的已知量代入式（2-8）得出 V221
1 9 1011 1 9 8.99 10 8.99 10 9 1 9 1011 2
2 矩量法
矩量法（method of moment）在电磁场分析中有着广泛的应用。其概念相当 简单，基本上是用未知场的积分方程去计算给定媒质中场的分布。 在静电学中，在由点 x' , y ' z ' 的电荷分布在点 x, y, z 产生的电位分布可以表 示为
V x, y , z 4 1
i 1
4
i x' , y ' z 'dv'i
R ji
vi
(2-4)
这里 j 1,2, , n 。所以考虑在 i x' , y ' z ' 位置的电荷， V x, y, z 可以表示为下述 电位的线性组合，即：
练习题 1、为例 2-1 编写计算机程序，计算各段的电荷分布，在程序中考虑单元数为 2， 4，10，20 的情况，讨论单元数对电位的影响。 2、计算各处的电位分布，比较 x 轴上各点的电位与单元数的关系。 3、各计算结果保存到文件中。
注意： 求解矩阵的程序去图书馆响应的数值计算书中查找。
R22 a 0.01m
图 2-3 两单元导体模型
在计算中， 还假设每单元的线电荷在对应单元内保持不变。 现在能用式 （2-6） 计算 V ji 为
V11
V12 1 4 1 4
1 1 0.1 9 1011 4 0.001
1 0 . 10 9
V21
1 0 .1 0.001 0.1
2 2
8.99 10 9
1 1 0.1 9 1011 4 0.001 把所有的已知量代入式（2-8）得出 V221
1 9 1011 1 9 8.99 10 8.99 10 9 1 9 1011 2
2 矩量法
矩量法（method of moment）在电磁场分析中有着广泛的应用。其概念相当 简单，基本上是用未知场的积分方程去计算给定媒质中场的分布。 在静电学中，在由点 x' , y ' z ' 的电荷分布在点 x, y, z 产生的电位分布可以表 示为
V x, y , z 4 1
i 1
4
i x' , y ' z 'dv'i
R ji
vi
(2-4)
这里 j 1,2, , n 。所以考虑在 i x' , y ' z ' 位置的电荷， V x, y, z 可以表示为下述 电位的线性组合，即：
高中数学第二章几何重要的不等式232数学归纳法原理应用课件北师大版选修4
右边＝（（2＋2＋1）1）2－2 1＝98，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即
8×1 12×32
＋
8×2 32×52
＋
…
＋
8k （2k－1）2（2k＋1）2
＝
（2k＋1）2－1 （2k＋1）2 .
第32页
当 n＝k＋1 时，
8×1 12×32
＋
8×2 32×52
第19页
所以（（kk＋＋12））kk＋＋21＝(kk＋＋12)k·（kk＋＋12）2>(k＋k 1)k·k＝（kk＋k＋11）k >1，
即 n＝k＋1 时成立． 由①②知，对一切 n≥3，n∈N*，nn＋1>(n＋1)n 都成立．
第20页
探究 3 对于“观察—归纳—猜想—证明”模式的问题，猜 想正确与否是关键，证明猜想成立是根本．先归纳猜想，后证明 解决问题，两者相辅相乘．
第16页
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
第17页
题型三 “观察—归纳—猜想—证明”思想方法的应用 例 3 设 f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*. (1)当 n＝1，2，3，4 时，比较 f(n)与 g(n)的大小； (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
第7页
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋31k＋3k1＋1＋3k1＋2
＋3（k1＋1）
＝
(
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋
…
＋
1 3k
第二章_矩量法的基本原理_857902111
n
式中 α n 是系数。 f n 被称为展开函数或基函数。对于精确解，式（2-2）通常 是无穷项之和，而 f n 形成一个基函数的完备集。对于近似解，则通常是有限项 之和。式（2-2）代入式（2-1） ，再应用算子 L 的线性便可以得到
∑ α L( f ) = g （2-3）
n n n
验函数 [ω1 , ω 2 , L] 的集合，并对每个 ω m 取式（2-3）的内积，则
由式（2-20）可得：
)
2
[f
0
, h g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 f 0 , h g , f a 0 ] = 0 （2-22）
由于 Lf 0 , f a 0 ≠ 0 ， f 0 , h ≠ 0 ，因此
g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 g , f a 0 = 0 （2-23）
f1 ， f a1 为任意函数， α ， β 为数值，当 α → 0 ， β → 0
f = f 0 + αf 1 f a = f a 0 + βf a1
求 f 0 ， f a0 使
（2-18）
J ( f 0 + αf 1 , f a 0 ) f J ( f 0 , f a 0 ) 或
∂J |α →0 = 0 （2-19） ∂α β →0 ∂J |α →0 = 0 （2-20） ∂β β →0
对此问题若定义一个适当的内积 f , g ，在 L 的值域内定义一个权函数或检
∑α
n
n
ω m , Lf n = ω m , g （2-4）
1
式中 m = 1,2,3L 。此方程组可以写成如下的矩阵形式
[l mn ][α n ] = [g m ] （2-5）
式中 α n 是系数。 f n 被称为展开函数或基函数。对于精确解，式（2-2）通常 是无穷项之和，而 f n 形成一个基函数的完备集。对于近似解，则通常是有限项 之和。式（2-2）代入式（2-1） ，再应用算子 L 的线性便可以得到
∑ α L( f ) = g （2-3）
n n n
验函数 [ω1 , ω 2 , L] 的集合，并对每个 ω m 取式（2-3）的内积，则
由式（2-20）可得：
)
2
[f
0
, h g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 f 0 , h g , f a 0 ] = 0 （2-22）
由于 Lf 0 , f a 0 ≠ 0 ， f 0 , h ≠ 0 ，因此
g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 g , f a 0 = 0 （2-23）
f1 ， f a1 为任意函数， α ， β 为数值，当 α → 0 ， β → 0
f = f 0 + αf 1 f a = f a 0 + βf a1
求 f 0 ， f a0 使
（2-18）
J ( f 0 + αf 1 , f a 0 ) f J ( f 0 , f a 0 ) 或
∂J |α →0 = 0 （2-19） ∂α β →0 ∂J |α →0 = 0 （2-20） ∂β β →0
对此问题若定义一个适当的内积 f , g ，在 L 的值域内定义一个权函数或检
∑α
n
n
ω m , Lf n = ω m , g （2-4）
1
式中 m = 1,2,3L 。此方程组可以写成如下的矩阵形式
[l mn ][α n ] = [g m ] （2-5）
2.4课件
向量组a1 ,a2 ,,am的秩也记作 R(a1 ,a2 ,,am )
结论: 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr
所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.
说明 （1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的 一 个 最 大 无 关 组 及R n的 秩.
证 设A (a1, a2 ,, am )，R( A) r,并设r阶子式 Dr 0. 根据定理,由Dr 0知所在的r列线性无关； 又由A中所有r 1阶子式均为零，知A中任意 r 1个列向量都线性相关. 因此Dr所在的r列是A 的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
由
(c1 ,,cn
)
(a1
,, a s
)
b11
b1n
bs1 bsn
知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，
因此R(C ) R( A).
因CT BT AT ,由上段证明知R(CT ) R(BT ), 即R(C ) R(B).
思考
定理2与推论2有什么异同？
推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量 组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示， 则向量组B是向量组A的一个最大无关组.
性质：（1）反身性：向量组A与A等价； （2）对称性：若向量组A与B等价，则B与A也等价； （3）传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价.
2.4.2 最大线性无关向量组
设V 是所有 n 维列向量的全体, 1 (1,0,,0)T , 2 (0,1,,0)T ,, n (0,0,,1)T 是V 中的 n个向量, 则这 n个向量是线性无关的.
12统计矩分析PPT课件
• 平均滞留时间(mean residence time, MRT) 描述所有药物分子在体内滞留的平均时间， MRT内也称为平均转运时间(mean transit time)或平均逗留时间(mean sojourn time)。
• 在药动学研究中，不管何种给药途径或何 种房室模型，从统计学上都可定义为三个 统计矩：零阶矩、一阶矩、二阶矩，体现 平均值、标准差等概念，反映了随机变量 的数字特征。
• 零阶矩为AUC，和给药剂量成正比，是一 个反映量的函数；一阶矩为MRT，反映药 物分子在体内的平均停留时间，是一反映 速度的函数；二阶矩为VRT，反映药物分 子在体内的平均停留时间的差异大小。
一、零阶矩 zero moment
• 给药以后，血药浓度的经时过程可以看 成随机分布曲线，不管何种给药途径或 何种房室模型，血药浓度-时间曲线下 的面积定义为药-时曲线的零阶矩(zero moment)
AUC 0 Cdt
• 通常血药浓度只观察到某一时间t*，于是计 算0-∞时间内的血药浓度-时间曲线下面积 AUC时可划分为两个阶段，从0-t*时间曲 线下的面积可用梯形法计算，再把t*~∞时
• 以统计矩理论为基础的新的分析方法在 估算药物动力学参数时不依赖于隔室模 型，而是以药一时曲线下面积为主要计 算依据．适用于任何隔室，故又被称为 非隔室分析法。该方法计算简便，很有 实用价值。
• 虽然统计矩的公式推导依旧复杂(已经 有专家完成了这些工作)，但是公式的使用 和经典房室模型相比简单得多。目前的体内 数据解析中非房室模型已经成为主流处理的 方法，各国药品审评当局均推荐采用。
• AUMC为一阶矩曲线下的面积，即(tC)-t 作图，所得曲线下面积
•
同样， t 0
t
C
• 在药动学研究中，不管何种给药途径或何 种房室模型，从统计学上都可定义为三个 统计矩：零阶矩、一阶矩、二阶矩，体现 平均值、标准差等概念，反映了随机变量 的数字特征。
• 零阶矩为AUC，和给药剂量成正比，是一 个反映量的函数；一阶矩为MRT，反映药 物分子在体内的平均停留时间，是一反映 速度的函数；二阶矩为VRT，反映药物分 子在体内的平均停留时间的差异大小。
一、零阶矩 zero moment
• 给药以后，血药浓度的经时过程可以看 成随机分布曲线，不管何种给药途径或 何种房室模型，血药浓度-时间曲线下 的面积定义为药-时曲线的零阶矩(zero moment)
AUC 0 Cdt
• 通常血药浓度只观察到某一时间t*，于是计 算0-∞时间内的血药浓度-时间曲线下面积 AUC时可划分为两个阶段，从0-t*时间曲 线下的面积可用梯形法计算，再把t*~∞时
• 以统计矩理论为基础的新的分析方法在 估算药物动力学参数时不依赖于隔室模 型，而是以药一时曲线下面积为主要计 算依据．适用于任何隔室，故又被称为 非隔室分析法。该方法计算简便，很有 实用价值。
• 虽然统计矩的公式推导依旧复杂(已经 有专家完成了这些工作)，但是公式的使用 和经典房室模型相比简单得多。目前的体内 数据解析中非房室模型已经成为主流处理的 方法，各国药品审评当局均推荐采用。
• AUMC为一阶矩曲线下的面积，即(tC)-t 作图，所得曲线下面积
•
同样， t 0
t
C
矩量法实验报告
矩量法实验报告-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1矩量法实验报告姓名：学号：导师：班级：年月日题目一：用矩量法计算22214d fx dx-=+，边界条件为(0)(1)0f f ==分析：显然，这是一个简单的边值问题，其精确解为24511()623f x x x x =--（1）下面用矩量法求解这个问题，我们选择基函数为1,1,2,3,,n n f x x n N +=-=（2）则，原微分方程的解可以写成级数展开式为11()Nn n n f x x α+==-∑（3）对于检验函数我们选择1n n n f x x ω+==-（4）在这种情况下，就是伽略金法。
由內积公式，10,()()f g f x g x dx <>=⎰（5）得，1110,()(1)1m n mn m n mnl Lf x x n nx dx m n ω+-=<>=-+=++⎰ （6） 1120(38),()(14)2(2)(4)m m m m m g g x x x dx m m ω++=<>=-+=++⎰（7）同时，由()L f g =（8）式中L 是线性算子，g 为已知函数，f 为未知函数。
令f 在L 的定义域中被展开为123,,,f f f 的组合，如n n nf f α=∑（9）式中n α是系数。
由于算子L 是线性的，所以有()nn nL f g α=∑（10）我们已经规定了一个合适的内积，由（6）、（7）式可把上式写成矩阵形式为[][][]mn n m l g α=（11）由此可求得[][][]1n mn m l g α-=（12）最后再把上式代入（3）式，即可得矩量法结果。
因为这是一个简单的微分方程，有精确解，所以为了体现N 取不同值的时候矩量法的逼近程度，所以取N 从1~3时矩量法的计算结果，并和解析解做比较。
N=1时，111111,330l g ==，由式（12）得11110α=。
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以内时
i
当z在z
以外时
i
分段正弦：
Jz
Ii
sin
k zi1
z I i1
sin kzi
sin
kz zi
0
当z在z
以内时
i
当z在z
以外时
i
二次插值法：
J
z
Ai
Bi
z
zi
Ci
z
zi
2
0
当z在z i以内时 当z在z i以外时
正弦插值法：J z
Ai
Bi
sin
kz
zi
Ci
sin
kz
zi
2
矩量法
矩量法
§2.1 矩量法原理
根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微 分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子 方程，这类算子可化为矩阵方程求解。
设有算子方程：
L( f ) g
式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程； g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。
假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 L1的 存在，使 f L1 (g) 成立。 L与L1 互为逆算子。
0
当z在z
以内时
n1
若令残数矢量对检验函数的内积为零：
wm ,(z) 0
这就意味着 wm与 正交。随着N的增加，误差也趋于最小。
矩量法是一种使误差化为最小的方法。
③内积，则可写出下列矩阵方程：
IZ V
式中
Z mn
wm , L[ fn (z)]
Vm Wm , g
Im am
④求解上矩阵方程。
矩量法
对于电磁场问题，算子方程： Lop (J ) Ei
(3) f , f * 0
若f 0
f, f* 0
若f 0
对于所有算子L定义域中的f，若有下面的关系成立 ：
Lf , g f , La g
则 La 称为L的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有：
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法
假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
J I n J n n 1
式中In 是待定系数。
优点：收敛快。
缺点：未知函数的特性往往事先并不了解或很难用一 个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的 全域基函数。有时即使找到了合适的全域基函 数，由于算子本身很复杂，同时求内积运算会 使积分变得更复杂，大大的增加了计算量。
常见的全域基函数有：
算子L的定义域为算子作用于其上的函数f的集合。算 子L的值域为算子在其定义域上运算而得的函数g的集合。
矩量法
内积：在希尔伯特空间H中两个元素f和g的内积 是一个标量（实数或复数），记为，内积的运算满足 下面的关系：
(1) f , g g, f
(2) aL1 f a2g, h a1 f , h a2 g, h
优点：简单、灵活，不受未知函数特性的约束，使用方便。
缺点：收敛比效慢，欲得到同全域基一样的精度，需要更 多的分段数目。
矩量法
常见的子域基函数有：
分段均匀函数 （脉冲函数）：
J z I0i当z在z i以内时来自当z在z以外时
i
三角波函数：J z
I i zi1
z I i1 z
z i
zi
0
当z在z
W1, Ei
V
W2, Ei
WN , Ei
广义阻 抗矩阵
广义电压
用求逆方法求解，可利用Z的对称性，以节省计算时间：
I Z1V
矩量法
§2.2 基函数与检验函数的选择
1．基函数：
对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方 程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。
在天线问题中，基函数Jn越接近于辐射体上的实际 电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而 且在某些条件下，阻抗矩阵的条件(稳定性)就越好。
基函数的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。
基函数有两大类： 第一类是全域基函数(整域基函数)，即在整个定义域内定 义基函数。 第二类是子域基函数(分域基函数)，它在定义域内的一部 分定义，而在其它部分定义域内为零。
矩量法
1) 全域基函数 在J所及的整个定义域内定义并为非零的基函
数Jn，则J为全域基函数
矩量法
付里叶级数：
Iz
n1
In
cos
2n 1x
2
I1
cosx / 2
I2
cos3x /
2
I3
cos5x / 2
N
幂级数 ： I z In x2n1 I1 I2 x2 I3x4
n1
切比雪夫：
I
z
N
I
N T2 N
1
x
I1T0
x
I
2T2
x
I 3T4
x
n1
勒让德： I z In P2n1 x I1P0 x P2T2 x P3T4 x n1
b
a G(z, z' ) f (z' )dz' g(z)
式中 G(z, z' )为核，g(z)为已知函数，f (z' )为未知函数。
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
N
f (z' ) an f n (z' )
n1
其中 a n为待定系数（可为复数），f n (z' )为算子域内
的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
n
矩量法
4.矩阵方程为： ZI V
W1, LopJ1
Z
W2 , LopJ1
W1, LopJ2 W2 , Lop J 2
W1, LopJN
W2 , LopJ N
WN , LopJ1 WN , LopJ 2 WN , LopJ N
I1
I
I2
IN
广义电流
n
多项式： I z In zi1
i 1
对称振子的电流分布接近正弦分布：Iz
N
n 1
In
sin nk
L 2
z
2) 子域基函数
矩量法
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零的 基函数Jn，则J为子域基函数
J
z
f
(I 0
i
)
当z在zi以内时 在其它地方
此方法适合于分段处理 ，即用N个线段来逼近 。
矩量法
1.设基函数为Jn (n=1,2,…N)，则有：
J In Jn
n
基函数有全域基和子域基。
2.权函数为Wm（m=1,2,…N）；
3.代入第一式，并利用其线性 特性：
I n Lop J n Ei
n
用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的
点积在表面积分所得到的标量）：
I n Wm , Lop J n Wm , Ei
N
an L[ f n (z' )] g(z)
n1
由于是用近似式表示，故有误差，为：
N
(z) an L[ f n (z' )] g(z)
n1
称为残数
矩量法
②现选取检验函数 wm ，将上表示式两端与检验函 数求内积：
N
wm , (z) an wm , L[ f n (z' )] wm , g(z)