第2章_矩量法剖析讲解

n
矩量法
4.矩阵方程为： ZI V
W1, LopJ1
Z
W2 , LopJ1
W1, LopJ2 W2 , Lop J 2
W1, LopJN
W2 , LopJ N
WN , LopJ1 WN , LopJ 2 WN , LopJ N
I1
I
I2
IN
广义电流
n1
若令残数矢量对检验函数的内积为零：
wm ,(z) 0
这就意味着 wm与 正交。随着N的增加，误差也趋于最小。
矩量法是一种使误差化为最小的方法。
③内积，则可写出下列矩阵方程：
IZ V
式中
Z mn
wm , L[ fn (z)]
Vm Wm , g
Im am
④求解上矩阵方程。
矩量法
对于电磁场问题，算子方程： Lop (J ) Ei
矩量法
矩量法
§2.1 矩量法原理
根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微 分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子 方程，这类算子可化为矩阵方程求解。
设有算子方程：
L( f ) g
式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程； g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。
假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 L1的 存在，使 f L1 (g) 成立。 L与L1 互为逆算子。
矩量法
付里叶级数：
Iz
n1
In
cos
2n 1x
2
I1
cosx / 2
I2
cos3x /
2
I3
cos5x / 2
N
幂级数 ： I z In x2n1 I1 I2 x2 I3x4
n1
切比雪夫：
I
z
N
I
N T2 N
1
x
I1T0
x
I
2T2
x
I 3T4
x
n1
勒让德： I z In P2n1 x I1P0 x P2T2 x P3T4 x n1
以内时
i
当z在z
以外时
i
分段正弦：
Jz
Ii
sin
k zi1
z I i1
sin kzi
sin
kz zi
0
当z在z
以内时
i
当z在z
以外时
i
二次插值法：
J
z
Ai
Bi
z
zi
Ci
z
zi
2
0
当z在z i以内时 当z在z i以外时
正弦插值法：J z
Ai
Bi
sin
kz
zi
Ci
sin
kz
zi
2
算子L的定义域为算子作用于其上的函数f的集合。算 子L的值域为算子在其定义域上运算而得的函数g的集合。
矩量法
内积：在希尔伯特空间H中两个元素f和g的内积 是一个标量（实数或复数），记为，内积的运算满足 下面的关系：
(1) f , g g, f
(2) aL1 f a2g, h a1 f , h a2 g, h
基函数的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。
基函数有两大类： 第一类是全域基函数(整域基函数)，即在整个定义域内定 义基函数。 第二类是子域基函数(分域基函数)，它在定义域内的一部 分定义，而在其它部分定义域内为零。
矩量法
1) 全域基函数 在J所及的整个定义域内定义并为非零的基函
数Jn，则J为全域基函数
b
a G(z, z' ) f (z' )dz' g(z)
式中 G(z, z' )为核，g(z)为已知函数，f (z' )为未知函数。
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
N
f (z' ) an f n (z' )
n1
其中 a n为待定系数（可为复数），f n (z' )为算子域内
的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
J I n J n n 1
式中In 是待定系数。
优点：收敛快。
缺点：未知函数的特性往往事先并不了解或很难用一 个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的 全域基函数。有时即使找到了合适的全域基函 数，由于算子本身很复杂，同时求内积运算会 使积分变得更复杂，大大的增加了计算量。
常见的全域基函数有：
(3) f , f * 0
若f 0
f, f* 0
若f 0
对于所有算子L定义域中的f，若有下面的关系成立 ：
Lf , g f , La g
则 La 称为L的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有：
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法
假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
N
an L[ f n (z' )] g(z)
n1
由于是用近似式表示，故有误差，为：
N
(z) an L[ f n (z' )] g(z)
n1
称为残数
矩量法
②现选取检验函数 wm ，将上表示式两端与检验函 数求内积：
N
wm , (z) an wm , L[ f n (z' )] wm , g(z)
优点：简单、灵活，不受未知函数特性的约束，使用方便。
缺点：收敛比效慢，欲得到同全域基一样的精度，需要更 多的分段数目。
矩量法
常见的子域基函数有：
分段均匀函数 （脉冲函数）：
J z I0i
当z在z i以内时
当z在z
以外时
i
三角波函数：J z
I i zi1
来自百度文库
z I i1 z
z i
zi
0
当z在z
W1, Ei
V
W2, Ei
WN , Ei
广义阻 抗矩阵
广义电压
用求逆方法求解，可利用Z的对称性，以节省计算时间：
I Z1V
矩量法
§2.2 基函数与检验函数的选择
1．基函数：
对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方 程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。
在天线问题中，基函数Jn越接近于辐射体上的实际 电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而 且在某些条件下，阻抗矩阵的条件(稳定性)就越好。
矩量法
1.设基函数为Jn (n=1,2,…N)，则有：
J In Jn
n
基函数有全域基和子域基。
2.权函数为Wm（m=1,2,…N）；
3.代入第一式，并利用其线性 特性：
I n Lop J n Ei
n
用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的
点积在表面积分所得到的标量）：
I n Wm , Lop J n Wm , Ei
n
多项式： I z In zi1
i 1
对称振子的电流分布接近正弦分布：Iz
N
n 1
In
sin nk
L 2
z
2) 子域基函数
矩量法
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零的 基函数Jn，则J为子域基函数
J
z
f
(I 0
i
)
当z在zi以内时 在其它地方
此方法适合于分段处理 ，即用N个线段来逼近 。
0
当z在z
以内时