第一讲.一元二次方程的定义及解法

第一讲：一元二次方程的概念和解法
一、知识点1:
1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程•
2：一般形式：
ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0)
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
3:相关练习：
1、下列方程中，是一元二次方程的是( )
2
A、x =1
B、X——-_ =1
C、，x -1 x2 = 1
D、x‘ x 1 = 0
x 2 2
2、如果(m 3)x2 -mx • 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( )
A、m - 3 且 m = 0
B、m -j 3
C、m -j 0
D、m - 3
3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( )
A、3x =4x m
B、ax -8=0
C、x y =0
D、-6xy - y 7 = 0
4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。

5、判断下列方程是否为一元二次方程：
(1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2
(3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x
k
6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。

7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 —
二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ；
2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________
二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ .
&关于x的一元二次方程(a-1)x2• a2-仁0的一个根为0,则a的值为( )
1
A、1
B、-1
C、-1或 1
D、-
2
9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。

10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ .
11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值
二、知识点2
一元二次方程的解法：
1、直接开平方法：形如(x+h) 2= k，(k > 0)的方程
2 2
⑴、x = 169;
(2)、45-x = 0;
(3)、12y 2 — 25= 0;
(4)、3 x 2
1-0 =
(5)、 9(x-2)2
=2
(6)、x
2
8x 16=4
2、因式分解法：1)、提取公因式法；2)、公式法；3)、十字相乘法
＞、已知代数式x 2，4x-2的值为3,求代数式2x 2
，8x-5的值.
四〉、已知 x 2-15xy • 50y 2
= 0(y = 0)，求—的值
y
一 ＞、解下列方程 (1)、x 2
+x = 0
(3)、(x -4)2 =(5-2x)2
二 ＞、解下列方程：
2
1、3x …6x 二-3
3、x(x 2) 1 =0
5、2(x-1)^3(x-1) (2)、x 2
-2^x0
(4)、3x 4 =2x
2
2、 x 「2x =
4、X 2
-4X -21=0
& (x-1)2
-4(x-1) 4=0
2、配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。

(4)
、
2、填空配方
3、解下列方程
(1)、x 2
—6x +
=(X - _____ )
(2 )、 x 2
+ 2
+25=(X _____ )
2 2
2x -3x+ ___ =2(x- ____ )
(3)、3x 2
_6x + __ =3(x_ ____ ) 2
(1) 、x 2
—8x+1 =0
(2) 、2x
2
1 3 x
2
(3) 、3x -6 x4
4、解下列方程 (1)、x +10x+9=0
(2)、X 2
-x-? =0
4
(3)、3x 2
+6x —4=0
2
(4)、4x -6 x3 0
2
(5)、x & -9=2x1
(6)、 x* 4 8 x2
5、(1)、若x?+mx+9为完全平方式，则m= ___________ ；
(2)、若4x2+6x + m为完全平方式，则m= _________ ；
&解方程
(1)、6X—X2=6(2)、2y2七7 y
(3)、x* 1 1= — x $ ( 4) > x — V3x —— = 0
4
7、若方程(x -m)2• n = 0有解，则n的取值范围是______________ ;
8、不论x, y为和实数，代数式x2• y2 -2x -4y • 7的值( )
A、总不小于2
B、总不小于7
C、可为任何实数
D、可能为负数
2
9、先用配方法说明：不论x为何值，代数式x -5x 7的值总大于0,再求出当x区何值时，代数式x2—5x亠7的值最小？最小值为多少？
10、若a,b,c是ABC的三条边，且a2 -6a - b2 -10c • c2 =8b -50，判断这个三角形的形状
11、已知两个连续奇数的积是255,求这两个奇数.
3、公式法：
1)、一元二次方程的判别式为：也=b2-4ac
2
2)、当△ >0时，关于x的一元二次方程a x + bx + c= 0 ( 0、的实数根可写成
-b 士Jb2 -4ac
3、(3x 2)( x 1) =6x 4
2
4、x 6 二-2x
(二)练习，用适当的方法解方程: 1、3x^81
3、3x(x -1) = 2x - 2
2、x
2
2x = 0
2
4、 x x -12 = 0
2
5、x(x -4) =2-8x
6、3x - 6x=2
(三)、根的判别式的应用
2
1、关于x 的一元二次方程方程 (mT)x -(2m 1)x m = 0,当m 取何值时: (1)、方程没有实数根？ ( 2)、方程有两个相等的实数根，并求出它的根。

2、关于x 的一元二次方程 kx 2
(k 1)x - = 0有两个相等的实数根，求实数
4
k 的取值
范围。

2 2
3)______________________________________________________ 、A =b -
4ac>0二 方程 a x + bx + c = 0 (a *0)有 _______________________________________
2 、 2
.：=b -4ac=0：= 方程 a x + bx + c = 0 (a *0)有 ___________________________ .■: =b -4ac ::: 0= 方程 ax + bx + c = 0 (a *0)有 ___________________________
4)
、利用公式法求一元二次方程 a x + bx + c = 0 (a * 0)的
解的步骤： ① 化方程为
；
② 确定a 、b 、c 的值； ③ 算出人二
的值；判断根的情况
④ 如果有根，代入求根公式求根。

公式为 冷,2
= _____________________________________ ；
(一)练习；用公式法解方程：
2 2
1、 x -6x =2
2、5x -8 - -2x
3、当m为何值时，一元二次方程x2• (2m -3)x • (m2 -3) = 0没有实数根。

4、关于x的一元二次方程mx2 - (3m - 1)x • 2m -1 = 0的根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

5、关于x的一元二次方程mx2 - (2m-1)x • m - 2 = 0(m 0)，求证：这个方程有两个不
相等的实数根。

_ , 2
6 求证：不论k为何值，关于x的一元二次方程x (2k 1)x k 0有两个不相等的实数根。

2
7、关于x的方程kx -4x ^0有实数根，求k的取值范围。