最简单概率论的五个智慧
求解概率问题的五大法宝
求解概率问题的五大法宝摘要：：概率是近几年高考与自主招生考试中的重点内容，其求解方法比较难，特别是与排列组合、数列有关的概率问题及几何概型显得更有难度.本文总结了五个方面的思考策略：认真识别、发掘隐含、正难则反、精心构造、递推转化.关键词：认真识别;发掘隐舍;正难则反;精心构造;递推转化概率是近几年高考与自主招生考试中的重点内容，其求解方法比较难，特别是与排列组合、数列有关的概率问题及几何概型显得更有难度，所以对概率问题的常用求解方法有必要作一些总结.1 认真识别考试中的概率题型主要包括古典概型、几何概型、互斥事件有一个发生的概率、独立事件同时发生的概率（特别情形：π次独立重复实验中，事件A恰好例 2 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立，根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4;经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列.分析由于甲、乙、丙三件工艺品经两次烧制后合格的概率都是0.3，且两次烧制过程相互独立，所以烧制三件工艺品可以视为三次独立重复试验，从而可以轻松获解.评析解决本题的关键在于识别独立重复试验，否则，将会增大运算量.2 发掘隐含众所周知，隐含条件在求解数学问题中非常重要，隐含条件是引人步入解答误区的诱饵，在概率问题的解决过程中也是如此，特别是在分析事件的过程中，要密切关注事件的隐蔽性，注意当前事件的背后是否具有隐含的其他事件，这样才能确保成功求解.例3在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是2/3，每次命中与否互相独立.（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率;（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.分析第（1）问中“恰好射击5次引爆油罐”隐含了事件“前四次射击中恰好命中一次”与事件“第五次命中”同时发生;第二问中ξ=5时，隐含条件较深层，必须认真发掘：①“前四次都没命中”与“第五次命中或没命中”同时发生;②“前四次恰好命中一次”与“第五次命中或没命中”同时发生.当隐含事件分析清楚之后，解答3 正难则反在求解概率问题中，如果问题的正面所对应的事件比较复杂时，就可以考虑先求其对立事件的概率，即可以用计算公式：P（A）=1一P（A）.例4 从平行六面体的8个顶点中任取三个组成三角形，又从这些三角形中任取两个，求这两个三角形不共面的概率.分析若直接求两个三角形不共面的概率，显得较复杂，然而从反面角度先求其对立事件的概率，再利用P（A） =1 -P（A）求原事件的概率，显得较简单.例5-位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法1：在10箱中各任意抽查一枚;方法2：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法1、2能发现至少一枚劣币的概率分别为p1和p2，试比较p1，p2的大小.分析若直接求p1，p2，分类较复杂，而其反面特别简单，“至少一枚劣币”的反面是“全抽好币”.4 精心构造在求解幾何概型中，构造技巧要求较高，常涉及到一维线段、二维区域、三维空间的构造，在构造时必须准确无误，才能正确地求出概率.例6 向面积为6的△ABC内任投一点P，求APBC的面积小于2的概率，错解由于试验的全部结果构成的区域是AABC，记APBC的面积小于2为事件A.由此可见，构造区域时，一定要精心思考，是否与题设条件形成充要条件，否则将会出现错误.例7在间隔时间T（T>2）内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机，若这两个信号的间隔时间小于2，则收音机将受到干扰，求收音机受到干扰的概率.分析由于两个信号等可能地进入收音机的时间都在（0，T）内变化，所以是二维变量问题，因此需构造二维区域求概率.在求解几何概型中，准确构造几何图形是关键，在构造几何图形之前，必须弄清变量维数，然后确定构造图形的维数.5 递推转化当概率问题与数列有关时，可以思考建立数列模型求解，特别是事件An与An-1（n≥2，n∈N）各自发生的概率之间可以建立递推公式时，一般可利用数列知识求其概率.从而将概率问题转化为数列问题例8甲、乙等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人.（1）经过2次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？（2）经过n次传球后，求球在甲手中的概率.分析由于传球1次、2次、…n次后，球在甲手中的概率依次构成了数列，所以求经过n次传球后球在甲手中的概率，就转化为求数列的通项公式，于是可通过数列的递推公式求其通项.例9 一种掷硬币（质地均匀）走跳棋的游戏，棋盘上有第0，1，2，…，100，共101站.一枚棋子开始在0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次，若硬币出现正面，则跳棋向前跳一站，若硬币出现反面，则跳棋向前跳两站，直至0棋子跳到第99站（获胜）或者100站（失败）时游戏结束.求玩该游戏获胜的概率？分析要求玩该游戏获胜的概率，需求棋子跳到第99站的概率.因棋子跳到每一站的概率依次构成数列P1，P2，…，Pn，所以需求P99.可以先求通项Pn，再求P99.解设棋子跳到n站的概率为Pn，棋子跳到n站，包括两个互斥事件构成：（1）由第n-l站跳到n站;（2）由第n-2站跳到n站，。
赌徒谬论—最简单概率论的五个智慧
赌徒谬论—最简单概率论的五个智慧我认为人人都应该学一些概率知识，它现在是公民必备知识。
现在的世界比过去复杂得多，其中有大量不确定性，是否理解概率，直接决定一个人的开化程度。
1.随机：有些事情是无缘无故地发生的这个思想对我们的世界观有颠覆的意义。
古人没有这个思想，认为一切事物都是有因果的，甚至可能都是有目的的。
人们曾经认为世界像一个钟表一样精确地运行。
但真实世界不是钟表，它充满不可控的偶然。
更严格地说，有些事情的发生，跟他之前发生的任何事情，都可以没有因果关系。
不论我们做什么都不能让它一定发生，也不能让它一定不发生。
一个人考了好大学，人们会说这是他努力的结果；一个人事业成功，人们会说这是他努力工作的结果。
可是如果一个人买彩票中了大奖，这又是为什么呢？答案是没有任何原因，这完全是一个随机事件。
总会有人买彩票中奖，而这一期彩票中奖，跟他是不是好人，他在之前各期买过多少彩票，他是否关注中奖号码的走势，没有任何关系。
若一个人总是买彩票，他中奖的概率会比别人大点吧？的确，他一生之中中一次奖的概率比那些只是偶然买一次彩票的人大。
但是当他跟上千万个人一起面对一次开奖的时候，他不具备任何优势。
他之前所有的努力，对他在这次开奖中的运气没有任何帮助。
一个此前没有买过任何彩票的人，完全有可能，而且有同样大的可能，在某一次开奖中把最高奖金拿走。
中奖，既不是他个人努力的结果，也不是“上天”对他有所“垂青”；不中，也不等于任何人与他做对。
这就是“随机”，你没有任何办法左右结果。
理解随机性，我们就知道很多事情发生就发生了，没有太大可供解读的意义。
我们不能从这件事获得什么教训，不值得较真，甚至不值得采取行动。
再完美的交通工具也不可能百分百安全，我们会因为极小的事故概率不坐飞机吗？我们只需要确定事故概率比其他旅行方式小就可以了。
甚至连这都不需要，只需要确定这个小概率事件我们能够容忍就可以了。
2.赌徒谬误假如你在赌场玩老虎机，一上来运气不太好，连输好几把。
《简单事件的概率》 知识清单
《简单事件的概率》知识清单一、概率的定义概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，那就表明这个事件肯定会发生；而如果概率在 0 和 1 之间，比如说 05，那就表示这个事件有一半的可能性会发生。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的可能性是相等的。
二、简单事件的概念简单事件是指在一次试验中，只有一个结果的事件。
比如说，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球或者摸到白球，这就是两个简单事件。
与简单事件相对的是复杂事件，复杂事件是由多个简单事件组合而成的。
三、概率的计算方法1、古典概型当试验的结果有限，且每个结果出现的可能性相等时，我们可以使用古典概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球是红球的概率。
基本事件总数是 5（3 个红球＋ 2 个白球），A 事件（取出红球）包含的基本事件数是 3，所以取出红球的概率 P ＝ 3/5 ＝ 062、几何概型如果试验的结果是无限的，而且每个结果出现的可能性相等，这时就需要用到几何概型来计算概率。
例如，在一个半径为 1 的圆内随机取一点，求这点到圆心的距离小于 05 的概率。
我们可以通过计算面积的比例来得到概率。
四、概率的性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1任何事件的概率都在 0 到 1 之间。
2、 P(必然事件) ＝ 1必然会发生的事件，其概率为 1。
3、 P(不可能事件) ＝ 0不可能发生的事件，其概率为 0。
4、如果 A 和 B 是互斥事件（即 A 和 B 不可能同时发生），那么P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)例如，掷骰子时，出现点数为 1 或者 2 的概率，因为出现 1 和出现2 这两个事件互斥，所以概率为 P(出现 1) ＋ P(出现 2) ＝ 1/6 ＋ 1/6 ＝1/3五、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 的概率，那么 A 和 B 就是独立事件。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
概率常用知识
概率常用知识概率，这个听起来有点神秘的词汇，其实在我们的日常生活中无处不在。
从掷骰子到买彩票，从天气预报到医学诊断，概率都在发挥着作用。
那么，究竟什么是概率？它又有哪些常用的知识和应用呢？让我们一起来揭开它的面纱。
首先，概率最简单的定义就是某个事件发生的可能性大小。
它的值在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，其概率就是 0；如果肯定会发生，概率就是 1。
比如说，掷一个骰子，得到 7 点是不可能的，所以这个事件的概率就是 0；而得到 1 到 6 中的任何一个点的概率就是1/6。
概率的计算方法有多种。
对于等可能事件，我们可以用事件发生的结果数除以所有可能的结果数。
例如，从一副 52 张的扑克牌中随机抽取一张红桃牌，因为红桃牌有 13 张，所以抽到红桃牌的概率就是13÷52 ＝ 1/4。
条件概率也是一个重要的概念。
假设 A 和 B 是两个事件，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，叫做条件概率，记作P(A|B)。
举个例子，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，先从盒子里取出一个球不放回，再取一个球。
如果第一次取出的是红球，那么第二次取出红球的概率就发生了变化，这就是条件概率。
独立事件和互斥事件也是常见的概率概念。
独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。
比如，今天下雨和明天你考试得高分就是两个独立事件。
互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
比如，掷骰子得到 1 点和得到 2 点就是互斥事件。
在实际应用中，概率有着广泛的用途。
在保险行业，保险公司会根据各种风险发生的概率来计算保险费用。
比如，车辆发生事故的概率、房屋遭受火灾的概率等。
通过对这些概率的评估，保险公司可以制定合理的保险政策，既能保障客户的利益，又能保证自身的盈利。
在医学领域，概率也起着关键作用。
医生会根据疾病的发病率、检测方法的准确性等概率信息来诊断疾病和制定治疗方案。
例如，某种疾病在人群中的发病率很低，而一项检测方法又有一定的误判率，那么医生在解读检测结果时就需要综合考虑这些概率因素，避免误诊。
初中数学知识点总结概率的简单应用
初中数学知识点总结概率的简单应用概率是数学中的一个分支，用于研究随机事件发生的可能性。
对于初中生来说，概率是一个非常重要的数学知识点之一、下面将对初中数学中涉及概率的简单应用进行总结。
一、抽样调查在概率中，抽样调查是一种常见的应用方式。
通过抽样调查，我们可以了解到一个群体或是一个事件的特点和特征。
初中数学通常会涉及到简单随机抽样、系统抽样、方便抽样等方法。
简单随机抽样是最基本的一种抽样方式，它保证了每个个体被选中的机会相等。
比如说，我们要调查学校学生的身高，我们可以使用简单随机抽样的方法从全校学生中随机选择一些人进行测量。
系统抽样是指按照一定的规律将总体划分为若干类，然后按照一定的规律从各类中抽取样本。
比如说，我们要调查学生的学习成绩，我们可以按照不同年级或者不同班级来划分类别，然后在每个类别中按照一定的比例进行抽样。
方便抽样是最简单的一种抽样方式，它是根据研究者的方便性来选择样本。
比如说，我们要调查其中一种食物的口感好坏，我们可以根据研究者的经验和方便性选择一些人进行品尝。
二、事件的可能性在概率中，事件的可能性是一个核心的概念。
我们可以用适当的方法来计算事件发生的可能性。
事件的可能性可以用分数、百分数或者小数来表示。
例如，事件A发生的概率可以表示为P(A)=1/4，P(A)=25%，或者P(A)=0.25对于互斥事件（两个事件不能同时发生的事件），事件的概率可以直接相加。
比如说，已知事件A的概率为P(A)=1/2，事件B的概率为P(B)=1/3，那么事件A或者B发生的概率为P(A或B)=P(A)+P(B)=1/2+1/3=5/6在计算事件的概率时，我们需要注意两个事件是否独立。
当两个事件是独立事件时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
比如说，已知事件A的概率为P(A)=1/2，事件B 的概率为P(B)=1/3，那么事件A和B同时发生的概率为P(A和B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6三、频率和概率的关系在概率中，频率是指在大量重复试验中，一些事件发生的次数与总试验次数的比值。
简单事件概率的方法
简单事件概率的方法引言在概率论中，事件的概率是指某件事情发生的可能性大小。
对于简单事件的概率计算方法，我们可以通过实际观察、统计数据以及数学推理来进行。
本文将介绍一些常见的简单事件概率计算方法，帮助读者更好地理解和应用概率论知识。
经验法则经验法则是通过实际观察和统计数据来估计概率的一种方法。
这种方法基于大数定律，即当样本容量足够大时，样本频率会趋于真实概率。
比如，我们可以通过抛硬币来估计正面朝上的概率。
当我们抛掷硬币足够多次，观察正面朝上的次数，并除以总次数，就可以得到估计的概率。
这种方法简单直观，适用于一些简单事件的概率估计。
频率法则频率法则是另一种通过实验和观察数据来进行概率推断的方法。
它与经验法则类似，不同之处在于频率法则适用于大量独立重复试验的情况。
通过记录事件发生的次数和总次数，我们可以计算事件发生的频率，从而得出概率的估计。
这种方法常用于实验室实验和调查研究中，可以得到较为准确的概率估计。
古典概型古典概型是一种基于理论的概率计算方法，适用于有限样本空间且每个事件等可能发生的情况。
在古典概型中，我们可以通过计算事件的数量与样本空间的数量之比来得到概率。
比如，一枚公正的骰子有六个面，每个面出现的概率相等。
因此，投掷骰子的事件概率为1/6。
这种方法简单明了，适用于一些理论模型的计算。
几何概率几何概率是一种用几何空间中的面积或体积来计算概率的方法。
它适用于连续概率分布的情况，如均匀分布和正态分布。
通过计算事件发生的几何区域与总区域之间的比例，我们可以得到概率的估计。
例如，在正态分布中，我们可以通过计算曲线下某个区域的面积来得到事件发生的概率。
几何概率方法在实际问题中很常见，可以帮助我们理解和应用连续概率分布。
条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
它的计算方法是通过已知事件和条件事件的交集与已知事件的概率之比来得到。
例如，已知某篮子中有红球和蓝球，红球数量为4个，蓝球数量为6个。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在现实生活中，概率论被广泛应用于各个领域，如金融、医学、工程等。
本文将对概率论中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来介绍一下概率的基本概念。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于两个事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B)来表示，而它们的条件概率可以用P(A|B)来表示。
其次，我们来介绍一下概率的计算方法。
在概率论中，有两种常见的计算方法，分别是古典概率和统计概率。
古典概率是指在随机试验中，每个基本事件发生的可能性相等的情况下，事件A发生的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A包含的基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
而统计概率是指通过大量实验数据来估计事件发生的概率，它可以用频率来表示，即P(A) = n(A)/n，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示总的实验次数。
接下来，我们来介绍一下概率的加法规则和乘法规则。
概率的加法规则是指对于两个不相容事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∪B) = P(A) + P(B)来计算。
而概率的乘法规则是指对于两个独立事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B) = P(A) * P(B)来计算。
在实际应用中，加法规则和乘法规则可以帮助我们更好地计算复杂事件的概率。
最后，我们来介绍一下概率的期望和方差。
概率的期望是描述随机变量平均取值的指标，它可以用E(X)来表示，其中X表示随机变量。
概率的方差是描述随机变量取值的离散程度，它可以用Var(X)来表示。
期望和方差是概率论中重要的统计量，它们可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和分布。
综上所述，概率论是一门非常重要的数学学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学的一个分支，主要用来应对不确定性的情况，应用范围广泛，特别是在统计学、工程学、经济学、保险学、生物学、金融学等许多领域中具有重要的地位。
本文主要从概率的定义、概率的计算方法、随机变量、概率分布、统计推断等方面，对概率论的基本知识进行总结。
1、概率的定义概率是衡量某一事件发生程度的一个数，它表示在一组实验中某事件发生的可能性大小，也是衡量一个实验结果到底可信度的一个量，它的值介于0~1之间，越接近1表示发生的可能性越大，越接近0则表示发生的可能性越小。
另外，概率满足加法原理，即在实验中同时发生多件事情的概率等于各自发生概率的和。
2、概率的计算方法根据公式，概率P(A)固定时，可以使用条件概率的方法，把一个复杂的概率分解为两个或多个一个条件概率组合在一起。
另外，也可以利用贝叶斯公式，快速计算概率大小。
3、随机变量随机变量是概率论的基础，它描述的是概率实验的变量的取值和发生的概率分布，它可以是连续的，也可以是离散的。
有实验中的可能结果作为取值个体，以及每个可能结果发生的概率作为它的权重，将它们组合在一起，就构成了一个随机变量。
4、概率分布概率分布表示了随机变量在不同取值处的概率分布，具体的概率分布有常用的几何分布、二项分布、泊松分布、正态分布等。
5、统计推断统计推断，也称为抽样推断，是指利用样本估计总体的统计量的过程，它常用的方法有参数估计、卡方检验、t检验和方差分析等。
综上所述，概率论是一门十分重要的数学学科，被广泛用于许多学科领域，其基本知识围绕概率的定义、概率的计算方法、随机变量、概率分布和统计推断等组成。
正确理解和掌握概率论知识点，非常有助于我们在后续研究、做出决策等活动当中，从量化的角度准确地评估风险，并做出更加恰当的决定。
概率论十大经典定理？
概率论十大经典定理？1、伯努利大数定律：伯努利大数定律，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).⒈当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性.⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理,当n趋向于无穷大的时候,频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A).通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，样本数量越多，随机事件的频率越近似于它的概率，偶然中包含着某种必然。
2、中心极限定理：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
数学定义：设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为（σ^2）/n 的正态分布。
关于正态分布的核心结论是：μ、σ为均值和标准差，那么μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分别是68.3%、95.5%、99.73%！中心极限定理最早由法国数学家棣莫弗在1718年左右发现。
他为解决朋友提出的一个赌博问题而去认真研究二项分布（每次试验只有“是/非”两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立）。
他发现：当实验次数增大时，二项分布（成功概率p=0.5）趋近于一个看起来呈钟形的曲线。
后来，著名法国数学家拉普拉斯对此作了更详细的研究，并证明了p不等于0.5时二项分布的极限也是高斯分布。
之后，人们将此称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
比如，全国人口寿命、成年男女的身高分布、人在一天中情绪高低点对应的时间分布、金融市场中涨跌的时间周期及趋势的寿命等等，无不遵循此定理。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律和统计规律的数学理论。
它的研究对象是随机试验，通过对试验结果的统计，得出事件出现的可能性大小。
概率论的知识点非常丰富，以下对其中几个重要的知识点进行总结归纳。
1. 随机试验和样本空间：随机试验是指具有不确定性的实验，其结果在一定条件下具有随机性。
随机试验的所有可能结果构成样本空间，记作S。
2. 事件和事件的概率：事件是样本空间的子集，表示试验结果的某种特性或性质。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
3. 定义概率的三大公理：概率的定义基于三个公理。
第一公理要求概率非负，即P(A)≥0；第二公理要求样本空间的概率为1，即P(S)=1；第三公理要求互斥事件的概率可加性，即对任意一组两两互斥的事件A1，A2，...，An，有P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。
4. 条件概率：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率表示为P(A|B)，其计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件：事件A和事件B是独立的，如果它们的概率乘积等于它们的交集的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
独立事件之间的概率不会相互影响。
6. 全概率公式和贝叶斯定理：全概率公式是一种计算条件概率的方法，它可以将复杂的事件拆分成互斥的情况，并计算每种情况下的条件概率，再按照加法规则相加。
贝叶斯定理是一种根据条件概率计算反过来条件概率的方法，它可以根据已知的条件概率计算出对应的反过来条件概率。
7. 随机变量：随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散的或连续的。
离散随机变量只能取某些特定值，而连续随机变量可以取任意实数值。
8. 概率分布：概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
对于离散随机变量，概率分布由概率质量函数（PMF）表示；对于连续随机变量，概率分布由概率密度函数（PDF）表示。
概率论解题方法
概率论解题方法一、概率论简介概率论是数学中研究随机现象的分支学科，它主要研究随机事件发生的可能性。
概率论广泛应用于统计学、物理学、经济学、工程学等领域，能够帮助我们理解和分析许多实际问题。
在解决概率论问题时，我们需要掌握一些常用的解题方法，本文将介绍其中一些方法。
二、概率计算的基本原理在概率论中，我们经常用到概率计算的基本原理，包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当两个事件互斥时，它们发生的概率等于各自发生的概率之和。
互斥是指两个事件不可能同时发生。
例如，掷骰子时只能出现一个数，不可能同时出现两个数。
2. 乘法原理乘法原理是指当两个事件相互独立时，它们同时发生的概率等于各自发生的概率相乘。
相互独立是指两个事件的发生与另一个事件无关。
例如，从一副扑克牌中抽取两张牌，第一次抽到一张红桃后放回，再抽到一张黑桃，这两个事件是相互独立的。
三、排列与组合在解决概率题中，经常需要用到排列和组合的概念。
1. 排列排列是指从一组对象中选择若干个对象进行排列，其顺序不同被视为不同的排列。
例如，从3个数中选取2个数进行排列，可以有6种不同的排列。
排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n - k)!，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象数。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，其顺序被视为相同的组合。
例如，从3个数中选取2个数进行组合，只有3种不同的组合。
组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象数。
四、条件概率条件概率是指在某一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以利用乘法法则。
1. 条件概率的计算公式设事件A和事件B为两个不同时为零的事件，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记为P(A|B)。
根据乘法法则，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
概率论基础知识
概率论基础知识
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊这个超有趣的概率论基础知识！
你们想想看啊，就像扔硬币，正面朝上还是反面朝上，这是不是就是一种概率呀！比如说咱俩打赌，这硬币扔出来是正面，嘿，结果还真就是正面，哇塞，这多神奇！
概率论就像是一个神秘的盒子，里面藏着各种可能性。
好比抽奖，你永远不知道自己会不会中那个大奖，但你心里又有着那么一丝期待，这不就是概率在作祟嘛！
再来说说掷骰子。
“哎呀，我这次肯定能掷个六出来！”结果呢，没中。
但是下一次，说不定就中啦，这就是不确定性，这就是概率论的魅力所在啊！
还记得有一次我和朋友玩游戏，猜卡片上的数字，我就感觉自己有特别强烈的预感能猜对，果然，真就被我猜中了！这难道不是概率论在起作用吗？
咱平常生活中很多事情都跟概率有关呢。
比如出门会不会下雨，坐公交会不会有座位，这些看似平常的小事儿，背后都藏着概率的影子。
概率可不是什么遥不可及的东西，它就在我们身边，影响着我们的一举一动。
咱就说考试的时候，碰到一道难题，蒙一个答案，是不是也有对的概率呀！
总之，概率论基础知识就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解世界的新大门。
它让我们知道，生活充满了各种可能，有惊喜，也有意外，但正是这些才让生活变得丰富多彩呀！所以说，大家一定要好好去了解和掌握概率论基础知识哟！。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，研究的是不确定性现象的定量描述和分析。
它在统计学、金融、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将对概率论的一些重要知识点进行总结和讨论。
一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的一个数值。
常见的概率表示方法有频率概率和古典概率两种。
频率概率是通过长期观察或实验得到的相对频率，古典概率是从事件的基本性质和前提出发推断得到的。
二、事件和样本空间在概率论中，事件是指一次试验的可能结果的集合。
样本空间是指所有可能的结果的集合。
根据事件发生的可能性，事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件等。
三、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在计算条件概率时，需要使用乘法规则和全概率公式。
四、独立性事件的独立性是指两个或多个事件的发生不会互相影响。
当事件A和事件B独立时，它们的联合概率等于各自的概率的乘积。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义推导得到的，它可以用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯定理在统计学、机器学习等领域有着重要的应用。
六、随机变量随机变量是对随机试验结果的数量特征的数字描述。
它可以分为离散随机变量和连续随机变量两种。
离散随机变量取有限或可数个值，而连续随机变量则可以取任意的实数值。
七、概率分布概率分布描述了随机变量取各个值的概率。
常见的概率分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。
这些分布在实际问题中有广泛的应用。
八、期望和方差期望是随机变量取值的加权平均值，它可以用来描述一个随机变量的平均水平。
方差是随机变量与其期望之差的平方的平均值，它用来衡量随机变量的离散程度。
九、大数定律和中心极限定理大数定律指出，当样本容量足够大时，样本均值将逐渐接近于总体均值。
中心极限定理则指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
总结：概率论是一门很有用的学科，提供了对不确定性的量化和解释的工具。
教孩子简单的概率统计方法
教孩子简单的概率统计方法概率统计是一门重要的数学学科，它帮助我们了解和预测事件发生的可能性。
在现代社会中，掌握一些简单的概率统计方法对孩子们来说至关重要。
在本文中，我们将介绍几种适合教孩子的简单概率统计方法，并给出相应的实例。
一、抛硬币抛硬币是介绍概率统计最简单的方法之一。
我们可以与孩子们一起进行这个实验，让他们了解到“正面”和“反面”出现的机会是相同的，即50%。
首先，给孩子们展示一枚硬币，并告诉他们对于公平的硬币来说，正反面出现的概率是相同的。
然后，让孩子们分别进行一定次数的抛硬币实验，并记录下每次抛硬币的结果。
最后，帮助孩子们计算正反面出现的频率，并与50%的理论概率进行对比，进而加深对概率统计的理解。
二、扔骰子扔骰子也是一个简单有趣的概率统计实验。
我们可以用六面骰来进行这个实验，让孩子们理解每个面出现的概率都是相同的，即1/6。
首先，给孩子们展示一个六面骰，并告诉他们每个面的数字出现的机会是相同的。
然后，让孩子们分别进行一定次数的扔骰子实验，并记录下每次扔骰子的结果。
最后，帮助孩子们计算每个数字出现的频率，并与1/6的理论概率进行对比，通过实际体验来感受概率统计的奥妙。
三、抽奖箱抽奖箱实验可以帮助孩子们理解概率与事件发生的关系。
我们可以用一个装有彩色球的抽奖箱来进行这个实验。
首先，告诉孩子们抽奖箱里有红、蓝、黄三种彩色球。
然后，让孩子们连续进行多次抽球实验，并记录下每次抽到的颜色。
通过统计实验结果，帮助孩子们计算每种球出现的频率，并与发生概率进行对比，从而加深对概率统计的理解。
四、天气预测天气预测是一个与概率统计相关的实际问题，可以帮助孩子们将概率统计与日常生活联系起来。
我们可以每天与孩子一起观察天气的情况，并记录下来。
然后，根据记录的数据，帮助孩子们计算某种天气出现的频率，比如晴天、阴天、雨天等。
通过多日观察和统计，让孩子们发现某种天气出现的概率是相对稳定的，从而使他们更好地理解概率统计与现实生活的关系。
概率论技巧分享
概率论技巧分享在概率论中，技巧是帮助我们解决问题、做出准确预测的宝贵工具。
本文旨在分享一些概率论中的常用技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。
一、样本空间和事件概率论的基础是样本空间和事件的概念。
样本空间是指所有可能结果的集合，而事件是样本空间中的元素的集合。
在使用概率论解决问题时，正确理解和确定样本空间和事件是至关重要的。
二、概率的定义与性质概率是描述事件发生可能性的数值。
概率的定义是：对于一个事件A，其概率P(A)满足0≤P(A)≤1，且P(样本空间)=1。
根据概率的定义，我们可以推导出一些重要的性质，如互余事件的概率和为1，事件的概率不会超过1等。
三、条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算方法是用事件A和B的交集的概率除以事件B的概率，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
独立性是指两个事件的发生与否不会互相影响。
在判断两个事件是否独立时，我们需要检查它们的概率乘积是否等于它们的交集的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
四、计数原理计数原理是概率论中常用的计算方法之一，用于解决具有一定规律的排列和组合问题。
在计数原理中，我们可以分别使用排列和组合的方法来计算不同情况下的可能性。
排列是指从一组元素中选取若干个进行排列的方式，而组合是指从一组元素中选取若干个进行组合的方式。
五、随机变量和概率分布随机变量是概率论中的重要概念，用于描述随机事件的数值特征。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量取值于有限个或可数无穷个元素的集合，而连续随机变量则取值于连续的实数集合。
概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等，而常见的连续概率分布有正态分布、指数分布等。
六、期望和方差期望是随机变量取值的平均值，可以理解为随机变量在大量试验中的长期平均。
方差是随机变量取值与期望之差的平方的平均值，描述了随机变量取值的离散程度。
概率论基本知识
概率论基本知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊概率论这个超有意思的玩意儿！概率论呀，就像是我们生活中的一个神秘小魔法。
比如说抽奖吧，你知道为啥有时候你老是抽不中，而别人却能一抽就中吗？这里面就有概率论在起作用呢！这就好比在一个装满各种球的大箱子里摸球，摸出某个特定球的概率是不一样的呀。
再想想抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率各是一半，这不就是概率论的简单例子嘛！每次抛硬币的时候，你是不是都会有点小期待，到底是正面还是反面呢？
还有掷骰子！你要是跟朋友玩游戏，掷出六点的概率可就是六分之一呢。
有时候你特别想掷出六点，可它就是不出现，真让人着急！但有时候运气来了，接连几次都是六点，那可不得兴奋得大叫！
然后还有排队这件事，你想想，你排在一个长长的队伍后面，你多希望队伍能快点前进，你能快点轮到呀。
这里面也有概率的因素在呢，比如前面的人办事快不快呀。
概率论可不只是在这些小事上起作用哦，在很多大的事情上也很重要呢。
比如保险行业，他们就是根据概率来计算各种风险的呀。
总之，概率论就像是我们生活中的一个神奇的小助手，虽然有时候我们感觉不到它的存在，但它却在悄悄地影响着我们的生活呢。
它让我们的生活变得既有挑战又充满惊喜。
所以啊，千万不要小看概率论基本知识，它可有着大用处呢！赶紧去好好了解一下吧！。
数学复习小技巧简单理解概率与事件的概念
数学复习小技巧简单理解概率与事件的概念数学复习小技巧：简单理解概率与事件的概念概率和事件的概念是数学中的基础概念，也是我们日常生活中经常接触到的内容。
在数学复习中，如何简单地理解概率和事件的概念，能够有效地提高我们的学习效果。
本文将介绍一些小技巧，帮助大家更轻松地掌握这些概念。
一、了解概率的含义与计算方法概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率的计算是通过计算某个事件发生的可能性与所有可能性之比来得出的。
常见的概率计算方法有频率法、几何法、古典概型和条件概率等。
1. 频率法：通过多次试验来计算某个事件发生的频率，从而得出概率。
例如，我们可以通过投掷一个均匀的骰子多次，统计出每个点数出现的次数，然后用每个点数出现次数与总次数的比值来估计概率。
2. 几何法：通过几何图形来计算某个事件的概率。
例如，当我们求一个正方形内某个区域的概率时，可以将该区域内的面积与正方形的面积之比作为概率值。
3. 古典概型：指具有相同概率的基本事件构成的样本空间。
例如，投掷一枚均匀硬币，出现正面或反面的可能性都是1/2，可以将样本空间表示为{正面，反面}。
4. 条件概率：指事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率，可以表示为P(A|B)。
例如，求一个扑克牌从一副牌中随机选择，是红心的概率，可以通过条件概率来解决。
通过掌握这些概率计算方法，我们可以更准确地理解和计算各种概率问题。
二、理解事件的概念与分类事件是指我们所关心的结果或者状况。
根据事件的发生情况，可以将事件分为必然事件、不可能事件和可能事件。
1. 必然事件：指一定会发生的事件。
例如，抛硬币时，硬币一定会出现正面或反面。
2. 不可能事件：指一定不会发生的事件。
例如，抛硬币时，硬币不可能出现两面都是正面。
3. 可能事件：指有一定概率发生的事件。
例如，抛硬币时，硬币出现正面或出现反面都是可能事件。
除了根据事件的发生情况分类外，事件还可以根据它们之间的关系进行分类，包括互斥事件、对立事件和独立事件等。
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在许多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
下面为大家介绍一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如抛硬币时，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率为 0，表示这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，则表示这个事件一定会发生。
计算概率的方法有很多种。
比如古典概型，假设样本空间中的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
二、条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
比如已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，反之亦然，那么我们就说事件 A 和事件 B 相互独立。
独立性在概率论中有着重要的地位。
如果两个事件相互独立，那么它们的联合概率等于各自概率的乘积，即 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
三、随机变量随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
它可以是离散的，比如抛骰子的点数；也可以是连续的，比如某地区一天的气温。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，而连续型随机变量的概率分布则用概率密度函数来描述。
常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布等。
二项分布适用于n 次独立重复试验中成功的次数，比如抛硬币 n 次，正面出现的次数。
泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
常见的连续型随机变量有正态分布，也称为高斯分布。
它在自然界和社会现象中非常常见，比如人的身高、体重等很多指标都近似服从正态分布。
四、数学期望与方差数学期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量取值的平均水平。
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万维钢：最简单概率论的五个智慧我认为人人都应该学一些概率知识，它现在是公民必备知识。
现在的世界比过去复杂的多，其中有大量不确定性，是否理解概率，直接决定一个人的开化程度。
1、随机概率论最基础的思想——有些事情是无缘无故地发生的。
这个思想对我们的世界观有颠覆的意义。
古人没有这个思想，认为一切事物都是有因果的，甚至可能都是有目的的。
人们曾经认为世界像一个钟表一样精确的运行。
但真实世界不是钟表，他充满不可控的偶然。
更严格的说，有些事情的发生，跟他之前发生的任何事情，都可以没有因果关系。
不论我们做什么都不能让他一定发生，也不能让他一定不发生。
一个人考了好大学，人们会说这是他努力的结果，一个人事业成功，人们会说这是他努力工作的结果。
可是如果一个人买彩票中了大奖，这又是为什么呢？答案是没有任何原因，这完全是一个随机事件。
总会有人买彩票中奖，而这一期彩票中奖，跟他是不是好人，他在之前各期买过多少彩票，他是否关注中奖的走势，没有任何关系。
若一个人总是买彩票，他中奖的概率会比别人大点吧。
的确，他一生之中中一次奖的概率比那些只是偶然买一次彩票的人大。
但是当他跟上千万个人一起面对一次开奖的时候，他不具备任何优势。
他之前所有的努力，对他在这次开奖中的运气没有任何帮助。
一个此前没有买过任何彩票的人，完全有可能，而且有同样大的可能，在某一次开奖中把最高奖金拿走。
中奖，既不是他个人努力的结果，也不是“上天”对他有所“垂青”；不中，也不等于任何人与他做对。
这就是“随机”，你没有任何办法左右结果。
但大多数事情并不是完全的随机事件。
偶然和必然结合在一起，就没那么容易理解了。
人们经常错误的理解偶然，总想用必然去解释偶然。
体育比赛是最典型的例子。
球队赢了球，人人有功，记者帮着分析取胜之道；输了球，人人有责，里里外外都要进行反思，甚至反思能上升到国民素质的层次。
但比赛其实是充满偶然的事件，你所能做的就是尽可能争取胜利。
哪怕准备的再好，总有一些因素是不确定的，也就是我们常说的运气。
很少有记者把输球或赢球的原因归结于运气，人们被随机性所迷惑，狂喜狂怒从不淡定，甚至不惜人身攻击。
实际上，现代职业化竞技体育中，参赛者之间的实力差距并不是天壤之别，决定比赛结果的偶然性因素非常大。
强队也会输给弱队，这是现代体育的重要特征，也是魅力所在。
若强队一定胜利，比赛还有什么悬念？所以偶然因素不值得较真，只要输少赢多依然还是强队。
理解随机性，我就知道很多事情发生就发生了，没有太大可供解读的意义。
我们不能从这件事获得什么教训，不值得较真，甚至不值得采取行动。
比如，再完美的交通工具也不可能百分百安全，我们会因为极小的事故概率不坐飞机吗？我们只需要确定事故概率比其他旅行方式小就可以了。
甚至连这都不需要，只需要确定这个小概率事件我们能够容忍就可以了。
避免一朝被蛇咬十年怕井绳。
2、误差既然绝大多数事情都同时包含偶然因素和必然因素，我们自然就想排除偶然去发现背后的必然。
偶然的失败和成功都不必大惊小怪，我根据必然因素去发现判断，这总可以吧？可以，但是必须先理解误差。
历史上最早的科学家曾经不承认实验可以有误差，认为所有的测量必须都是精确的，把任何误差归结为错误。
后来人们才渐渐意识到偶然因素是永远存在的，即使实验条件再精确也无法完全避免随机干扰的影响，所以做科学实验往往要测量多次，用取平均值之类的统计手段得出结果。
多次测量确实是一个排除偶然因素的好办法。
国足输掉比赛以后经常抱怨偶然因素，裁判不公、主力不在、不适应客场气候，草皮太软、草皮太硬，等等。
关键是，如果经常输球，我还是可以得出国足是个弱队的结论。
即便科学实验也是如此，科学家哪怕是测量一个定义明确的物理参数，也不能给出最后的“真实答案”，他们总在测量结果上加一个误差围。
比如最近发现的希格斯粒子质量为125.3±0.4(stat) ±0.5(sys) GeV.意思是质量125.3，但其中有0.4的统计误差，还有0.5的系统误差。
真实的质量其实只有一个，但这个数字是多少，我不知道，它可以是这个误差围的任何一个数字。
事实上，甚至可能是误差围外的一个数字。
这是因为误差围是一个概率计算的结果，这个围的意思是说物理学家相信真实值落在这个围以外的可能性非常非常小。
所以真实值非常不易得。
而且，别忘了科学实验是非常理想化的，大多数事情根本没有机会多次测量。
若只能测一次，那么对这一次测量的结果该怎么解读？只能根据以往经验和类似案例，来估计一个大致的围。
有了误差的概念，就要学会忽略误差围的任何波动。
例子：中国的统计数据，2013年全国居民收入的基尼系数为0.473，新闻报道说，该数据较2012年0.474略有回落，回落有多大？0.001，从统计角度来说，其实没有什么意义，可能测量的误差就大大超过0.001.3、赌徒谬误假如一个人在赌场玩老虎机，一上来运气不太好，连输好几把。
这时候你是否有种强烈的感觉，你很快该赢了？买股票、期货、彩票都是一样。
对投资标的一无所知的情况下，投资相当于赌博。
连续好几把上来就亏损的情况下，是不是觉得下一把挣钱的概率很大？很多投资大师都说，自己判断失误也很多，错了及时止损，对了继续追加，抓住趋势，一把能翻回来。
听起来很简单是不是。
这完全是一种错觉。
赌博完全是独立的随机事件，这意味着下一把的结果和以前所有的结果都没有任何联系，已经发生了的事情不会影响将来。
举个例子，瓶子里6个球，标号1-6，现在要从这六个球中随便拿个出来，这六个球被你拿到的概率是相等的，都是1/6。
现在假设前面拿到6的次数比2多。
那么再一次拿的时候，你是否就会有更大的机会拿到2呢？不会，这些球根本不会记得谁曾经被抽到过，2号球也不会跑过来让你抽。
他们的概率依然是1/6.概率论中有个“大数定律”说如果进行足够多的抽奖，那么各种不同结果出现的频率就会等于他们的概率。
对上面这个例子来说，如果抽取的次数足够多，那么2和6的次数大致相等。
但人们常常错误的理解随机性和大数定律，以为随机就意味着均匀。
如果过去一段时间发生的事情不均匀，人们就错误的以为未来的事情会尽量往“抹平”的方向走，用更多的2去平衡此前多出来的6。
但大数定律的工作机制不是和过去搞平衡，它的真实意思是说如果未来进行非常多次的抽奖，你会得到非常多的2和非常多的6，以至于他们此前的一点点差异就会变得微不足道。
赌徒谬误，例子：有人认为2已经连续出现了3期，而6已经连续出现了5期，则再一次中2出现的概率明显大于6。
这完全错误，下一次出现2和6的概率是完全相等的。
例如，有个笑话说一个人乘坐飞机时总带着一颗炸弹，他认为这样就不会被恐怖分子炸粉机了，因为一架飞机上有两颗炸弹的可能性非常小。
再比如战场上士兵有个说法，如果战斗中炸弹在你身边爆炸，你应该迅速跳进那个弹坑，因为两颗炸弹不大可能打到同一个地方。
这都是不理解独立随机事件导致的。
4、在没有规律的地方发现规律理解了随机性和独立随机事件，我们可以得到一个结论：独立随机事件的发生是没有规律和不可预测的，这是一个非常重要的智慧。
彩票分析师，相信中奖存在走势，相信其中的规律，所以近期多次出现的组合可能会继续出现，或者按照这个趋势可以预测下一个。
但这里根本没有规律，是完全随机的现象，即便存在缺陷，也需要大量的开奖后才能发现，而且缺陷的结果也很简单，无非是某个特定出现的可能性略大一些，完全谈不上什么复杂规律。
明明没有规律，这些彩票分析师是怎么看出规律来的呢？也许他们不是故意骗人，而很可能他们真的相信自己找到了彩票的规律。
发现规律是人的本能，春天过后是夏天，乌云压顶常下雨，大自然中很多事情的确是有规律的。
我们的本能工作的如此之好，以至于我们在明明没有规律的地方也能找出规律来。
人脑很擅长理解规律，但是很不擅长理解随机性。
在没有规律的地方发现规律是很容易的事情，只要你愿意忽略所有不符合你这个规律的数据。
而且如果数据够多，我们可以找到任何我们想要的规律。
有人拿圣经做字符串游戏，在特定位置中寻找对应世界大事的字母组合，并声称这是圣经对后世的预言。
问题是，这些预言可以完美的解释已经发生的事情，但在预测未发生的事情时就不好使了。
关键是圣经中有很多很多字符，如果仔细寻找，尤其是借助计算机的话，总能找到任何想要的东西。
把圣经换成毛选也一样，你会发现毛选也早就预言了中国后世发生的所有大事。
未来是不可被精确预测的，这个世界也并不像钟表那样运行。
5、小数定律现在我们知道，数据足够多的话，人们可以找到任何自己想要的重要规律，只要他不在乎这些规律的严格性和自洽性。
那么在数据足够少的情况下又会如何？如果数据足够少，有些规律会自己跳出来，你甚至不相信都不行。
例子：“巴西队的礼物”：只要巴西夺冠，下一届的冠军就将是主办大赛的东道主，除非巴西队自己将礼物收回。
这一定律在2006年被破解。
“1982轴心定律”世界杯夺冠球队以1982年世界杯为中心呈对称分布，这个定律在2006年被破解。
还有一些未破解的定律：凡是获得联合会杯或美洲杯，就别想在下一届世界杯夺冠。
中国队也有自己的定律：“王治郅定律”只要王治郅参加季后赛，八一队必然得总冠军（已破解），“0:2”落后无人翻盘定律“（尚未破解）。
如果仔细研究这些定律，会发现不易破解的定律其实都有一定的道理，王治郅和八一队都很强，0：2落后的确很难翻盘，而获得世界杯冠军是个非常不容易的事情，更别说同时获得联合会杯、美洲杯和世界杯。
但不容易不等于不会发生，他们终究会被破解。
哪些看似没有道理的神奇定律（正因为没道理，所以显得神奇），则大多数已经破解。
之所以神奇，是因为纯属巧合。
世界杯总共才进行了80多年，20多届。
只要数据足够少，我们总能发现一些没有破解的规律。
如果数据少，随机现象可以看上去很不随机，甚至非常整齐，感觉好像真有规律一样。
V2导弹轰炸伦敦的落点分布，被误认为V2有极高的精度，误导盟军战略部署，直到数学家解决这个问题。
问题的关键是，随机分布不等于均匀分布。
要想均匀分布，必须要样本总数非常大的时候才有效。
一旦不均匀，人们就认为其中必有缘故（阴谋论起源），而事实却是这可能只是偶然事件。
如果统计数据很少，就很容易出现特别不均匀的情况。
这个现象被诺奖得主丹尼尔·卡尼曼戏称为“小数定律”。
卡尼曼说，如果我们不理解小数定律，就不能真正理解大数定律。
大数定律是我们从统计数字中推测真相的理论基础。
大数定律说如果统计样本足够大，那么事物出现的频率就能无限接近他的理论概率——也就是他的“本性”。
而小数定律说如果样本不够大，那么他就表现为各种极端情况，而这些情况可以跟他的本性一点关系都没有。
一个只有二十人的乡村中学某年突然有两人考上清华，跟一个有两千人的中学每年都有两百人考上清华，完全没有可比性。
如果统计样本不够大，就什么也说明不了。