量子力学解答(5章)

合集下载

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7

与视核为点电荷时电子的势能之差为
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符具有共同本征矢 n 。因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。解：由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1

量子力学第五章习题

第五章微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。

量子力学讲义第五章

第五章中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。

取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。

一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。

量子力学习题解答-第5章

第五章全同粒子本章主要内容概要1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。

在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。

所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。

所有自旋为整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。

由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。

对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。

如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为12121212()()()()()()(,,...,,...,)()()()i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。

当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。

对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N Pq q q q C P q q q αφφφΦ=∑其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P∑表示对所有可能排列求和，由于波色子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1，全不相等时为1/2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。

量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案第5章-1

量⼦⼒学第四版卷⼀（曾谨⾔著）习题答案第5章-1第五章：对称性及守恒定律P248设粒⼦的哈密顿量为 )(2??2r V p H+=µ。

（１）证明V r p p r dtd ??-=?µ/)(2。

（２）证明：对于定态 V r T ??=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ++=?，运⽤⼒学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21],[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=µ（２）分动量算符仅与⼀个座标有关，例如xi p x ??=，⽽不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z yy x x +++++=µµµ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：222?2??x x x p i p i p i =+= （４）xVxi ??=?? （５）将（４）（５）代⼊（３），得：代⼊（１），证得题给公式：V r pp r dt d ??-=? µ2?)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的⼒学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r A ?= 则0)??(*2=??-==V r p d p r p r dt d τµτψψ（７）但动能平均值 µτψµψτ22?*22p d p T =≡由前式 V r T ??=21 P249 设粒⼦的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维⾥定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应⽤于特例：（１）谐振⼦ T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维⾥定理：假设粒⼦所在的势场是直⾓坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场⽤直⾓坐标表⽰的函数，可以表⽰为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是⽆理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满⾜：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)

第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。

适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。

个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。

相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。

2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。

（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。

量子力学 05中心力场

质心坐标相对坐标
r r r r Y( r1 , r2 ) Y( R, r )
x1

X X x1

x x x1
x
1 1 R r 1 2 2 R r 2 1 2
z
r1
1
r
1

l (l 1) u0 2 r
若令
V (r )
l (l 1)h 2r
2
2

e
2
r
于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。
d u dr
2
2

2 h
2
[ E V ( r )]u 0
讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：
•
（7）
•如果令 •则有
l (r ) [
''
Rl (r )
1 r
l (r )
l ( l 1) r
2
（8）
] l (r ) 0
2
2
( E V ( r ))
（9）
•由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取值无关。 •上述径向方程解的情况有两种： •⑴如果E>0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱，电子此时离开原子核而运动到无限远处。 •⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l， • nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
第5章中心力场

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-中心力场(圣才出品)

第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。

径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。

径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。

化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。

（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0，点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。

量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学课后习题详解第五章微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为00ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即2004ze U r rπε=-（）在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为ˆˆ()HT U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区域， 200()()4Ze U r U r r πε=-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆHH H '=+得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以认为(0)ˆˆHH '<<，视为一种微扰。

对于基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ，2422(0)1222e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故102≈-r a Ze 。

量子力学习题解答-周世勋

周世勋《量子力学教程》习题解答第一章习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。

并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。

解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。

解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。

解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。

曾谨严量子力学习题解答5

= − nx − iny 1+ nz
2
归一化本征函数为
φ−1
(θ
,ϕ
)
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎣−
sin θ 2
θ cos
eiϕ
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
或
⎡⎢⎢⎢⎢⎣−sicnoθs2θ2e
−iϕ /
eiϕ
2 /2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⑻
或
φ1(nr) =
或
1 ⎡ 1+ nz ⎤
2 (1 +
nz
)
⎢⎣nx
+
iny
⑷
由⑶、⑷可解得: a = −b = 1 2
所以 σ x的本征态为:
ψ− =
1 ⎛1⎞
2
⎜ ⎝
−1⎟⎠
5.《曾 p.442-练习2》
在σ z 表象中,求 σr ⋅ nr 的本征态,nr (sinθ cosϕ,sinθ sinϕ, cosθ ) 是 (θ ,ϕ )方向的单位
矢量.
解:在σ z 表象中, pauli 算符σ 的矩阵表示为
σx
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
,
σ
y
=
⎡0 ⎢⎣ i
−i⎤ 0 ⎥⎦ ,
σz
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
⑴
因此
σn
= σr
⋅ nr
= σ xnx
+σ
yny
+ σ znz
=
⎡
⎢ ⎣
nx
nz + iny
nx − iny ⎤
−nz
⎥ ⎦
=
⎡ cosθ ⎢⎣sinθ eiϕ

量子力学解答(5章)

1 1 < Y10 | ( L+ + L− ) 2 | Y10 >= < Y10 | ( L+ + L− )h 2 (| Y11 > + | Y1−1 >) 4 4
co
而 L± | Ylm >= h (l m m)(l ± m + 1) | Ylm±1 > ，所以，在Y10中的平均值为：
m
展开系数分别为：
网
ww
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ1 = ⎜ 0 ⎟ φ0 = ⎜ 1 ⎟ φ−1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
案
，
w.
kh
Lz的本征函数为：
⎛1⎞ 2⎜ ⎟ < φ0 | ψ 0 >= (0,1,0) ⎜0⎟ = 0 2 ⎜ ⎟ ⎝1⎠
da
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎜ 2⎜ ⎟ 1⎜ 1⎜ 1⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ ϕ 0 = ⎜ 0 ⎟ ϕ−1 = ⎜ − 2 ⎟ ψ 1 = ⎜ i 2 ⎟ ψ 0 = ⎜ 0 ⎟ ψ −1 = ⎜ − i 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ 2⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ −1 ⎠
w.
co
m
1 1 ( L+ + L− ) ， L2 ( L+ + L− ) 2 x = 2 4
(b) 设对应Lz三个本征值ħ，0，-ħ的本征态的展开系数分别为a,b,c, 则相对概率之比为： a2：b2：c2=1：4：1，归一化得概率为： Lz测值概率=|系数|

量子力学导论第5章答案

量子力学导论第5章答案第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。

在束缚定态，有。

其复共轭为。

5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。

5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。

证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。

本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。

（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量。

证明下列求和规则。

是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。

证：（）又。

不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为（1）证：式（1）左端（2）计算中用到了公式。

由于是厄米算符，有下列算符关系：（3）式（2）取共轭，得到（4）结合式（2）和（4），得证毕。

5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：。

（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。

，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）从（1）式有（6’）由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，，（3）式变为：（8）将（7’）代入（8）式，可得（9）选择适当的，使得（9）（4）。

量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质详解

0
(7)
不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于
径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定.
一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
5.1.2 径向波函数在r→0邻域的渐进行为
假定V(r)满足 limr2V (r) 0
(8)
r 0
此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成
d2 dr 2
（18）
2M R
c
----描述质心运动
2
2
V (r) (r) E (r)
2
E ET EC
----描述相对运动
量子力学教程（第二版）
5.2 无限深球方势阱
考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动，
这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动
0， r a V (r) ， r a
(1)
V(r)
m l,l 1, , l (4)
代入方程（1），得到径向方程
d2 dr 2
Rl (r)
2 r
d dr
Rl (r)
2
2
(E
V
(r))
l(l 1) r2
Rl (r)
0
(5)
令
Rl (r)
l (r)
r
(6)
则 l (r) 满足
d2l (r)
dr 2
2
2
(E
V
(r))
l(l 1) r2
l
(r)
（12）
量子力学教程（第二版）
球方势阱内的解应取为
R (r ) j (kr )
l
l
式中k由边条件（10）确定，即
（13）
j (ka) 0 l

量子力学第5章习题课

0 − e − k1a − 0 − e − k1a =
− k 2 sin k 2 a k 1e − k1a − cos k 2 a cos k 2 a
k 2 cos k 2 a − k 2 sin k 2 a k 1e − k1a = e − k1a [− k 1 k 2 e − k1a cos 2 k 2 a + k 2 e − k1a sin k 2 a cos k 2 a + 2 + k 1k 2 e
2 2 2 1 0 1 1
Ⅱ：
h2 d 2 − ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x) 2 2µ dx
−a≤ x≤a
②
Ⅲ：
h2 d2 − ψ 3 ( x ) + U 0ψ 3 ( x ) = Eψ 3 ( x ) 2 2µ dx
a<x<∞③
整理后，得
2µ (U 0 − E ) ψ ψ1 = 0 Ⅰ： 1′′ − 2 h 2µ E Ⅱ： ψ 2′′ + h 2 ψ 2 = 0 2µ (U 0 − E ) ψ Ⅲ： 3′′ − h 2 ψ 3 = 0
2 k2 k2 k2 2 sin k 2 a cos k 2 a + sin k 2 a − cos 2 k 2 a − sin k 2 a cos k 2 a = 0 k1 k1 k 12 2 k2 2k 2 ( −1 + 2 ) sin 2k 2 a − cos 2k 2 a = 0 k1 k1 2 ( k 2 − k 12 ) sin 2k 2 a − 2k 1 k 2 cos 2k 2 a = 0
(k − k ) sin 2k 2 a − 2k1 k 2 cos 2k 2 a = 0
2 2 2 1

(整理)第5章微扰近似方法和和选择定则全

第5章微扰近似方法和和选择定则（全）在量子力学中，微扰就是置一缚态电子体系，于外部弱电磁场中，这个电磁场不会破坏电子系统的物质结构，但是可能使原子内的，电子能级分布发生一些微小的变化。

微扰的数学描述就是体系的哈密顿函数增加一个微扰修正项。

一般情况下体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况实际上寥寥可数。

因此，引入各种近似方法求解各种复杂情况下薛定谔方程的问题就显得十分重要。

常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩（Born ）-奥本海姆R （Oppenheimer ）近似等。

不同的近似方法有不同的适用范围。

本章将先讨论分立谱的微扰理论、变分法和半经典近似，其他各种近似将在以后各章中讨论。

由于体系的哈密顿算符微扰修正项既可能不显含时间（恒定电磁场），又可能显含时间（高频电磁场），因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。

本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。

最后再介绍半经典近似。

5.1非简并定态微扰论近似方法非简并定态微扰论近似方法的精神是，从已知的简单问题的精确解出发，求较复杂系统的问题的近似解。

当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和精确解之间的偏离程度。

本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。

假定体系的哈密顿量H 不显含t （静电场、静磁场），能量的本征方程：H ψψE = （5.1.1）满足下述条件:（1） H 可分解为H 。

和H ’两部分，H O 为厄米算子，而且H ’远小于H OH = H 0 + H ´ （5.1.2） H'<<0H （5.1.3）（5.1.3）式表示，H 与H O 的差别很小，H'可视为加于0H 上的微扰。

（5.1.3）式的严格意义我们以后再详细说明。

由于H 不显含t ，因此，无论0H 或是H ’均不显含t 。

第5章3散射分波法和Born近似

ka
由此可得到总散射截面为
Q
Q0
4
k2
sin 2 0
4 sin 2[arctg( k tgk a) ka]
k2
k
在粒子能量很低k→0的情况下
式中
0
k a[ tg (k 0 a) k0a
1]
Q
4
k2
sin 2 0
4
k2
2 0
4a 2 (tgk0a
k0a
1)2
k0
2 | V0
2
|
k
如果散射场不是势阱而是方形势垒，即 V0＞0，
Q q( ,)d 0 0 q( ,) sindd
Q称为总散射截面。
2.散射截面的计算公式
取散射中心为坐标原点。用V(r)表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，
则体系的Schrödinger方程写为
2 2 V (r) E
2
令 k2 则有
2E
2
2
p2 2 ,v
[k
2
p k
2
,U (r)
dn
J r dS
v r2
|
f
( ,) |2
dS
v|
f
( ,) |2
d
微分散射截面是q( ,) | f ( ,)
N
|2
|
f
( ,)
|2
d
3.中心势场中的弹性散射――分波法
2 [k 2 U (r)] 0 (5．40)
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称，波函数ψ和散射振幅f都与φ角无关。
i
(
l
1 2
l

量子数习题——精选推荐

量⼦数习题第5章习题1. 指出下列各原⼦轨道相应的主数n 及⾓量⼦数ｌ的数值是多少？轨道数分别是多少？2p 3d 4s 4f 5s2. 当主量⼦数n=4时，可能有多少条原⼦轨道？分别⽤nlm ψ表⽰出来。

电⼦可能处于多少种运动状态（考虑⾃旋在内）？3. 将下列轨道上的电⼦填上允许的量⼦数。

（1）n ，ｌ=2，m s =±21（2）n=2，ｌ，m=0，m s =±21（3）n=4，ｌ=2，m= ，m s = -21（4）n=3，ｌ=2，m=2，m s =（5）n=2，ｌ，m=－１，m s = -21（6）n=5，ｌ=0，m= ，m s = +214．填上n ，ｌ，m ，m s 等相应的量⼦数：量⼦数确定多电⼦原⼦轨道能量E 的⼤⼩；ψ的函数式则是由量⼦数所确定；确定核外电⼦运动的量⼦数是；原⼦轨道或电⼦去的⾓度分布图的不同情况决定于量⼦数。

5. 按近代量⼦⼒学的观点，核外电⼦运动的特征是。

A ．具有波粒⼆象性。

B ．可以⽤ψ2表⽰电⼦在核外出现的⼏率。

C ．原⼦轨道的能量是不连续变化的。

D ．电⼦的运动轨迹可以⽤ψ的图像表⽰。

6．电⼦云的⾓度分布图是。

A ．波函数ψ在空间分布的图形。

B ．波函数ψ2在空间分布的图形。

C ．波函数径向部分R(r)随r 变化的图形。

D ．波函数⾓度部分的平⽅Y 2（?θ，）随?θ，变化的图形。

7．下列说法是否正确？应如何改正？（1）s 电⼦绕核旋转，其轨道为⼀圆圈，p 电⼦是⾛8字形。

（2）主量⼦数为1时，有⾃旋相反的两条轨道。

（3）主量⼦数为3时，有3s，3p，3d，3f四条轨道。

（4）主量⼦数为4时，轨道总数为16，电⼦层最多可容纳32个电⼦。

8．某原⼦的最外层电⼦的最⼤主量⼦数为4时。

A．仅有s电⼦。

B．有s和p电⼦。

C．有s，p和d电⼦。

D．有s，p，d和f电⼦。

9．某元素有6个电⼦处于n=3，l =2的能级上，推测该元素的原⼦序为，根据洪特规则在d轨道上有个未成对电⼦，它的电⼦分布式为。

量子力学解答(5章)

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7

量子力学第五章习题

量子力学讲义第五章

量子力学习题解答-第5章

量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案第5章-1

周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)

量子力学 05中心力场

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-中心力场(圣才出品)

量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学习题解答-周世勋

曾谨严量子力学习题解答5

量子力学解答(5章)

量子力学导论第5章答案

量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质详解

量子力学 第5章 习题课

(整理)第5章微扰近似方法和和选择定则全

第5章3散射分波法和Born近似

量子数习题——精选推荐

量子力学第5章习题课