《直线与圆的位置关系》典型例题

《直线与圆的位置关系》典型例题

例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？

（1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm．

例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．

例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？

例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.

例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.

参考答案

例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．

解：过C点作CD⊥AB于D，

在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，

∴AC=2

，

∴AB·CD=AC·BC，

∴，

（1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．

例2 解：过C点作CD⊥AB于D，

在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，

∴AC=2

，

∴AB·CD=AC·BC，

∴，

（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r

（2）∵直线AB与⊙C相切，∴r =CD，即r=；

（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r>．

说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．

例3 分析：若R t△PBC∽R t△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，

所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．

解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：

OP为直角梯形ABCD的中位线，

∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，

∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，

∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，

∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．

因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．

说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O 相交、相离．

例4 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到

的距离等于.

证明：过点作于，

同理可证：

为的中点，

即：以为直径的圆与相切.

说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.

例5 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）

证明于，

是圆心到的距离

∽.

又

⊙的半径为，

故与⊙相离.