(20080619)实变函数期末复习指导(文本)

（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本）

中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日

陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。

考试时间

实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00.

期末考试题型比例

单选题5（20分）

填空题5（20分）

证明题4（60分）

第1章考核要求

⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；

⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限；

⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；

⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；

⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；

⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

第2章考核要求

⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；

⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；

⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；

⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；

⑸理解康托集的构造及其性质。

第3章考核要求

⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积；

⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质；

⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度；

⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。

第4章考核要求

⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念；

⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限；

⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）；

⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。

第5章考核要求

⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测；

⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等；

⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测；

⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质；

⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；

⑹了解富比尼定理及其应用。

同学们要注意：

完成形成性考核册所布置的作业对本课程十分重要。

考试时间

90分钟半开卷的形式。

重点与难点

一、集合

重点集合的并、交、差、补及其运算，基数，可列集与具有连续基数的集合的运算。

难点集合的基数。

二、中的点集

重点聚点及其等价条件，Bolzano-Weierstrass定理，直线上开集的构造，Borel有限覆盖定理，Cantor集。

难点聚点、内点、开集、闭集、完备集等概念，Cantor集的构造及其性质。

三、勒贝格测度

重点勒贝格可测集的运算性质，单调可测集列极限的测度，可测集同开集、闭集、Gδ型集以及Fσ型集之间的关系。

难点可测集概念的引入与可测集的构造。

四、可测函数

重点可测函数定义及等价条件，可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性，依测度收敛与几乎处处收敛的关系，鲁金定理。

难点叶果洛夫定理，黎斯定理，鲁金定理。

五、勒贝格积分

重点勒贝格积分的性质，积分极限定理。

难点勒贝格积分的性质及其应用。

陈卫宏：今天的活动就到这里，谢谢大家，再见！――谢谢大家，再见！