微分方程和差分方程方法

人口的马尔萨斯模型用分离变量法很容易求 解，得 (3.3) x (t ) x e 从(3.3)可以立即看出人口随时间呈指数增长，因 此模型(3.2)称为指数增长模型。不妨将它应用到 我国人口的预测上 x 11.6 e 13.45亿 与前面的结果 13.44 亿非常相近。
0 r0 t
m
1 (
m
x0
1) e r0 t
人口增长率随人口数量变化曲线以及人口数量 随时间变化曲线如下
dx d t uiiuiui
x0
xm 2
xm
x
xm
x
t
图 3-1 人口增长率和人口数量曲线
阻滞增长模型与美国人口统计数据从 1800 年到 1960 年都吻合较好，1960 年后，误 差变大。这时因为到 1960 年美国的实际人口 已经突破了用过去数据确定的最大人口容量。 人口容量不易准确得到是阻滞增长模型的不 足之处，实际上人口容量也是随人们对自然资 源的开发水平不断提高而改变的。更复杂的人 口模型需考虑随时间和人口变化的人口增长 率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇 女和人口年龄分布有关的人口基数，此外还需 考虑天灾、战争等随机性因素对人口的影响。
第一节 人口增长模型
人口的增长是人们普遍关注的问题。使用了 不同的人口模型计算所得到的同一时间人口 的预报在数字上有较大的差别。那么人口是如 何预报的呢？先看一种简单的计算方法。 人口的增长也是因为有人口的基数和 一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某 一年的人口为 x0 ，年增长率为 r0 ，可以认为今 后 k 年内的人口数为 (3.1) 这里实际暗含着年增长率不变的假设。
第二部分 微分方程与差分方程方法
第二章 微分方程方法
动态模型一般具有两个特点：一、方程与 时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中 出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很 难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的 关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅 度和变化快慢 )，这种关系式中通常含有导数 或微分，故称微分方程模型。
ds s(t ) pA(t )(1 ) s(t ) dt M
(3.11)
等式右端的第一项反映广告投入对销售速度
s(t ) (1 ) 相当于一个开关函数， 的影响， 显然当 A(t) 0 M
或 s M 时，都有
ds s (t ) dt
(3.12)
第二项表明销售速度自然衰减的特性。 为确定 A(t) 的形式，假设选择如下广告策略 0 t A A(t ) (3.13) t 0 即在时间 内平均投入常数 A 的资金来作广告， 在此条件下求解(3.11)式。
dx x (t )[ K x (t )] dt
记比例系数为 k ，则 x(t ) 满足
dx kx (t )[ K x (t )] dt
(3.9)
分离变量并积分之，可解得
K x (t ) 1 C e Kkt x ( 0) x 0
(3.10)
律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对 象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵 循广义物质守恒律，即 净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对 时间取极限可以得到微分方程。 3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条 件)。
4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少 数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解， 对于自治的常微分方程 (组) ，可以运用稳定性分析 方法，转换到相平面去分析解的性态。 5．解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否 反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？ 这些问题可以通过解的讨论加以回答。
0
0
kt
下面对电饭煲推广销售模型的解作一些 分析： 1、 若取 t 0 时为新产品诞生的时刻， 则 x(0) 0 ， 于是(3.8)式推出 x(t ) 0 。 这一结果显然与事实不 符，这是因为模型只考虑了实物广告的作用， 忽略了厂方可以通过其他方式宣传新产品从 而打开销路。 2、 2 、若通过努力已有 x 数量的产品投入使 用，则调查情况表明实际销售量在开始阶段的 增长情况与(3.8)式十分相符。
二、阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括： 1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量 x 。 2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质：当人口数量 x(t) 很小且远小于 x 时，人口以固定增长率 r 增加；当 x(t ) 接近 x 时， 增长率为零。r 和 x 可由统计数据确定。满足上 述性质的增长率可以写作
0.014810
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t) ，表明人口将无限增长。马尔萨 斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增 长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛 盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并 不认为 : 解决人口过剩和生活资料匮乏两者 之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至 战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制 人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种 误解。 “新马尔萨斯”主张通过自愿的家庭限 制，即节制生育的办法限制人口的过快增长。
在 (0, ) 时间段内， 设已知用于广告的总投入为 a ，则单位时间投入 A a ，代入(3.11)，整理有
ds p a a ( )s p dt M
令

p a b, M pa

c
则有
ds bs c dt
(3.14)
c b
其通解为
s (t ) C1 e bt
（ 1 ）不考虑广告作用时，销售速度具有 自然衰减的性质，即产品销售速度随着时间而 减少，满足这一性质的销售速度有
ds s (t ) dt
为比例系数或称衰减因子。 （ 2 ）产品的销售速度会因广告而增加， 但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
0
x(t t ) x(t ) r0 x(t )t
等式两边同除以 t ，当 t 0 时
x (t t ) x (t ) r0 x (t ) t 0 t lim
等号的左边即是导数 d x d t ， 已知初始时刻人口数 量为 x ，则
0
d x r0 x (t ) dt x ( 0) x 0
x(t t ) x(t ) kx(t )t
两边除以 t ，令 t 0 ，有
x ( t t ) x ( t ) kx (t ) t 0 t lim
即 x(t) 满足微分方程
dx kx (t ) dt
(3.7)
其解为
x(t ) C ekt
若已知 t 0 时，x(0) x ，则满足初值条件的解为 x (t ) x e (3.8)
x x0 (1 r0 ) k
一、指数增长模型(Malthus模型)
设 t 时刻的人口为 x(t) ，经过一段短的时间 t 后，在 t t 时刻，人口数量变化为 x(t t) 。由基本 假设，在这段短的时间 t 内，人口数量的增加 量应与当时的人口 x(t) 成比例，不妨设比例系数 为 r ，即 t 内人口的增量可写为
(3.2)
就是描述人口随时间变化的带初始条件的微 分方程。 建模过程中你可能注意到，人口是离散的 变量，而求导或微分只能对连续的量使用。那 么这种情况下可不可以用求导或微分这种数 学工具呢？当研究对象是一个很大的群体，如 考察一个国家或一个地区的人口数量，个体的 微小变化对总体的影响很小可以忽略时，可视 该群体为连续量，并认为其导数存在，这样就 可以使用微积分这一数学工具。
m m 0 m 0 m
r( x ) r0 (1
x ) xm
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
x d x r0 x (1 ) xm dt x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离 变量法，解得 x x (t ) (3.6) x
C1
为积分常数。
若初始时刻销售速度 s(0) s ，则
0
s (t )
c (1 e bt ) s0 e bt b
0 t
(3.15)
当 t 时，根据(3.13)式， A 0 ， 则(3.11)式 退化为
ds s (t ) dt
其解为 (3.16) 综合(3.15)、(3.16)，式(3.13)条件下产品销 售速度广告模型的解可写为：
0
3、 在(3.8)式中， 若令 t ， 则得出 x(t) ， 这与事实不符。实际上 x(t ) 是有上界的，因为一 般而言每户只需购买 1～2 只电饭煲就够了。 因此需要修改模型。 设需求量有一个上界，记作 K ，它的意义是 产品的市场容量。与人口的阻滞增长模型类 似，构造一个新的与产品销量有关的增长率。 实际上统计学家发现，若 t 时刻电饭煲销量为 x(t ) ，则尚未使用的人数大致为 K x (t ) ，可以认为
第二节
新产品的推销Βιβλιοθήκη Baidu广告
一、新产品推销模型
第二次世界大战后，日本的家电业迅速崛 起，下面首先考察日本家用电器业界建立的电 饭煲销售模型。 记时刻 t 时已售出的电饭煲总数 为 x(t ) 。由于使用方便，已在使用的电饭煲实际 上在起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾 客。可粗略地假设每一个电饭煲在单位时间内 平均吸引 k 个顾客，那么在 t t 时刻电饭煲销售 的增量为
其中 C 是由初始条件确定的积分常数。
二、广告模型
信息社会使广告成为调整商品销售的强 有力手段，广告与销售之间有什么内在联系？ 如何评价不同时期的广告效果？下面研究一 个广告模型。 首先认为广告对产品的销售速度有直接 的促进作用，以销售速度为研究对象，设 s(t ) 为t 时刻的产品销售速度，并作以下假设：
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体” ， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
建立微分方程模型时，会经常出现一些术 语，如“速率” 、 “增长率” 、 “单位时间内的变 化量”等，应与导数联系起来，再结合问题所 涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般 微分方程建模的基本步骤可以概括为： 1 ．根据实际要求确定要研究的量，如自 变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定 坐标系。 2 ．找出这些量所满足的基本规律 ( 几何 的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规

设 M 为销售饱和水平， 即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。 （ 3 ）产品的销售速度与广告的投入水平 有关，设 A(t ) 为 t 时刻单位时间的广告投入水平 (以费用表示)，p 为投入的响应系数， 即投入 A(t ) 对销售速度的影响力， p 为常数。 根据上述假设，有
s(t ) s( ) e ( t ) t
c (1 e bt ) s0 e bt b s(t ) ( t ) s( ) e 0 t t
(3.17)
第三节
经济增长模型
一、道格拉斯（Douglas）生产函数