极限的四则运算PPT教学课件

孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
孔子和孟 子作为凡 人的一面
x4 x x 4x 4
最高次幂法
3 、lim 1 2 x x 2 （ 1 x） 分子有理化法
x 0
x
4 、lim
x
x
x
分子分母同除x的最高次幂法
x
x 1
练习2：求下列函数的 极 限。
1、lim x 1
x 11 x 2
=1
分子有理化结合 因式分解法
lim 2、 x
2
x2 x2
3x 1
= 2
• 孔子为人，有时很豪放，他说他自己是“发愤忘食，乐以忘 忧，不知老之将至”的人；可是有时又很拘谨，循规蹈矩不 敢超越古代的礼仪一步，他走进朝廷的门，那种谨慎的样子，
好像自己没有容身之地一般。
• 孔子不懂农业生产， 也鄙视劳动。
• 孔子也有被难倒的 时候，并非“万事 通”。
从上面这些事实看来，孔子并不是一个道貌岸然 的超人，更不是先天的圣人，而是一个有感情、有 性格、有抱负、又有世俗心理的现实的人。
lim gx b为大前提的。
xx0
[如]求lim 1 x1 1 x
3 1 x3
时 ， 就 不
能把它变
化
为lxilxmi1m11-11x1-xlxim111-3x
33，
因lxi为m1 1xx11-时xx32，1-13x
与
11x3lxi的m1 极x-2限x x均21不存1在。但是：
二、函数极限的求法
通分约去“零因子”或根式有理化转化成“ ”型。
[点评]:运用转化和化归的思想合理变形, 在极限运算中应用十分广泛.
练习1：
1
、l i m x 1
xx224xx25（
2
0
0
4
全
国
因式分解法结
）合代入法
2 、变lim式：lxim2 8x 228 22
2
分分子子有有理理化化结结合合因因式式分分 解解法和分子分母同除x的
子与分母中最高次项的系数之比. 分(2)子 解题，规分律母二:同一除般地以,当x 分的子最与高分次母幂 都是。关于n的
多项式且分母的次数高于分子的次数时, 当n→ ∞ 时这个分式的极限是0
变例式4例：4求：求limli（m（x 2x2 x x x）x）. . 不存1在
x x
2
点评对“ - 型”的极限计算，应先通过
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
孟子也非天生的圣人，他也 有过性格不稳定的幼年，能成为 “亚圣”，多得力于他的母亲。 孟子的母亲是位伟大的女性，她 含辛茹苦坚守志节，抚育儿子， 从慎始、励志、敦品、勉学以至 于约礼、成金，数十年如一日， 毫不放松，既成就了孟子，更为 后世的母亲留下一套完整的教子
方案。
孟母三迁
孟子很小的时候，孟母就十分注意对他的 培养，只要周围的环境对他的成长有不好的影响， 孟母就会立即搬家。起初，孟母带着年幼的孟子 住在一所公墓的附近，孟子看见人家哭哭啼啼埋 葬死人，他也学着玩，孟母心想：“我的孩子住 在这里不合适。”就立刻搬家。他们母子搬到了 集市的附近，孟子看见商人自吹自夸地卖东西赚 钱，他又学着玩，孟母又在心里想：“我的孩子 住在这里也不合适。”就连忙又搬家。最后，孟 母和孟子搬到了学堂的附近，这时，孟子开始学 习礼节并要求上学，孟母这才在心里高兴地说：
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
n
n
lim 3n3 n
n 2n4 n2
一般地， 若a0b0 0， k,l N ,有
0 lk
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
x
2x2 x3
x 1 2x2 1
方法3
——分子分母同时除以x的最高次幂法
(数点1)相解评同题的对规多律“ 项一式型: 一时”般的,这地极个,当分限分式计子在算 与n 分→，母∞通时是的常关极是 于限n通的是过 次分
……
根据极限的概念得:
lim（x 1 ） 3
x 1
2x 2
对比发现:
又： limx 1， lim 1 1
x 1
x1 2 x 2
lim（x 1 ） limx lim 1 1 1 3
x 1
2 x x1 x1 2 x
22
由此得出函数极限的四则运算法则的一般结论
函数极限的四则运算：
如果 lim f(x) a limg(x) b 那么
1、对于一些简单的函数，可以从自变量的值按 某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限例如： limx3 33 27
x 3
——代入法
2、若函数比较复杂，则需分析函数可由哪些简 单的函数经过怎样的运算而得到，这样就可通 过简单函数的极限运算求得较复杂函数的极限， 即可用函数极限运算法则求比较复杂函数的极 限
x 1
2x
列表考察：
x
x 1 2x
0.9 1.45
0.99 1.495
0.999
1.4995
0.9999
1.49995
0.99999 1.499995
0.999999 1.4999995
…… ……
x
x 1 2x
1.1
1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001
……
1.5
1.5049 1.501 1.5001 1.50001 1.500001
p 是周长， S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
二、函数极限的求法
例1：
（1）求lim x 2
x
2x3 2 5
x
1
3
方法——— 代入法(适用
于连续函数)
[注]:注意每一步的依据,做到“言必有
据”;书写时,由于“lim”有运算意义,因此在 未求出极限值时,丢掉符号是错误的.
点评： 当fx在x0处连续（见下节）时，
则
可
用
直
接
代
入
法
，
即lim
xx0
P1 x
孔子和孟子的生平
孔子和孟子是春秋战国时期著名的 思想家、教育家，在两千多年的封建社 会里，被尊为“圣人”和“亚圣”。他 们的思想观念，对中国社会产生过深远 的影响，甚至远及日本、朝鲜、欧洲等 地，在世界文化史上占有相当重要的地
位。 让我们走近这两位先哲，让他们思 想的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
“这里才是适合我的孩子居住的地方！”
断织督学
做事必须要有恒心。孟子具有天生的灵性，但也有 一般幼童的贪玩。一天，孟子竟逃学到外面玩了半天。
儿子回家时，孟母不声不响拿起剪刀将织成的锦绢
拦腰剪成两段，就在孟子惊愕不解时，孟母说道： “你的废学，就像我剪断织绢！一个君子学以成名，
综合性学习 我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
b 那么
lim
(a n
b) n
a
b
n
lim
(a n
•
b n
)
a
•
b
a n lim n
a (b 0)
b n
b
n
lim C • an C • a n
注：1、上述法则可推广到有限个数列的加，减， 乘，除。
例2：求下列极限
lim n
(
1 n2
2) n
lim 2n2 n
n 3n2 2
3n 2
lim
xx0
lim C • f(x) C • lim f(x) C • a
x x 0
x x 0
lim [f(x)]n [ lim f(x)]n (n N )
x x 0
x x 0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
函数极限四则运算法则的
理解
函数极限四则运算法则是以 lim f x a与 xx0
f
x
f
x
0
。
练习：若lim x 1
x
2
ax x3 3
3
2，则a
________
例1：
（2）求lxim1 2xx2
2 1 x
1
[分析]:（2）若直接代入，分子分母都为0， 不能求解，但由x无限地趋近于1，但不包 含x=1，即x≠1故可因式分解约去公因式 （零因子）进行恒等变形，化简后再求极 限，称因式分解法
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
1
]
n 1• 4 4 • 7
(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中， r 是边心距， n
分子分母同除x的最高次幂法 或利用结论
3、lim[tan2x• xπ
tan(π 4
x)]
4
1 2
lim lim 4、 x( x
x2 1
x2
1) =1 5 、
x
(1
1 )100 x
=1
分子有理化
直接利用运算法则
极限的 四则运算(二)
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n
n
a
lim
b n
n
而一些复杂函数，图象不一定画得出来，函 数值的变化趋势也不容易看出来，那它的极限怎 样求呢？但是复杂函数则一般可由简单函数通过 四则运算也就是+、-、×、÷复合而成，那能否 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 限呢 ？
一、函数极限的四则运算法则的探索方法——特 殊探路，发现规律
考察lim（x 1 ）的值
极限的 四则运算(一)
复习引入Baidu Nhomakorabea
1、当x ∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
2 、当x x0时，函数f(x)的极限
lim f(x) lim f(x) a lim f(x) a
x x0
xx0
x x0
上节课学习了可以从图象或通过分析函数值 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限，即当 自变量趋近于∞或某个点时它的极限主要看自变 量按某种规定无限变化，相应的函数值的变化趋 势。