黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期阶段考试试题理.doc
黑龙江省大庆市2021届高三上册期末数学试卷(理科)与答案
黑龙江省大庆市2021届高三上册期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣1＜2x＜4}，则A∩B＝（）A．[0，2）B．（0，2）C．D．[0，4）2．若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．已知A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，2），则cos∠BAC＝（）A．﹣B．C．﹣D．4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．485．若点P为圆x2+y2＝1上的一个动点，点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值是（）A．2B．C．4D．6．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．x2﹣＝18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A．B．C．12πD．9．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b10．函数f（x）＝cos x•sin（3x﹣）的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sin B sin C＝0，则的取值范围为（）A．（，）B．[0，）C．[0，）D．（﹣1，1）12．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（e+，4]C．（e+，4）D．（，4]二.填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝是奇函数，则函数f（x）的零点是．14．如果（3x+）n的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x的系数为．15．如图所示的圆锥中，轴截面APB是等腰直角三角形，M是底面圆周上的中点，N为PB的中点，则异面直线PA与MN所成角的正切值是．16．各项均为正数且公比q＞1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）•log2a n，求数列{}（n∈N*）的前n项和S n．18．（12分）某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．19．（12分）如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝2，AB＝2DE，且D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H且DH＝1．（1）证明：面BCE⊥面ABC；（2）求BD与面CDE夹角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2﹣且过点P（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P'，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求C的极坐标方程；（2）射线与圆C的交点为O，P与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考答案一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣1＜2x＜4}，则A∩B＝（）A．[0，2）B．（0，2）C．D．[0，4）解：要使函数|y＝有意义，则需：x≥0，即A＝[0，+∞），又﹣1＜2x＜4，所以﹣＜x＜2，即B＝（﹣），则A∩B＝[0，2），故选：A．2．若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．解：∵复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），∴z＝＝＝1+i，∴|z|＝＝，故选：C．3．已知A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，2），则cos∠BAC＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：由已知，∴＝＝．故选：D．4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．5．若点P为圆x2+y2＝1上的一个动点，点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值是（）A．2B．C．4D．解：∵点P为圆x2+y2＝1上的一个动点，且点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，∴|PA|2+|PB|2＝4，∵（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2）＝8，∴|PA|+|PB|≤2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时“＝”成立，故|PA|+|PB|的最大值是2，故选：B．6．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（）A．B．C．D．解：我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，基本事件总数n＝＝400，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数m＝＝200，∴他们选课至少两科相同的概率为：p＝．故选：D．7．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．x2﹣＝1解：双曲线的渐近线为y＝±x，∵渐近线与直线x＝0的夹角为60°，∴═tan30°＝，①∵双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，∴4＝8，②由①②，解得，b＝1．∴双曲线C的标准方程为﹣y2＝1．故选：A．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A．B．C．12πD．解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积为8，∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则平面ABCD的外接圆半径r＝，球心到平面的距离d＝2，则球的半径R＝＝，故此半球的体积V＝＝，故选：D．9．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b解：易知1＜2ln2＜2，2+2ln2＞2，0＜（ln2）2＜1，∴c＜a＜b．故选：A．10．函数f（x）＝cos x•sin（3x﹣）的图象大致为（）A．B．C．D．解：由，可排除A、D；又，可排除B．故选：C．11．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sin B sin C＝0，则的取值范围为（）A．（，）B．[0，）C．[0，）D．（﹣1，1）解：因为sin2A﹣sin B sin C＝0，根据正弦定理可得，a2＝bc，由余弦定理可知，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc＝2bc cos A﹣bc，∴（b﹣c）2＝bc（2cos A﹣1）≥0，∴2cos A﹣1≥0，即cos A≥，∵A为锐角，∴＜A≤，∴≤cos A＜，∴0≤2cos A﹣1＜﹣1，根据正弦定理可得＝，令p＝，∴p2＝＝＝＜，∴﹣＜p＜，故选：A．12．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（e+，4]C．（e+，4）D．（，4]解：f（x）＝﹣x2+a在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，但f（x）在（，2]递减，此时f（x）∈[a﹣4，a﹣）．g（x）＝x2e x的导数为g′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，则g（x）在[﹣1，1]的最小值为g（0）＝0，最大值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），可得[0，e]⊆[a﹣4，a﹣），可得a﹣4≤0＜e＜a﹣，解得e+＜a≤4．故选：B．二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝是奇函数，则函数f（x）的零点是±log23．解：因为f（x）＝是奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣3＝0，即x＝log23，根据奇函数的对称性知，x＝﹣log23也是函数f（x）的零点，故答案为：±log23．14．如果（3x+）n的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x的系数为1215．解：如果（3x+）n的展开式中各项系数之和为4n＝4096，n＝6，则展开式的通项公式为T r+1＝•36﹣r•，令6﹣＝1，求得r＝2，可得展开式中x的系数为•34＝1215，故答案为：1215．15．如图所示的圆锥中，轴截面APB是等腰直角三角形，M是底面圆周上的中点，N为PB的中点，则异面直线PA与MN所成角的正切值是．解：设O为底面圆的圆心，连接ON，OM，OP，设PA＝PB＝2，可得AB＝2，取BO的中点H，连接NH，可得NH∥PO，且NH＝PO＝，由NH⊥底面OMH，可得NH⊥HM，则MN＝＝，由PA∥ON，可得∠ONM或其补角即为异面直线PA与MN所成角，在△ONM中，cos∠ONM＝＝，则sin∠ONM＝＝，可得tan∠ONM＝＝，故答案为：．16．各项均为正数且公比q＞1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为8．解：由题意：a1a5＝a2a4＝4，又由a2+a4＝5，又公比q＞1，∴a2＝1，a4＝4，故，故q＝2，．∴，．∴＝，令t＝2n﹣1∈{1，2，22，23，……}，则原式＝，当且仅当t＝2n﹣1＝2，即n＝2时取等号．故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）•log2a n，求数列{}（n∈N*）的前n项和S n．解：（1）当n＝1时，a1＝2．a1+a2+a3+…+a n＝2n（n∈N*）．①当n≥2时a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2n﹣1②①﹣②得经检验a1不符合上式∴．（6分）（2）由（1）得当n＝1时b1＝2，当n≥2时，b n＝（n+1）log2a n＝（n+1）（n﹣1），∴．∴S n＝+（1﹣+﹣+﹣+……+﹣+﹣）＝+＝﹣．∴．（12分）18．（12分）某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．解：（1）由频率分布直方图可知，＝70．（2）由题意可知，样本方差s2＝100，故，所以X～N（70，102），该厂生产的产品为正品的概率P＝P（60＜X＜90）＝P（60＜X＜70）+P（70＜X＜90）＝．（3）X所有可能为0，1，2，3．，，，．所以X的分布列为X0123P数学期望．19．（12分）如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝2，AB＝2DE，且D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H且DH＝1．（1）证明：面BCE⊥面ABC；（2）求BD与面CDE夹角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点F，连接EF，HF．∵H，F分别为AC，BC的中点，∴HF∥AB，且AB＝2HF．又DE∥AB，AB＝2DE，∴HF∥DE且HF＝DE，∴四边形DEFH为平行四边形．∴EF∥DH，又D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H，∴DH⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂面BCE∴面ECB⊥面ABC．（2）解：∵DH⊥平面ABC，AC⊥BC，∴以C为原点，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（，0，1），E（0，1，1）设平面CDE的法向＝（x，y，z），＝（，0，1），＝（0，1，1），则，取y＝1，则x＝2，z＝﹣1．∴＝（2，1，﹣1），∵，∴，∴BD与面CDE夹角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2﹣且过点P（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P'，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．解：（1）由题意可得：，解得a＝2，b＝c＝，故椭圆C的方程为；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线l的方程为y＝k（x﹣3），联立方程组，消去y整理得：（2k2+1）x2x2﹣12k2x+18k2﹣4＝0，由根与系数之间的关系可得：x，x，∵因为点P关于y轴的对称点为P′，则P′（﹣x1，y1），∴直线P′Q的斜率为k＝，所以直线P′Q的方程为：y+y，即y＝＝＝＝＝＝＝，令x＝，则y＝0，所以直线PQ过x轴上定点（，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝x﹣alnx+（a∈R），∴f′（x）＝1﹣﹣＝＝，①当1+a≤0时，即a≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上f′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增，（2）在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，∴函数f（x）＝x﹣alnx+在[1，e]的最小值小于或等于0，由（1）知，当a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝e+﹣a≤0，解得a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当1+a≤1，即a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，与a＞﹣1矛盾；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min＝f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）＝a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）≤0不成立，综上所述若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立a的范围为a ≥，或a≤﹣2请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求C的极坐标方程；（2）射线与圆C的交点为O，P与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．解：（1）∵圆C的参数方程为为参数），∴圆C的普通方程是（x﹣2）2+y2＝4，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）设P（ρ1，θ1），则有ρ1＝4cosθ1，设Q（ρ2，θ1），且直线l的方程是，则有，∴，∴2≤|OP||OQ|≤3．∴|OP|•|OQ|的范围是[2，3]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴g（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
铁人中学2021年高考模拟试题(理科数学)-试题
大庆铁人中学2021级高三考试月模拟试题〔一〕数学试题〔理〕〔总分值：150分考试时间：120分钟〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．〕 1．集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，那么A B =〔〕A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．假设(－1＋2i)z ＝－5i ，那么z 的值为( ) A ．3B ．5C ．3D ．53．假设中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为3，那么此双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x4．国家统计局发布数据显示，2021年1月份全国CPI 〔居民消费价格指数〕同比上涨5.4%，环比上涨1.4%. 以下图是2021年1月到2021年1月全国居民消费价格同比〔与去年同期相比〕和环比〔与上月相比〕涨跌幅，那么以下判断错误的选项是〔〕A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 5．实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，那么2x y +的取值范围是〔〕A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-6．以下命题为真命题的是〔 〕A ．函数()()11x f x ex x R -=--∈有两个零点B ．“0x R ∃∈，00x e x >〞的否认是“0x R ∀∈，00x e x <〞C ．假设0a b <<，那么11a b<D ．幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，那么实数1m =- 7．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为〔〕8．向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，那么当y 最小时，cos ,=a b 〔〕 A 25B ．25C ．559．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，假设521127,==a a a ，那么以下说法不正确的选项是〔〕A ．3q =B ．数列{}2n S +不是等比数列C ．5120S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥ 10．将函数22()6cos 2f x x x x -的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x ，正确的选项是〔〕①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--22④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④11．如图平面多边形中，四边形ABCD 2条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，那么此四棱锥的外接球的外表积为〔〕A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，那么||||||OA OB AB +的最大值〔〕A ．1B ．2C 2D ．22二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．欲利用随机数表从00、01、02、…、59这些编号中抽取一个容量为6的样本，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读，每次读取两位，直到取足样本，那么第4个被抽取的样本的编号为_______33 95 22 00 18 74 72 18 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 3514．(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3的系数为56，那么实数a 的值为_____15．2021年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者〞，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方〞(“三药〞是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方〞是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，那么两人选取药方完全不同的概率是______．16．假设存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，那么实数a 的最小值为___________．三、解答题〔本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =. （1）假设5cos ABD ∠=，求BD ，BC ；〔2〕假设C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 18．〔本小题总分值12分〕如下图，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ；（2）求二面角C MN D --的余弦值.19．〔本小题总分值12分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l 3（1）求椭圆C 的标准方程；〔2〕假设直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 20．〔本小题总分值12分〕某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下〔单位：分钟〕：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17.〔1〕假设每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值. 〔ⅰ〕求μ和σ的值；〔ⅱ〕假设学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；〔2〕在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望.附：假设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，那么()0.6826P X μσμσ-<<+=， (22)P X μσμσ-<<+=0.9544，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.21．〔本小题总分值12分〕【原创】()x xe ax e x x a x f xxsin sin 2--+=.〔1〕当)(x f 有两个零点时，求a 的取值范围； 〔2〕当1=a ，0>x 时，设xx x f x g sin )()(-=，求证：.1)(nx x x g +≥请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，那么按所做的第一个题目计分．22．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩〔t 为参数〕．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕假设射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ． 23．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲 函数()|21||1|f x x ax =+--，a ∈R ．〔1〕当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；〔2〕当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．。
2021届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷
2021年黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知集合，为整数集，则集合中所有元素的和为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是（ ） A ．y=sin x B ．y=cos xC ．y=ln xD ．3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=（ ）A ．B ．C ．－D ．4．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．4 5．知△ABC 和点M 满足＋＝－，若存在实数m 使得m＋m＝成立，则m等于（ ）A ．B ．2C ．D ．36．若a>0，b>0，且函数f （x ）＝4x 3－ax 2－bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A ．4B ．8C ．9D ．18 7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数（ ）A ．一个对称中心是（－，0）B ．一条对称轴方程为x ＝C ．在区间[－，0]上单调递减D ．在区间[0，]上单调递增21y x =+3-3⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=531523()cos 2f x x =3π()g x ()g x 3π8．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若＝，则=（ ） A ．B ．C ．D ．10．设α、β都是锐角，且cos α＝，sin （α＋β）＝，则cos β等于（ ）A ．B ．CD ．以上都不对11．已知向量a ，b 满足|a|=2|b |≠0，且关于x 的函数f （x ）=2x 3－3| a |x 2+6 a •b x+5在实数集R上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是（ ） A ．（，π） B ．（，π] C ．[，π] D ．（0，）12．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M ，使得函数的值域包含于区间．例如，当．现有如下命题：①设函数的定义域为D ，则“”的充要条件是“”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且5041008S S 11010082016S S 12618225107291345315315382()x ϕ()x ϕ()x ϕ[],M M -()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，()f x ()f x A ∈(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=()f x B ∈()f x ()f x ()g x ()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则④若函数有最大值，则． 其中的真命题为（ ）A ．①③B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题13．已知平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，m ），且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________． 14．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()226c a b =-+，π3C =，则ABC ∆的面积为_________.15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝6，S 7＝35，则数列的前100项和为________．三、解答题17．已知，命题“均成立”，命题“函数定义域为R ”．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围． 18．已知向量m ＝（sin ωx ＋cos ωx ，1），n ＝（2cos ωx，－）（ω>0），函数f （x ）＝m·n 的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）当x∈[－，] 时，求f （x ）的值域．19．在底面是矩形的四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD ； （2）求二面角EACD 的余弦值；()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+()f x B ∈12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭a R ∈:p [0,2],240xxx a ∀∈-+≤:q 2()ln(2)f x x ax =++p a ""p q ∨""p q ∧a（3）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值．20．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2n 对n∈N *成立． （1）证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．21．如图所示，曲线C 由部分椭圆C 1：＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C 2：y＝－x 2＋1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1所在椭圆的离心率为．（1）求a ，b 的值；（2）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （P ，Q ，A ，B 中任意两点均不重合），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．22．设函数，其中，曲线恒与轴相切于坐标原点． （1）求常数的值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．()()()1ln 1f x ax x bx =-+-,a b R ∈()y f x =x b 01x ≤≤x ()0f x ≥a 10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭参考答案1．A 【解析】试题分析：先将集合化简，，因为整数集，则集合，所以集合中所有元素的和为，故选A ．考点：1、集合的交集；2、一元二次不等式． 2．B 【解析】试题分析：对于A ，由于是奇函数，所以排除A ；对于C ，由于的定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，排除C ；对于D ，函数虽是偶函数，但是由于函数的值域是，所以函数不存在零点，排除D ；故选B ．考点：1、奇函数、偶函数；2、函数的零点． 3．D 【解析】试题分析：由于====，故选D ． 考点：1、三角函数诱导公式；2、两角和与差的正弦． 4．C 【解析】试题分析：作出线性约束条件所对应的可行域，如下图阴影所示：A {}23180A x x x =--<{}{}(6)(3)036x x x x x =-+<=-<<Z {}2,1,0,1,2,3,4,5A Z ⋂=--A Z ⋂12sin y x =ln y x =(0,)+∞ln y x =21y x =+21y x =+[)0,+∞21y x =+sin 20cos10cos160sin170-sin 20cos10cos(18020)sin(18010)---sin 20cos10cos 20sin10+sin30124581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩可解得点坐标为，当动直线经过点时，有最小值，故选C ． 考点：线性规划、线性约束条件、可行域、最优解． 5．C 【解析】试题分析：由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C ．考点：平面向量． 6．D 【解析】试题分析：因为，所以，由于函数在处有极值，所以，因为，，所以 ，当且仅当，即，时取等号 ，所以的最大值是，故选D ． 考点：1、导数在函数研究中的应用；2、函数的极值；3、基本不等式． 7．C 【解析】试题分析： 因为函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以，由于，则不是E 4(1,)532z x y =+4(1,)5E z 42331255⨯+⨯=MB MC MA +=-0MA MB MC ++=M ABC ∆mAB mAC AM +=⇒()()0m MB MA m MC MA MA -+-+=⇒(12)0m MA mMB mMC -++=M ∆ABC 12m m -=13m =32()42f x x ax bx =-+2()122f x x ax b '=--()f x 1x =(1)01220212f a b a b '=⇒--=⇒+=0a >0b >21122()18222a b ab a b +=⋅⋅≤=26a b ==3a =6b =ab 18()cos 2f x x =3π()g x 2()cos 2()cos(2)33g x x x ππ=+=+()cos 0103g π-==≠(,0)3π-的对称中心，排除A ；由于，所以不是的一条对称轴，排除B ；令，可得，，所以的单调递增区间是，，从而知在上不是增函数，排除D ；故选C ．考点：1、函数，的图象及变换；2、函数、的单调区间．8．A 【解析】 试题分析：函数是奇函数，所以的图象应关于原点对称，排除C 、D ；又当时，排除B ；故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、奇函数偶函数图象的对称性． 9．B 【解析】试题分析：因为是等比数列的前项和，且由知，公比，由等比数列的性质可知，，，…也成等比数列，不妨设，则，，从而知数列，，，…是首项为，公比为的等比数列，进而求得，，所以，故选B ． 考点：1、等比数列及前项和；2、等比数列的性质． 10．A 【解析】()g x 41()cos 1332g ππ==-≠±3x π=()g x 22223k x k ππππ-≤+≤k Z ∈563k x k ππππ-≤≤-k Z ∈()g x 5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+n S {}n a n 5041008110S S =1q ≠504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -5040S a =≠100810S a =10085049S S a -=504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -a 9151291S a =2016820S a =1008201610182082S a S a ==n试题分析：由是锐角及知且，又是锐角及，可得，若，则为锐角，又知，又，所以，与矛盾，，可得，故选 A ．考点：1、两角和与差的正弦、余弦函数；2、角的变换．【易错点晴】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦函数及角的变换技巧，属于中等难度题，在由，得出时，要注意进行讨论，特别对角的范围要进行限制，否则容易出错,常见角的凑配技巧（原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知角）有：，，等．11．B 【解析】试题分析：由于在上有极值，则的值在上有正也有负，所以，即，因为，得，所以，故选B ． 考点：1、导数在研究函数中的应用；2、极值；3、平面向量．【易错点晴】本题主要考查导数在函数研究中的应用、极值、平面向量、一元二次不等式，属于难题，在解题时要注意若在上有极值，则的值在上有正也有负，导数在函数研究中的应用非常广泛，利用导数可以判断函数的单调性，求函数的极值，函数的最值，含参不等式的恒成立求参数的取值问题等，另外本题还要注意向量夹角的取值范围是α1cos 3α=sin α=3πα>β4sin()5αβ+=3cos()5αβ+=±3cos()5αβ+=αβ+4sin()5αβ+=<3παβ+<3πα>3παβ+>3παβ+<3cos()5αβ+=-[]cos cos ()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++=314535-⋅+=4sin()5αβ+=3cos()5αβ+=±22αα=⋅()αββ=+-()()22ααββ=++-22αβαβ+-=+()ββα=--2()()ααβαβ=++-()424πππαα+=--32()2365f x x a x a bx =-+⋅+R 2()666f x x a x a b '=-+R 0∆>2()40a a b -⋅>20a b =≠1cos 2θ<,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x R ()f x 'R，否则容易出错．12．D 【解析】试题分析：对命题①，若，则的值域为，所以成立，即必要性成立，另一方面若，那么的值域是，从而，可知充分性成立，所以命题①正确；对命题②，若，则不一定有最大值或最小值，如，此时存在使得的值域包含于，但没有最大值也没有最小值，所以有最大值和最小值不是的必要条件，所以②不正确；对命题③，若，由于，那么必有，这与矛盾，所以③不正确；对于④不妨设的最小值为,最大值为，此时必存在，使得的值域包含于区间，所以，命题④正确；综上故选D ． 考点：1、命题；2、充分条件与必要条件；3、函数定义域与值域；4、新定义问题． 【易错点晴】本题主要考查命题、充分条件、必要条件、定义域、值域，综合性较强，属于较难的题目，其中正确理解集合的定义是解决本题的关键，遇到新定义的问题，要仔细审题，否则容易出错,例如本题，集合的含义是显而易见的，关键是集合，根据题目可知，若，则的值域必然是有界的，例如，，都是有界的，另外，若是上的连续函数，则必有最大值和最小值，那么也是有界的． 13．【解析】 试题分析：由，得得，从而可得．考点：1、平面向量；2、向量平行的坐标运算．[]0,π"()"f x A ∈()f x R ",,()"b R a D f a b ∀∈∃∈=",,()"b R a D f a b ∀∈∃∈=()f x R ()f x A ∈()f x B ∈()f x ()sin ,(,)22f x x x ππ=∈-1M =()f x (1,1)-]1,1⎡-⎣()f x ()f x ()f x B ∈()()f x g x B +∈()g x B ∈()f x B ∈()f x A ∈()f x P T {}max ,M P T≥()f x ],M M ⎡-⎣()f x B ∈,A B A B ()x B ϕ∈()x ϕ()sin f x x =()cos f x x =()f x ],a b ⎡⎣()f x ()f x14【详解】分析：由()226c a b =-+，π3C =，利用余弦定理可得6ab =，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为()226c a b =-+，π3C =， 所以由余弦定理得：222c a b =+-π2cos 3ab ，即26,6ab ab ab -+=-=， 因此ABC ∆的面积为1sin 32ab C ==，点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 15．【解析】试题分析：因为是等差数列，由可得，即，又，得公差，所以，所以，所以数列的前项的和为==． 考点：1、等差数列；2、等差数列前项的和；3裂项相消法求数列前项的和． 【方法点晴】本题主要考查等差数列通项、前项和、以及裂项相消法求数列的前项和，属于中等难度题,另外，常见的数列求和方法有：定义法（），公式法（等差数列，等比数列），分组求和法，拆项（分项）法，裂项相消法，错位相减法，倒5051{}n a 735S =1710a a +=45a =56a =1d =1n a n =+122112()(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1001111112()()()2334101102⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦112()2102-5051n n n n 123n n S a a a a =+++序相加法，叠加法，等等，其中常见的拆项方法有：若数列是等差数列，其公差为，则，，，，，，等等．16． 【解析】试题分析：由于的定义域为，并且为偶函数，所以要使在上有个不同的单调区间，只需在上有个不同的单调区间即可，因为时，，则只需，解得，故的取值范围是． 考点：1、偶函数；2、导数在函数研究中的应用；3、单调区间．【思路点晴】本题由于是偶函数，所以图象关于轴对称，要使在上有个不同的单调区间，只需的图象在上有个不同的单调区间即可，进而只需的导函数在上的取值有正也有负，则只需，解得，故的取值范围是．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由于为真命题，可得在上恒成立，只需求的最小值，即可得到；（2）由命题为真，命题为假，知必然一真一假，当为真命题时，，得，真时，所以{}n a d 111111()n n n n a a d a a ++=-()1111(1)(2)21(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦1k=!(1)!!n n n n ⋅=+-11m m m n n n C C C -+=-1(2)n n n a S S n -=-≥(1,2)321()(2)3f x x ax a x b =-+-+R ()f x R 6()f x (0,)∞30x >321()(2)3f x x ax a x b =-+-+2()22f x x ax a '=-+-2(0)044(2)00f a a a '>⎧⎪-->⎨⎪>⎩12a <<a (1,2)()f x y ()f x R 6()f x (0,)+∞3()f x ()f x '(0,)+∞2(0)044(2)00f a a a '>⎧⎪-->⎨⎪>⎩12a <<a (1,2)0a≤((,0,a ∈-∞-⋃p 42x x a ≤-[0,2]x ∈42x x-0a ≤""p q ∨""p q ∧,p q q 280a ∆=-<a -<<p 0a ≤,p q一真一假时或，可得或，所以．试题解析：（1）若设，可得，得在上恒成立．若设，其中，从而可得，即；（2）若命题为真，命题为假，则必然一真一假．当为真命题时，即在上恒成立时，则，得．又真时，所以一真一假时，可得或，所以．考点：1、命题，真假的判断；2、不等式恒成立问题；3、函数的定义域． 18．（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）由题得，又的两条相邻对称轴间的距离为，知，可求得，所以，进而可求得单调增区间是；（2）由，可得，可得在上的值域为． 试题解析：（1）f （x ）＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋2cos 2ωx －＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin （2ωx ＋）．因为T ＝＝π，ω＝1．所以f （x ）＝2sin （2x ＋）．由2k π－≤2x＋≤2kπ＋（k ∈Z ）得k π－≤x≤kπ＋（k ∈Z ）．0a a a ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩a ≤-0a <<(,a ∈-∞-⋃2x t =]1,4t ⎡∈⎣2a t t ≤-]1,4t ⎡∈⎣2y t t =-[]1,4t ∈min a y ≤2min ()0a t t ≤-=""p q ∨""p q ∧,p q q 220x ax ++>R 280a ∆=-<a -<p 0a ≤,p q 0a a a ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩a ≤-0a <<(,a ∈-∞-⋃""p q ∨""p q ∧5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈[]1,2-()2sin(2)3f x x πω=+()f x 2πT π=1ω=()2sin(2)3f x x π=+5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1sin(2)123x π-≤+≤()f x ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,2-解得函数f （x ）的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k ∈Z ）．（2）由（1）可知，f （x ）在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，且一条对称轴方程为x ＝，f （x ）最大值为f （）=2，最小值为f （－）=－1,所以f （x ）∈[－2,2]，即f （x ）的值域是[－1,2]考点：1、向量的坐标表示；2、函数单调区间；3、函数的周期，对称轴，值域． 19．（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】试题分析：（1）以为原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，可求得，，，可判定，，又，所以平面，得到平面平面；（2）先求得平面的法向量，平面的法向量，由向量夹角公式，即可得锐二面角的余弦值；（3）若设直线与平面的法向量所成的角为，可求得的值，即可得直线与平面所成角的正弦值．试题解析：：以为A 原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，4，0），D （0，4，0），E （0，2，1），P （0，0，2）， （1）证明：，∴CD ⊥AD ，CD ⊥AP ．又∵AP ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． （2）设平面AEC 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则令z ＝1，则y ＝－，x ＝1，平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）,又平面ACD 的法向量为＝（0，0，2）， ∴cos 〈n ，〉＝＝，∴锐二面角EACD 的余弦值是．（3）设直线CD 与平面AEC 所成的角为θ，平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）且＝（－2，0，0）， 2323A AB D A AP x y z xyz A -(2,0,0)CD =-(0,4,0)AD =(0,0,2)AP =CD AD ⊥CD AP ⊥AD AP A ⋂=CD ⊥PAD PDC ⊥PAD C AE CD A C D E-A -CD C AE θcos θCD C AE 0AD CD ⋅=0CD AP ⋅=AP AP CD∴sin θ＝＝，即直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值为．考点：1、面面垂直；2、二面角；3、线面角．20．（1）证明见解析，； （2）．【解析】试题分析：（1）由，成立，得当时，，两式相减可得，再求得，故数列是等比数列，公比为，首项为，即可求得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法和分组法可得．试题解析：（1）证明：由题，当n ＝1时，a 1＝S 1，故a 1＝2，当n≥2时，由a n ＝S n －S n-1，化简得a n ＝2a n-1＋2,即a n ＋2＝2（a n-1＋2），且a 1＋2＝4 故数列{a n ＋2}是等比数列，公比为2，首项为4，∴a n ＝2n+1－2． （2）由（1）知∴T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝（n －1）2n ＋2＋4．考点：1、等比数列；2、由递推关系求通项；3、数列前项的和． 21．（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）结合图形在中，令，得，再联立，可得，，；（2）由题易得点，，由题知直线与轴不重合也不垂直，可设其方程为（），联立的方程，整理得，解得点的坐标为，结合图形知，再将代入的方程，得点的坐标为，再由23122n n a +=-2(1)24(1)n n T n n n -=-+-+22n n S a n =-n *∈N 2n ≥1122(1)n n S a n --=--()1222n n a a -+=+124a +={}2n a +24n a 122n n na n n +=⋅-n T (1)n n -+n，即得，求得方程．试题解析：（1）在C 2的方程中令y ＝0可得b ＝1，由＝及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝，∴a ＝,b ＝1．（2）由（1）知，上半椭圆C 1的方程为y 2＋2x 2＝2（y≥0）．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为x="my+1" （m≠0），并将其代入C 1的方程， 整理得（2m 2＋1）＋4my ＝0，故可解得点P 的坐标为，显然，m<0， 同理，将x="my+1" （m≠0）代入C 2的方程,整理得m 2y 2＋y+2my ＝0，得点Q 的坐标为．∵AP ⊥AQ ，∴=0，即8m 2 +2m ＝0，解得m ＝－，符合m<0，故直线l 的方程为4x+y －4＝0．考点：1、椭圆及其标准方程，离心率；2、抛物线；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 【思路点晴】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，其中第一问求的值属于容易题，在求得点的坐标后，即可得出的值，再结合的关系容易求出的值；第二问求直线方程，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题，由于过轴上一定，可设其方程为，以便于联立与消元，简化计算过程，从而可推出的坐标，再利用便可得出，进而求出直线的方程．22．（1）；（2）；（3） 证明见解析．【解析】试题分析：（1）由曲线恒与轴相切于坐标原点，知，得；（2）由（1）得出，再对两次求导，再对的不同取值情况，逐一讨论在上的取值符号，得出的单调情况，进而得出的取值符1b =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()y f x =x (0)0f '=1b =()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()f x a ()f x ''[]0,1()f x '()f x '号，从而得出的单调情况，并判断在上是否恒成立，最后综合以上讨论可得到；（3）先对要证明的不等式等价变形为：，根据不等式的结构特点可以先证明：对于任意的正整数，不等式恒成立．这样依据不等式 ，再令利用左边，令，利用右边，即可得到成立，从而问题得以证明．试题解析：（1），由，所以．（2）由（1）得，，． ①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有； ③当时，令，当时，于是在上单调递减，从而，因()f x ()0f x ≥[]0,11(,]2a ∈-∞-2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+n 215211(1)(1)n n e n n +++<<+215211(1)(1)n n e n n +++<<+10000n =1000n =10000.41000.5100011001()()100001000e <<1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+(0)0f '=101b b -=⇒=()(1)ln(1)f x ax x x =-+-01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++12a ≤-01x ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≥=()f x [0,1]()(0)0f x f ≥=(0)0f =0a ≥01x ≤≤221()0(1)ax a f x x ++''=-<+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≤=()f x [0,1]()(0)0f x f ≤=(0)0f =102a -<<21min{1,}a m a+=-0x m ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+()f x '[0,]m ()(0)0f x f ''≤=此在上单调递减，即而且仅有； 综上，符合题意的． （3）对要证明的不等式等价变形如下：所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立．并且继续作如下等价变形对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有．取，当时，成立； 当时，．从而对于任意正整数都有成立．对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有．取，得：对于任意正整数都有成立．因此对于任意正整数，不等式恒成立． 这样依据不等式 ，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立．考点：1、复合函数的求导及导数的几何意义；2、导数在函数研究中的应用；3、构造函数()f x [0,]m ()(0)0f x f ≤=(0)0f =1(,]2a ∈-∞-2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+n 215211(1)(1)n n e n n +++<<+2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n+++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n n q n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩()p 21(,0)52a =-∈-12m =()f x 1[0,]2()(0)0f x f ≤=(0)0f =1x n =2n ≥211(1)ln(1)05n n n++-<1n =277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<n 211(1)ln(1)05n n n ++-<()q 12a =-x ∈[0,1]()0f x ≥(0)0f =1x n =n 111(1)ln(1)02n n n++->n 215211(1)(1)n n e n n+++<<+215211(1)(1)n n e n n +++<<+10000n =1000n =10000.41000.5100011001()()100001000e <<法在不等式证明中的应用；4、分类讨论思想以及等价转化思想方法的应用．【方法点晴】本题主要考查导数在函数研究中的应用，属于难度较大的题目．其中第一小题根据题意由导数的几何意义利用，即可直接求出，属于中等难度；第二小题充分体现了导数在函数研究中的应用以及分类讨论的思想方法，其中导数法在判定函数单调性方面是一个很有效的手段，而分类讨论的思想方法则体现了数学的严密性与完备性；第三小题充分体现了等价转化的思想方法，并在构造函数的基础上，体现了特殊与一般的思想方法，属于数学中的高难度问题．(0)0f '=1b =。
黑龙江大庆铁人中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)
数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。
【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。
2020-2021学年大庆市铁人中学高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年大庆市铁人中学高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则()A. 4B. 5C. 6D. 72.“m≤1”是“直线x−my+2=0的倾斜角θ∈[π4,π)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.若向量a⃗，b⃗ 是不共线的两个向量，2a⃗−3b⃗ 与λa⃗+μb⃗ 共线，当λ>0时，2λ−3μ的最小值为()A. 4B. 2C. 3√22D. 2√324.某人朝正东方走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好√3km，那么x等于()A. √3B. 2√3C. √3或2√3D. 35.设函数y=f(x)，x∈R的导函数f′(x)，且f(−x)=f(x)，f′(x)<f(x)，则下列不等式成立的是()A. f(0)<e−1f(1)<e2f(2)B. e2f(2)<f(0)<e−1f(1)C. e2f(2)<e−1f(1)<f(0)D. e−1f(1)<f(0)<e2f(2)6.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，数列满足且(其中为的前项和)，则()A. 3B. 2C.D.7.在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=π4，则cosA−cosC 的值为()A. ±√2B. √2C. 42D. ±428.函数y=cos x2的最小正周期是()A. π2B. πC. 2πD. 4π9.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A. y =−|x|B. y =−x 2+1C. y =x 3D. y =−1|x| 10. 已知f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)同时满足以下条件：①当|f(x 1)−f(x 2)|=4时，|x 1−x 2|最小值为π2；②f(π12+x)=f(7π12−x)；③f(0)>f(π4). 若f(x)=a 在[0,π]有2个不同实根m ，n ，且|m −n|≥π3，则实数a 的取值范围为( ) A. [−√3,√3] B. [0,1) C. (1,√3] D. [−1,1)11. 设函数f(x)=g(x)+x +lnx ，曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =4xB. y =4x −8C. y =2x +2D. y =−12x +1 12. 已知定义在R 上的函数y =f(x)对任意的x 满足f(x +1)=−f(x)，当−1≤x <1时，f(x)=x 2，函数g(x)={|log a x|,x >0,−1x,x <0,若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[−6,+∞)上有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (14,13]∪[3,4)B. [15,13)∪(3,5]C. (16,15]∪[5,6)D. [17,15)∪(5,7] 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∫(212x +1)dx =______．14. 已知sinx −siny =−23，cosx −cosy =23且x ，y 为锐角，则tan(x −y)= ______ ．15. 设集合A ={(x,y)|y =f(x)}，若对于任意的(x 1,y 1)∈A ，总存在(x 2,y 2)∈A ，使得x 1x 2+y 1y 2=0，则称集合A 具有性质P.给定下列4个集合：①A 1={(x,y)|y =2x }②A 2={(x,y)|y =1+sinx}③A 3={(x,y)|y =(x −1) 13}④A 4═{(x,y)|y =ln|x|}．其中具有性质P 的为______(填对应的序号)16.已知符号函数sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，若函数f(x)=x|x|−1⋅sgn(x)，则不等式f(x)>0的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−a)sinB+asinA=csinC，c=2．(Ⅰ)求△ABC的外接圆半径R；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．18.选做题(考生注意：请在22、23、24题中，任选做一题作答，若多做，则按所做的第一题评分)22.(本小题满分10分)(1)计算：(2)求，的最大值23(本小题满分10分)(1)化简：(2)中，若，且为锐角，求角．24(本小题满分10分)(1)已知，，．，求的值(2)已知为锐角，且，求．19. 如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．(1)若，求矩形ABCD面积；(2)若，求矩形ABCD面积的最大值．20. 在△ABC中，c=2，C=30°.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：2b=√3a；条件②：A=45°；条件③：b=2√3．21. 已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．(1)求的值；(2)若在及所在取值范围上恒成立，求的取值范围；(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c−16．(1)求a、b的值；(2)若c=12，求f(x)在[−3,3]上的最大及最小值．。
黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期阶段考试试题理20201202016
黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期阶段考试试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A. )}1,1(),1,1{(- B. }1{ C. ]1,0[ D. ]2,0[2．已知i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，则 | z | +1z＝( ) A.iB.1i -C.1i +D.i -3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为 ( )A.112 B .14C.13 D. 7124．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( )A. 14 B ．－14 C ．－12 D.125.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④②③ B ．①④③② C ．④①②③ D ．③④②① 6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 （ ） A.6π B.56π C.76π D.116π7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A.16π B.4π C.8πD.2π9．数列{}n a 满足221221,1,(1sin)4cos 22n n n n a a a a ππ+===++，则910,a a 的大小关系为（ ）A.910a a >B.910a a =C.910a a <D.大小关系不确定10．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（ ）A.320x y --=B.320x y +-=C.10x y -+=D.20x y --=11．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且1202,2x x <<>，则1ba -的取值范围是 ( ) A.)31,1(-- B.]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21,3(--.12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f （e 是自然对数的底数）的大小关系是（ ） A. 122)(+--m m em m f >)1(f B.122)(+--m m em m f <)1(f C.122)(+--m m em m f ≥)1(f D. 不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为________。
黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学(理)试题
（2）
（1）、利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到求曲线 的极坐标方程；
（2）、根据曲线 的普通方程求出其参数方程，设出点 的坐标，根据两点间距离公式求出 的表达式，进而求出最大值.
【小问1详解】
将极坐标与直角坐标的互化公式 代入曲线 的普通方程，
得 ，化简整理得曲线 的极坐标方程为 ；
【小问2详解】
黑龙江省铁人中学2019级高三上学期阶段考试
理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
D
先求出集合 ，再根据并集的运算求出答案即可
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
又 ，
所以 故选：D
2.若 ( 为虚数单位)是纯虚数，则实数 （）
A. B. C. D.
故答案为： .
15.若函数 为偶函数，则实数 _________ .
根据偶函数的定义 ，列出等式，用待定系数法求解即可.
因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
整理的 ，即 ，所以
故答案为：
16.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使 时的 的最小值为_________.
分为 为偶数时， 和 为奇数时， 两种情形，结合等差数列的性质求解即可.
由题设， ，且 到 的距离为 ，即 ，
∴ .故选：C.
9.记 表示不超过 的最大整数，(例如 )，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
C
解一元二次不等式求出 的范围，结合定义即可得结果.
因为 ，所以 ，
又因为 表示不超过 的最大整数，所以 ，
即不等式 的解集为 ，故选：C.
10.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为 ），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为 ），四棱锥的底面是有一个角为 的菱形（边长为 ），圆锥的体积为 ，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是
《精编》黑龙江大庆市高三数学第三次阶段试题 理 新人教A版.doc
大庆铁人中学2021届高三第三次阶段考试数学〔理〕试题总分值：150分 考试时间:120分钟 第一卷〔选择题 总分值60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
请考生把答案填写在答题纸相应位置上。
〕 1．{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，那么=PQ〔 〕A ．∅B ． {}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,2-2．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 〔 〕A ．||2x y =B ．21(1)y g x x =++C ．22x xy -=+D ．111y gx =+3．假设复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，那么tan θ的值为〔 〕A ．43B ．34-C ．34D ．3344-或4．给出以下不等式：①a 2＋1≥2a ；②a ＋b ab≥2；③x 2＋1x 2＋1≥1．其中正确的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．35．－1，a ，b ，－4成等差数列，－1，c ，d, e ，－4成等比数列，那么b －ad＝ 〔 〕 A ．14 B ．－12C ．12D ．12或－126．曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为〔 〕A ．42ln 2-B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．2ln 27．假设某几何体的三视图如图1所示，那么此几何体的外表积是〔 〕A ．52π+ B ．32π+C ．πD ．32π8．j i ,为互相垂直的单位向量，向量a j i 2+=，b j i +=，且a 与a +λb 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是〔 〕 A ．),0()0,35(+∞-B ．),35(+∞-C ．),0()0,35[+∞-D ．)0,35(-9．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N两点，O 为坐标原点．假设OM ON ⊥，那么双曲线的离心率为 〔 〕A BC D10．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，那么〔 〕A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<>B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<<C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -><第二卷 〔非选择题 总分值90分〕二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分。
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．复数21i-的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()()2122211112i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2．已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A ．[21]-， B ．[21)-， C ．[1]3， D ．(13]，【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，根据对数复合函数的定义域求法求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、对数型复合函数的定义域，综合性比较强，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 4．函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则()f m 的值为（ ）. A ．2 B ．2- C ．23D ．23-【答案】C【解析】根据函数为奇函数可得20m m -+=，从而求出1m =，再由()=(1)=f m f ()()121313f ---=--=【详解】函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数， 则20m m -+=，解得：1m =，则()()12()=(1)=1313f m f f ---=--=.故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-⨯-= 故选B. 【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象，故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.7．已知65a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】利用指数函数单调性得到11651155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到11551156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到a ，b 的关系，再利用“1”与c 比较. 【详解】因为51110.2656111155665a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a b >>，而337 7235log log17c=>=，所以c a b>>．故选：C．【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．1083cm B．1003cm C．933cm D．843cm【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．由此即可得出体积．【详解】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角），∴该几何体的体积2116634310032V=⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，属于常考题型.9．已知函数221,0()log,0x xf xx x⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a≤，则实数a的取值范围是（）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-【答案】D【解析】分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：当0a ≤时，()211f a a =+-≤，解得40a -≤≤； 当0a >时，()22log 1log 2f a a =≤=，解得02a <≤； 综上所述，[]4,2a ∈-. 故选:D. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想. 10．已知向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>，若1m n ⋅=，则12a b+的最小值为（ ）A ．7B ．72+C ．7+ D ．【答案】B【解析】先由向量数量积的坐标表示，得到312a b +=，再由321212a b a a b b ⎛⎫+⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭=展开后，根据基本不等式求解，即可得出最值. 【详解】因为向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>， 若1m n ⋅=，则2131b a -+=，即312a b +=，因此33377222221212a b a a ba ab b b ⎛⎫⎛⎫+=+=++++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3a bb a=，即b =时，等号成立； 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.11．已知函数()()(0) ,2f x sin x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，为了得到()2g x sin x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】A【解析】利用函数()f x 的图象求得,ωϕ的值，再利用左加右减的平移原则，得到()f x 向右平移6π个单位得()2g x sin x =的图象. 【详解】因为712344T πππ-==， 所以22T ππωω==⇒=. 因为7()112f π=-， 所以7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以() 23f x sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭+. 所以() 2() 2663f x sin x sin x g x πππ⎛⎫⎛⎪-=-+⎫==⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象向右平移6π个单位 可得()2g x sin x =的图象. 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求,ωϕ的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量x 而言的.12．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的； 对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．二、填空题13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0-【解析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0- 【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.15．若tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】45【解析】根据题中条件，先得到tan 2θ=-，根据二倍公式，诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】 由tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得tan 131tan -=+θθ，解得tan 2θ=-，则22232sin cos 2tan 44cos 2sin 22sin cos tan 1415⎛⎫-=-=-=-==⎪+++⎝⎭πθθθθθθθθ， 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，涉及诱导公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________. 【答案】4【解析】由已知可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果 【详解】 ∵函数()1f x +是奇函数，∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称， ∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称， 则()()2f x f x -=-，又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--， ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称， 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足21322n S n n =+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）1122n T n =-+. 【解析】(1)根据知n S 求n a 公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ；(2)利用裂项相消法，即可求出n T . 【详解】(1)当2n ≥时，2211313(1)(1)2222n n n a S S n n n n -=-=+---- 22131133222222n n n n n =+-+--+1n =+， 当1n =时，1113222a S ==+=也适合上式，所以{}n a 的通项公式1n a n =+. (2)因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111111123344512n n =-+-+-++-++ 1122n =-+ 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a 及裂项相消法求和，属于基础题. 18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.【答案】（1）23C π=；（2【解析】(1)利用正弦定理边化角公式可得sin si c 1n sin os 2A B C B +=,再将()sin sin A C B =+整理可得1cos 2C =-2,3C π= (2)根据余弦定理可得c =再根据正弦定理求出2sin cR C=,即可得R 【详解】解:(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=，且sin 0,(0,)B C π≠∈所以1cos 2C =-2,3C π=(2)2222cos 19,c ab ab Cc ==+=-所以2sin c R R C ====【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25=-n a n ，2n n b =（*n N ∈）；（2）114(27)2n n ++-.【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出{}n a 的通项公式；根据题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-，由1n n n b G G -=-，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出数列的和. 【详解】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ， 由55S =得1545+52a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-；由题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-， ∴1n=时，21222b =-=，2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+=； ∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）由（1）可得，()252nn n n c a b n ==-⋅，则12312(3)2(1)212(25)2n n n T c c c n =+++=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，因此2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，即131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n +=---⋅，所以114(27)2n n T n +=+-.【点睛】本题主要考查求等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，属于常考题型.20．已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若()23fα=-，且0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求cos2α的值．【答案】（1）[]1,2-；（2． 【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质求解. （2）由2()3f α=-，得到1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，再根据52666πππα-≤-≤，利用平分关系得到cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）2()cos 2sin 1f x x x x =+-，2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[1,2]-． （2）由2()3f α=-，知1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又因为52666πππα-≤-≤，所以cos 263πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭⎝11332⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点(A 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值.【答案】（1）22142y x +=；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题中条件，得出椭圆的离心率2c e a ==，再由点(A 代入椭圆方程，根据222+=a b c ，即可求出,,a b c ，从而可得椭圆方程；（2）设直线BD 的方程为y m =+，根据题意得0m ≠，设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算12k k +，即可得出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由双曲线方程221x y -=则椭圆的离心率2c e a ==，将(A 代入22221y x a b+=，得22211a b += ，又222+=a b c，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩所以椭圆C 的方程22142y x +=； （2）证明：设直线BD的方程为y m =+，又A ，B ，D 三点不重合，∴0m ≠， 设()11,B x y ，()22,D x y ，则由22142y my x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y，整理得22440x m ++-= ，所以12x x +=，21244m x x -=，28640m ∆=-+>，则m -<，设直线AB ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，则12121212121111y y m m k k x x x x +++=+=+----()21212122201m m x x x x x x ++-=====--+所以120k k +=，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，涉及双曲线的离心率，属于常考题型.22．已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且21aa-≤，即得a 的取值范围. 试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min210a f x f f a -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
黑龙江省大庆铁人中学高三数学上学期期中考试 理 新人教A版
黑龙江省大庆铁人中学高三数学上学期期中考试 理 新人教A 版【会员独享】第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()()U U C A C B = A ．｛x |1-<x 或2>x ｝ B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝ 2.已知 4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-等于 A ．17- B ．7- C ．71 D ．73.设a ＞1,且m =log a (a 2+1)，n =log a (a -1)，p =log a (2a )，则m ,n ,p 的大小关系为A. n ＞m ＞pB. m ＞p ＞nC. m ＞n ＞pD. p ＞m ＞n4．定义在R 上的偶函数f （x ）在[)∞+,0上递增，0)31(=f ，则满足)(log 81x f ＞0的x的取值范围是A ．()∞+,0B ．()∞+⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 5.已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S = A.24B. 27C. 15D. 546．实数x 满足3log 1sin x θ=+，则|1||9|x x -+-的值为 A ．8 B ．-8 C ．0 D ．10 7.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),AB =(1,3),AC BD ==则A.(2,4）B.(3,5）C.(—3,—5）D.(—2,—4） 8.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin 3()cos 1xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3πC .56πD .23π9.若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-,1] 内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]210.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S 为A ．15B ．20C ．25D ．3011.设函数122log (0)()()()log ()(0)xx f x f m f m x x >⎧⎪=<-⎨⎪-<⎩,若， 则实数m 的取值范围是A ．(1,0)(1,0)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-12.设函数()f x 在R 上满足(2)(2),f x f x -=+(7)(7)f x f x -=+ 且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，则方程()0f x =在 闭区间[—2005，2005]上的根的个数为A ．802B ．803C ．804D ．805第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45S t t =-米，则列车刹车后 秒车停下来，期间列车前进了 米．14．已知y x y x 222log log )(log +=+,则y x +的取值范围是 15.如图，在△ABC 中，AN =31NC , P 是BN 上的一点，若AP =m AB +112AC ， 则实数m 的值为___________.16. 等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足1200920101,10,a a a >->20092010(1)(1)0,a a --<给出下列结论 ①01q <<； ②200920111a a <； ③2010T 是n T 中最大的；④使得n T >1成立的最大的自然数n 是4018. 其中正确结论的序号为 .三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17. (本小题满分10分)已知不等式a x x 2|4||3|2<-+-． （Ⅰ）若1=a ，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 为等比数列,256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =.(1)求}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)设n T n n b a b a b a ++=2211,求n T . 19. (本小题满分12分) 已知向量(sin mx ,1),向量(3cos n x ,1)2,函数.()()f x m n m .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ； (Ⅱ)已知a ,b ,c 分别为ABC 内角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,23a,4c,且()f A 恰是()f x 在[0，]2上的最大值，求A ,b 和ABC 的面积S .20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x.(1)若f (x )在区间[1,＋∞)上是增函数,求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点,求f (x )在[1,a ]上的最大值；(3)在(2)的条件下,是否存在实数b ,使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由． 21．（本小题满分12分）已知向量 a=（cos α,sin α）,b =（cos β，sin β），|b a -｜＝5．(1)求cos （α－β）的值； (2)若０＜α＜2π，－2π＜β＜０,且sin β＝－513，求sin α的值．[来源:Z,xx,] 22.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a x－x ln a ，其中a ∈(1，e ]．(1)讨论f (x )的单调性；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，求|f (x 1)－f (x 2)|的最大值.参考答案一、选择题：DDBBB ACADA CC 二、填空题：13.30;405 14.[4,+∞）； 15.11316. ①②④ 三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17.解：（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x ， ① 若4≥x ，则2103<-x ，4<x ，∴舍去． ② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ． ③ 若3≤x ，则2310<-x ，338≤<∴x ．综上，不等式的解集为}438|{<<x x ． ……………5分 （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,31043,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f12>∴a ，21>a ．…………………………10 18. 解 1)设}{n a 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -=设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得3223231=⨯==a d , 所以()113 1.n b b n d n =-=- （2）n T ()1124548431n n -=⨯+⨯+⨯+-① ()244245431n n T n =⨯+⨯++-②②-①得：()()()2132344...44312324.n n n n T n n -=--++++-=+-⋅所以224.33n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭19.解:（1）21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++…2分1cos 2112222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分 从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 20.解: (1)f′(x)＝3x 2－2ax －3.∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0. ………4分(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0.∴a ＝4，∴f(x)＝x 3－4x 2－3x.令f′(x)＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f′(x )与f(x)变化情况如下表∴f(x)(3)函数g(x)＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∴x3－4x2－3x －bx ＝0， ∴x ＝0是其中一个根，∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b)＞0－3－b≠0∴b ＞－7且b≠－3.∴存在满足条件的b 值，b 的取值范围是b>－7且b≠－3.…12分 21. 解：（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，． -------------1分255a b -=，=． -------2分 即 ()422cos 5αβ--=． ()3cos 5αβ∴-=．--------5分 （Ⅱ）∵0,022ππαβ<<-<<， ∴0.αβπ<-<-----6分∵ ()3cos 5αβ-=，∴ ()4sin .5αβ-= ------8分 ∵ 5sin 13β=-，∴ 12cos .13β= ----------9分∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． -----------------12分 22. 解:(1)∵f (x )＝a x－x ln a∴f ′(x )＝a xln a －ln a a ∈(1，e ] 由f ′(x )>0可得x >0 由f ′(x )＝0可得x ＝0 由f ′(x )<0可得x <0∴f (x )在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增．----4分 (2)由(1)知f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]在单调递增 ∴当x ＝0时f (x )取得最小值f (x )min ＝f (0)＝1f (x )的最大值为f (1)与f (－1)中的较大值． ----6分又f (1)＝a －ln a ，f (－1)＝1a＋ln af (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a设g (a )＝a －1a－2ln a ，a ∈[1，e ]∵g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12>0∴g (a )在[1，e ]上单调递增． 又g (1)＝0，∴g (a )>0，a ∈(1，e ] ∴f (1)－f (－1)>0，∴f (1)>f (－1)∴在[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝a －ln a . ----9分 ∴对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0) 又f (1)－f (0)＝a －ln a －1即对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a －ln a －1. 设h (a )＝a －ln a －1，a ∈[1，e ]则h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，e ]上单调递增，∴h (a )max ＝h (e )＝e －2， ∴a －ln a －1≤e －2，综上所述，对∀x 1，x 2∈[－1,1], |f (x 1)－f (x 2)| max ＝e －2--12分。
2024届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中考数学试题及答案
铁人中学2021级高三上学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分。
）1. 已知集合{}0)2)(3(>-+=x x x A ，{})5ln(+==x y x B ，则=B A （ ）A. ()53--，B. ()3,2-C. ()5,2-D. ()()532--⋃+∞，， 2. 已知i2i i z z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A.i 5354+ B.i 5453- C.i 5453+ D.i 5354- 3. 若,R a b ∈且0ab ≠，则“1ab<”是“a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，能判断βα//的有（ ）A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//nB.平面α内不共线的三点到β的距离相等C.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n mD.平面βα,都垂直于平面γ5. 已知函数()()3sin cos ,f x ax b x x a b =++∈R ，若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 26. 已知32log ,24log 43==b a ，235=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A.c b a >>B. bc a >> C.c a b >>D.a c b >>7. 杨辉是南宋杰出的数学家，一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：()()()()()1112123123126n n n n +++++++++++=++ ．若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()28121n n S a +=+，数列{}n b 的通项公式为1n n n b a a +=⋅，则根据三角垛公式，可得数列{}n b 的前10项和10T =（ ）A. 440B. 480C. 540D. 5808.定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足2ln 2)4(,01)(=>-'f x f x ，则不等式x e f x <)(的解集为（ ）A.)2ln 2,0(B.)2ln 2,(-∞C.)2ln 2(∞+，D. )2ln 2,1(二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在ABC △中，已知32A C π==，3CD DB =，则（ ）A.AB AC BC +=B.2AC AD =C.1344AD AB AC=+ D.AD BC⊥ 10.在三棱柱111C B A ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为线段1AA ，11C A ，11B C ，1BB 的中点，下列说法正确的是（ ）A.E ，F ，G ，H 四点共面 B. 平面EGH //平面1ABC C. 直线1AA 与FH 异面 D. 直线BC 与平面AFH 平行11.设0,0>>b a ，且121=+ab ，则（ ）A. 10<<b B. 1>+b a C.b a 2-的最小值为0 D. b a 1+的最小值为223+12.若αααα6tan tan 36tan 3tan +=-，则α的值可能为（ ）A.15π-B.152πC.154π D.1514π第Ⅱ卷 非选择题部分三、填空题（每小题5分，共60分）13. 已知平面向量m ，n 满足||3= m ，||2n = ，m 与n 的夹角为π3，则23||m n -= ___________.14. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为__________．15.已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为__________.16．若函数()f x ，()g x 在R 上可导，且()()f x g x =，则能得出()()''f x g x =．英国数学家泰勒发现了一个恒等式22012xnn ea a x a x a x =+++++ ，则0a = ，1011n n na na +==∑．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分。
2021届黑龙江省大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中三校高三上学期三校联考数学试卷参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分。在毎小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
C
C
A
A
B
C
D
A
C
C
D
C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
4
13 .
5
14 ○1 ○3
15 -2
sin A 0 ，cos A 3 ， 2
由 A (0, ) ，可得 A ．……………………..6 分 6
（2）
S
ABC
1 bc sin 2
A
1 2
a
hBC
，且
b
2
3 ， sin A 1 ， 2
12 3c1 1a3，
2
22
解得 a 3c ， 3
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，
1
e x1
，因为
x1
0 ，所以 ax12
2x1
e
0
又因为
a
0
，
4
4ae
0 ，所以
x1
1 a
1 ea a
或
x1
1 a
1 ea a
因为
0
x1
e
且
0
a
1 e
，所以
x1
1 a
1 ea a
因为
x1
x2 2
1 a
，所以
x1 x2 2
x1
1 a
1 a
1 ea a
黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三(理)数学第一学期期中试题【含答案】
黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三（理）数学第一学期期中试题（含答案）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A ＝{x|x 2−2x −3<0}，集合B ＝{x|log 2(x −1)≥0}，则A∩B＝（ ）A. {x|2≤x<3}B. {x|2<x ≤3}C. {x|1≤x<3}D. {x|−1≤x<2} 2. 已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件3．已知向量,不共线，+=3，m m )2(++=，若//，则m =（ ） A ． -12 B ． -9 C ．-6D ．-34．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ） A ．7B ．8C 34153．341535. 已知函数⎩⎨⎧>≤=1log 12)(2x x x x f x ，则())2(f f =（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26.某化工厂生产一种溶液，按要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.301，lg3=0.477）（ ） A ．10B ．11C ．12D ．137. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点(,)P a b ，若3cos 25θ=-，则ba=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-8． 函数3()2xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则该函数的图象（ ）A ．关于直线4π=x 对称 B ．关于直线3π=x 对称C ． 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称 D ．. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π对称 11.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3B ．2[,0]3-C ．[0，)+∞D ．(-∞，0]12.设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是( )A ．3[2e -，1) B ．3[2e -，3)4C ．3[2e ，1)D ．3[2e ，3)4 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．(222sin 4x x dx --=⎰______.14．已知6sin cos 1cos2ααα=+，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 15．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()3log f x x =，则()57f =______．16．已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e ⎧<⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程F （x ）＝f （x ）﹣ax 有4个零点，则a 的范围为______.三、解答题（共70分。
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期阶段考试数学(文)试题(解析版)
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期阶段考试数学（文）试题一、单选题 1．已知133iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【详解】∵13(13)(3)=310i i i z i i ---==-+,∴z i =,z 的共轭复数的虚部为1. 2．已知集合{}220A x x x =--≤，{}2log 0B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}11x x -≤≤ B ．{}01x x <≤ C ．{}01x x ≤< D ．{}12x x -≤≤【答案】B【分析】先求得集合A 、B ，再根据交集的运算法则求解即可.【详解】由题意得集合{}12A x x =-≤≤，集合{01}B x x =<≤， 所以{01}A B x x ⋂=<≤， 故选：B3．函数()()1ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断； 【详解】解：因为()()1ln 1f x x x=+-，在()0,∞+上是连续函数，且()21101f x x x'=+>+，即()f x 在()0,∞+上单调递增， ()1ln 210f =-<，()12ln 302f =->，()()120f f ∴⋅<，所以()f x 在()1,2上存在一个零点. 故选：B .【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．4．函数()f x 是R 上的奇函数，切满足()()+4=f x f x ，当[)2,0x ∈-时，()2=-2f x x ，则()2013f =（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】C【分析】利用周期性把自变量的的绝对值变成最小，然后再利用奇函数性质求得值． 【详解】∵()()()4,f x f x f x +=∴是以4为周期的周期函数，()()()2013503411f f f ∴=⨯+=，又∵()f x 是R 上的奇函数，∴2(1)(1)1[2(1)]2f f =--=-⨯-⨯-=，故选C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，解题时一般利用周期性把自变量值变小（绝对值最小），然后再由奇偶性求得结果．本题属于基础题．5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβ C ．若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则 D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ 【答案】B【解析】试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ． 【解析】直线与平面位置关系的判定．6．已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项的和等于前5的和，若m 60a a +=，则m =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．2【答案】A【分析】由等差数列前10项的和等于前5的和，可得6789100a a a a a ++++=，由等差数列的性质得到()610502a a +=，结合已知m 60a a +=,即可求得m 的值． 【详解】因为在等差数列{}n a 中， 105S S =， 所以6789100a a a a a ++++=， 可得()610502a a +=， 6100a a ∴+=，又m 60a a +=，10m ∴=．故选A ．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．5πB ．12πC ．20πD ．8π【答案】A【分析】由三视图还原几何体的直观图，补全几何体为长方体有几何体的外接球即为该长方体的外接球，由长方体外接球半径R 为体对角线的一半可求出R ，进而求球体表面积.【详解】由三视图知：几何体为上图四棱锥11B ADD A -，且11ADD A 为边长为1的正方形，3AB =1111ABCD A B C D -，则几何体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球半径R 为长方体的体对角线的一半， ∴22211352R ++==，由外接球的表面积为245R ππ=， 故选：A8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【分析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>> ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 9．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题:p x AB ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【分析】根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意； 对于B ：若命题:p x AB ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C10．函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于（ ） A ．10 B ．8C ．6D ．4【答案】D【分析】由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --，又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=， 则1211214141()(2)[4()](42)(44)42222n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=+=，当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n+的最小值为4，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为 A ．0 B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】试题分析：画出函数f （x ）的图像如下，由图像知，所有实根之和为1234()()8x x x x +++=．故选D ．【解析】方程的根点评：当题目不是求出函数的具体零点时，通常通过画出函数的图像来求解． 12．设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，0b =，3526c f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()()cos g x f x x =，求导，可得()g x 在()0,π上的单调性，将a ，b ，c 变形整理，结合单调性，即可得答案.【详解】设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-， 因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,π上是增函数，1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，5555cos ()26666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c <<， 故选：A二、填空题13．若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥ ,则a 与b 的夹角为__________ 【答案】120【分析】把向量垂直用数量积表示后可得夹角． 【详解】∵a b =，()2a b b +⊥，∴()22222cos ,0a b b a b b a b a b b +⋅=⋅+=<>+=， ∴1cos ,2a b <>=-，∴,120a b <>=︒． 故答案为：120︒．14．设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．【答案】8-【分析】作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论．【详解】解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-， 过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-．故答案为：8-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><则{}n S 中第_________项最大. 【答案】6【分析】根据已知条件，判断首项和公差的正负，利用等差数列前n 项和的性质，即可容易求得.【详解】因为121330,0,120S S a >=， 故可得10,0a d ><， 故1121130,0a a a a +>+<, 由等差数列的性质可知：6770,20a a a +><，故当6n =时，n S 取得最大值. 故答案为：6.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，前n 项和的函数性质，属综合中档题. 16．已知函数定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)=+xf x e x ，给出下列命题：①0x >时，()(1)xf x e x =- ②函数有2个零点③()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ ④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<其中正确命题为__________.【答案】③ , ④【解析】分析：先根据奇函数性质求0x >时解析式，根据函数()f x 单调性确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题. 详解：因为函数()f x 定义在R 上的奇函数，所以0x >时，()()e (1)e (1)x x f x f x x x --=--=--+=-，()00f =， 因为当0x <时，()()1xf x ex =+，所以()(2)0,2x f x e x x =+==-'，当20x -<<时2()0,()((2),1)(,1)f x f x f e ->∈-=-'， 当2x <-时2()0,()((2),0)(,0)f x f x f e -<∈-=-'， 因此当0x <时，2()[,1)f x e -∈-， 根据奇函数性质得()(1,1)f x ∈-，max min 12max min ()1,()1()(()()2f x f x f x f x f x f x -∴-<-=因为()10f -=，所以()10f =，即函数有0，1，-1三个零点，当0x <时，()0f x >得-1<x<0,因此0x >时，()0f x >得x>1,所以()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞， 综上正确命题为③ , ④点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若(),m a c b =+，(),n a c b a =--且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若c =sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2【分析】（1）先根据向量垂直关系坐标表示得边的关系，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理化角为边的关系，再根据余弦定理得方程，解得,a b ，最后根据三角形三角形面积公式得结果.【详解】（1）由m n ⊥可得：2220a c b ab -+-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由sin 2sin A B =及正弦定理可得：2a b =，∵c =3C π=，∴由余弦定理可得：2222222cos 43c a b ab C b b ab b =+-=+-=， ∴解得：b =a =∴11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18．已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+. （1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）1*31()2n n b n N -+=∈.【分析】（1）根据题意可得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得1132n n a -=-，可得113n n n b b -+-=，利用累加法即可求得数列{}n b 的通项公式.【详解】（1）因为131n n a a +=+，所以111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为3的等比数列 （2）由（1）可知1132n n a -+=，所以1132n n a -=-因为112n n n b b a +-=+，所以113n n n b b -+-= 0213b b -=1323b b -=……213n n n b b ---=，2n ≥，各式相加得：1122111(133)13331312n n n n b b -----=+++⋅⋅⋅=--+=， 又11b =，所以113131122n n n b ---+=+=， 又当n =1时，11b =满足上式，所以1*31()2n n b n N -+=∈19．如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，23AB CD ==，32BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）22. 【分析】（1）由线面垂直推出AB CD ⊥，结合BC CD ⊥可得CD ⊥平面ABC ，再由//EF CD 即可得证；（2）间接利用三棱锥D ABC -的体积减去三棱锥F ABE -的体积即为所求. 【详解】（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥， 又∵BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∵//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC （2）由（1）知EF ⊥平面ABC ，BCDFE A BCD A BEF D ABC F ABE V V V V V ----=-=-111112332232332332322=⨯⨯⨯⨯⨯922=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明、三棱锥的体积，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，离心率为2（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线: (0)l y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.【答案】（1）22142x y +=（2）证明见解析；【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求得,a b 的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形OAPB 是平行四边形，可得P 点坐标，把P 点坐标代入椭圆方程，得到22212k t +=，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形OAPB 的面积为定值．【详解】解：（1）因为椭圆C 过点，代入椭圆方程，可得22211a b+=①，，所以c a =，从而222a b =②，联立①②，解得24a =，22b =，所以椭圆为22142x y +=；（2）把y kx t =+代入椭圆方程22142x y +=，得()()222214220k x ktx t +++-=，所以()()()22222(4)821282210kt k t k t ⎡⎤∆=-+-=+->⎣⎦， 设()11A x y ，，()22,B x y ，则()2121222224,2121t kt x x x x k k -+=-=++， 所以()121222221ty y k x x t k +=++=+， 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以()12122242,2121kt t OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=-⎪++⎝⎭，，所以P 点坐标为2242,2121kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又因为点P 在椭圆上， 所以()()22222224212121k t t k k +=++，即22212k t +=.因为12||AB x =-===. 又点O到直线l 的距离d =所以平行四边形OAPB 的面积2||OAPBOABSSAB d ==⋅===即平行四边形OAPB 的面积为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．已知函数()2ln 11x f x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）若0m =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞（2）12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将0m =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '<和()0f x '>，即可得出该函数的减区间和增区间； （2）由题意得出不等式()2ln 10x x m x --≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，利用导数分析出函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，得出该函数的最大值()max g x ，结合()()max 1g x g ≤，可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()ln xf x x=，其定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=，当()0,x e ∈时()0f x '>，当(),x e ∈+∞时()0f x '<， 故函数()y f x =的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞； （2）不等式()0f x ≤，即2ln 110x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即()2ln 10x x m x --≤， 由题可知()2ln 10x x m x --≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，令()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，则()ln 12g x x mx '=+-，令()()ln 121F x x mx x =+-≥，则()12mxF x x-'=， ①若0m ≤，则()0F x '>，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递增， 所以()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意； ②若102m <<，则当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0F x '>，函数()y g x '=在112,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意； ③若12m ≥，则()0F x '≤在[)1,+∞上恒成立，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递减，所以()()1120g x g m ''≤=-≤，所以()()10g x g ≤=，符合题意． 综上，12m ≥，故实数m 的取值范围为12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立，一般要转化为与函数最值相关的不等式来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22sin ―cos ρθρθ=，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P -，求PA PB +的值．【答案】（1）220x y -+=，()2214x y ++=；（2.【分析】（1）由22sin cos ρθρθ-=，利用,y sin x cos ρθρθ==得到直线l 的普通方程；由曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），利用平方关系消参即可.（2）将直线l的参数方程1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的普通方程得25100t +-=，然后利用t 的几何意义，由12||||PA PB t t +=-结合韦达定理求解．【详解】（1）因为22sin cos ρθρθ-=，所以22y x -=， 所以直线l 的普通方程为220x y -+=．'因为曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为()2214x y ++=．（2）由题意可得直线l的参数方程为15x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程得25100t +-=，则12t t +=，122t t =-，故12||||PA PB t t +=-==． 【点睛】本题主要考查极坐标方程，直角坐标方程，参数方程的转化以及直线与曲线的位置关系和弦长公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
大庆市铁人中学2021届高三数学上学期期中试题理
黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A ＝{x ｜x 2−2x−3<0}，集合B ＝{x|log 2(x−1）≥0｝,则A∩B ＝（ )A. ｛x|2≤x 〈3}B. ｛x|2〈x ≤3}C. {x ｜1≤x<3｝ D 。
{x ｜−1≤x<2｝ 2。
已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则( ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件3．已知向量b a ,不共线,b a c +=3，b m a m d )2(++=，若d c //,则m =( ）A ． —12B ． -9C ．-6D ．-34．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ） A ．7B ．8 CD ．5。
已知函数⎩⎨⎧>≤=1log 12)(2x x x x f x ，则())2(f f =（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26.某化工厂生产一种溶液，按要求,杂质含量不能超过0。
1％，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg2=0.301，lg3=0。
477)( ） A ．10B ．11C ．12D ．137. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点(,)P a b ,若3cos 25θ=-，则ba =( ）A ．12B ．2C ．12- D ．2-8． 函数3()2xy x x =-的图象大致是（ )A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin f x x x =-+,若3(3a f =，(2)b f =--,2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =,有()123f x x +=，则该函数的图象（ ) A ．关于直线4π=x 对称B ．关于直线3π=x 对称C ． 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称 D ．。
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黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期阶段考试试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A. )}1,1(),1,1{(- B. }1{ C. ]1,0[ D. ]2,0[2．已知i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，则 | z | +1z＝( ) A.iB.1i -C.1i +D.i -3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为 ( )A.112 B . 14C. 13D. 7124．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( )A. 14 B ．－14 C ．－12 D.125.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④②③ B ．①④③② C ．④①②③ D ．③④②① 6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 （ ） A.6πB.56πC.76πD.116π7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A.16π B.4π C.8πD.2π9．数列{}n a 满足221221,1,(1sin )4cos 22n n n n a a a a ππ+===++，则910,a a 的大小关系为（ ）A.910a a >B.910a a =C.910a a <D.大小关系不确定10．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（ ）A.320x y --=B.320x y +-=C.10x y -+=D.20x y --=11．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且1202,2x x <<>，则1ba -的取值范围是 ( ) A.)31,1(-- B.]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21,3(--.12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f （e 是自然对数的底数）的大小关系是（ ） A. 122)(+--m m em m f >)1(f B.122)(+--m m em m f <)1(f C.122)(+--m m em m f ≥)1(f D. 不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为________。
14．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=23（ * ）15．已知35sin cos 5αα+=，(0,)4πα∈，3sin()45πβ-=，(,)42ππβ∈， 则cos()αβ+的值为___________.16．对任意实数y x ,满足方程112---++=y x y x e e x （e 是自然对数的底数），则=⋅y x e _________.三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本题满分10分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为23,a a 的等差中项 （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和。
18．（本题满分12分） 在ABC ∆中,满足：232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (1)求cos A 的值;(2)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.19．（本题满分12分）已知函数()ln (,0)f x x ax a R a =-∈>． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在[1,2]上的最小值20．（本题满分12分） 已知函数2()cos ()12f x x π=+，1()1sin 22g x x =+. (1)设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； (2)求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间21．（本题满分12分）正项数列}{n a 的前n 项和n s 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n（1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）令22)2(1n n a n n b ⋅++=，数列}{n b 的前n 项和n T ，求证：对于任意的*N n ∈，都有645<n T22．（本题满分12分） 已知函数axxx x f -+=1ln )(，其中a 为大于零的常数 （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）求证：对于任意的,n N n *∈且＞1时，都有ln n ＞11123n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+成立。
大庆铁人中学高三学年上学期质量检测数学试题（理科）答案一．选择题（60分）二．填空题（20分） 13. 3 14.23)120(sin )60(sin sin 222=+︒++︒+ααα15.1010- 16. 1 三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17.（10分）解：（1）设公比为q ，则21112q a q a a +=，所以022=-+q q ，解得1=q （舍去）或2-=q（2）9)2)(13(91n n n s -+-=18. （12分） 解：（1）53cos -=A （2）由53cos -=A ，π<<A 0，得54sin =A ，由BbA a sin sin =得22sin =B 因为b a >，所以4π=B ，根据余弦定理)53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ，解得1=c 或7-=c （舍）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBADACCBCDCA故所求投影为22cos ||=B BA 19. (12分)解：(1) 函数f (x )的定义域 为(0，＋∞).f ′(x )＝1－axx因为a >0，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a；当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为]1,0(a ，单调递减区间为),1(+∞a. (2) ①当0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . ②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在]1,1[a 上是增函数，在]2,1[a 上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是f (x )min ＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (x )min ＝ln 2－2a . 20 (12分)解： (1)由题设知f (x )＝12)]62cos(1[π++x∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．∴g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin )6(ππ-k (k ∈Z ).当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin )6(π-＝1－14＝34；当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12)]62cos(1[π++x ＋1＋12sin 2x 23)32sin(21++=πx 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，故函数h (x )的单调递增区间是)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ. 21题答案：解：（1）由已知得0)1)](([2=++-n n s n n s ，又0>n s ，所以n n s n +=2当2≥n 时，n n n n n s s a n n n 2)1()1()(221=----+=-=-当1=n 时，211==s a 满足上式，所以n a n 2= （3）证明：])2(11[161)2(41)2(1222222+-=++=⋅++=n n n n n a n n b n n ])2(1151314121311[1612222222+-++-+-+-=n n T n645]211[161])2(1)1(1211[1612222=+<+-+-+=n n22题答案：。