材料力学应力和应变之间的关系

二、形状改变比能
σ2
1 2 (s 1 s 2 s 3 ) E
σ1
1 s m (s 1 s 2 s 3 ) 3
' s 2 s m s 2
σ3
形状改变 体积改变
σm σm (1)
＋
' s 3 s m s 3
s 1 s m s 1'
1 2 1 2 1 (s 11 s 21 s 31 ) 3s m E E
T 16T t 3 WP d
σy≠0！！！
注意σ 和τ 的方向！！！
s
F

4 314 .1kN
τ
E 0 d
2

4
200 10 500 10 200
3
6
2
3）求T
s 45
σ σ45° τ
s
2
t t
非45°角时！！！
s 45
s
45
45°
2 1 (s 45 s 45 ) E 1 1 s t 2E 2E
tyz tzx tyx
xy yz
zx
txy txz txy tzy tzx txz txy dy tyx tyz
dx
dz
1 t xy G 1 t yz G 1 t zx G
E sx [(1 ) x ( y z )] (1 )(1 2 ) E sy [(1 ) y ( x z )] (1 )(1 2 ) E sz [(1 ) z ( x y )] (1 )(1 2 )
90 0 0.3 2.42 10 4 7.26 10 5
t t sx
45°
σy≠0！！！
sy
45
t sx
1 (s 45 s 45 ) E
sy
t
s 45
s x s y
2
s x s y
2
t x
t x
s 45
τ
σ


v vV vd
σ-45°
测得ε0°（εx）、ε45°（ε45°）和ε90°（εy）
σy
σx
45°
τx
E sx ( x y ) 2 1 E sy ( y x ) 2 1 E x y tx ( 45 ) 1 2 x y E tx ( 45 ) 1 2
例 工字钢梁的截面尺寸如图所示，已知h=180mm， b=94mm，t=10.7mm，d=6.5mm。F=150kN，E=210GPa， ν=0.3，Iz=16.59×106mm4。试求C点处的线应变ε0° 、 ε 45°和ε90°。
500mm
F
500mm
b t d h
C
h/4 250mm
z t
解：1）求C点所在截面上的内力 F F FS 75kN M 0.25 18.75kNm 2 2
2. 形状改变比能
' s 2 s m s 2
形状改变
s 1 s m s 1'
' s 3 s m s 3
1 1 1 vd s 11 s 2 2 s 3 3 2 2 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 2 s 3 s 1 s 3 6E
AB
s 45 s 45
s
M A
45°
M a B
y
My s Iz
l AB 1 s dl 2E l AB
l AB
2 ( l) a My a M 1 1 2 dl dl 2 E 0 I z 2 E 0 Iz
2 (1 ) M 4 EI z 2 (1 ) Ma 2 0 ldl 8EI z
a
二、各向同性材料的体积应变
σ2
σ3
t t t t
V 1 2 3 V 1 2 σ1 (s 1 s 2 s 3 ) E 要使一点的体积应变为 零，必须使该点处的三个主 应力之和为零。
s 1 s 3 t
s2 0
1 2 s 1 s 2 s 3 0 E
§7-4 应力与应变之间的关系
一、各向同性材料的广义胡克定律 线弹性和小变形
tyx tyz s z tzx sx t t tzy txy sx xz xy tzx txz txy sz dy tyx tyz dz sy
dx
sy
sy sx
dy
sz
sz
dx
sy
dz
txy txz txy tzy sx ＋ tzx txz txy dy tyx tyz
平面应力状态
ty tx sx sy
tx
sy
sx
ty
1 x (s x s y ) E 1 y (s y s x ) E z (s x s y ) E
xy
1 t xy G
E sx [(1 ) x ( y z )] (1 )(1 2 ) E sy [(1 ) y ( x z )] (1 )(1 2 )
例 一钢制圆杆受拉扭组合作用，如图所示，已知直径 d=200mm，E=200GPa，ν=0.30。已测得圆轴表面 上a点处的线应变为ε0°=500με， ε 45°=400με。 试求F和T之值。 T F
τ
ε45° a ε0° T
F
解：1）取a点的应力状态
σ
4F F s 2 A d 2）求F 4F 0 E Ed 2
σ-45°
计算τ的解法二：
已知：ε0°=500με， ε 45°=400με
90 0 0.3 500 150με
E 0 90 t ( 45 ) 1 2
200 10 3 500 150 ( 400 ) 10 6 1 0.3 2
dx
tyz tzx
tyx
dz
σy
σx σz
σy
Baidu Nhomakorabea
σx
＋
＋ σz
1 x [s x (s y s z )] E E E E
sx
sy
sz
广义胡克定律
1 x [s x (s y s z )] E 1 y [s y (s x s z )] E 1 z [s z (s x s y )] E
1 2 2 (s 12 s 22 s 32 ) E
=0
(2)
1 2 (s 1 s 2 s 3 ) E
1. 体积改变比能
σm
s m (s 1 s 2 s 3 )
1 3
体积改变
σm
31 2 2 1 3 sm vV (s 11 s 2 2 s 3 3 ) s m m 2E 2 2 1 2 2 s 1 s 2 s 3 6E
=-34.6MPa
例 图示纯弯梁，已知外力为M，横截面对中性轴的惯 惯性矩为Iz，材料弹性常数为E、ν，试求线段AB 的长度改变量ΔlAB。 My dl M M 解： s
A
45°
a
B
Iz
y
σ
σ45° τ σ-45°
2 1 1 s 45 (s 45 s 45 ) 2E E 1 dl AB 45 dl s dl 2E 1 l AB dl AB s dl 2E l AB l
sz 0
说明： 1）x 和 y 必须是两个互相垂直的方向； 2）括号中的第一项必须是与 x 同方位的正应力， 而第二项中的应力必须是与x 垂直的方位上的 正应力； 3）上述公式同样适用于其它方位的应力状态。
ty
tx sx ty tx sy
1 x (s x s y ) E
sy
sx
500mm
F
500mm
b t d h
C
h/4 250mm
z
t
2）取C点的应力状态
τ σ
My 18.75 10 6 45 s 16.59 10 6 Iz
50.86MPa
注意σ 和τ 的方向！！！
500mm
F
500mm
b t d h
C
h/4 250mm
z t
S z 94 10.7 (90 10.7 / 2) 6.5 (45 10.7) (45
σ45°
τ
45°
50 .86 s s 45 t 68.85 94.28MPa 2 2 50 .86 s s 45 t 68.85 43.42MPa 2 2 1 45 (s 45 s 45 ) 非45°角时！！！ E 1 [94.28 0.3 (43.42)] 5.11 10 4 210 10 3
§7-6 空间应力状态下的应变能密度
一、应变能密度 单位体积的应变能
σ
dV v dV
σ2
1 v s 2 1 v (s 11 s 2 2 s 3 3 ) 2
σ1 σ3
1 2 [s 12 s 2 s 32 2 (s 1s 2 s 2s 3 s 3s 1 )] 2E
45 10.7 ) =98997mm3 2
FS S z 75 10 3 98997 68.85MPa t bI z 6.5 16.59 10 6 3）求线应变 s 50.86 0 2.42 10 4 τ E 210 10 3 σ σy≠0！！！ 242 με