高等数学II练习册-第10章答案.
《高等数学教程》第十章多元函数微分法习题参考答案
《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案10－1 (A)1.)()(y x xy +2.x xy xy y x 2)()(++5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2,0),({x y x y x π≤≠;(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;(4)41- (5)不存在； (6)0(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续10－1 (B)1．21x +2．1,22-+=+=x y z x x f3．yy x +-1)1(210－2 (A)1.(1)52(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e2. 13.(1)x y x yz y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1vu u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3))ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ (4))]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)y x yx y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xyxy xy xy y z xy y xy x z y y++++=∂∂++=∂∂ (7)x x zy z u x z y u x z y x u z yz y y zln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-(8)zz x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.4π 7.6π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2222222)(y x x y x z +-=∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,222)1(--=∂∂x y x x yz ,)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x xz+-+=∂∂,)sin(22y x x yz+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;012.023=∂∂∂y x z ,2231y y x z -=∂∂∂.10－2 (B)2.74arctan , )74arctan(-.10－3 (A)1.(1)dy y x dx y y )11()1(2-++;(2))(1dy dx xye x x y--;(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(22)(dy x yx dx y x y eyx x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 5252-3. 0.25e4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.50235. -5厘米6. 55.3立方厘米10－3 (B)1.xdy e ydx e du yxyx ⋅+⋅=--222210－4 (A)1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂pz]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ-+-=∂∂z2.)]23ln(2233[22y x xy x x y x z ---=∂∂]23)23[ln(22yx y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[244)(22yx y x x e x z xyy x -+=∂∂+ ]2[244)(22xyx y y e y z xyy x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy xu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy yu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy zu++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2t t e t t -- 6.232)43(1)41(3t t t ---7.xx e x x e 221)1(++ 8.11sin 2++⋅a a x e ax9.)ln 1(1x y x xzy x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)'2'12f ye xf xzxy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f zy z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ (4))1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f xu⋅=∂∂' 14.(1)''2'2242f x f x z +=∂∂,''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f yz +=∂∂(2)''222''12''112212f yf y f x z ++=∂∂ '22''22''12221)1(f y f y f y x y x z -+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ (3)''2222''123''114'222442f y x f xy f y yf xz +++=∂∂''1223''223''113'2'1252222f y x yf x f xy xf yf yx z ++++=∂∂∂ ''224''123''1122'122442f x yf x f y x xf yz +++=∂∂ (4)''33)(2''12''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf f x f e xz y x y x y x ++++++⋅-=∂∂''33)(2''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂ ''33)(2''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf f y f e y z y x y x y x ++++-+⋅-=∂∂10－4 (B)1. )1()()()(212122121ψψϕψϕϕψψϕψϕϕ'+'+'-'=∂∂'-'+'+'=∂∂xx y z x yy x z 2. vvuv uu xv xu v u v u x yf x f xy x xf f x xf xf f y x zyf f f x f x z2222)2(22)2(+++++++=∂∂∂+++=∂∂3. z t y f z f z u x t y f x y f x f x u ∂∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ψϕψϕϕ.10－5 (A)1.xy y e y x 2cos 2--;2.-1;3.xxy x y xy y ln ln 22--. 4.xy xyz xyz yz x z --=∂∂,xyxyz xyzxz y z --=∂∂2 5.z x zx z +=∂∂,)(2z x y z y z +=∂∂ 6. zy y z zxe x z x cos 3,cos 252-=∂∂-=∂∂ 7.dy dx xee x dz xy z xy z ++-+=----1)1(1 8.322224)()2(xy z y x xyz z z ---⋅ 9.32232)(22xy e e z y z xy ze y z z z --- 10. 2 11. 2 12.(1))13(2)16(++-=z y z x dx dy ,13+=z x dx dz (2)y x z y dz dx --=, yx x z dz dy --= (3)y x u y x u -+-=∂∂, y x y v y u -+-=∂∂； y x x u x v -+=∂∂, yx xv y v -+=∂∂10－5 (B)5.32)()()(v u u vv v uv u uv v uu u v u v uu u uv F F F F F F F F F F F F F F F F F -⋅-⋅+⋅+⋅---⋅-⋅ 7.'1'2'2'1'1'2'2'1)12)(1()12(g f yvg xf g f yvg uf x u------=∂∂ '1'2'2'1'1'1'1)12)(1()1(g f yvg xf uf xf g x v----+=∂∂8.1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u ,]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v uu 10－61.321＋2.32 3.)(2122b a ab+ 4.2948 5. 5 6.14227.1412 8.202020000zy x z y x ++++9. }6,2,3{)0,0,0(--=gradf , }0,3,6{)1,1,1=（gradf10－71.切线方程：222111)12(-=-=--z y x π 法平面方程：422+=++πz y x2.切线方程：8142121-=--=-z y x 法平面方程：011682=-+-z y x 3.切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法平面方程:0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x 4.切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程:024916=--+z y x5.)1,1,1(1---P 及)271,91,31(2--P7.(1)切平面方程：042=-+y x法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x(2)切平面方程:22π=+-z y x ， 法线方程:241111π-=--=-z y x(3)切平面方程:002002002202020)()()(1z z z c y y y b x x x a c z z b y y a x x -=-=-=++， 8.2112±=+-z y x 9.)3,1,3(--,133113-=+=+z y x 11.223cos =r10－8])4(21)4(22)[2sin()4(22222)2sin(.122ππηξπ-+-++--++=+y y x x y x y x其中 ).10()4(4<<-+==θπθπηθξy x ，])1(2)1(313)1[ln(!)2(!21.23322232y y x y x x y e y xy y z ηηηξξ+++-++++-+= 其中 ).10(,<<==θθηθξy x ，1021.1.3 10)!1()(!)(.4)(10<<++++=++=+∑θθy x n nk k yx e n y x k y x e10－9(A)1.(1)驻点)0,0(;极大点)0,0((2)驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0(;极大点)0,0(;极小点(2,2).(3)驻点)0,2(),0,76(-;极大点)0,716(;极小点)0,2(-.2.(1)极小值：3231313),(a a a f =； (2)极小值：0)1,1(=-f ； (3)极大值：8)2,2(=-f ；(4)极小值：2)1,21(ef -=-.3.极大值：41)21,21(=z .4.当两边都是2e 时，可取得最大周界.5.当长、宽、都是32k ，而高为3221k 时，表面积最小. 6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 368. .3,521==D D 利润 125)3,5(=L 9.X=15(千克), Y=10(千克)10. （1） 当电台广告费用万元），(75.01=x 当报纸广告费用万元），(25.12=x 时可使利润最大。
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
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高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解 在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明 划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解 曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解 曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方 向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与 路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明 因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整 个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解 因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解 因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个 定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解 因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定 义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解 因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是 某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确 定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解 场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功 与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解 令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解 由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解 由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解 由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向 的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物 体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余 弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴 的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的 单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
《高等数学》同步练习册（下）新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学2_习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式xa a a x a a a xD n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
高等数学第十章答案
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
高等数学第二版上册课后答案
高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。
高数答案第10章
第 10 章 （之1）（总第53次）* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)a b ∧= ．答：65π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为 ．答：||||b a =．** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ． 解：∵a P P ||0， ∴a t P P=0， 而P P r r 00+=，∴a t r r+=0∴P 点的径向量为 a t r+0．** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π32，求：（1）b a ⋅； （2）)2()23(b a b a +⋅-； （3）b a )(； （4）b a 23-．解：（1）〉〈=⋅b a b a a ,cos b 332cos 32-=⨯⨯=π．（2）()()b a b a223+⋅-b a b a 44322+-=()3634342322-=-⨯+⨯-⨯=．（3）()133-=-=⋅=bb a a b．（4）()()b a b a b a 2323232-⋅-=-b a b a124922-+=()108312342922=-⨯-⨯+⨯=，3610823==-b a．** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π31，求：（1）b a b a -+)(；（2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）()()b a ba b a--=-⋅2b a b a 222-+=213cos 5425422=⨯⨯-+=π，∴21=-b a，()()()b a b a b a ba ba--+=+⋅-2122b a -=215422-=7213-=． （2）()()b a ba-+⋅25b a b a 32522--=03cos543524522=⨯⨯-⨯-⨯=π，∴向量b a b a-+,25垂直．** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a -=+，∴ 22b a b a -=+，∴()()()()b a ba b a ba --=++⋅⋅，∴b a b a b a b a222222-+=++， ∴0=⋅b a， ∴b a⊥．***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角． 解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→--OA →---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→--OC ，则有 →--AB →--=OB →---OA ，→--CB →--=OB →---OC →--=OB →--+OA ，→--AB →--⋅CB →--=OB (⋅→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22=-=→--→--OA OB ，∴ 半圆的圆周角必为直角．第 10 章（之2）（总第54次）B教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数1.填空题*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．答：（4,5,3-)**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则 D 点为______ ． 答：（5,8,7--）**(3) 已知{}{}a b z =-=-45314,,,,,，且 a b a b +=-，则z =______ ．答：8-**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求qp ,之值及交点坐标．解：令AB 与y 轴相交于C 点，即C 为AB 的中点，则C 点的坐标为 )21,235,22(+-+-p q ， 又C 点在y 轴上，所以021,022=+=+-p q，即 1,2-==p q ， 故C 点的坐标为)0,1,0(，即交点的坐标为)0,1,0(．**3.设A,B 两点的坐标分别为()()1,0,1,1,2,0-．求 （1）向量AB 的模； （2）向量AB 的方向余弦； （3）使AB AC 2=的C 点坐标．解：（1）}2,2,1{-=， 则32)2(1222=+-+=，所以的模为3． （2）32cos ,32cos ,31cos =-==r βα．（3） 设C 的坐标为（x ,y ,z ），由2-= 则2)2(1)2(10=-+-⨯+=x ， 2)2(1)2(02-=-+-⨯+=y ， 3)2(1)2(1)1(=-+-⨯+-=z ，所以C 点的坐标为)3,2,2(-．**4. 求q p ,的值，使向量}4,,2{-p 与},0,1{q -平行，再求一组使此两向量垂直的q p ,值． 解：向量}4,,2{-=p u 与},0,1{q v -=平行，即：v uλ=，∴q p 4012-==-， ∴2,0==q p ， 向量u 与v 垂直时，0=⋅v u， ∴()()04012=⨯-+⨯+-⨯q p ． ∴21-=q ， p 为任意值．**5.求作用于某点三个力}5,4,3{},4,3,2{},3,2,1{321-=--==F F F 之合力的大小及方向．解：321F F F F ++=合{}{}{}{}4,1,25,4,34,3,23,2,1=-+--+=，合力的大小 21412222=++=合F，214cos ,211cos ,212cos ===γβα，其中γβα,,分别为合F与x 轴，y 轴，z 轴的夹角．** 6.试在xy 平面上求一与 }1,1,1{=a 成正交的向量．解：设所求向量为 {}z y x b ,,=， ∵ 在xy 平面上，∴0=z ， 且 0=⋅b a，即：{}{}01,1,10,,=⋅y x ， ∴0=+y x ，y x -=，取 1,1-==y x ， ∴ 向量 {}0,1,1-=b 与 {}1,1,1=a 正交． ** 7.设}2,2,1{-=a ，}4,0,3{-=b ，求：（1）j a⋅； （2）k b ⨯；（3）)()2(b a b a -⋅+； （4）)3()(b a b a -⨯+．解：（1）2)22(-=⋅+-=⋅j k j i j a ． （2）j k i k k i k b 33)43(-=⨯=⨯-=⨯．（3）)}4(2,2,31{}422),2(2,312{)()2(----⋅-⨯-⨯+⨯=-⋅+b a b a260)2()4()2(5}6,2,2{}0,4,5{-=⨯+-⨯-+-⨯=--⋅-=． （4）}24,40,32{}10,6,0{}2,2,4{)3()(---=-⨯--=-⨯+． ** 8.设}1,1,0{-=a ，}1,1,2{-=b ，求：（1）a b b a )(,)(； （2）a 与b 的夹角． 解：（1）11)1()2(}1,1,2{}1,1,0{)(22-=+-+-⋅-==b a ；(){}{}()2111,1,01,1,222-=-+-⋅-=⋅=aa b b a；（2）θcos =⋅， 即 θc o s 222⨯⨯=-， 则 22cos -=θ， 又 πθ≤≤0，所以 43πθ=，即a 与的夹角为43π．** 9.在yz 平面内求模为10的向量b ，使它和向量 k j i a 348+-= 垂直．解：∵ 向量b在yz 平面内， ∴ 可设坐标为 {}z y ,,0，∵ a b ⊥， ∴ 0=⋅a b，即：{}{}03,4,8,,0=-⋅z y ， ∴034=+-z y ，又 1022=+=z y b ， ∴6,8==y z ， 或 6,8-=-=y z ，∴向量b的坐标为：{}8,6,0 或 {}8,6,0--．*** 10. 试证明∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．其中321,,a a a 及321,,b b b 为任意实数．解：设b a,的坐标分别为{}{}321321,,,,,b b b a a a ，b a b a b a b a⋅≤〉〈⋅=⋅,cos ，即：232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤++，∴∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．第 10 章（之3）（总第55次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1]**1.解下列各题(1) 平行于x 轴，且过点)2,1,3(-=P 及)0,1,0(=Q 的平面方程是______ ． 答：y z +=1(2) 与xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ． 答：Ax By d A B ++=+≠0022()(3) 过点)1,2,1(=P 与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为_____ ．答：x y z -+=0(4) 点 )1,2,6(0-=M 到平面 0622=++-z y x 的距离为=d ___________． 解： ()()222161222622=+-++-⨯+⨯-=d ．（5）平面3360x y --=是 （ ） （A ）平行于xOy 平面 （B ）平行于 z 轴，但不通过 z 轴 （C ）垂直于y 轴（D ）通过z 轴答：B**2.填表讨论一般方程0=+++D Cz Bx Ax 中，系数A,B,C,D 中有一个或数个等于零的解：0=+++D Cz By Ax ， （1）0,0≠=ABD C 平行于z 轴（不包括过z 轴）的平面．（2）0,0≠⋅==C B D A 过x 轴的平面（不包括过y 轴、z 轴的平面）．（3）)0(,0,022≠⋅≠+==B A B A D C 过z 轴的平面． （4）0,0==≠C A B 平面垂直于y 轴．3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：**（1）过点()2,3,1--=P 及()1,2,0-=Q 且平行于向量{}1,1,2--=l；解：所求平面的法向量n垂直于向量{}1,1,2--=l 与由点()2,3,1--=P 与点()1,2,0-=Q 构成的向量{}1,1,1-=，故取{}1,3,2112111=---=⨯=kj i l n．故可得所求平面方程为 ()()()023312=++-++z y x ， 即 0532=-++z y x ．**（2）过z 轴且垂直于平面0723=+--z y x ； 解：平面0723=+--z y x 的法向量 {}1,2,3--=n ，故所求平面法向量n与0n 垂直，与z 轴正交，故可取{}0,3,21123--=--=⨯=kj i k n n ，所求平面过z 轴，故此平面必经过原点()0,0,0， 故可得所求平面方程为 0032=+--z y x ， 即 032=+y x ．**（3）垂直于yz 坐标面，且过点()2,0,4-=P 和()7,1,15=Q ；解：由题意可知()2,0,4-=P 、()7,1,15=Q ，所以{}9,1,1=PQ ．又由题意可知所求平面法向量 n即与x 轴垂直，又与向量PQ 垂直，故可取{}1,9,0001911-==⨯=kj i i PQ n， 故可得所求平面方程为：()()()02109=+-+-z y ， 即： 029=--z y ．***4.自点)5,3,2(0-=P 分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程． 解：垂足分别为：)0,3,2(=A 、)5,3,0(-=B 和)5,0,2(-=C ，所以}5,3,0{},5,0,2{--=--=AC AB平面法向量为}6,10,15{530502--=----=⨯=kj i n故平面方程为：15106600x y z +--= ．*** 5． 过两点)3,4,0(-=M 和)3,4,6(-=N 作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上截距之和等于零，求此平面方程． 解：设平面方程为：x a y b z a b+-+=1，由于它过M N ,两点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++1346134ba b a b a b 解得：a b ==-326,,，故平面方程为： 2366x y z --= 或 63218x y z +-=． **6． 判断下列各组平面相对位置，是平行，垂直还是相交，重合．（1）ππ1221022430:,:x y z x y z -+-=-+-=（2）ππ122210220:,:x y z x y z ---=+-=解：（1）ππ12,法向量分别为n n n n 12211122242=-=-={,,},{,,}取π1上一点(,,)100，显然不在π2上，故ππ12,平行，不重合． （2）ππ12,法向量分别为n n n n 12212211220=--=-⋅={,,},{,,},故n n 21,垂直，从而ππ12,垂直．第 10 章（之4）（总第56次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.2，10.3.3]**1．解下列各题：（1） 过点M M 12321102(,,),(,,)--的直线方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ． 答：x y z +=-=--14221（2） 直线x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩2302260在xOz 坐标面上的交点为=P ____________，并利用该点的坐标，写出此直线的对称式方程和参数方程．答： )3,0,0(=P ．对称式方程为x y z 3435==-，参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+===3543t z t y tx（3）直线kzy a x =-=+21在平面3=-+z y x 上的充要条件是=a ______，=k _____． 答：2-=a ，3=k ．因为点)0,1,(a P -=在平面上，直线的方向向量{}k l ,2,1=→与平面的法向量{}1,1,1-=→n 必须垂直．**2．求经过点)2,0,3(-=A 且与两个平面1=+z x 及1=++z y x 同时平行的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,0,11=⊥n l，且 {}1,1,12=⊥n l ，∴ 可取 {}1,0,111110121-==⨯=k j i n n l，∴ 所求直线方程为：2013-==-+z yx ．**3．求经过点)0,1,2(-=A 且与两条直线z y x ==及11201-=-=+zy x 同时垂直的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,1,11=⊥l l ，且 {}1,1,02-=⊥l l，∴可取{}1,1,211011121-=-=⨯=kj i l l l，∴所求直线方程为：z y x =+=--1122． **4. 求出过点)3,4,1(--=A 且与下列两条直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2均垂直的直线方程．解：⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L，{}1,4,211-=⊥n l，{}0,3,121=⊥n l∴ 可取 {}10,1,3211-=⨯=n n l，23114223114223142:2+=-+=-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=z y x t z t y tx t z t y t x L ，∴ 可取 {}2,1,42-=l ，1l l ⊥，且2l l⊥．∴ 可取 {}1,46,1221-=⨯=l l l，∴所求直线方程为13464121--=+=+z y x ． **5.求通过点()5,1,20-=M 且与直线12131-=-=+zy x 相交并垂直的直线方程． 解法一：直线132131:1--=-=+z y x L 上取一点()0,1,11-=M ，过点0M 与直线1L 的平面π的法向量n ，则1l n ⊥ 且 10M M n ⊥，∴{}{}{}6,12,105,0,31,2,3101-=-⨯-=⨯M M l ，故n 可取为 {}3,6,5-=n ．因所求直线L 过点0M 点且与1L 相交，故L 亦在平面π上，故 {}28,14,0,1--=⨯⊥n l n l ， 故可取 {}2,1,0=l．故所求直线方程为251102+=-=-z y x ． 解法二：过点0M 作垂直于直线1L 的平面π：()()()051223=+--+-z y x ，即01323=--+z y x直线1L 与平面π的交点M 的坐标满足： ⎪⎩⎪⎨⎧-====⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+=--+13211213101323z y x t t zy x z y x∴M 点坐标为()1,3,2-，∴{}4,2,00=M ， ∴所求直线方程为：251102+=-=-z y x ．** 6． 试求k 值，使两条直线7144933:,33541:21+=--=+--=+=-z y x L z y k x L 相交． 解：将第二条直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=1479433t z t y t x 代入第一条直线方程，有3441357173t k t t -=-+=--解得 k =2**7．求直线l x y z 112110:-=--=+与l x y z 211032:-=+=-之间的夹角． 解：l 1，l 2方向向量分别为S S 12110102=-=-{,,},{,,}，cos(,)||||S S S S 121212110∧==-，故l 1，l 2之间的夹角为 arccos 110． **8．已知直线1121-=-=+zp y x 和平面126=+-z y qx 垂直,求常数q p ,之值．解： {}{}2,6,//1,,2-=-=q n p l，∴3,42162=-=⇒-=-=p q p q ．**9．求过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 且在x 轴和y 轴上的截距相等的平面方程．解：过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 的平面束方程可设为()()(*)427572=-+-+--+z y x v z y x u令0==z y ，求得在x 轴截距v u vu x 2247++=，令0==z x ，求得在y 轴截距vu vu y -+=747．∵y x = ∴vu vu v u v u -+=++7472247，∴v u v u v u -=+=+722047或，即:5374=-=v u v u 或,代入（*）式，可得满足条件的平面有两个 （1）()()042757274=-+-+--+-z y x z y x ，即：027356=+-z y x ； （2）()()042757253=-+-+--+z y x z y x ，即：41101616=-+z y x ．***10. 求直线z y x ==在平面135=-+z y x 上的投影直线．解：直线L 的方向向量 {}1,1,1=→l ．在直线L 上取一点()0,0,0=A ，显然不满足方程135=-+z y x , ∴A 不在该平面上．设过A 做与平面135:0=-+z y x π的垂直的平面π．则平面π的法向量可取为 {}1,1,243511110---=-=⨯=kj i n l n，这就得到了π的方程为02=--z y x ．从而得到投影直线方程为⎩⎨⎧=--=-+02135z y x z y x ．第 10 章（之5）（总第57次）教学内容：§10.4空间曲面1. 选择题 *(1) 曲面z x y =+22是 （ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面 答：B** (2) 方程122=+z x 在空间表示 （ ）（A ）z 轴 （B ）球面（C ）母线平行y 轴的柱面 （D ）锥面答：C*(3) 方程x y z 2229251+-=-是 （ ） (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 双曲抛物面答：B*(4) 双曲面x y z 222491--=与yoz 平面 （ ） (A) 交于一双曲线(B) 交于一对相交直线(C) 不交 (D) 交于一椭圆答：C*2. 求以)1,1,1(),5,4,1(21==M M 为直径的两个端点的球面的方程． 解：M M 12,中点为)3,25,1(0=M ，M M 125=． 即直径为5，半径为5/2．故球面方程为()()()()x y z -+-+-=1523522222．即x y z x y z 222256100++---+= ．**3. 动点M 到两定点)0,0,4(),0,0,(21a P a P ==的两个距离之比等于1：2，求动点M 的轨迹方程．解：设动点M =(,,)x y zP M P M 1212::= 即 44222222[()]()x a y z x a y z -++=-++， 即 x y z a 22222++=() ．**4．动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离和它到xy 平面的距离相等,求动点M 的轨迹方程．解：动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离为 ()22212-++=z y x d ，动点M 到xOy 平面的距离为 212d d zd ==，∴动点M 的轨迹方程为 ()22222z z y x =-++， 整理得：4422-=+z y x 是旋转抛物面．**5. 求yOz 平面上曲线y z 221-=分别绕y 轴，z 轴而成的旋转曲面的方程． 解：绕y 轴 -+-=x y z 2221； 绕z 轴 x y z 2221+-=．6. 把下列方程化为标准形式，从而指出方程所表示曲面的名称并画出图形． **（1）01422222=-++-+y x z y x ； 解：01422222=-++-+y x z y x ，()()1422222=-+++z y y x x，()()142141222=-+++z y x ，是一个单叶双曲面， 中心为()0,1,10--=M ．**（2）09284222=--+--z y z y x ．解：09284222=--+--z y z y x ， ()()9224222=+---z z y y x ，()()4114222=+---z y x ，()()14114222=+---z y x ，是一个双叶双曲面，中心为()1,1,00-=M ．第 10 章（之6）（总第58次）教学内容：§10.5向量函数 空间曲线基本知识**1. 求曲线x y z x z 22216451230+-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪在xoy 平面上的投影柱面方程．解：消去z ，得x y x 2220241160+--=， 即为所求投影柱面方程．**2．求以曲线⎩⎨⎧=+-=++112222222z y x z y x 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程． 解：1311222222222=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++y x z y x z y x z消 故所求柱面方程为1322=-y x ．**3. 求曲线z x y x y z =+++=⎧⎨⎩221在各坐标平面上的投影曲线方程．解：消去z ，得x y x y 221+++=故在xoy 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧==+++0122z y x y x消去x ，得z y z y =--+()122故在yoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=+--=0)1(22x y z y z消去y ，得z x x z =+--221()故在xoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=--+=0)1(22y z x x z** 4．把曲面1222=++z y x 和1=+y x 的交线改写为母线分别平行于x 轴与y 轴的两个柱面的交线． 解：)1(11222⎩⎨⎧=+=++y x z y x由（1）消去x ()022*******=+-⇒=++-⇒z y y z y y ， 由（1）消去y ()022*******=+-⇒=++-⇒z x x z x x ，交线可写为⎩⎨⎧=-+=-+0220222222x z x y z y ．**5. 求由曲面322x y z +=和z y =-12所围成的立体在 xOy 平面上的投影区域．解：投影区域由交线⎩⎨⎧-==+22213y z zy x 在xOy 平面上投影曲线所围成 投影曲线为⎩⎨⎧=-=+013222z y y x ， 故投影区域为 ⎩⎨⎧=≤+012322z y x ．**6. 试求曲线()k e j e i t t r t t-++= 对应于0=t 点出的切线方程．解：()k e j e i t r t t-++=θ，∴此空间曲线的参数方程为 ()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===--t t t t e t z e t y t x e t z e t y t t x ''1'．∴在对应于0=t 时， 000010ee z e e y x --=-=-， 即：111--=-=z y x ．**7. 试求曲线()()()k t j t i t t r23sin 23cos 2++= 从0=t 到4=t 这一段的弧长．解：空间曲线的参数方程为()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t t y t t x t t z t t y t t x 2'3cos 6'3sin 6'3sin 23cos 22．∴ 弧长()[]()[]()[]dt t z t y t x s ⎰++=40222''' dt t t t ⎰++=422243cos 363sin 363ln 9209242+=+=⎰dt t ．。
高数第10章答案
高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题102222221.0x 0(3)arcsin ||||0(4)cot ()(n )14(6))x y y yz xy x x z x y x y n x y u r R y z r x y π+>->=≤≠=++≠≤+≤<<++=+2求定义域（1）z=lnxyxy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0且且为正整数（5）定义域为介于x 和2222(,)(,)(,),0.()110,(,)(,),,(1,)(,)(,)(1,),(1,)(),f (,)k k k k k z R z f x y f tx ty t f x y t yF xy t f tx ty t f x y t f f x y x x xy y y f x y x f f F x y x x x x +===≠∀≠======k 之间的空间部分以及球面若函数满足关系式则称该函数为k 次齐次函数。
试证k 次齐次函数z=f(x,y)可以表示为z=x 的形式证：对均有不妨令则即令则222222222()3(,),(,)(,)()(72)4(,,),(,,)(,,)()()5(,)tan ,(,)(,)()()tan(tan vx y w u v xy x yF x f u v u f xy x y f xy x y xy P f u v w u w f x y x y xy f x y x y xy x y xy xf x y x y xy f tx ty yxf tx ty tx ty t xy yxt x y xy y ++=++==++-+-=++=+-=+-=+-得证已知求解：已知求解：已知求解：0000002)61)2cos (2)lim123cos 123lim cos cos lim 1123lim(123)sin (3)limx y x x y y x x y x x xy x o y x y x y e y x y y x y e ye y x y x y xy →→→→→→→→→→→→→→→→==++++==++++x 求下列极限（1）解：解：由e 与在（0,0）连续则原式=00222200sin lim1lim 2ln(1)(4)lim x x y y x y x xyy y xy x y x y →→→→→→===+++解：2222222200000000y 00ln(1)lim lim 17lim )0(0,0)1ii (0,0).2x x y y x y x x y x y x y x y x y x y i y →→→→→→→→→→+++===++=+==解：试问解：沿趋于原极限=0x ）沿y=趋于原极限，由于沿不同的路径趋于x-1（0,0）极限值不等，故原极限不存在。
高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳完整版单选题1、甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为（）A．0.8B．0.7C．0. 56D．0. 38答案：D解析：利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：P=0.8×(1−0.7)+(1−0.8)×0.7=0.38.故选：D．2、以下现象中不是随机现象的是（）．A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现B．明天下雨C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点D．平面四边形的内角和是360°答案：D分析：根据随机现象的定义进行判断即可.因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选：D3、掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥答案：B事件A={2,4,6}，事件B={3,6}，事件AB={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(A)=36=12，P(B)=2 6=13，P(AB)=16=12×13，即P(AB)=P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．故选B．4、甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（）A．0.3B．0.63C．0.7D．0.9答案：B分析：结合相互独立事件直接求解即可.设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.9×0.7=0.63.故选：B5、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D选项结论正确.故选：C6、下列命题中正确的是（）A．事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率f n(A)B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P(A)=2P(B)D．对于两个事件A、B，若P(A∪B)=P(A)+P(B)，则事件A与事件B互斥答案：C解析：根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得P(A)=12×12×2=12，P(B)=12×12=14，故P(A)=2P(B)，故C选项正确；对于D选项，设x∈[−3,3]，A事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[1,3]的事件，则P(A)=13，B事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[−2,1]的事件，则P(A)=12，显然P(A∪B)=56=13+12=P(A)+P(B)，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D 选项的判断，适当的举反例求解即可.7、先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，则a ，b ，4能够构成等腰三角形的概率是( ) A ．16B ．12C ．1336D ．718 答案：D分析：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a ，b ，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 由乘法原理可知，基本事件的总数是36， 结合已知条件可知，当a =1时，b =4符合要求，有1种情况； 当a =2时，b =4符合要求，有1种情况； 当a =3时，b =3,4符合要求，有2种情况； 当a =4时，b =1,2,3,4,5,6符合要求，有6种情况； 当a =5时，b =4,5符合要求，有2种情况； 当a =6时，b =4,6符合要求，有2种情况， 所以能构成等腰三角形的共有14种情况， 故a ，b ，4能够构成等腰三角形的概率P =1436=718. 故选：D.8、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥B ．对立C ．相互独立D ．无法判断 答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论. ∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1， ∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)P(A)=P(B)，∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.多选题9、对于事件A，B，下列命题正确的是（）A．如果A，B互斥，那么A与B也互斥B．如果A，B对立，那么A与B也对立C．如果A，B独立，那么A与B也独立D．如果A，B不独立，那么A与B也不独立答案：BCD分析：A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断.A.如果A，B互斥，由互斥事件的定义得A与B不一定互斥，故错误；B.如果A，B对立，由对立事件的定义得A与B也对立，故正确；C.如果A，B独立，由相互独立事件的定义得A与B也独立，故正确；D.如果A，B不独立，由相互独立事件的定义得A与B也不独立，故正确；所以答案是：BCD10、给出下列四个命题,其中正确的命题有A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51100B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率答案：CD解析：根据概率和频率定义,逐项判断,即可求得答案.对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是9,符合频率定义,故C正确;50对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选:CD.小提示：本题考查了频率和概率区别,解题关键是掌握频率和概率的定义,考查了分析能力,属于基础题.11、4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（）A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B．有可能出现恰有三支球队并列第一名C．恰有两支球队并列第一名的概率为14D．只有一支球队名列第一名的概率为12答案：ABD分析：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(d,b)6场比赛中，依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(d,b)6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6×464=38，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有23=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为864×4=12，正确.故选：ABD小提示：本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.填空题12、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．答案：310##0.3分析：利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310．所以答案是：310．13、甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率p n=______．答案：13[1+(−1)n⋅12n−1]分析：记A n表示事件“经过n次传球后，球再甲的手中”，设n次传球后球再甲手中的概率为p n，得到p1=0,A n+1=A n⋅A n+1+A n⋅A n+1，化简整理得p n+1=−12p n+12,n=1,2,3,⋯，即p n+1−13=−12(p n−13)，结合等比数列的通项公式，即可求解.解：记A n表示事件“经过n次传球后，球再甲的手中”，设n次传球后球再甲手中的概率为p n,n=1,2,3,⋯,n，则有p1=0,A n+1=A n⋅A n+1+A n⋅A n+1，所以p n+1=P(A n⋅A n+1+A n⋅A n+1)=P(A n⋅A n+1)+P(A n⋅A n+1)=P(A n)⋅P(A n+1|A n)+P(A n)⋅P(A n+1|A n)=(1−p n)⋅12+p n⋅0=12(1−p n)，即p n+1=−12p n+12,n=1,2,3,⋯，所以p n+1−13=−12(p n−13)，且p1−13=−13，所以数列{p n−13}表示以−13为首项，−12为公比的等比数列，所以p n−13=−13×(−12)n−1，所以p n=−13×(−12)n−1+13=13[1+(−1)n⋅12n−1].即n次传球后球在甲手中的概率是13[1+(−1)n⋅12n−1]．所以答案是：13[1+(−1)n⋅12n−1].14、若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a 的取值范围为_____．答案：(43,3 2 ]解析：根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围. 因为随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，所以有：{0<P(A)<1 0<P(B)<10<P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<10<2−a+3a−4≤1，解得43<a≤32，所以答案是：(43,3 2 ]解答题15、2020年1月26日4点，篮球运动员湖人队名宿科比·布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁.对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在.现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们.这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱.在美国NBA 篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束.比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立.在NBA 2019~2020赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA 总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP .如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA 专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率； （2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率. 答案：（1）932；（2）5964.分析：（1）4场比赛包括湖人队4:0获胜或者0:4失败；湖人队4:1获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可（2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可（1）记事件A 为“只进行4场比赛”，事件B 为“湖人队4:1获胜”，则 由题意知，4场比赛包括湖人队4:0获胜或者0:4失败， P A =34×34×12×12+14×14×12×12=532，湖人队4:1获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，P B =34×14×12×12×34×2+34×34×12×12×34×2=932. （2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3， 4:0夺冠的概率：P 1=12×12=14， 4:1夺冠的概率：P 2=12×12×34×2=38，4:2夺冠的概率：P3=12×12×14×12×2+12×12×34×12=532，4:3夺冠的概率：P4=12×12×14×12×34×3+12×12×34×12×34=964，所以湖人队最终夺冠的概率为P1+P2+P3+P4=5964.。
高数第十章答案
高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
高中数学必修二《第十章 概率》同步练习及答案
《第十章概率》同步练习10.1随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件基础巩固训练一、选择题1．下列事件中，随机事件的个数为( )①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．不能确定答案 A解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A.3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点答案 B解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B.4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )A．5 B．6C．3或4 D．5或6答案 C解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B.二、填空题6．“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件．答案随机解析当a>1时，y＝a x在(－∞，1 ]上是增函数．当0<a<1时，y＝a x在(－∞，1]上是减函数，故事件随a值变化会有不同结果，为随机事件．7．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为________．答案19解析一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个．其中方程有关根的充要条件为b2≥4ac，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个样本点．8．同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________．答案8,3解析由题意，样本点的总个数为23＝8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个．三、解答题9．已知集合M＝{－1,0,1,2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标．(1)写出试验的样本空间；(2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数．解(1)样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}．(2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，则A包含的样本点有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(2,0)，共7个．能力提升训练做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出事件A：“第1次取出的数字是2”的集合表示；(4)说出事件B＝{(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义．解(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的样本点的总数是6.(3)A＝{(2,0)，(2,1)}．(4)事件B表示“第1次取出的数字是0”．10.1.2 事件的关系和运算基础巩固训练一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B 正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则A－等于( )A．{至多有2件次品} B．{至多有两件正品}C．{至少有两件正品} D．{至多有一件次品}答案 D解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D.3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( ) A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面答案 D解析对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④C．③D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( )A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球答案 B解析A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C，D中的两个事件互斥且对立．二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪B－表示________．答案出现的点数为2,4,5,6解析因为B－表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A ∪B－表示“出现的点数为2,4,5,6”．7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________．答案A∩B∩C－解析∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩C－＝{2,4}．8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”，其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．答案②④解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④.三、解答题9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；(5)只有甲破译；(6)密码未被破译．解用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则(1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C＋A－∩B－∩C－；(4)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C；(5)A∩B－∩C－；(6)A－∩B－∩C－.能力提升训练判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生．(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件．10.1.3 古典概型基础巩固训练一、选择题1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A.2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.18答案 C解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32个子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为832＝14.3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )A.110B.18C.14D.12答案 C解析设两款优惠套餐分别为A，B，列举样本点如图所示．由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共2个样本点，故所求概率为P＝28＝14.4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.516答案 B解析两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58.5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调查．已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( ) A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 D解析记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10种结果发生的可能性是相等的．记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A所包含的样本点有(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共7个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝710＝0.7，故选D.二、填空题6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为________．答案1 9解析同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为436＝19.7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．答案1 5解析抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种情况，这15种情况发生的可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足b>a，故所求概率为315＝15.8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．答案1 2解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.三、解答题9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．解(1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正确，理由如下：由(1)，知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等的．其中摸出的2个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23，故不中奖的概率比较大．能力提升训练小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解(1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(B)＝1225＝0.48.10.1.4 概率的基本性质基础巩固训练一、选择题1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为( )A.56B.34C.23D.13答案 C解析乙队不输的概率为1－13＝23.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案 C解析设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C.3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )A．0.3 B．0.6C．0.7 D．0.9答案 C解析∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C.4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 B解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－(B－表示事件B的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析由题意，知B－表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B－互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B－)＝P(A)＋P(B－)＝26＋26＝46＝23.二、填空题6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案120解析设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－9 20＝1120.再由题意，知1120n－920n＝12，解得n＝120.7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．其中错误命题的个数是________．答案 3解析由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确．8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知1P1，1 P2是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋14＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．答案1223解析由P1满足方程x2－x＋14＝0知，P2 1－P1＋14＝0，解得P1＝12；因为1P1，1P2是方程x2－5x＋6＝0的根，所以1P1·1P2＝6，解得P2＝13.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶的概率为1－13＝23.三、解答题9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝3 16，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.能力提升训练某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)＝13，P(C＋D)＝512.又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－13－512＝14.所以甲的停车费为6元的概率为1 4 .(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．所以所求概率为316.10.2 事件的相互独立性基础巩固训练一、选择题1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则P(A B－)＝( )A.112B.16C.14D.12答案 A解析∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则A与B－也是相互独立事件，∴P(A B－)＝P(A)·P(B－)＝14×13＝112.故选A.2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( )A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生答案 C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.42答案 D解析 P ＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )A.14B.19C.13D.127 答案 D解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为13，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为13×13×13＝127.5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12 答案 A解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.二、填空题6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．答案49512解析 由已知每次打开家门的概率为18，则该人第三次打开家门的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18×18＝49512.7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为12，乙同学解出它的概率为13，丙同学解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概率为________．答案1124解析 只有一人解出的概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．答案 35解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 三、解答题9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C)＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×710＝83125.能力提升训练某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率为P 0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512. 综合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．10.3 频率与概率 基础巩固训练一、选择题1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A 表示正面朝上这一事件，则事件A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近0.6答案 B解析 事件A ＝{正面朝上}的概率为12，因为试验次数较少，所以事件A 的频率为35，与概率值相差太大，并不接近．故选B.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为( )A.199 B.1100 C.99100 D.12答案 D解析 ∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P ＝12.3．袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任取一个球，取后放回，再取，直到取出“骄”字为止，用随机模拟的方法，估计第二次就停止的概率．且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“东”“方”“骄”“子”这四个字，每两个随机数为1组代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：23 14 12 31 3341 44 22 31 4312 13 24 42 3223 11 43 31 24则第二次停止的概率是( )A.14B.15C.13D.16答案 A解析由20组随机数，知直到第二次停止的有：23,43,13,23,43，共5组，故所求概率为P＝14.故选A.4．通过模拟实验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 77404422 7884 2604 3346 09526807 9706 5774 5725 65765929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数，在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )A.14B.13C.15D.16答案 A解析表示恰有三次击中目标的有：3013,2604,5725,6576,6754，共5组，随机数总共20组，故四次射击恰有三次击中目标的概率约为520＝14.5．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在(10,40]上的频率为( )A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64答案 C解析(10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分．所以数据在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，由f n(A)＝nAn可得频率为0.52.故选C.二、填空题6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的频率是________．答案0.9 0.3解析打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为910＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是310＝0.3.7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．答案500解析设进行了n次试验，则有10n＝0.02，解得n＝500，故共进行了500次试验．8．样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．答案64 0.4解析样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率，知所求概率约为0.4.三、解答题9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．解(1)事件A的频率f(A)＝17＋26100＝0.43.(2)事件B的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C的频率f(C)＝2＋2100＝0.04.。
高数第十章测试题及答案
高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（ ）（Ａ）12I I =； （Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <； （Ｄ）无法比较12,I I 的大小。
2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（ ）（Ａ）218xy +； （Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +； （Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（ ）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（ ）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ； （B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ； （C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ； （D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（ ）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-； （Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=； （Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-； （Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。
高等数学课后习题答案--第十章
1 1 2 x 4 + 14 ； （2） y ( x) = + 1 + 4x − 4x 2 ； 2x 2 2 3π 1 2 y 2 − 2 xy + x 2 3 2y − x （3） 通解为 ln x + ln − arctan + c = 0 ，c = − ； 2 8 x 4 2 x
13. 将下列方程化为齐次方程后求出通解：
π π
4 4
;
。
199
【答案】 （1） e 2 x − 3 + 2e − y = 0 ； （2） x 2 y = 1 ； （3）
(1 + e x ) sec y = 2 2 ； （4） cos x cos y =
2 . 2
5. 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 t 0 时有镭 Q0 克，经 1600 年它的量减少了 一半，求镭的衰变规律。 ln 2 − ( t −t0 ) dQ ln 2 1600 = − kQ ， k = 【解】 5． ， Q(t ) = Q0 e . dt 1600
7 1 59
（2） (4 y − 3x + 1) 20 (4 y + x + 5) 8 = c( x + 1) 40 ； （3） 3 ln( x + y + 2) − 2 x − y = c .
14. 上凸曲线 y = f ( x ) 经过点 (0,0) 和 (1,1) ，且对于曲线上任一点 P ( x, y ) (0 < x < 1) ，曲线上连接 (0,0) 和 P 的弧与连接 (0,0) 和 P 的线段所围面积为 x 2 ，求该曲线的方程。 【解】 y = − x 3 + 2 x ； 15. 判断下列方程中是否全微分方程，若是全微分方程则求出其通解： ⑴ (5 x 4 + 3xy 2 − y 3 )dx + (3 x 2 y − 3xy 2 + y 2 )dy = 0 ; ⑵ (4 x 2 + 2 xy + y 2 )dx + ( x + y ) 2 dy = 0 ; ⑶ e y dx + ( x e y − 2 y )dy = 0 ; dy ⑷ ( x cos y + cos x) + (sin y − y sin x) = 0 ; dx 2 2 ⑸ (3x + 6 xy )dx + (6 x 2 y + 4 y 2 )dy = 0 ; ⑹ y ( x − 2 y )dx − x 2 dy = 0 。 3 1 【答案】 (1) x 5 + x 2 y 2 − xy 3 + y 3 = c ; (2) 不是全微分方程; 2 3 4 (3) xe y − y 2 = c ; (4) x sin y + y cos x = c ; (5) x 3 + 3x 2 y 2 + y 3 = c ; 3 (6) 不是全微分方程. 16. 用观察法判断下列方程的积分因子，再求出通解： ⑴ ydx − xdy = 0 ; ⑵ y 2 ( x − 3 y )dx + (1 − 3xy 2 )dy = 0 ; ⑶ xdx + ydy = ( x 2 + y 2 )dx ; ⑷ ( x − y 2 )dx + 2 xydy = 0 ; ⑸ (2 y − 3x 2 y )dx − xdy = 0 ; ⑹ y (1 + xy )dx + x(1 − xy )dy = 0 。 1 x 【答案】 （1）积分因子 2 , = c ； （2） y 2 xdx + dy − 3( ydx + xdy ) y 2 = 0 ，乘 y y
10高中数学必修第二册第十章课后答案
10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件P229练习1.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.2.如图，由A ，B 两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件M =“电路是通路”包含的样本点；（3）对并联电路，写出事件N =“电路是断路”包含的样本点.【答案】解：A ，B 两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；（2）对串联电路，只有当A ，B 都正常时电路才是通路，故M 包含的样本点为()1,1；（3）对并联电路，只有当A ，B 都失效时电路才是断路，故N 包含的样本点为()0,0.3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A =“摸到球的号码小于5”，事件B =“摸到球的号码大于4”，事件C =“摸到球的号码是偶数”【答案】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=；（2）{}1,2,3,4A =；{}5,6,7,8,9B =；{}2,4,6,8C =.10.1.2事件的关系与运算P233练习1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件.2.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：i C =“点数为i ”，其中1,2,3,4,5,6i =；1D =“点数不大于2”，2D =“点数大于2”，3D =“点数大于4”；E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C 与2C 互斥；（2）2C ，3C 为对立事件；（3）32C D ⊆；（4）32D D ⊆；（5）12D D =Ω ，12D D =∅；（6）356D C C = ；（7）135E C C C = ；（8）E ，F 为对立事件；（9）232D D D = ；（10）233D D D = 【答案】解：该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6Ω=,由题意知{}i C i =,{}11,2D =,{}23,4,5,6D =,{}35,6D =,{}1,3,5E =,{}2,4,6F =.（1）{}11C =,{}22C =,满足12C C =∅ ,所以1C 与2C 互斥,故正确；（2）{}22C =,{}33C =,满足23C C =∅ 但不满足23C C ⋃=Ω.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）{}565,6C C = ,所以356D C C = ,故正确；（7）{}1351,2,3C C C = ,故135E C C C = 正确；（8）因为E F ⋂=∅,E F ⋃=Ω,所以E ,F 为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.10.1.3古典概型P239练习1.判断下面的解答是否正确，并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y 表示命中，用n 表示没有命中，那么试验的样本空间{},,,yy yn ny nn Ω=，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.【答案】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.2.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J 或Q 或K ；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.3.从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：（1）这个数平方的个位数字为1；（2）这个数的四次方的个位数字为1.【答案】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可表示为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=.10.1.4概率的基本性质P242练习1.已知()()0.5,0.3P A P B ==.（1）如果B A ⊆，那么()P A B = ___________，()P AB =___________；（2）如果A ，B 互斥，那么()P A B = ___________，()P AB =___________.【答案】（1）如果B A ⊆,那么A B A ⋃=,A B B = ,所以()()0.5P A B P A ⋃==,()()0.3P AB P B ==（2）如果A ,B 互斥,那么A B =∅ ,所以()()()0.50.30.8P A B P A P B ⋃=+=+=,()0P AB =故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；02.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；（2）如果事件A 与事件B 互斥，那么一定有()()1P A P B +=.【答案】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1,则若某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率应为0.6（2）如果事件A ,B 互斥,那么()()()1P A P B P A B +=≤ ,只有当A ,B 互为对立事件时才有()()1P A P B +=3.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：1G 2G 3G M182014F 17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F = ____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P M G = ____________，()3P FG =____________()1P M F = ；()()0P MF P =∅=；习题10.1P243复习巩固1.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；（2）列举下列事件包含的样本点：A =“两个数字相同”，B =“两个数字之和等于5”，C =“蓝色骰子的数字为2”.【答案】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.2.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.【答案】解：（1）第一轮的两场比赛中，当,a c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,acbd acdb cabd cadbadbc adcb dabc dacb 第一轮的两场比赛中，当a,d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bcad bcda cbad cdda 第一轮的两场比赛中，当,b c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bdca bdac dbca bdac 第一轮的两场比赛中，当,b d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,则该试验的样本空间可表示为:,,,,,,,,,,,,,,,{}acbd acdb cabd cadb adbc adcb dabc dacb bcad bcda cbad cdda bdca bdac dbca bdac Ω=；（2）事件A 包含的所有结果为：, , , acbd acdb adbc adcb ；（3）事件B 包含的所有结果为：, , , ,,.,, acbd acdb adbc adcb cab dabc d cadb acb d 3.(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A 和B 包含的样本点；【答案】事件空间：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝，事件A 的样本点：（正正），（正反），事件B 的样本点：（正反），（反反）．(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）．A.A 与B 互为对立事件B.A 与B 互斥C.A 与B 相等D.()()P A P B =【答案】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A 包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件A ，事件B 都含有“(正，反)”这一结果，即事件A ，事件B 能同时发生，因此，事件A ，事件B 既不互斥也不对立，A ，B 都不正确；事件A ，事件B 中有不同的结果，于是得事件A 与事件B 不相等，C 不正确；4.判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则5.生产某种产品需要2道工序，设事件A =“第一道工序加工合格”，事件B =“第二道工序加工合格”，用A ，B ，A ，B 表示下列事件：C =“产品合格”，D =“产品不合格”．【答案】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A ，B 同时发生，所以C =AB ；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，6.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜7.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；（1）标签的选取是不放回的；（2）标签的选取是有放回的.【答案】解：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m 表示第一张标签的标号，n 表示第二张标签的标号，设A =“两张标签上的数字为相等整数”，则（1）数组（m ，n ）表示该试验的一个样本点，,{1,2,3,4,5}m n ∈，且m n ≠.因此该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}m n m n Ω=∈，且m n ≠}中共有20个样本点，其中m ，n 为相等整数的样本点个数()0n A =.故所求概率为0；（2）该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}}m n m n Ω=∈中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5A=,5)}，所8.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为：9) ,(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7){(1,3,,(3,5,5),(1,3,7),(1,39),(3,7,9)(5,,7,9)Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9)(5,7,9)，共3个，故P244综合运用9.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A =“恰有1支一等品”；（2）B =“两支都是一等品”；（3）C =“没有三等品”.【答案】解：用123,,a a a 表示3支一等品，用12,b b 表示2支二等品，用c 表示三等品，则该试验的样本空间可表示为()()({)()()()()()()121323111221223132,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b a b Ω=()()()()()()}1212312,,,,,,,,,,,b b ac a c a c b c b c ，共有15个样本点.（1）()()()()()()({)()()}111212122231323,,,,,,,,,,,,,,,,,A a b a b a c a b a b a c a b a b a c =，其()()()()()({)()()()()}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b =10.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y ）表示一次试验的结果，设A =“两个点数之和等于8”，B =“至少有一颗骰子的点数为5”，C =“红色骰子上的点数大于4”（1）求事件A ，B ，C 的概率；（2）求,A B A B ⋃⋂的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈，共有36个样本点11.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？【答案】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)，共4个若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),4) ,(4(3,1,1),),(3,2),(4,2),(43(3,)}Ω=，，共有12个12.假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A ，B ，C ，D ，E ）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩A 得到一个职位；（2）女孩A 和B 各得到一个职位；（3）女孩A 或B 得到一个职位.【答案】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为{(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B ),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}D Ω=，，共有10个样本点.13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数不超过5环.【答案】解：用x 表示命中的环数，由频率表可得.（1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=；（3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=；（4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：（1）没有出现6点；（2）至少出现一次6点；（3）三个点数之和为9.【答案】解：该试验的样本空间表示为{(,,)|,5,6,{1}2},,3,4x y z x y z Ω=⋅∈，，共有666216⨯⨯=（个）样本点.（1）事件“没有出现6点”包含的样本点(,,)x y z 满足,,{1,2,3,4,5}x y z ∈，共有125P245拓广探索15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A 表示订阅数学学习资料的学生，B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生．（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；（2）用A ，B ，C 表示下列事件：①至少订阅一种学习资料；②恰好订阅一种学习资料；③没有订阅任何学习资料.【答案】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；区域5表示该生只订阅语文学习资料；区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.（2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；料的16.从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；（1）这个数既能被2整除也能被3整除；（2）这个数能被2整除或能被3整除；（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.【答案】解：1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,17.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设k A =“一年内需要维修k 次”，k =0,1,2,3,请填写下表：事件0A 1A 2A 3A 概率事件0123,,,A A A A 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？（2）求下列事件的概率：①A =“在1年内需要维修”;②B =“在1年内不需要维修”；③C =“在1年内维修不超过1次”.【答案】解：（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%所以0()1(0.150.060.04)0.57P A =-++=，123()0.15,()0.06,()0.04P A P A P A ===事件0123,,,A A A A 满足两两互斥，不满足等可能性.（2）①()()()()123123()0.25P A P A A A P A P A P A =++=++=；②()0()0.75P B P A ==；③()()()0101()0.9P C P A A P A P A =+=+=.10.2事件的相互独立性P249练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A B C ，，中哪两个相互独立？()()()P AC P A P C =⋅()()()P BC P B P C =⋅由独立事件概率性质可知A 与B ,A 与C ,B 与C 都相互独立.2.设样本空间{},,,a b c d Ω=含有等可能的样本点，且{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===，请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但()()()()P ABC P A P B P C ≠.即A ,B ,C 两两独立3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】设事件A =“甲地降雨”,事件B =“乙地降雨”,则事件A 与B 相互独立.由题意知()()0.2,0.3P A P B ==.（1）()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=；4.证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立.【答案】设任意事件记作A ,则,A A A Ω=∅=∅ .因为()()1,0P P Ω=∅=所以()()()()()1P A P A P A P A P Ω==⨯=Ω()()()()()00P A P P A P A P ∅=∅==⋅=∅所以A 与Ω,A 与∅都相互独立习题10.2P250复习巩固1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【答案】解：掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，事件A 与B 能同时发生，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；事件A 与B 不相等，故选项D 错误.故选：C.2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A ，B 相互独立，则()P AB =______；()P A B = ______.【答案】解：（1）∵()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，∴()()()0.70.80.56P AB P A P B =⨯=⨯=；（2）()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-= ，故答案为：0.56；0.94．3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．【答案】证明：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>；若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．综合运用4.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14求；（1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率．【答案】（1）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，（2）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，“密码被成功5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=．构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立．【答案】设事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,5B =,{}1,6,7,8C =则{}{}{}{}1,1,2,3,1,1ABC AB AC BC ====满足()()()()P ABC P A P B P C =，由于()()()P AB P A P B ≠,()()()P BC P B P C ≠,()()()P AC P A P C ≠即A 与B ,B 与C ,A 与C 都不相互独立，即不满足A ，B ，C 两两独立P250拓广探索6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”．2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”．3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C =“两次都摸到红球”（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；（2）指出这三个试验的共同特征和区别；（3）分别求A ，B ，C 的概率．【答案】（1）解：1E 中用有序数对(),m n ，{},0,1m n ∈表示样本点，其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；2E 中用有序数对()12,x x ，{}12,0,1x x ∈表示样本点，其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；3E 中用有序数对(),x y ，{},0,1x y ∈表示样本点，其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；(2)三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E 3E 中的样本点不具有等可能性.()0.60.60.36P B =⨯=，因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性P254练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.【答案】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4.（3）正确，理由：这是频率的稳定性.（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是0.5.2.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？【答案】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，3.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：血型A B O AB 人数/人77041076589703049频率（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？【答案】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488，（2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294.4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.【答案】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.10.3.2随机模拟P257练习1.将一枚质地均匀的硬币连掷4次,设事件A=“恰好两次正面朝上”,（1）直接计算事件A的概率;（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件A发生的频率.【答案】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反),(正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).共有16种等可能的结果其中恰好两次正面朝上情况共有:6种规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:262.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.【答案】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为0.(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.3.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？【答案】(1)抛掷两枚骰子,向上的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,(2)第二个数字代表第二个骰子出现的数字从表格中可以查出点数和为7等于23个数据习题10.3P257复习巩固1.在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞.【答案】解：（1）有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；2.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.四面体的面1234频数221821393.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：元音字母A E I O U频率7.88%12.68%7.07%7.76% 2.80%（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.【答案】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，其中元音字母出现频数和频率如下表，A出现38次，频率为：5.97%E出现96次，频率为：15.07%I出现47次，频率为：7.38%O出现52次，频率为：8.16%U出现12次，频率为：1.88%（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.4.人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：子女血型的概率父母血型的基因类型组合O A B ABai bi⨯⨯ai bb⨯aa bi⨯aa bb⨯，得子女血型的基因类型有【答案】解：当父母血型的基因类型组合ai bi则O型血的概率为0，A型血的概率为0，B型血的概率为0，AB型血的概率为1，填入表中，如表所示：能结果如下：,,,ai ab bi ii ，,,,ab ab bi bi ，,,,ab ai ab ai ，,,,ab ab ab ab 共16个，P258综合运用5．“用事件A 发生的频率f （A ）估计概率P （A ），重复试验次数n 越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．【答案】略6.在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件=i A “第i 次摸到红球”，i =1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件123,,A A A 发生的概率的大小关系；（2）重复做10次试验，求事件123,,A A A 发生的频率，并填入下表.放回摸球不放回摸球()101f A ()102f A ()103f A （3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率()103f A 差别大吗？在不放回摸球方式下，事件123,,A A A 的频率差别大吗？请说明原因.【答案】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章
∴ T = (T0 −α )e−kt + α (k 为比例系数).
3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：
(1) xy′−y− x2 + y2 ＝0；
(2) y′= y +sin y ； xx
(3) 3xy2dy＝(2y3−x3)dx; (4) x2y′+xy=y2， y(1)=1； (5) xy′=y(lny−lnx), y(1)=1; (6) (y−x+2)dx=(x+y+4)dy; (7) (x+y)dx+(3x+3y−4)dy=0．
y2 y3 x2 x3 5 + =++
即
2(x3 − y3) + 3(x2 − y2) = 5 .
2 3 2 36
(6) 分离变量得 − ye− ydy = xdx , 两边积分得 ye− y + e− y = x2 + c 2
由 y(1) = 0 得 c = 1 , 故原方程满足初始条件的特解为 2
(5) x dx − y dy = 0, y = 1；
1+ y 1+ x
x=0
(6) yy′+xey=0, y(1)=0;
(7) y′=e2x−y， y = 0 ． x=0
解: (1) 原方程分离变量得 dy = dx 1+ y 1− x
(1 + y ≠ 0) ,两边积分得
2
ln 1+ y = − ln 1− x + c1 即 ln (1− x)(1+ y) = c1 , 即 (1− x)(1+ y) = ec1 , (1− x)(1+ y) = ±ec1 ,
大学高等数学课后习题第十章第二次作业答案
第十章 第二次作业1．设L 为曲线x ysin =上从)0,0(O 到)0,(πA 的一段弧，则曲线积分⎰-L ydx xdy =解 填4- ()4sin cos 0-=-=-⎰⎰πdx x x x ydx xdy L 2. 平面力场j xy i y x F 2232+=将一质点沿着圆周222ay x =+从点),0(a 移动到点)0,(a 时所做的功=W 解 填416a π-⎰+=Ldy xy ydx x W 2232，L :{t a y t a x sin cos ==⎰+-=02224224]sin cos 3sin cos 2[πdt t t a t t a W⎰-=20224cos sin πtdt t a416a π-=3．设L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的弧段，),(y x P 是二元连续函数，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(化成定积分为（ ）A ．⎰⎰+-1010),(),(dx x x P dx x x P B ．⎰10),(2dx x x P C ．⎰⎰+-1001),(),(dx x x P dx x x PD ．⎰-01),(2dx x x P解：选C⎰⎰⎰+=OB AOL dx y x P dx y x P dx y x P ),(),(),( ⎰⎰+-=1001),(),(dx x x P dx x x P 4．设Γ是螺旋线bt z t a yt a x ===,sin ,cos 上从0=t 到π2=t 的弧段，则⎰Γ++ydz xdy zdx 之值为（ ）.A ．)2(b a a +πB ．)2(b a a +πC ．)2(b a b +πD ．)2(b a b +π解:选A⎰Γ++ydz xdy zdx ⎰++-=π202]sin )cos ()sin ([dt t ab t a t a bt ⎰⎰+-=ππ202220cos sin tdta tdt t ab )2(22b a a a ab +=+=πππ 5．计算曲线积分()⎰-+L xdy dx y x 22，其中L 为曲线22x a y -=上从点()0,a A -到点()0,a C 的一段弧.解 令 (),0 t sin ,cos π∈==t a y t a x ()⎰-+Lxdy dx y x 22 ⎰--=0223]cos sin [πdt t a t a 2322a a π+= 6．计算曲线积分dy y x dx y x L )()(2222-++⎰，其中L 是曲线x y --=11与x 轴所围平面图形的整个边界，按逆时针方向.解 由于L 可用方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤=21,210,20,0x x x x x y 表示，故有， ⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222 ⎰=202dx x⎰---+-++122222]})2()[1()2({dx x x x x ⎰+0122dx x 0132)2(202332123x dx x x ---=⎰ 32123)2(2383--+=x 34= 7．计算曲线积分⎰Γ+--++++zy x z y x zdz ydy xdx 222222，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的直线段.解 Γ的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tz t y tx 31211，)10(≤≤t所以⎰Γ+--++++zy x z y x zdz ydy xdx 222222 ⎰+++=10214121146dt tt t 13301141212-=++=t t。
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习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最大值()14M x y ===，最小值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是： （1）22{(,)|2}x y x y x +≤；（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）23220()xxdx f x y dy +⎰；（2）21101(,)xxdx f x y dy--⎰⎰7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）2222200)a ax xdx x y dy-+⎰；（2）211222()xxdx x y dy -+⎰⎰8.利用极坐标计算下列各题： （1）22x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
（2）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。
（2）22Dx y d σ+，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.（3）计算积分112111224y y yy xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰解 ()21111223182y xx xxe I dx e dy x e e dx e ==-=-⎰⎰⎰ 习题10-3 三重积分1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：（1）由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；（2）由曲面222z x y =+及22z x =-所围成的闭区域；2.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为球面2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。
4.计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。
5.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及22z x y =+所围成的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的闭区域；6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）xydv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是柱面221x y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围成的在第一卦限内的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域；7.计算()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由222,0x y z z h +≤≤≤所围成。
解 由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称，故0xdv ydv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式2220xyh h hx y D zdv dxdy zdz d d zdz πρθρρ+Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()222340011224h h h d h d h πρρρπρρρπ=-⋅=-=⎰⎰8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22z x y =+所围成立体的体积。
习题10-4 重积分的应用1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。
2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=，cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域，求均匀薄片的质心：3.已知均匀矩形板（面密度为常量μ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
4.设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域222{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。
复习题十1.计算下列二重积分： （1）(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(1,0)，(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；（2）Dσ，其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；（3）2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y R =+≤.2.交换下列二次积分的次序： （1）123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；（2）21110(,)x xdx f x y dy +-⎰⎰.3.把积分(,)Df x y dxdy⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.4.计算下列三重积分： （1）2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球：2222x y z R ++≤和2222x y z Rz ++≤(0)R >的公共部分；（2）222222ln(1)1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；5.求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。
6.计算积分⎰⎰⎰Ω+zdv y x )(22，其中Ω为由222,2z x y z =+=所围的区域. 解 由222224,2,2,z x y x y z z ⎧⎧=++=⇒⎨⎨==⎩⎩ 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，用柱面坐标20,20,22:2≤≤≤≤≤≤Ωr z r πθ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ωπθ202022/3222)(r zdz dr r d zdv y x⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=2043844212ππdr r r。