求三角函数解析式的方法

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三角函数求解析式技巧

三角函数求解析式技巧求解析式是指将一个三角函数用一个数学表达式来表示，使得对于给定的自变量值，可以得到函数的具体值。

在数学领域中，有一些常见的技巧可以用来求解三角函数的解析式。

1. 基本关系式：三角函数有着一些基本的关系式，例如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，用于正弦函数和余弦函数的平方和的关系；tan(x) = sin(x)/cos(x)，用于正切函数和正弦函数、余弦函数的关系等。

2. 奇偶性：根据函数的奇偶性可以简化三角函数的解析式。

例如：正弦函数sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数tan(x)是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

3. 三角恒等式：三角恒等式是用于描述三角函数之间的等式关系的公式。

其中最常见的三角恒等式包括：和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)化简同角三角函数：tan(a) = sin(a)/cos(a)cot(a) = cos(a)/sin(a)4. 双曲函数：双曲函数是与三角函数非常相关的一类函数。

其中最常见的双曲函数包括：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)5. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种通过多项式逼近三角函数的技巧。

泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以通过截断级数来获得函数的近似解析式。

例如，正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...6. 几何关系：三角函数与几何图形之间存在着密切的关系，通过观察几何图形可以得到一些三角函数的性质。

求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

三角函数图象解析式的求法

2 ( x).
3
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
x
3
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
3
B. y sin( 2x )
8

y 2

4
2 sin(
x
)
2 2 2 2 sin( 2 )
84
8
练习： 1已知函数y Asin（x ）（A 0,
0,0 )图像的两个相邻的最值
点为（，2）；（2 ， 2），求解析式。
6
3
2已知函数y Asin(x ) b图像
2. 将给定点的坐标代入函数解析式，利
用方程思想确定相关参数（特别
是），注意多值的取舍（利用单调性判断），优先选择最值点。
作业：配套检测卷 P123
可编辑
求解析式。
y

6
2

3
5
6 x
4
3已知函数y Asin（x ）（| | 的图像
2
求函数的解析式。
y
2
y
1
11
2
12
x
7 3
x
-2
10 20 5
4求函数f（x） Asin（x ） b
的解析式
小结：由图象确定解析式
1. 充分利用图象的几何性质（特别是对称性）确定正余弦型函数的平衡位置、振幅、周期等；
函数解析式
函数图像

高中数学公式大全三角函数的反函数与解析式的计算公式

高中数学公式大全三角函数的反函数与解析式的计算公式高中数学公式大全：三角函数的反函数与解析式的计算公式在高中数学学科中，三角函数是非常重要的内容。

三角函数的反函数也是同样重要的知识点之一。

本文将全面介绍三角函数的反函数与解析式的计算公式。

一、正弦函数的反函数与解析式的计算公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

它的定义域是实数集，值域是[-1,1]。

正弦函数的反函数被称为反正弦函数，记为arcsin(x)或sin^(-1)(x)。

反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

计算反正弦函数的解析式公式可以表示为：arcsin(x) = y其中，-1 ≤ x ≤ 1，-π/2 ≤ y ≤ π/2。

二、余弦函数的反函数与解析式的计算公式余弦函数是另一个非常重要的三角函数。

它的定义域是实数集，值域是[-1,1]。

余弦函数的反函数被称为反余弦函数，记为arccos(x)或cos^(-1)(x)。

反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。

计算反余弦函数的解析式公式可以表示为：arccos(x) = y其中，-1 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ π。

三、正切函数的反函数与解析式的计算公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数。

它的定义域是实数集，值域是整个实数集。

正切函数的反函数被称为反正切函数，记为arctan(x)或tan^(-1)(x)。

反正切函数的定义域是整个实数集，值域是(-π/2,π/2)。

计算反正切函数的解析式公式可以表示为：arctan(x) = y其中，-∞ < x < ∞，-π/2 < y < π/2。

四、反函数的性质反函数具有以下几个基本性质：1. 反函数与原函数的图像关于y=x对称；2. 反函数的定义域与原函数的值域相同，反之亦然；3. 如果原函数的定义域是[a,b]，值域是[c,d]，则反函数的定义域是[c,d]，值域是[a,b]；4. 如果f(x)在[a,b]上是单调递增的，则反函数在[c,d]上也是单调递增的。

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值．方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得．例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２，故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”）得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)，又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π，代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)，又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。

三角函数的解析式的求法及应用

三角函数的解析式的求法及应用
三角函数就是把角度表示为弧度来描述函数性质的数学运算，它可以用来描述平面的几何学中的事物。

它的主要概念包括正弦、余弦和正切函数，被用来描述各种不同的角度的解析式，以及表达正方形、长方形以及其它任何多边形形状的比例。

与正弦定理、余弦定理等一起，三角函数提供了一种解析求解三角形的角度和边长的方法。

在求解三角函数的解析式时，我们就需要根据三角函数的定义和表达式来进行推导和求解，其中尤其要注意所给三角形的信息，比如三角形的的角度大小，边长比例等等。

三角函数的应用非常广泛，它被广泛用于工程学、计算机科学、物理学、经济学和微积分数学等方面。

在测绘中，可以用来求解地形三角测量等问题；在机械设计中，三角函数可以用来解决几何形状的拟合问题；在通信中，可以用来把模拟信号转换为数字信号；在音乐制作中，用三角函数可以产生不同音频频率，以建立多种旋律。

由于三角函数可以满足各种几何形状的比例，它也被广泛应用于电子产品的设计中。

比如它可以用来描述手机设计的形状，而在微型化设计中，由于三角函数可以满足复杂几何图形的比例，所以它可以实现紧凑的设计。

总之，三角函数的出现，丰富了数学的理解和认识，它的解析式及应用对于多种计算机科学、物理学及经济学等科技领域而言，有非常重要的作用。

三角函数平移变换及求解析式

三角函数平移变换及解析式的求法类型一：平移变换1. y ＝2sin(2x －π6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的？解方法一先伸缩后平移y ＝sin x ――――――――――――――→各点的横坐标缩小为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x ――――――――――――→向右平移π12个单位y ＝sin(2x －π6)―――――――――――――――→各点的纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.方法二先平移后伸缩y ＝sin x ――――――――――→向右平移π6个单位y ＝sin(x －π6)――――――――――――――→各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π6)――――――――――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.2.试述如何由y ＝13sin(2x ＋π3)的图像得到y ＝sin x 的图像.解方法一 y ＝13sin(2x ＋π3)――――――――――――――→横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变y ＝13sin(x ＋π3)――――――――――――――→图像向右平移π3个单位纵坐标不变y ＝13sin x――――――――――――――→纵坐标扩大到原来的3倍横坐标不变y ＝sin x .方法二 (1)先将y ＝13sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度，得y ＝13sin 2x 的图像；(2)再将y ＝13sin 2x 图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝13sin x 的图像；(3)最后将y ＝13sin x 的图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)得到y ＝sin x 的图像.3.将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是() A ．)102sin(π-=x y B ．)102sin(π+=x yC ．)1021sin(π-=x yD ．)1021sin(π+=x y解：将函数sin y =x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin()10y x π=-，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin()210y x π=-的图象，故选：C ． 4.把函数)42sin(π+=x y 的图象向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的21，所得函数的解析式为（）A. x y 4sin =B. x y 4cos =C. )84sin(π+=x yD.)324sin(π+=x y解：选B5.要得到)42cos(π-=x y 的图象，只需将x y 2sin =图象()A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位解：将sin y = 2x 的图象向右平移8π个单位，可得sin(2)4y x π=-的图象，故选：D ．6.要得到函数x y cos 2=的图象，将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度解：2sin(2)cos(2)cos(2))42444y x x x x πππππ=+=--=-=- 答案为C 故选：C ．7.已知函数)4sin()(πω+=x x f R x ∈(，)0>ω的最小正周期为π，为了得到函数xx g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象()A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度解：由题知2ω=，所以()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos2()42448f x x x x x πππππ=+=-+=-=-，故选：A ．类型二：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式1.已知函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)0πϕ<<的一段图象如图所示，则此函数解析式为__________.（例10）解：)33sin(2π+=x y2.下图是函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)20πϕ<<的图象的一部分，试求此函数解析式.解：)438sin(2ππ-=x y3.已知函数)sin(ϕω+=x A y ，在同一周期内，当9π=x 时函数取得最大值2，当94π=x 时取得最小值2-，则该函数的解析式为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63sin 2πx yB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx yC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=631sin 2πx yD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=631sin 2πx y解：由题意可知42993T πππ=-=，223T ππω∴==，解得3ω=，函数的最大值为2，最小值为2-，2A ∴=， 9x π=时函数取得最大值2，2sin(3)29πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=．∴函数解析式为2sin(3)6y x π=+．故选：B ．4.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)的值.解 (1)由图像知A ＝32－122＝12，b ＝32＋122＝1，ω＝2πT ＝2π4＝π2.∴f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1.又∵点(0,1)在函数图像上，∴f (0)＝1即1＝12sin φ＋1，∴sin φ＝0.又|φ|<π2，故φ＝0，∴f (x )＝12sin π2x ＋1.(2)由(1)知函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝2ππ2＝4.∴S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012) ＝f (0)＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×503.又∵f (0)＝1，f (1)＝32，f (2)＝1，f (3)＝12，f (4)＝1，∴S ＝1＋(32＋1＋12＋1)×503＝2 013.反思与感悟要求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式，其关键是求参数A 、φ、ω、b 的值.求A 、ω、b 三参数相对容易，设函数的最大值为m ，最小值为n ，则⎩⎨⎧A ＝m －n2，b ＝m ＋n2.已知函数周期为T ，则由T ＝2πω可求出参数ω的值.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)的值.解 (1)由图像可知A ＝2，周期T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由图像过点(π12，2)，得2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3).(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋f (4π4)＝1－3－1＋3＝0，所以f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)＝0×503＋f (2 013π4)＋f (2 014π4)＋f (2 015π4)＝f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＝1－3－1＝－ 3.6.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是________.答案 y ＝sin(2x ＋π3)解析函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位得到y ＝sin(ωx ＋ωπ6)，则712πω＋ωπ6＝3π2，解得ω＝2，故平移后的图像的解析式为y ＝sin(2x ＋π3).7.已知函数)cos(ϕω+=x A y 的图象如图所示，32)2(-=πf ,则=)0(f ( )(例13)A ．32-B ．21-C ．32 D ．21 解：由题意可知，此函数的周期11722()12123T πππ=-=，故223ππω=，3ω∴=，()cos(3)f x A x ϕ=+． 32()cos()sin 223f A A ππϕϕ=+==-．又由题图可知771()cos(3)cos()12124f A A ππϕϕπ=⨯+=-cos sin )02A A ϕϕ=+=， 2(0)cos 3f A ϕ∴==．故选：C ．。

求三角函数解析式的基本方法及练习题

求三角函数解析式的基本方法及练习题介绍三角函数解析式是数学中常见的概念之一，它能帮助我们描述和计算三角函数的值。

本文将介绍三角函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。

基本方法正弦函数（sin）正弦函数的解析式为：sin(θ) = 对边长度 / 斜边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

余弦函数（cos）余弦函数的解析式为：cos(θ) = 邻边长度 / 斜边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

正切函数（tan）正切函数的解析式为：tan(θ) = 对边长度 / 邻边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余切函数（cot）余切函数的解析式为：cot(θ) = 邻边长度 / 对边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，对边是指与角度θ相对的边长。

正割函数（sec）正割函数的解析式为：sec(θ) = 斜边长度 / 邻边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余割函数（csc）余割函数的解析式为：csc(θ) = 斜边长度 / 对边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，对边是指与角度θ相对的边长。

练题1. 求角度为30°时的sin值。

2. 求角度为60°时的cos值。

3. 求角度为45°时的tan值。

4. 求角度为60°时的cot值。

5. 求角度为30°时的sec值。

6. 求角度为45°时的csc值。

答案1. sin(30°) = 1/22. cos(60°) = 1/23. tan(45°) = 14. cot(60°) = 1/√35. sec(30°) = 26. csc(45°) = √2以上为三角函数解析式的基本方法及练习题。

由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

3
y 2
0 )的部分图像。
5 6

6
x
o
-2
求函数的振幅；
y 3
o
2 3
x
6
-3
一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
学习新知
探究二
问题2 .如图是函数 y 2 sin( x )( 0 )的部分图像。 3 y (1)求函数的周期；
y 2
7 12
如何确定的值

问题3 .如图是函数 y 2 sin( 2 x )( < ) 2 y 的部分图像 , 求的值。 2 y
2

6 7 12
x
o x o -2

-2
题型三
由函数的图象确定函数解析式
【例 3】 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个函数解析式为________．
2k ,k Z 6 2
即A( ,2 )代入y A sin( x ),得 12 2 2 sin( ) 6
3
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分，求这个函数的解析式。
2 1 O x0 Y A
21
走
进高考
2 f( ) f ( x) =Acos( x )的图象如图所示， 2 3，则
2009辽宁卷理
已知函数
w.w.
f (0)
=（） 2 （A）（B）（C）（D）
3 2 3

1 2
1 2
当
堂检测堂检测
1.(2009辽宁卷文)已知函数 f ( x) sin( x )( 0) 的图象如图1所示，则

三角函数解题技巧求解析式

三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。

1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。

一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。

比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。

2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。

常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。

常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

求正弦函数解析式的基本方法及练习题

求正弦函数解析式的基本方法及练习题
一、正弦函数的解析式基本方法
正弦函数是一种基本的三角函数，其解析式可以通过以下方法
得到：
1. 角度法：根据角度的定义，正弦函数可以表示为一个变量角
度与一个定值的关系，即sin(x)。

其中，x是角度，sin是正弦函数。

2. 周期性：正弦函数具有周期性，周期为2π。

根据周期性，
我们可以通过一个周期内的数值变化来推导整个函数的解析式。

3. 泰勒级数展开：正弦函数可以通过泰勒级数展开得到其解析式。

泰勒级数是一种用多项式逼近一个函数的方法，通过迭代计算
可以逼近出正弦函数的解析式。

二、正弦函数解析式的练题
1. 求解析式：根据给定的角度，求出相应的正弦函数解析式。

例如，求sin(30°)的解析式。

2. 求角度：根据给定的正弦函数值，求出相应的角度。

例如，
求sin(x) = 0.5的角度。

3. 综合练：结合以上两种题型，综合考察正弦函数的解析式及
角度求解能力。

以上是求解正弦函数解析式的基本方法及练题。

通过熟练掌握
这些方法，并进行反复练，可以提高对正弦函数的理解和运用能力。

希望能对您有所帮助！。

求三角函数解析式的方法

求三角函数分析式常用的方法三角函数是高中数学的一个要点 , 而三角函数图象与性质又是此中的难点 , 学生常常不知怎样发掘出实用的信息 , 去求 A 、、。

现就几道例题说说常用的求解方法。

1 利用五点法，逆求函数分析式例 1．右图所示的曲线是 y Asin( x ) （ A 0 ， 0 ）图象的一部分，求这个函数的分析式．解 : 由 2 y 2 ，得 A=2y已知第二个点 (, 2) 和第五个点 (5,0)212 63 5 325 T6 12T644O把 ( , 2) 代入， 2 得12x312122所以 y= 2 sin(2x)23 评论：由图像确立分析式，察看图像的特色，形助数找寻“五点法”中的整体点，进而确立初相。

2 利用图像平移，选准变换过程切入求解例 2 以下函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A ． y sin xB.y sin 2x66C. y cos 4xD.ycos 2x36解：从图象看出， 1T=126，所以函数的44最小正周期为 π，函数应为 y=sin 2x 向左平移了个6单位，即 y sin2(x ) =sin(2x) cos( 2 2x ) cos(2x ) ，应选择答案 D 。

63 3 6评论：数形联合，由图像确立周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，如此题 y=sin 2x 向左平移了个单位进行考证化简是求解的要点。

对于利用图象6的变换来求解函数的分析式，必定要清楚每一种变换对 A, , 的影响，着重整体变量观点的应用。

3 特别化赋值法求解例 3 设函数f ( x) sin( 2x ) ( 0), y f (x) 图像的一条对称轴是直线 x 。

求 y f (x) 的分析式。

8解：对称性特别赋值切入，Q x 是函数 y f ( x) 的图像的对称轴，8f (x) f (x)88令 x ，则 f ( ) f (0) ，即 sin( ) =sincos ， tan1。

三角函数解析式的基本方法及练习题

三角函数解析式的基本方法及练习题概述三角函数是数学中常见的函数类型，用于研究角度和周期性现象。

本文将介绍三角函数的解析式及其基本方法，并提供一些练题供读者练运用。

正弦函数的解析式及性质正弦函数是三角函数中最常见的一种。

它的解析式表示为：$$\sin(x) = \frac{{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\sin(x)$ 表示正弦函数的值。

正弦函数的性质包括：- 定义域：$(-\infty, \infty)$- 值域：$[-1, 1]$- 周期：$2\pi$余弦函数的解析式及性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的解析式表示为：$$\cos(x) = \frac{{\text{邻边}}}{{\text{斜边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\cos(x)$ 表示余弦函数的值。

余弦函数的性质包括：- 定义域：$(-\infty, \infty)$- 值域：$[-1, 1]$- 周期：$2\pi$切线函数的解析式及性质切线函数也是常见的三角函数之一，它的解析式表示为：$$\tan(x) = \frac{{\text{对边}}}{{\text{邻边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\tan(x)$ 表示切线函数的值。

切线函数的性质包括：- 定义域：$x \neq \frac{{2n+1}}{2}\pi$，其中 $n$ 为整数- 值域：$(-\infty, \infty)$- 周期：$\pi$练题1. 求解正弦函数 $\sin(\frac{\pi}{4})$ 的值。

2. 若 $\cos(2x) = \frac{1}{2}$，求解 $x$ 的值。

3. 若 $\tan(\frac{x}{2}) = 1$，求解 $x$ 的值。

---以上就是三角函数解析式的基本方法及练习题的介绍。

希望这些内容能帮助你理解三角函数的概念和运用。

如果有任何问题，请随时与我联系。

高考数学函数解析式的求解基础知识与典型例题讲解

高考数学函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解基础知识与典型例题讲解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ωϕ=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ωϕ得到，本讲主要介绍求解()sin y A x ωϕ=+解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：221cos21cos2cos,sin 22αααα+−==（2）2sin cos sin2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα−=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ−=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan baϕ=（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+的说明书：（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为α），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式了，通过以下三步：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+（3）举例说明：sin y x x =+① 12sin 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（4）注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。

方法10：五点法求三角函数解析式

方法10 五点法求三角函数解析式一、单选题1．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【解析】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =，所以22πωπ==，再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-，故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：C.2．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【分析】由16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，可得52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，从而可求出ω的值【解析】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h ，低潮时水深为9 m ，高潮时水深为15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A ．y ＝3sin6πt ＋12 B ．y ＝－3sin6πt ＋12 C ．y ＝3sin12πt ＋12 D ．y ＝3cos6πt ＋12 【答案】A 【分析】由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6π=ω，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t = y ＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h ，知T ＝12，且T ＝12＝2πω(ω＞0)，得ω＝6π，又由高潮时水深15 m 和低潮时水深9 m ，得A ＝3，k ＝12，由题意知当t ＝3时，y ＝15．故将t ＝3，y ＝15代入解析式y ＝3sin 6t πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12中，得3sin 36πϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＋12＝15，得6π×3＋φ＝2π＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2kπ(k ∈Z )．所以该函数的解析式可以是y ＝3sin 26t k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋12＝3sin 6πt ＋12．4．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（）A ．向右平行移动6π个单位长度 B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度【答案】A 【分析】根据图象可得周期，求出2ω=，根据图象上最低点求出3πϕ=，再根据平移变换可得结果.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A 【小结】根据图象求出ω和ϕ是解题关键.5．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．52,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再令()22k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，解不等式即可求解. 【解析】由图知：2A =，884Tππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=，又因为2T ππω==，所以2ω=，所以()2cos(2)f x x ϕ=+，由()228k k Z ϕππ⨯+=∈，可得()24k k Z ϕππ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以0k =，4πϕ=-，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()2224k x k k Z ππππ≤-≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递减区间为5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 【小结】本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出()f x 的解析式，再利用整体代入法求单调区间.6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．12f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的图象的对称中心为,0()12k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】根据图象求出2,6πωϕ==可得()2sin(2)6f x x π=+，可知A 不正确；计算可知B 不正确；利用正弦函数的对称中心求出()f x 的对称中心可知C 不正确；解不等式()1f x ≥可知D 正确.【解析】由图可知54126T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===，由262ππϕ⨯+=，得6π=ϕ，所以()2sin(2)6f x x π=+，故A 不正确；()2sin(2)12126f πππ=⨯+=B 不正确；由26x k ππ+=，k Z ∈，得212k x ππ=-，k Z ∈，所以()f x 的图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 不正确；由不等式()1f x ≥得1sin(2)62x π+≥，得5222666k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，得3k x k πππ≤≤+，k Z ∈，所以不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故 D 正确. 故选：D 【小结】根据图象求出函数()f x 的解析式是解题关键.7．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(9)f =（）A ．1-B ．1C ．D 【答案】D 【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算(9)f 即可.【解析】由图象可知，2A =，1152233T =-=，24,2T T ππω===，53x =时，52,23x k k Z πωϕϕππ+=⨯+=+∈，解得62,x k k Z ππ=+∈，故()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故922sin 2sin 2sin 262)6(39f πππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 故选：D. 【小结】根据图象求函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>解析式：（1）利用最值确定A 值；（2）利用图象求周期T ，根据2Tπω=求ω；（3）利用特殊点整体代入法确定ϕ值.8．如图是函数()cos(2)f x A x =+ϕ(0,0)A ϕπ>≤≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（）A ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 C ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数【答案】B 【分析】（1）根据题意可得2A =，且1222x x a b ++=，从而可得a b ϕ+=-，再由()12f x x +=解得6π=ϕ，即()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即可求解. 【解析】解析：由函数()cos(2)f x A x =+ϕ()0,0A ϕπ>≤≤图象的一部分，可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， ∴12a b x x +=+.由五点法作图可得22a πϕ+=-，22b πϕ+=，∴a b ϕ+=-.再根据()12()2cos(2)2cos()f x x f a b ϕϕϕ+=+=-+=-=cos ϕ=， ∴6π=ϕ，()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2(0,)6x ππ+∈，故()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，故选：B .9．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【解析】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：A. 【小结】根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A xω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度【答案】B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【解析】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【小结】本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度【答案】A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【解析】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A12．如图，已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD △的重心.则ACD △的外接圆的半径为（）A ．2BCD ．8【答案】B 【分析】首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点A 的坐标，根据周期确定ω，再根据点C 的坐标确定ϕ，确定解析式后，确定点,B D 的坐标，结合正弦定理求ACD △外接圆的半径.【解析】根据三角函数的对称性可知点C 是BD 的中点，又O 是ABD ∆的重心，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21OA OC ==， ∴点A 的坐标为()1,0，∴函数()f x 的最小正周期为3T 232=⨯=， ∴23πω=，∴()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由题意得121sin sin 02323f ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 33f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =得()0sin3f π==， ∴点B的坐标为⎛ ⎝⎭，∴tan BCO ∠=3BCO π∠=，∴23ACD π∠=. 又点1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭是BD 的中点， ∴点D的坐标为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴AD ==设ACD ∆的外接圆的半径为R，则222sin sin 3AD R ACD π∠===∴R =. 故选：B. 【小结】已知图象求()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的步骤为： 1.一般根据函数的最大值和最小值求A ； 2.ω由周期确定，根据公式2T πω=，观察给定的图象，分析出确定的T 值；3.一般求ϕ，可以将图象中的一个点代入求解，或是根据“五点法”，利用图象的最高点或最低点，以及函数的零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应的ϕ值.13．函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()5sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只将()f x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像求出()sin(2)3f x x π=+，再利用三角函数的平移变换即可求解.【解析】由图像观察可知，741234T πππ=-=，所以T π=，则2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，根据图像过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以732122ππϕ⨯+=，则3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，函数()5sin(2)6g x x π=+，因此把()sin(2)3f x x π=+图像向左平移4π个单位即得到()g x 的函数图像，故选：A.14．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+在[]0,π上的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（）A ．()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()3)4f x x π=- D ．())4f x x π=-【答案】C 【分析】由函数的图像可求得,A T ，再利用周期公式可求出ω，然后对选项的解析式逐个验证即可【解析】解：由图像可得34884T A πππ==-=，所以T π=，所以22πωπ==，所以A ，B 不符合题意，对于C ，()30)14f π=-=， 333)884f πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭对于D ，33)0884f πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，不符合题意，故选：C15．已知()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断错误的是（）A ．要得到函数()f x 的图像，只需要现将y x =的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移6π个单位 B ．函数()f x 的图像关于直线23x π=对称 C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质可求得()f x 的解析式；根据三角函数平移变换原则可知A 正确；利用代入检验法可知,B C 正确；利用正弦型函数求值域的方法可确定D 错误. 【解析】()max f x =，0A >，A ∴=()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π，()f x ∴最小正周期222T ππω==⨯，2ω∴=，0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6k k Z πϕπ∴-+=∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，y x =横坐标变为原来一半得到2y x =；再向右平移6π个单位得到23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 23236x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知A 正确；对于B ，当23x π=时，4326362x ππππ+=+=，32x π=是sin y x =的对称轴，23x π∴=是()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x ∴在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()min 62f x π⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：D. 【小结】根据三角函数性质求解()sin y A ωx φ=+的方法：（1）max min 2y y A -=；（2）2Tπω=；（3）代入图象上的点，利用整体对应法，结合正弦函数图象构造方程求得ϕ.16．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -的最小值为（）A ．23πB ．2π C ．43π D ．π【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中12x x -的最小值. 【解析】由图象可知函数的最大值为2，所以2A =，24362T πππ=-=，所以221ππωω=⇒=，当6x π=时，2,6k k Z πϕπ+=∈， 2πϕ<，6πϕ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即()2cos 16h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()0h x =时，1cos 62x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得22,63x k k Z πππ-=+∈或42,63x k k Z πππ-=+∈，解得：52,6ππ=+∈x k k Z ，或32,2x k k Z ππ=+∈，相邻的零点12,x x 中，12x x -的最小值是352263πππ-=. 故选：A 【小结】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.求()sin y A x b ωϕ=++()0,0A ω>>的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为M ，最小值为m ，则A b M A b m +=⎧⎨-+=⎩，ω由周期确定，由2T πω=求出，通过观察图象，分析确定T 的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应ϕ值.17．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．3x π=-是()f x 图像的一条对称轴B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【解析】()10sin 2f ϕ==且2πϕ<，6πϕ∴=，又882sin 233f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：12ω=， ()12sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当3x π=-时，1026x π+=，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，当223x k ππ=+时，1262x k πππ+=+，223x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，由()1f x ≥得：1in 2612s x π⎛⎫⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+，解得：4344k x k πππ≤+≤，C 正确；对于D ，当282,233x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【小结】本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.18．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（）A ．BC ．D ．tan 2t【答案】B 【分析】由函数图象得函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数的性质得方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，进而得答案. 【解析】解：由图可知，2A =，再把点(代入可得2sin ϕ=所以sin ϕ=π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π2π233x +=，得7π12x =，由图像可知方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个，且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，即7π6θ=，所以7πtan tan6θ==故选：B ．【小结】本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.19．设函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像大致如图，则()f x 的最小正周期为（）A ．5π6B ．6π5C ．5π4D ．3π2【答案】C 【分析】由图象观察可得最小正周期小于43ππ32T <<，排除A ，D ；再由5π132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ω，即可得到结论.【解析】由图像可得()f x 的最小正周期T 满足：π,3π5π,232T T >⎧⎪⎨<-⎪⎩解得43ππ32T <<，故排除A ，D ；又由5π5ππsin 132324f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()5πππ2π3242k k ω+=+∈Z ，解得()86455k k ω=+∈Z . 因为π2πT <<，即2ππ2πω<<，所以12ω<<.所以当0k =时，85ω=，所以2π5π845T ==. 故选：C.二、多选题20．如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．06f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】先由()0f =可求得3πϕ=-，再sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再利用23T ππω=>，可得03ω<<，所以2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可知A 正确，B 不正确，计算即可判断C 、D ，进而可得正确答案. 【解析】由图知()0sin 2f ϕ==-，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()233k k Z ππωππ--=+∈，解得：()46k k Z ω=--∈，因为23T ππω=>，所以03ω<<，所以1k =-时2ω=，可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 正确，选项B 不正确，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；24sin sin 33332f ππππ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不正确，故选：AC 【小结】本题的关键点是求ω的值，先利用sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而且3π-是下降零点可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再结合图象可知23T ππω=>得03ω<<，求得2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭问题即可迎刃而解，属于常考题型. 21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【解析】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-， 2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ=2A =，()2sin(2)3f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin()1423f πππ=+=，所以C 正确；,D ()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC 【小结】求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()yA wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ，再把点((,),(,))P f x y g x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.22．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确；对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确；故选：ABD.23．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．最小正周期为2πB ．()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象可由π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向在平移π6个单位长度得到【答案】BC 【分析】根据图象确定周期可判断A ，由周期求出ω，利用特殊值求出ϕ得出函数，根据正弦函数的单调性判断B ；根据正弦型函数的对称中心判断C ；由三角函数的图象平移可判断D. 【解析】由图象可知，2A =，ππ2π36T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的最小正周期为π，故A错误；所以2π2Tω==，得()()2sin 2f x x ϕ=+.又因为当πππ36212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==时，()2f x =，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭.又因为π2ϕ<，可得ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()πππ2π22π232k x k k -+≤+≤+∈Z ，可得()5ππππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，令0k =，可得()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；又5π5ππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确； π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到πππ2sin 22sin 22cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：BC 【小结】根据三角函数图象求出函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的解析式，根据正弦型函数的图象与性质即可求出函数的单调区间，对称中心，周期，平移等问题，属于中档题.24．函数()()sin f x A x =+ωϕ，（,,A ωϕ是常数，0A >）的部分图象如图所示，则（）A ．()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的对称轴为,12x k k Z ππ=+∈D ．()f x 的递减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】AB 【分析】由最低点确定A =由周期的四分之一71234πππ-=确定ω，把最低点7,12π⎛⎝代入解析式确定ϕ，再根据正弦函数的对称轴、递减区间求该函数的对称轴和递减区间即可. 【解析】解：显然A =T ，则74123T ππ=-，所以T π=，又2,2ππωω==；所以()()()sin 2f x A x x ωϕϕ=+=+过点7,12π⎛⎝，所以7212πϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，()23k k Z πϕπ=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据sin cos 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2cos 223236f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故AB 正确；正弦函数的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，令()()2,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，故C 错误；正弦函数的递减区间为()2,222k k k π3π⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令()37222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤++<<+∈，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AB 【小结】已知三角函数的图像确定解析式，一般根据最高点或最低点确定振幅A ，根据周期确定角速度ω，根据函数图像经过的点确定初相ϕ，再根据正弦函数的性质用换元法确定待求函数的性质即可.25．函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A．1cos223xππ⎛⎫+⎪⎝⎭B．1cos226xππ⎛⎫+⎪⎝⎭C．1sin223xππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．1sin223xππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据最小值求得A，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【解析】由图象可得12A=，3111341264T=-=，解得1T=，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x xπϕ=+，又()f x的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Zπϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Zπϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos2sin226226 f x x xπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin223xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1sin223xππ⎛--=⎫⎪⎝⎭.故选BD【小结】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.三、填空题26．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式()f x =______.【答案】π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由五点法求得周期，由振幅可求A ，再由最低点可求得φ．【解析】由振幅得：A =由图象可得：75488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴2Tπω==2，∴y （2x +φ），当78x π=时，y ＝， ∴73282πϕπ⨯+=，π4ϕ∴=-∴解析式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小结】本题关键点是利用五点法确定周期与φ.27．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.【答案】sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【解析】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭四、解答题28．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间. 【答案】（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【解析】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【小结】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.29．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于12x π=对称.（1）求()y f x =的解析式；（2）令函数g()()1x f x =+，且g()y x =在[0,]a 上恰有10个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）根据题意可得周期T π=，可得2ω=，根据对称轴可得3πϕ=，则可得()y f x =的解析式；（2）依题意由52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++解得结果即可得解.【解析】（1）由已知可得T π=，2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于12x x π=对称，所以2122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()0g x =，得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，要使()y g x =在[0,]a 上恰有10个零点，只需52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++，解得1965412a ππ≤<. 所以a 的取值范围是1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【小结】利用周期求出ω，利用对称轴求出ϕ是解题关键.30．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos(2)3f x x π=+；（2）[11]2-，. 【分析】（1）由图求出A 、T 、ω和ϕ的值，即可写出()f x 的解析式；（2）由（1）可得()g x 的解析式，设()t g x =，问题等价于()0h t 在[3-，5]上恒成立，列出不等式组求出m 的取值范围．【解析】解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+；因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)3cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -，所以m 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【小结】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 31．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且()f x ≥x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =，724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解. 【解析】（1）由题意知：A =，741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦【小结】利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得 ()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 32．某同学用“五点法”画函数()()sin (00)2f x A x k A πωφωφ=++>><，，在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：（1）求函数()f x 的解析式；（2）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2f B =，4b =，22cos cos 622C Aa c +=，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出A 、k 、ω、φ，即可得解；（2）先计算出3B π=，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得12a b c ++=，再由余弦定理可得16ac =，结合三角形面积公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，函数()f x 的最小正周期T 满足22362T πππ=-=，所以22T πω==，又2sin 1363f ππφ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 13πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,32k k Z ππφπ+=+∈，即2,6k k Z πφπ=+∈，由2πφ<可得6πφ=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）由题意，()2sin 2126f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()0,B π∈可得132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=，又221cos 1cos coscos 62222C A C A a c a c +++=⋅+⋅=，所以cos cos 12a c a C c A +++=，即2222221222a b c b c a a c a c ab bc+-+-++⋅+⋅=，化简得12a b c ++=，又4b =，所以8a c +=，由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，即22483ac =-，所以16ac =，所以11sin 16222ABC S ac B ==⨯⨯=△ 【小结】解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解. 33．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标；（2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭--ππZ ；（2）单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图象上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心；（2）求得图象变换之后的解析式()2sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再整体替换求出()g x 的单调区间. 【解析】（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-.又由于7212122T πππ=-=，。

三角函数解析式求解题技巧

三角函数解析式求解题技巧解析式是指通过公式的方式将一个数学问题的解表示出来。

在三角函数的求解中，解析式是非常常用和重要的工具。

下面将介绍一些解三角函数问题时常用的技巧和方法。

1. 利用基本三角函数的性质：三角函数有一些基本的性质，比如正弦函数的值在[-1, 1]之间，余弦函数的值也在[-1, 1]之间。

利用这些性质可以对一些特殊的三角函数方程进行求解。

例如，对于sin(x) = 1/2这样的方程，我们可以利用sin的周期性，找出所有满足条件的x的范围，并将其写成解析式。

2. 利用三角函数的角和差公式：三角函数的角和差公式是非常有用的工具。

通过利用这些公式，可以将复杂的三角函数方程转化为简单的方程，从而更容易求解。

例如sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，通过利用这个公式，可以将一些复杂的三角函数方程转化为简单的方程。

3. 利用三角函数的倍角公式：三角函数的倍角公式也是非常有用的工具。

通过利用这些公式，可以将一个角的三角函数表示转化为另一个角的三角函数表示，从而更容易求解。

例如sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，通过利用这个公式，可以将一个包含sin(2x)的方程转化为一个只包含sin(x)和cos(x)的方程。

4. 利用三角函数的倒数关系：三角函数之间有一些倒数关系。

例如sin(x)的倒数是cosec(x)，cos(x)的倒数是sec(x)，tan(x)的倒数是cot(x)。

通过利用这些倒数关系，可以将一个三角函数方程转化为一个简单的方程。

例如，对于sin(x) = 1/2这样的方程，我们可以利用sin(x)和cosec(x)的倒数关系，将方程转化为cosec(x) = 2，然后再求解cosec(x) = 2的解析式。

5. 利用三角函数的周期性：三角函数的周期性也是一个重要的特性。

例如sin(x)的周期是2π，cos(x)的周期是2π，tan(x)的周期是π。

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