旋转专题训练

（1)如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系；

(2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形, AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD

与AD 所在直线交于点E ．

若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论；

（1)∠BMD= 3 ∠ADM (2)

分

(2)联结CM,取CE 的中点F ，联结MF ，交DC 于N

∵M 是AB 的中点,∴MF ∥AE ∥BC ，

∴∠AEM=∠1,∠2=∠4， ……… 3分

∵AB=2BC ，∴BM=BC ，∴∠3=∠4. ∵CE ⊥AE,∴MF ⊥EC ，又∵F 是EC 的中点，

∴ME=MC ，∴∠1=∠2. ………。4分 ∴∠1=∠2=∠3。

∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分

【斜边中线+倍长中线例题】已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中

BA =BC ,DA =DE ,联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系

是 ；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断（1）中的结论是否仍然成立,并说明理由．

。解:(1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分

（2）成立． ……………3分

理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ,联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分

∴ED =CF ，∠DEM =∠1．

∵AB =BC ,AD =DE ,且∠ADE =∠ABC =90°，

∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．

M

D B

A

C

E

A

D

M

B C

图1 图2

F

A

M

B

C

E

D

4

3

2

1D C B A E

M

M

E A B

C D 9

∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．

∵∠8=360°-∠5—∠7-∠1，∠7=180°—∠6-∠9,

∴∠8=360°—45°—（180°-∠6-∠9）—（∠3+∠9）

=360°-45°—180°+∠6+∠9- 45°—∠9=90°+∠6 ．

∴∠8=∠BAD．………5分

又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．

∴BD=BF,∠ABD=∠CBF．………6分

∴∠DBF=∠ABC=90°．

∵MF=MD,

∴BM=DM且BM⊥DM．。…………7分

如图，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，连接AF，G为BC中点，连接DG交CF于M．

证明：（1）CM=AB;

(2）CF=AB+AF．

(1）解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°,∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴CD＝DB＝2，∴CB＝错误!＝2错误!，

∵CE⊥AB于E，点G为BC中点,∴EG＝错误!CB＝错误!．

(2)证明:证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，

∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°,

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，

DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH,∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°,

∠HDA＝∠DCB＝45°,∴∠ADF＝∠HAD,又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH ,∴CF＝AB＋AF．

证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH．

∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°． 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF． 又BD=CD ，BA=CH,∴△ABD≌△HCD． ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．

又AD∥BC,∴∠ADB＝∠DBC＝45°．

∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°． ∴∠ADB＝∠HDB．

又AD=HD ， DF=DF,∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF ． ∴CF＝CH ＋HF=AB ＋AF ．

【例1】 （第10讲例5）如图，AB 为O 直径，点C 在O 上，且2AC BC ==,将一块

等腰三角形的直角顶点放在圆心O 处之后,将此三角形绕点O 旋转，三角形的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．图①，②,③是旋转三角形得到的图形中的3种情况．

请你回答下列问题：

⑴ 三角形绕点O 旋转，观察线段OD 和OE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；

⑵ 三角形绕点O 旋转，是否能使OBE △为等腰三角形?若能，写出OBE △为等腰三角形的所有情况中CE 的长，若不能，请说明理由；

⑶ 如图④，若将三角形的直角顶点移到AB 上的点M 处，且13AM MB =∶∶，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．

（朝阳期末）

④

③

②

①

M A

C B

O

D

E A

C B

O

D

E

A

C

B

O D E

E

D O

C

B

A