三维边界表示法
boundary representation相关综述
boundary representation相关综述
边界表示（Boundary Representation，简称B-rep）是一种用于表示三维物体几何形状的方法。
它是一种基本且重要的几何建模方法，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、CAD/CAM等领域。
边界表示法的基本思想是将三维物体的形状表示为一个封闭的曲面，这个曲面由一系列的平面几何元素（如平面、圆柱面、圆锥面等）构成。
这些平面几何元素被称为基本元素，它们可以是简单的几何形状，如三角形、四边形等，也可以是复杂的组合体。
在边界表示法中，三维物体的形状被分解为一组封闭的曲面片，这些曲面片之间相互连接形成一个封闭的表面。
每个曲面片都被表示为一个基本元素，并且每个基本元素都由其所在的平面、法线向量、外点等参数确定。
通过这些参数，我们可以确定三维物体在空间中的位置、方向和大小。
边界表示法的优点在于它可以准确地表示任何形状的三维物体，并且可以方便地进行几何变换、布尔运算、碰撞检测等操作。
此外，由于它采用参数化的表示方法，因此可以方便地进行形状的修改和优化。
但是，边界表示法也存在一些缺点。
例如，它需要大量的存储空间和计算资源，尤其是在处理大规模的三维模型时。
此外，由于它采用参数化的表示方法，因此需要进行参数化处理和误差控制，以确保形状的精度和准确性。
总之，边界表示法是一种重要的三维几何建模方法，它可以准确地表示任何形状的三维物体，并且具有广泛的应用前景。
随着计算机技术的不断发展，边界表示法将会在更多的领域得到应用和发展。
三维建模方法之CSG与BRep比较
方法简洁,生成速度快,处理方便,无冗余信息,而且能够详细地记录构成实体的原始特征参数,甚至在必要时可修改体素参数或附加体素进行重新拼合。数据结构比较简单,数据量较小,修改比较容易,而且可以方便地转换成边界(Brep)表示。
CSG局限:
由于信息简单,这种数据结构无法存贮物体最终的详细信息,例如边界、顶点的信息等。由于CSG表示受体素的种类与对体素操作的种类的限制,使得它表示形体的覆盖域有较大的局限性,而且对形体的局部操作(例如,倒角等等)不易实现,显示CSG表示的结果形体时需要的间也比较长。
还有空间划分表示法,利用四叉树或八叉数的数据结构来表示2D/3D的模型。
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To determine if the B-rep model of the handle was actually smaller than models created using the CSG method, a sample handle was created using both of these methods、The CSG method produced a model that used 50% more disk space than the B-rep method handle、It was also more difficult to construct, and required more constraint equations and variables、Clearly, the B-rep method was indeed the best choice for this model、
计算机中表示三维形体的模型,按照几何特点进行分类,大体上可以分为三种:线框模型、表面模型与实体模型。如果按照表示物体的方法进行分类,实体模型基本上可以分为分解表示、构造表示CSG(Constructive Solid Geometry)与边界表示BREP(Boundary Representation)三大类。
三维建模方法之CSG与BRep比较
三维建模⽅法之CSG与BRep⽐较计算机中表⽰三维形体的模型,按照⼏何特点进⾏分类,⼤体上可以分为三种:线框模型、表⾯模型与实体模型。
如果按照表⽰物体的⽅法进⾏分类,实体模型基本上可以分为分解表⽰、构造表⽰CSG(Constructive Solid Geometry)与边界表⽰BREP(Boundary Representation)三⼤类。
常⽤的分解表⽰法有:四叉树、⼋叉树、多叉树、BSP树等等。
构造表⽰的主要⽅法:扫描表⽰、构造实体⼏何表⽰、特征与参数化表⽰。
边界表⽰的典型代表就是翼边结构。
CSG建模法,⼀个物体被表⽰为⼀系列简单的基本物体(如⽴⽅体、圆柱体、圆锥体等)的布尔操作的结果,数据结构为树状结构。
树叶为基本体素或变换矩阵,结点为运算,最上⾯的结点对应着被建模的物体;⽽BREP的⼀个物体被表⽰为许多曲⾯(例如⾯⽚,三⾓形,样条)粘合起来形成封闭的空间区域。
BRep优点:1、有较多的关于⾯、边、点及其相互关系的信息。
2、有利于⽣成与绘制线框图、投影图,有利于计算⼏何特性,易于同⼆维绘图软件衔接与同曲⾯建模软件相关联。
BRep局限:由于它的核⼼信息就是⾯,因⽽对⼏何物体的整体描述能⼒相对较差,⽆法提供关于实体⽣成过程的信息,也⽆法记录组成⼏何体的基本体素的元素的原始数据,同时描述物体所需信息量较多,边界表达法的表达形式不唯⼀。
CSG优点:⽅法简洁,⽣成速度快,处理⽅便,⽆冗余信息,⽽且能够详细地记录构成实体的原始特征参数,甚⾄在必要时可修改体素参数或附加体素进⾏重新拼合。
数据结构⽐较简单,数据量较⼩,修改⽐较容易,⽽且可以⽅便地转换成边界(Brep)表⽰。
CSG局限:由于信息简单,这种数据结构⽆法存贮物体最终的详细信息,例如边界、顶点的信息等。
由于CSG表⽰受体素的种类与对体素操作的种类的限制,使得它表⽰形体的覆盖域有较⼤的局限性,⽽且对形体的局部操作(例如,倒⾓等等)不易实现,显⽰CSG表⽰的结果形体时需要的间也⽐较长。
计算机三维建模技术
计算机三维建模技术及其应用摘要：三维建模是利用三维数据将现实中的三维物体或场景在计算机中进行重建，最终实现在计算机上模拟出真实的三维物体或场景。
而三维数据就是使用各种三维数据采集仪采集得到的数据，它记录了有限体表面在离散点上的各种物理参量。
三维建模逐渐在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
关键字：曲面建模、实体建模1.三维建模的含义三维建模在现实中非常常见，雕刻、制作陶瓷艺术品等，都是三维建模的过程。
人脑中的物体形貌在真实空间再现出来的过程，就是三维建模的过程。
广义地讲，所有产品制造的过程，无论手工制作还是机器加工，都是将人们头脑中设计的产品转化为真实产品的过程，都可称为产品的三维建模过程。
狭义地说：三维建模是指在计算机上建立完整的产品三维数字几何模型的过程。
一般来说，三维建模必须借助软件来完成，这些软件常被称为三维建模系统。
三维建模有以下特点：三维建模呈现立体感，具有动画演示产品的动作过程，直观、生动、形象；三维建模的图形、特征元素之间通过参数化技术保持数据一致，尺寸和几何关系可以随时调整，更改方便；三维建模的造型方法多样，较好的适应工程需要，支持工程应用，支持标准化、系列化和设计重用，提供对产品数据管理、并行工程等的支持。
三维建模方法从原理上可以分为几何建模和特征建模两大类，而几何建模又可以分为线框建模、曲面建模和实体建模等几种方法。
2.三维曲面建模三维曲面建模是通过对物体的各个表面或曲面进行描述而构成曲面的一种建模方法。
建模时，先将复杂的外表面分解成若干个组成面，这些组成面可以使构成一个个基本的曲面元素。
然后通过这些曲面元素的拼接，就构成了所要的曲面。
在计算机内部，曲面建模的数据结构只需要在线框建模的基础上建立一个面表，即曲面是由哪些基本曲线构成。
一般常用的曲面生成方法：线性拉伸面、直纹面、旋转面、扫描面等。
曲面模型主要适用于表面不能用简单的数学模型进行描述的复杂物体型面，如汽车、飞机、传播、水利机械等产品外观设计以及地形、地貌、石油分布等资源描述中。
CAD_三维建模方法
（3）计算机内部模型。 一个CAD系统的计算机机内模型是将 信息模型传递结计算机可接受的且同时转换成二进制代码的— 种标准结构形式(可描述的元素及其相互关系)。以此可实现中央 处理机的数据处理和数据存储。也就是： z 将信息模型的信息单元以数学形式加以定义； z 确定其相互关系； z 转化为二进制代码形式；
z四叉树与八叉树适应网格
当一个对象要被分解时，出现三种类型，空、满、 半满，主要取决于被分解的对象是否完全在单元的 外边、完全在里面或者部分在里边。半单元可以进 一步分解成空、满、半满单元。显然，半单元尺寸 决定其分辨率。因为单元信息无法告诉单元是如何 填充的或单元填充了多少，所以计算机将认为半满 单元都是一样的，除非做进一步的分解。
沿扫描变化截面的形状和大小，或者当移动该形 状通过某空间区间时，可以变化截面相对于扫描 路径的方向
② 半空间法（Semi Space Representation）
（3）三维实体的表达
①构造实体几何（Constructive Solid Geometry）
复杂的实体定义为较简单实体（体素）的组合，这 种组合是通过布尔运算来实现的。通过集合运算生 成的几何实体过程可用一个二叉树结构表示，其中 树根是生成的几何实体；中间结点（子树）是集合 运算符号，包括并、差、交，它代表某一中间形体； 叶结点是体素或变换参数。
二、三维建模方法（1）
2.1 概述
将现实世界中或设想中的物体转换成计算机内部表 示的这一过程称之为建模。
关键信息
产品建模的步骤 就是将人们头脑 中构思或者设想 的产品模型转换 成用图形、符号 或算法表示的形 式。
三维对象的表示详解
几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数 属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征
v1
多边形表面—示例
多边形面表 序号 S1 边序号 E1, E2, E3
E1 S1 v2
边表 序号 1 2 3 4 5 6 顶点号 v1, v2 v2, v3 v3, v1 v3, v4 v4, v5 v5, v1
2 s1
1
超椭球面形状如P337图8.7所示
一组较小的、非重叠的连续实体（通常是立方体） 三维对象的一般空间划分描述是八叉树表示
边界表示方法---图示
空间区分表示方法---图示
小立方体(i, j, k)
k
j i
内容提要
表示方法 多边形表面（Polygon Surfaces）
曲线曲面: Bé zier曲线
实体构造技术 八叉树（Octrees） 分形（Fractal ） …
x r x y z 1 r r y z
2 2 2
二次曲面
环面：汽车轮胎状的对象称为环面或锚状环 通常被描述为将圆或椭圆绕该二次曲线（圆或椭圆）之 外的一个共面轴旋转而得到的表面 环面的定义参数是该二次曲线中心到旋转轴之间的距离 以及该二次曲线的尺寸
如样条曲面，将它转换到多边形表示后加以处理
多边形表面
可以为覆盖对象表面的每一多边形给出一组顶点，以便使 用一组多边形面片描述一个对象
这些面片的顶点坐标和边的信息以及每一多边形的表面法向量等其 它信息存入一张表中（参见P106的3.15节）
有些图形软件提供生成由三角形或四边形组成的多边形网 的子程序 有些软件提供用多边形面片显示立方体、球体或圆柱体等 普通形状的子程序 多边形表面数据分为两组进行组织
三维数据表示方法
三维数据表示方法以三维数据表示方法为标题，本文将介绍三维数据的表示方法。
三维数据是指在三个维度上具有数值的数据集合。
在现实世界中，我们常常遇到需要用三维数据来描述的问题，比如地理空间数据、医学影像数据等。
为了更好地理解和处理这些数据，人们开发了多种三维数据表示方法。
一、点云表示法点云是由大量的点构成的数据集合，每个点都有自己的坐标和属性信息。
点云表示法是将三维物体表面上的点以离散的方式进行采样，然后通过点的坐标和属性来表示物体的形状和特征。
点云表示法适用于表示复杂的几何结构，如云朵、地形等。
二、体素表示法体素是三维空间中的一个立方体单元，通过将整个三维空间分割成小的立方体单元（体素），并用每个体素的属性来表示物体的特征。
体素表示法适用于表示密集的物体，如人体、器官等。
体素表示法可以更精确地描述物体的几何形状和内部结构。
三、三角网格表示法三角网格是由大量的三角形构成的网格结构，每个三角形都有三个顶点和三个边。
三角网格表示法通过将物体的表面离散化为大量的三角形来表示物体的形状。
三角网格表示法适用于表示光滑的物体，如汽车、建筑等。
三角网格表示法可以提供更精确的外观和形状信息。
四、边界表示法边界表示法是通过描述物体的边界来表示物体的形状。
边界表示法适用于表示具有复杂几何结构和曲线的物体，如管道、电路板等。
边界表示法可以提供更精确的几何信息和拓扑关系。
五、光线追踪表示法光线追踪是一种基于光线的渲染技术，通过模拟光线在物体表面的反射、折射和散射来生成图像。
光线追踪表示法适用于渲染三维场景和生成真实感图像。
光线追踪表示法可以提供更真实的光照效果和物体表面细节。
六、体积渲染表示法体积渲染是一种基于体素的渲染技术，通过对体素进行光线传播和颜色混合来生成图像。
体积渲染表示法适用于渲染密集的三维数据，如医学影像、地质数据等。
体积渲染表示法可以提供更直观的内部结构和分布信息。
七、层次表示法层次表示法是一种将三维数据分层次地进行组织和表示的方法。
三维边界表示法
§2.5 三维数据结构二、三维边界表示法1、方法原理首先考虑一个简单的四面体应如何表示。
它是一个平面多面体，即它的每个表面均可以看成是一个平面多边形。
为了做到无歧义地、有效地表示，需指出它的顶点位置以及由哪些点构成边，哪些边围成一个面等一些几何与拓扑的信息。
比较常用的表示一个平面多面体的方法是采用三张表来提供这些信息(如图2—5-4)，这三张表就是：1）顶点表：用来表示多面体各顶点的坐标；2）边表：指出构成多面体某边的两个顶点；3）面表：给出围成多面体某个面的各条边。
对于后两个表一般使用指针的方法指出有关的边、点存放的位置。
为了更快地获得所需信息，更充分地表达点、线、面之间的拓扑关系，可以把其它一些有关的内容结合到所使用的表中。
图2—5-4中的扩充后的边表就是将边所属的多边形信息结合进边表中以后的形式。
这样利用这种扩充后的表，可知某条边是否为两个多边形的公共边，如果是，相应的两个多边形也立即知道。
这是一种用空间换取时间的方法。
是否要这样做，应视具体的应用而定，同样也可根据需要适当地扩充其它两张表来提高处理的效率。
除了描述它的几何结构，还要指出该多面体的一些其它特性。
例如每个面的颜色、纹理等等。
这些属性可以用另一个表独立存放。
当有若干个多面体时，还必须有一个对象表。
每个多面体在这个表中列出围成它的诸面，同样也可用指针的方式实现，这时面表中的内容，已不再是只和一个多面体有关。
2、特点采用这种分列的表来表示多面体，可以避免重复地表示某些点、边、面，因此一般来说存贮量比较节省，对图形显示更有好处。
例如，由于使用了边表，可以立即显示出该多面体的线条画，也不会使同一条边重复地画上两次。
可以想象，如果表中仅有多边形表而省却了边表，两个多边形的公共边不仅在表示上要重复，而且很可能会画上两次。
类似地，如果省略了顶点表，那么作为一些边的公共顶点的坐标值就可能反复地写出好多次。
3、拓扑检查对于比较复杂的多面体要输入大量的数据。
三维造型方法概述
三维造型方法概述
三维造型方法是一种在计算机图形学中广泛使用的技术，用于创建和表示三维对象。
以下是一些常用的三维造型方法：
1.几何造型法：这是早期的一种方法，主要通过一些基本几何元素（如点、线、面、体等）来构造三维模型。
这种方法虽然简单，但表达能力有限，对于复杂的模型构建效率较低。
2.边界表示法：这种方法将三维模型表示为一系列的边界曲线和曲面，每个边界都由一组参数化的曲线和曲面定义。
这种方法表达能力较强，但计算复杂度较高。
3.构造实体几何法：这是一种基于集合运算的方法，通过一组基本几何元素的布尔运算来构造三维模型。
这种方法表达能力较强，计算效率较高。
4.参数化造型法：这种方法通过一组参数来定义三维模型的形状，参数之间存在一定的约束关系。
这种方法表达能力较强，但计算复杂度较高。
5.自由造型法：这是一种基于用户交互的方法，用户可以通过鼠标或触摸屏等设备直接在计算机图形界面上进行
操作，构建三维模型。
这种方法表达能力较强，但需要一定的计算机图形学知识。
以上这些方法各有优缺点，适用于不同的应用场景。
在实际应用中，通常会根据具体需求选择合适的方法。
第七章-三维实体的表示
5
正则集合运算
通过对简单实体做适当的运算来构造复杂实 体是一个有效的方法。
实体可看作点集，对实体进行的运算主要是 集合运算。
但是对两个实体做普通的集合运算并不能保 证其结果仍是实体。如下，两个二维实体A 、B求交：
20
实体表示方法——边界表示
◦ 简单多面体是指与球拓扑同构的的多面体，可连 续变换成一个球。它满足下面的欧拉公式：
v-e+f=2
其中v,e,f分别是多面体的顶点数、边数和面数。欧 拉公式是一个多面体为简单多面体的必要但非充 分条件。
v=8,e=12,f=6
v=4,e=6,f=4
21
实体表示方法——边界表示
◦ 正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r•A为A的正则点集。但正则点集未必是实体。
4
实体的定义
下图是带悬挂边与孤立点、边的二维物体， 以此为例来说明正则运算的过程。
二维流形：
◦ 是指这样一些面，其上任一点都存在一个充分小 的邻域，该领域与平面上的圆盘是同构的，即在 该邻域与圆盘之间存在连续的一一映射。
：
Sb SiS
◦ 由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维 空间分成了三个区域(iS,bS,eS)。边界bS与实体S是 一一对应的，确定了边界，也就唯一确定了一个 实体。为了求实体A,B的正则运算结果Aop*B ，只 要求出其边界b(Aop*B)即可。我们有：
b ( b A i) A B ( b b A ) ( b B e A )B
2
实体的定义
实体造型中必须保证物体的有效性(客观存在 )。
第4章 空间信息的三维表达
第一节 数字地形模型
数字地形模型（Digital Terrain model，即DTM）是各类三维地 表可视地形模型的重要组成部分，它以离散分布的平面来模拟 连续分布的地形。其关键技术是DEM（数字高程模型）的构建与 表达。DEM数据组织目前主要有两大类，即：基于规则格网和基 于不规则三角网。如下图
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实体法构模 So lid 法的实质是N etwo rk 与B lock的混合, 优点是能精 确表达较复杂地质结构和进行体积计算以及储量估算。三维 地学模拟中, 这几种方法在国外已有成功应用, 而国内应用尚 不多见。
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体视化技术 体视化技术, 是在吸收计算机图形学、图像处理和计算 机视觉等相关学科知识的基础上发展起来的一门研究体数据 的交叉学科。近10 年来, 体视化技术从概念、原理、方法到 硬件系统得到了全面发展,逐步形成了一套完整的技术。国外 将体视化技术应用于三维地学模拟的典型代表是L YNX 的三 维CM 技术。 三维地学模拟体视化技术的实质是以三维基元(体素) 来 描述整个物体,它包含物体内外的全部信息。对体数据显示有 两种基本方法: 基于表面重建的显示(Su rface-based Rendering ) 和基于体素的显示(Voxel-based Rendering ) 或直接体视( Direct Volumn Rendering) , 最终将都生成一个显示图像。
x - xa y – ya z- za xb – xa yb - ya zb – za = 0 xc – xa yc - ya zc - za
二 不规则格网建立方法
不规则格网（TIN三角形网）的建立，在国内外有大量文 献对TIN三角形的建立方法进行了研究，其中Delaunay 三角 形格网是其典型，其基本建立原则是： 1、唯一性，即不论从数据的哪个三角形开始扩展，最终 所得三角网的构成都是相同的，保证了成图一致性。 2、空圆性，即在任意一个三角形的外接圆范围内不会有 其他点位于其内并与其通视。 3、最大最小角特性, 即任意两个相邻的三角形组成的凸四 边形的对角线如果可互换且换的话, 那么两个三角形6 个内角 中最小的角度不会变大。该性质说明三角形具有最佳形状特 征。
三维形体的表示
拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
表示形体的两种模型
数据模型 完全以数据描述 例如 用以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、
边界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 线框模型 外表模型 实体模型
分解表示-空间位置枚举表示
形体空间细分为小的均匀的立方体单元。 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与
单位小立方体一一对应 当C[I][J][K] = 1时，表示对应的小立方体被物 体占据 当C[I][J][K] = 0时，表示对应的小立方体没有 被物体占据
分解表示-空间位置枚举表示
无论如何放置长方体都能唯
一地表示了。对于多面体由
于其轮廓线和棱线通常是一
致的，所以多面体的线模型
更便于识别，且简单。
线框模型
优点：简单、处理速度快
缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等 形体，其轮廓线随观察方向的改变而 改变，无法用一组固定的轮廓线来表 示它们。
2、线框模型与形体之间不存在一一对 应关系：它仅仅通过给定的轮廓线约 束所表示形体的边界面，而在轮廓线 之间的地方，形体的外表可以任意变 化。
正那么集合运算
同理：
b(A∪*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ eA)∪(bA∩bB)同
侧
b(A－*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩bB)异
侧
一些非正那么形体的实例
一些非正那么形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
3D打印-三维建模
机械零件和机械产品的几何形状多数是由立方体和圆 柱体等简单几何形状组合而成的。
所谓CSG画图法，就是讲一些基本的立体组件图形， 如立方体、角锥、圆球等，相互重叠放置在一起；然后 剪去拟合重复的部分即可。即将物体都分解成不可再分 的最小实体（又称体素），这些体素通过交并差等集合 运算组成所需要的物体。
因此，在应用三维CAD软件进行建模时，应先进行仔细规划，将设计意 图施加到模型中。使得在图形区域中生成一个特征的过程，和实际进行机械 加工的过程相似，以尽量满足加工的要求，这样所生成的零件特征才具有广 泛的适应性。但是，对于同一个零件模型，不同的设计者考虑问题的角度不 同，进行设计的方法就不同，因而形成不同的建模思想。一种好的建模思想， 不仅可以使用户方便、快捷的完成所需设计工作，而且可以真正做到三维零 件建模和实际加工过程相一致。然而，要做到这一点，不仅需要经过一定的、 有针对性的专业训练，而且需要有长期的、丰富的实践经验。在进行零件建 模时先做一些必要的分析，先做什么，再做什么，切忌一开始就盲目的设计， 那样只会给自己带来不必要的麻烦。要按照合理的零件建模思想，深刻理解 每一个操作，而后生成所需要的零件。
通过点、直线、圆弧等基本图形元素组成的框架，来描述具有立 体形状特征的几何图形，这是比较容易理解的。这种模型被称为“线 框模型”，是最早用于实际且现在仍然广泛应用的一种三维几何模型。 尤其是在计算机绘图方面应用广泛。
以立方体为例，其线框模型只要指定线起点和终点的正确3D点坐 标(x,y,z)位置，就能表现出立方体的立体线性几何形状，也就是其线 框模型。
英国视觉艺术家本尼迪克特·拉德克里夫（Benedict Radcliffe）用 钢丝做的丰田花冠汽车线框模型
边界表示法事宜物体边界为基础定义和描述三维形体的方法
边界表示法事宜物体边界为基础定义和描述三维形体的方法
边界表示法是一种用于定义和描述三维物体边界的数学方法，也称之为“外观表示法”，它是一项非常有效的创建三维形体的方法，最早发展于上个世纪70年代，已经广泛应用在从基本几何形状到更复杂的机械零件上。
边界表示法的主要思想是用给定的数学光滑函数，如样条函数等，表示三维物体的边界面，使其获得比其它方法更为准确和细致的表示，是一种虚拟现实d及计算机图形这一领域中常用的方法。
边界表示法能够有效地捕捉和表示三维物体的复杂几何形状，它使用“连续”的曲面来表示传统边界表示法中表示不足的高维几何体。
边界表示法要求计算机在三维空间中寻找‘高维’物体的边界，相对于其他形状表示法来说，它能够获得更加真实和细节的表示。
尽管边界表示法能够表示比较逼真的外观，在实现过程中仍然存在一些困难，如封闭环绕（closed loops）生成，连接曲面表示，如何把平面图尽可能准确地映射到三维空间上等。
对于这些问题，研究人员通过提出多种曲线细化方案，逐步消除了它的影响，为应用边界表示法的行业提供了可靠的基础。
总而言之，边界表示法是利用光滑函数表示三维物体边界的数学方法，它是在虚拟现实、计算机图形和其他行业中有效创建三维形体的一种方式，尽管它的实现过程中仍存在若干技术难题，但随着技术的发展，在乌托邦般的未来，它将发挥更大的作用。
brep边界表示法
brep边界表示法1 简介BREP即“Boundary Representation”的缩写，意为边界表示法。
BREP是传统CAD模型建模方法之一，它将物体的边界曲面表示为有限集合的有限元素如点、线、环、曲面等。
BREP适用于复杂、曲面或非常规表面的模型，它可以精确的描述物体的几何信息，因此被广泛的应用于机械设计、建筑设计、汽车设计、船舶设计等许多领域。
2 特点BREP采用了采用了三角剖分、Bezier曲面、NURBS曲面等高精度的数学方法，来表示物体的边界曲面。
它具有以下特点：1.精度高：BREP可以将任意复杂形状的曲面表现出来，不仅可以精确的描述物体的几何形状，还可以表示物体的拓扑结构。
2.灵活性好：基于BREP进行的建模可以快速的修改，可以细化和加工处理较大型的物体，可以应用于高级的分析应用程序。
3.适应性强：BREP可以应用到多种不同的CAD系统中，如SolidWorks、Creo、AutoCAD以及许多其它流行的CAD软件。
3 应用BREP广泛应用于许多工业领域，如航空、航天、汽车、机械工程等。
下面是BREP在这些领域中的应用：1.航空和航天：BREP可以用来描述机身、飞翼、火箭引擎的几何形状和拓扑结构，这可以帮助工程师理解和模拟这些结构。
2.汽车：BREP可以用来描述汽车车身的几何形状和拓扑结构，这有助于汽车设计师确定车身外形和车框连接的方式。
3.机械工程：BREP可以用来描述机械零件的几何形状和拓扑结构，这可以帮助工程师构建机械零件的精准模型，以便在计算机应用程序中评估机械零件的性能。
4 总结BREP是一项用于三维计算机辅助设计的模型表示技术，它将物体的边界曲面表示为有限集合的有限元素，如点、线、环、曲面等。
BREP适用于复杂、曲面或非常规表面的模型，它可以精确的描述物体的几何信息，因此被广泛的应用于机械设计、建筑设计、汽车设计、船舶设计等许多领域。
BREP采用了采用了高精度的数学方法，可以精确的描述物体的几何形状，也可以描述物体的拓扑结构，因此有很好的灵活性、适应性和精度。
三维模型体积算法
三维模型体积算法一、引言在计算机图形学和计算机辅助设计领域中，三维模型的体积计算是一个重要的问题。
准确计算三维模型的体积可以帮助我们理解物体的空间占用情况，对于工程设计、建筑规划、虚拟现实等应用具有重要意义。
本文将介绍几种常用的三维模型体积算法，并进行比较与分析。
二、多边形网格算法多边形网格算法是最常用的三维模型体积计算方法之一。
该算法将三维模型表示为由三角形组成的网格，通过计算网格中三角形的面积并求和得到模型的体积。
具体步骤如下：1. 将三维模型离散化为由三角形组成的网格；2. 遍历网格中的每个三角形，计算其面积；3. 将每个三角形的面积加总，得到模型的体积。
多边形网格算法的优点是简单易实现，适用于各种三维模型。
然而，该算法在处理复杂模型时可能会出现误差较大的情况，且计算量较大。
三、边界表示算法边界表示算法是另一种常用的三维模型体积计算方法。
该算法通过表示模型的边界曲面，计算曲面所包围的空间体积。
具体步骤如下：1. 将三维模型表示为边界曲面；2. 计算曲面的法向量，确定曲面的内外；3. 根据曲面的内外关系，计算模型的体积。
边界表示算法的优点是能够处理复杂的曲面模型，并且计算结果较为精确。
但是该算法的实现相对复杂，计算量也较大。
四、体素化算法体素化算法是一种基于体素（三维像素）的三维模型体积计算方法。
该算法将三维模型表示为由立方体组成的体素网格，通过统计网格中被模型所占据的体素数量来计算体积。
具体步骤如下：1. 将三维模型离散化为由立方体组成的体素网格；2. 统计网格中被模型所占据的体素数量；3. 根据体素的大小和数量计算模型的体积。
体素化算法的优点是适用于各种三维模型，且计算结果较为精确。
但是该算法的计算量较大，特别是在处理高分辨率的模型时。
五、对比与分析从上述三种算法可以看出，多边形网格算法是最简单的体积计算方法，但在处理复杂模型时可能会出现误差较大的情况。
边界表示算法能够处理复杂的曲面模型，但实现较为复杂。
brep格式bnf术语
BNF（巴科斯-诺尔范式）是一种形式语言，用于描述计算机编程语言和语法。
它是一种自上而下的语法表示法，使用左递归和前瞻断言来表示语法规则。
BNF是Backus-Naur Form的缩写，最初由IBM的John Backus和Michael Naur在20世纪60年代开发，用于描述ALGOL 60编程语言的语法。
Brep（边界表示法）是一种用于表示三维几何模型的数据结构。
它将几何模型表示为一系列的曲面片，每个曲面片由其边界表示。
Brep格式通常用于CAD（计算机辅助设计）和CAM（计算机辅助制造）等领域，用于描述和交换三维几何模型数据。
在Brep格式中，曲面片由其边界线表示，边界线由一系列的线段、圆弧或样条曲线组成。
此外，Brep格式还包括一些其他的信息，如曲面片的类型（平面、圆柱、圆锥等）、法线方向、曲面的参数域等。
总之，BNF和Brep是两种不同的数据结构和表示法，分别用于描述编程语言语法和三维几何模型。
它们在各自领域有着广泛的应用和重要性。
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§2.5 三维数据结构
二、三维边界表示法
1、方法原理
首先考虑一个简单的四面体应如何表示。
它是一个平面多面体，即它的每个表面均可以看成是一个平面多边形。
为了做到无歧义地、有效地表示，需指出它的顶点位置以及由哪些点构成边，哪些边围成一个面等一些几何与拓扑的信息。
比较常用的表示一个平面多面体的方法是采用三张表来提供这些信息(如图2—5-4)，这三张表就是：
1）顶点表：用来表示多面体各顶点的坐标；
2）边表：指出构成多面体某边的两个顶点；
3）面表：给出围成多面体某个面的各条边。
对于后两个表一般使用指针的方法指出有关的边、点存放的位置。
为了更快地获得所需信息，更充分地表达点、线、面之间的拓扑关系，可以把其它一些有关的内容结合到所使用的表中。
图2—5-4中的扩充后的边表就是将边所属的多边形信息结合进边表中以后的形式。
这样利用这种扩充后的表，可知某条边是否为两个多边形的公共边，如果是，相应的两个多边形也立即知道。
这是一种用空间换取时间的方法。
是否要这样做，应视具体的应用而定，同样也可根据需要适当地扩充其它两张表来提高处理的效率。
除了描述它的几何结构，还要指出该多面体的一些其它特性。
例如每个面的颜色、纹理等等。
这些属性可以用另一个表独立存放。
当有若干个多面体时，还必须有一个对象表。
每个多面体在这个表中列出围成它的诸面，同样也可用指针的方式实现，这时面表中的内容，已不再是只和一个多面体有关。
2、特点
采用这种分列的表来表示多面体，可以避免重复地表示某些点、边、面，因此一般来说存贮量比较节省，对图形显示更有好处。
例如，由于使用了边表，可以立即显示出该多面体的线条画，也不会使同一条边重复地画上两次。
可以想象，如果表中仅有多边形表而省却了边表，两个多边形的公共边不仅在表示上要重复，而且很可能会画上两次。
类似地，如果省略了顶点表，那么作为一些边的公共顶点的坐标值就可能反复地写出好多次。
3、拓扑检查
对于比较复杂的多面体要输入大量的数据。
检查输入的数据是否一致、是否完全，是一项必不可少的工作，这就是通常所说的拓扑检查。
一般来说，在数据表中包含的信息越多，输入时有错的可能性也越大，但是可用来检查是否有错的手段也会随之增加。
对上面提及的数据结构，至少可以检查以下诸项：
1)顶点表中的每个顶点至少是两条边的端点；
2)每条边至少是一个多边形的边；
3)每个多边形是封闭的；
4)每个多边形至少有一条边是和另一个多边形共用的；
5)若边表中包含了指向它所属多边形的指针，那么指向该边的指针必在相应的多边形中出现。
这些检查对于维护表示多面体的数据库的全体一致性是有效的，而复杂的情况应当有专门的程序来检查。
4、应用
以上讨论的只是简单的平面多面体的三维边界表示，但是GIS研究的对象是自然实体，其三维形状的复杂程度难以描述。
例如岩石的外表不规则，组成的平面可有成千上万，如何用三维边界表示法表示呢?
从理论上讲，对任意的三维形体只要它满足一定的条件，总可找到一个适合的平面多面体来近似地表示这个三维形体，且使误差保持在一定的范围之内。
但是在实际上，这种逼近受到多方面因素的制约，解决这个问题的方法也不一而足。
通常，这个问题可以叙述成：要表示某个三维形体，又仅知道从这个形体的外表面S0上测得的一组点P1……Pn的坐标。
为了解决这个问题，首先要为这些点建立起某种关系。
这种关系被称为这些点代表的形体结构。
可以由一个图来表示，图的顶点就是这里给定的那组点P1……Pn，而图的边的给定方式则恰好
反映了所设想的结构。
不同的图，有不同的边(也就是连接这些顶点的方法不同)，相应地，这个图对应的平面多面体也不同，这可由图2—5-5来示意。
在众多的结构中，每个面均是三角形的平面多面体起着很重要的作用(这跟不规则三角网TIN很类似)。
即使对结构加上了这种限制，同一组点仍可得到不同的平面多面体。
因此，人们自然会想到，在这类多面体中，究竟在拥有了哪些特征之后，才能更确切地逼近原来的三维形体?有人认为表面积最小的多面体可能是适合的；也有人认为使用的准则应当和曲面S0的曲率有关。
至今，这是一个有待解决的问题。
完。