洛必达法则泰勒公式
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
高级数学公式
高级数学公式
高级数学公式有很多，以下列举一些常用的公式：
1.欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0，它将三角函数和复数、指数函数联系在一起。
2.洛必达法则：当x→a时，(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/(g(x))^2。
它是求极限的重要工具之一。
3.泰勒公式：对于一个函数f(x)，在某点x=a处有无限多项展开式，可以将f(x)表示为一系列的多项式之和，即
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(
x-a)^n/n!+...。
4.傅里叶变换：将一个函数表示为无穷多个简单正弦波的叠加，这些正弦波的频率、幅度和相位都不同。
5.拉普拉斯变换：将一个函数表示为无穷多个简单指数函数的叠加，这些指数函数的幅度和相位都不同。
6.麦克斯韦方程组：是电磁学的核心方程，它描述了电磁波的性质和行为。
7.哈密顿算子：是一个数学上的操作符，用于微分和积分运算，通常写作amiltonian或者。
在物理上，哈密顿算子通常用于描述粒子的动量和能量等性质。
这只是高级数学公式的一小部分，高等数学还有很多其他复杂的公式和定理。
这些公式在不同的数学领域和物理领域都有广泛的应用。
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式都是数学中的重要定理，用于求解函数的极限问题。
它们的区别和联系如下：
1. 区别：
- 洛必达法则（L'Hôpital's rule）用于解决形如"0/0"或者"∞/∞"的不定式极限问题。
它利用了两个函数在某个点处的导数的极限与函数值的极限之间的关系，从而求解极限。
洛必达法则适用的情况有限，只能用于求解特定类型的不定式极限问题。
- 泰勒公式（Taylor series）是一种用多项式逼近函数的方法。
它将一个光滑的函数表示为无限多个项相加的形式，每个项都是函数在某个点处的导数与对应的阶乘之积，从而近似表示函数在这个点附近的行为。
泰勒公式适用的范围更广，可以用于近似计算各种函数的值。
2. 联系：
- 虽然洛必达法则和泰勒公式解决的问题类型不同，但它们的原理都基于导数的性质。
洛必达法则依赖于函数的导数极限，而泰勒公式则利用了函数在某个点处的导数来近似该点附近的函数值。
- 在某些情况下，洛必达法则和泰勒公式可以结合使用。
例如，当计算某个函数在某个点处的极限时，可以先利用洛必达法则求出该点的导数极限，再利用泰勒公式对函数进行近似，从而求得极限值。
总之，洛必达法则和泰勒公式是数学中常用的工具，它们在求解函数的极限问题中有各自的用途和优势。
求左右极限的方法及例题
求左右极限的方法及例题
求左右极限的方法主要有以下几种：
1.连续点求左右极限：如果函数在某一点处连续，那么该点的左极限等于
右极限，也等于函数值。
2.间断点求左右极限：如果函数在某一点处不连续，那么该点的左极限和
右极限可能相等，也可能不相等。
此时，该点的函数值通常是不存在
的。
3.洛必达法则求左右极限：当所求极限的分子分母都可以导的时候，考虑
利用洛必达法则求极限比较方便。
4.利用泰勒公式求左右极限：等价无穷小就是泰勒方式的缩减版，删去了
高次项就得到了等价无穷小。
利用泰勒公式求高阶极限时，需要将函数展开成泰勒级数。
下面以两个例子来说明：
例1：求 f(x) = x-2，x<0 f(x) = x，x≥0 在 x = 0 处的左极限、右极限。
左极限：lim(x→0-) f(x) = -2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 0
例2：求 f(x) = 1/x 在 x = 0 处的左极限、右极限。
左极限：lim(x→0-) f(x) = -∞
右极限：lim(x→0+) f(x) = +∞。
3.2 洛必达法则
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是要计算的函数，a是展开点，f'(a)表示函数在a点的一阶导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
通过使用洛必达法则，我们可以通过计算泰勒级数的前n项来近似计算函数在a点附近的值。
1.洛必达法则只适用于形如0/0或无穷大/无穷大形式的极限计算。
当计算极限时遇到这种情况，可以尝试使用洛必达法则来简化计算。
2.如果一个函数在特定点a处连续，并且它的导数在该点附近存在且有定义，那么这个函数在该点处的极限等于导数在该点的值。
也就是说，如果f(a)=g(a)=0，且f'(a)和g'(a)存在（有限或无穷大），那么f(x)/g(x)的极限为f'(a)/g'(a)。
3.洛必达法则可以迭代使用，即可以多次应用洛必达法则来计算复杂的极限。
如果一个极限形式无法直接应用洛必达法则，可以通过迭代运用洛必达法则来简化极限的计算。
4.使用洛必达法则需要注意，由于洛必达法则只是一种近似方法，所以在使用洛必达法则计算极限时，结果可能只是一个近似值，并不是一个准确的值。
因此，在进行极限计算时，需要将结果验证过程中的任何近似值与准确值进行比较。
洛必达法则的应用广泛，特别是在微积分和数学分析中。
通过洛必达法则，我们可以在计算函数的极限时，通过近似的方式得到一个接近准确值的结果。
因此，洛必达法则被认为是一种非常有用的数学工具，对于解决复杂的极限计算问题有着重要的作用。
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理1设(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解、注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2求．解、注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3求．解、例4求、解、注(1)在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2)当时，与都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是．除了和型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．例7求．分析因为，，所以是型未定式．又因为，．而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算．解、例8求．分析因为，，所以是型未定式．又因为．而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算．解．注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．例9求、分析这是一个幂指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解、例10求．分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解、由于,所以．例11求、分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解．由于，所以、型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；(或)；(或)；(或)．最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在,见下面的例题．例12求、解这是一个型未定式，我们有．由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限．．由此可见极限是存在的．二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达．说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内．用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：(1)精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2)用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的．这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题．设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表达函数的多项式为、(1)既然我们要用去近似地表达，自然要求在处的函数值及它的直到阶的导数在处的值依次与，相等，即，，…，．这样我们就得到了如下个等式，，,…,，即，，，…,．将所求得的多项式的系数，,…,代入(1)式，得、(2)下面的泰勒(Ｔaylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f(x),其误差的确变小了．泰勒中值定理若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x,有f(x)=、(3)其中，(4)这里是在与之间的某个值．由(2)式和(3)式知，，现在只要证明(介于与之间)即可．证由假设知，在内具有直到阶的导数，且、函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、同样，函数与在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、继续对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过次应用柯西中值定理后，得(介于与之间，因而也在与之间)、定理证毕．泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对某个固定的，当时，，则有误差估计式，及．由此可见，当时，误差是比高阶的无穷小，即(5)上述结果表明，多项式的次数越大，越小，用去近似表达的误差就越小，是比高阶的无穷小，并且误差是可估计的．泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它．到此我们所提出的问题就解决了．多项式(2)称为函数按的幂展开的次泰勒多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式(介于与之间)．因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成、(６)的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式．在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式、(7)在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为、(8)由(7)和(8)可得近似公式、(9)误差估计式相应地变成、(10)例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解因为，所以．把这些值代入公式(7)，并注意到，便得、由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为，则所产生的误差为、如果取，则无理数的近似式为，其误差．当时，可算出，其误差不超过．例2求的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解因为,,,…,，所以，，，,…,它们顺序循环地取四个数，，，，于是令，按公式(7)得，其中．如果取，则得近似公式，这时误差为、如果分别取和，则可得的次和次近似和，其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4．由图4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓．类似地，我们还可以求出函数和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中;,其中；，其中．由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来．以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便．例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限．分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限．在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似．在本问题中，由于分式的分母，因此我们只需要将分子中的和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，．为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后,分子分母中的最高次幂一定要相等，以便运算．这一点同学们今后一定要注意．解其中仍是比高阶的无穷小，因为．总结由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题．。
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
洛必达法则和泰勒公式
!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0)
f
(0)x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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七种未定式的极限解法
七种未定式的极限解法未定式极限是指在求解数列极限、函数极限等问题中，出现了未知的形式不确定的极限式子。
例如，0/0、∞/∞、1^∞、0^0、∞-∞、∞^0、1^∞等。
这些极限式子看似无解，但实际上有很多方法可以求解它们。
1. 利用洛必达法则洛必达法则是求解未定式的一种常用方法，它指的是对于形如0/0或∞/∞的未定式，可以先对函数分子和函数分母求导数，然后再求原函数的极限，如此多次运用直到极限存在或无限趋近于某个值为止。
例如，求解lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]，此时x-1=0，x^2-1=0，因此可得到0/0的未定式。
此时应该对分子和分母分别求导数，得到lim(x→1)[(2x)/(1)]=2。
因此，这个极限等于2。
2. 利用泰勒公式泰勒公式是将函数表示成幂级数的公式，可以用来求解一些未定式的极限。
通过将函数展开成泰勒级数，可以将函数的极限转化为级数的极限，从而进行求解。
3. 化为指数函数的形式对于一些形如0^0、∞^0、1^∞的未定式，可以将它们化为指数函数的形式，然后再求解。
其中，化为指数函数的形式通常需要利用对数运算。
例如，求解lim(x→0) [(1+x)^(1/x)]，此时1^∞是一个未定式。
通过取自然对数ln，可得到ln(lim(x→0) [(1+x)^(1/x)])=lim(x→0)ln[(1+x)^(1/x)]。
根据对数运算法则，可将指数函数拆为自然对数函数，得到lim(x→0) [ln(1+x)/x]。
因为此时0/0是一个未定式，可以使用洛必达法则。
对分子和分母同时求导数，得到lim(x→0) [1/(1+x)] = 1。
因此，原极限等于e^1，即e。
4. 利用换元法换元法是求解一些未知式子的常用方法，它通常能够将未定式转化为已知的极限式子，从而进行求解。
5. 利用等价无穷小量法6. 利用夹逼定理夹逼定理是一种求解极限的方法，它通常用于一些难以直接求解的未定式，夹逼定理是通过夹逼一个已知的极限式子，使得我们能够推导出原未知式子的极限。
无穷小的性质
无穷小的性质无穷小是数学中一个非常重要的概念，在微积分学和数学分析中有着广泛的应用。
本文旨在探讨无穷小的性质，包括其定义、性质、和一些重要的定理和应用。
一、无穷小的定义无穷小是指在某一极限过程中，某一变量趋于零的函数。
也就是说，如果一个函数f(x)在x趋于某一点时，满足f(x)除以一个任意小的数ε的绝对值都能趋近于0，那么这个函数就是无穷小。
简单来说，无穷小就是比任意小的正数还要小的函数。
二、无穷小的性质1. 加减性：若f(x)和g(x)都是无穷小，那么f(x)±g(x)也是无穷小。
这个性质比较显然，可以通过无穷小的定义证明。
2. 乘法性：若f(x)是无穷小，g(x)是有界函数，那么f(x)g(x)也是无穷小。
这个性质也是比较显然的，因为有界函数一定小于某一个数，而零乘以任意数都等于零。
3. 极限不变性：若f(x)是无穷小，那么对于f(x)的任意一个有限次幂、指数函数、三角函数、反三角函数等等，其在极限中所取的值是不变的。
4. 强弱性：若f(x)和g(x)都是无穷小，且f(x)比g(x)更快地趋近于零，那么g(x)可以表示为f(x)的一个阶的乘积。
5. 欧拉公式：若f(x)是无穷小，那么$e^{f(x)}$-1是一个与f(x)同阶无穷小。
三、无穷小的定理及应用1. 泰勒公式：如果一个函数f(x)在某个区间内有无限阶导数，那么它可以展开成一个幂级数，这个级数就是泰勒级数。
泰勒级数用于近似计算函数值，从而简化数学问题。
2. 洛必达法则：如果对于两个连续可导函数f(x)和g(x)，当x 趋近于某个数时，分子和分母都趋近于零，那么这个极限的值等于f(x)和g(x)的导数的极限值的商。
洛必达法则可以简化一些复杂的极限计算。
3. 斯托尔茨定理：如果一个函数f(x)和g(x)在一个区间上都可导，g(x)在该区间上的导数不为零，并且$\lim_{x→+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$，那么$\lim_{x→+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。
洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则与泰勒公式例1 设()f x 在(,)a b 内可导，且()f x '单调，求证：()f x '在(,)a b 内连续。
例2 （1）设()f x 在[,)a +∞上有界，()f x '存在，且lim ()x f x b →+∞'=，求证：0b =。
（2）设()f x 在[,)a +∞上有界，()f x '存在，且lim ()0x f x →+∞=，是否一定有lim ()0x f x →+∞'=。
如果是，证明你的结论，如果不是，举出反例。
例3 设()(,)f x C a b ∈，()f x '在(,)a b 内除点0x 外都存在，且0lim ()x x f x +→'存在，求证：0()f x +'存在，且00()lim ()x x f x f x ++→''=。
例4 求极限21lim (1)x xx e x-→+∞+例5 设()f x 一阶可导，且0()f x ''存在，求证：00002(2)2()()lim()h f x h f x h f x f x h→+-++''=例6 求132lim [()2x x x x x e →+∞-+例7 求证：（1）n N ∀∈，(0,1)n θ∃∈，使得11112!!(1)!ne e n n θ=++++++（2）e 是无理数例8 设()f x 在[0,1]上有二阶导数，|()|f x a ≤，|()|f x b ''≤，其中,a b 是非负数。
求证：对一切(0,1)c ∈，有|()|22bf c a '≤+例9 设()f x 在R 上二次可微，且x R ∀∈，有02|()|,|()|f x M f x M ''≤≤， （1）写出(),()f x h f x h +-关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式； （2）求证：0h ∀>，有02|()|2M hM f x h '≤+；（3）求证：|()|f x '≤习题1. 设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim [()()]x f x xf x l →+∞'+=，求证：lim ()x f x l →+∞=2. 设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0f f f '-===。
高等数学 泰勒公式
x 1 例：计算 lim ( ) x 1 x 1 ln x
f ( x ) f (0) f (0) x
f (0) 2 x 2! (n) f ( 0) n x Rn ( x ) n!
( x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)! f
( n 1 )
f
( n)
( x) e .
2
x
f ( n 1 ) ( x ) e x
( x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)! f
( n 1 )
1 3 sin x 0 x 0 x x 0 x 4 3! 1 5 1 7 x 0 x6 x 5! 7! ( 1)m 1 2 m 1 2m x 0 x R2 m ( x ) ( 2m 1)!
( 在x0与x之间) 拉格朗日中值公式.
2. Rn ( x ) o[( x x0 ) ].
n
佩亚诺型余项
Rn ( x ) lim n ? 0 x x ( x x ) 0
0
函数f(x)按x―x0的幂 展开的n阶泰勒公式： f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
( 在 x0与x 之间) 1 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 ) 2!
洛必达法则、泰勒公式第11课
arctan x
例 3 求 lim 2
．
x
1
x
解
arctan x
lim 2
x
1
x
lim
1
1 x
2
x
1 x2
x2
lim x 1
x2
1．
例4
求
lim
x
ln x x2
．
解
lim
x
ln x x2
lim
x
1 2x2
0．
例 5 求 lim x2 ． e x x
解
x2
lim
x
ex
lim
x
2x ex
例2
求
lim
x2
x3 x3
12 x 2x2
16 4x
8
．
2
11 洛必达法则、泰勒公式 第
课
解 lim x3 12x 16 lim 3x2 12 lim 6x 3 ． x2 x3 2x2 4x 8 x2 3x2 4x 4 x2 6x 4 2
注意，上式中的 lim 6x 已不是未定式，不能继续应用洛必 x2 6x 4
（3） lim F(x) 存在（或为 ）． xx0 G(x)
那么
lim F(x) lim F(x) ． xx0 G(x) xx0 G(x)
例 1 求 lim sin ax (b 0) ． x0 sin bx
解 lim sin ax lim a cos ax a ． x0 sin bx x0 b cosbx b
大量之商的极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未 定式，简记为 0 和 ．洛必达法则是处理未定式极限的重要
0 工具，是计算 0 型、 型及其他类型未定式极限的简单而有
无穷减无穷的极限四种解法
无穷减无穷的极限四种解法无穷减无穷的极限是数学分析中的一个重要概念，也是许多学生在学习数学时遇到的难点。
在处理这种问题时，有多种解法可供选择，本文将介绍其中的四种解法。
一、直接运用极限的定义在处理无穷减无穷的极限时，可以直接运用极限的定义来求解。
设有两个数列$a_n$和$b_n$，其中$a_n$和$b_n$都趋近于无穷大。
则当$a_n-b_n$趋近于零时，即$lim_{ntoinfty}(a_n-b_n)=0$时，$a_n$与$b_n$的差就是无穷减无穷的极限。
例如，当$n$趋近于无穷大时，数列$sqrt{n+1}$和$sqrt{n}$都趋近于无穷大。
因此，$lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n})$就是无穷减无穷的极限。
根据极限的定义，可以将$sqrt{n+1}-sqrt{n}$转化为$frac{(sqrt{n+1}-sqrt{n})(sqrt{n+1}+sqrt{n})}{sqrt{n+1}+sqr t{n}}$，进而得到：$$begin{aligned}lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) &=lim_{ntoinfty}frac{(sqrt{n+1})^2-(sqrt{n})^2}{sqrt{n+1}+sqr t{n}}&= lim_{ntoinfty}frac{n+1-n}{sqrt{n+1}+sqrt{n}}&= lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt{n+1}+sqrt{n}}&= 0end{aligned}$$因此，$lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n})=0$，即$sqrt{n+1}-sqrt{n}$趋近于零。
二、使用夹逼定理夹逼定理也是求解无穷减无穷的极限的一种有效方法。
夹逼定理指出，如果存在两个数列$c_n$和$d_n$，满足$c_nleq a_n-b_nleq d_n$，并且$lim_{ntoinfty}c_n=lim_{ntoinfty}d_n=L$，则$lim_{ntoinfty}(a_n-b_n)=L$。
洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则与泰勒公式一、洛必达法则 定义：若函数和满足下列条件： ⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞或），则适用对象：，型未定式。
（其它类型未定式：，，，，等，可通过简单变换而转化为，型未定式。
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Ces àrotheorem ）作为替代。
求极限. 1ln lim 1+--→x x x x x x求极限求极限求极限211)1(ln lim 111)1(ln lim 2211-=-++=--+=→→x xx x x xx x xx x x x 解：.1lim21100x x ex-→0!50lim 50lim lim lim ,1t t 49t 50t 50t 2=====+∞→=+∞→+∞→+∞→-+∞→t t t tee t e t e t x则原式可化为解：令.)4cos 2(sin lim x x xx +→∞2001)14cos 2(sin 010)1(2)4sin 42cos 2(lim 14cos 2sin lim lim )4cos 2(sin lim 13(,01e t tt t et t e u x t t t tt t t tt v u v ==-=-+=+==→=→→-+→→-故原式又因为原式种方法）得见求极限的则由公式解：令.cos sin 1lim 20x x xx -+→二、泰勒公式泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心注：对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小替34cos 24lim sin 24lim cos 12lim cos sin 1cos sin 1lim0022020=+=+=-+=-+++=→→→→x x x xx x x x x x x x x x x x x x ）（解：原式)0(→x )(!2)1(1)1()(!31!211)(3121)1ln()(31arctan )(61arcsin )(31tan )(!41!211cos )(61sin 2233233233333344233x o x x x x o x x x e x o x x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x+-++=+++++=++-=++-=++=++=++-=+-=αααα换式：如求极限 解：原式原式又即原式求极限. 解：等（，（同理有（，则如),061~arcsin )031~tan )061~sin )(61sin 33333→-→-→-+=-x x x x x x x x x x x x x o x x x .)1tan (lim 2n n nn →∞01,lim 1tanln 2→==∞→nt e nn n n 令3tan 21tan 2lim lim lim tan lnt t t t t teee n n t t tn --∞→∞→∞→===)(31tan 33t o t t t ++=31)(31lim tan lim 333=-++=-∞→∞→t tt o t t t t t n n 31=)]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→)()(21)1ln(2x o ax ax ax +-=+求极限 解令利用展开式可得故原式= 求极限 解：方法一；洛必达法则21)2121(lim ))]()(21)(1([lim )]1ln()1([lim 24302220220=-+=+---=+--=→→→x a a x a x o ax ax a x x a ax a x x a x x x 原式)(lim 656656x x x x x --++∞→故时，于是，当,0t x ,1+→+∞→=tx ])1()1[(t1)(6161656656t t x x x x --+=--+)(1)1(t o t t ++=+αα)(611)1(),(611)1(6161t o t t t o t t +-=-++=+31)(31lim ])1()1[(t 1lim 061610=+=--+==→→t t o t t t t t .)1ln(sin 1tan 1lim 20xx x xx x -++-+→方法二；泰勒公式2121lim )111(2lim ))1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 0020020-=-+=-+=-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→xx x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 原式21)(21(221lim))(21(221lim)(21)1ln())1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 222022202220020-=+-=-+-=+-=+-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→）原式得由原式x o x x x x o x x x x o x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x上篇练习题答案讲解1、求极限 解：方法一；洛必达法则方法二；利用公式求极限 解求极限.,,2,1i ,0,)(lim i 21n a na a a xnx nx x n =>+++∞→其中nx nx x nxn x x n xn x x n xn x nx xn a a a a a a a a a a a a n na a a x n n a a a 212122112121}ln ln ln lim exp{)}ln(lim exp{)(lim =++++++⋅=+++=+++→∞→∞→∞型）∞-=1}()1ex p{(v u u v nn xn x x n x nxx n xn xnxx n a a a a a a x na a a xnn a a a n a a a 2121212121}exp{ln }lim exp{)1(lim exp{)(lim ==-+++=-+++=+++∞→∞→∞→.)111(lim 2nn nn ++∞→.)}1n 1(lim exp{原式＝2en n n =+⋅∞→.,,,,lim 1均为正整数其中q p n m xx x x qpn mx --→解：)()(11111111lim lim lim 111111111111111p q mn m n pq qp n m xq x p xn x m x x x x x x x x q p n m x qpnm x q p n mx --=--=--=--=------→→→。
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第三章微分中值定理与导数的应用第二讲洛必达法则泰勒公式目的1.使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法：2.理解泰勒中值泄理的涵：3.了解汽沏&c。
畀血("力,(1 +汙等函数的麦克劳林公式；4.学会泰勒中值定理的一些简单应用.重点1.运用洛必达法则求各种类型未泄式极限的方法：2.使学生理解泰勒中值定理的涵.难点使学生深刻理解泰勒中值左理的精髓.一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为0和8 •由于在讨论上述未圮式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未立式极限的讨论带来一是的困难•今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的汁算方法，并着重讨论当2CI时，0型未左式极限的计算，关于这种情形有以下立理.定理1设(1)当时,函数了⑴及列对都若于零；⑵在点金的某去心邻域，/⑴及^⑴都存在，且那⑴吐°；也就是说，当zR⑴存在时，2。
去⑴也存在，且等于M也是无穷大.这种在一左条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确圧未左式极限的方法称为洛必达（L‘ Hospita 1）法则.下而我们给出定理1的严格证明：分析由于上述泄理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值立理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.于是由条件⑴和⑵知，/⑴及应⑴在点虫的某一邻域是连续的.设兀是这邻域一点，则在以兀及山为端点的区间上，函数/〔X）和F&）满足柯西中值龙理的条件，因此在兀和a之间至少存在一点密，使得等式儿）川）-畑「心）应G）吩）-吒）应⑱（站兀与么之间）成立.对上式两端求兀To时的极限，注意到XTQ时匸则穷大时,证因为求极限与了⑷及用⑷的取值无关，所以可以假左lim又因为极限F'G）存在（或为无穷大），所以故沱理1成立.lim注若zm 0 ,,戸倉）仍为6型未左式，且此时了抵）和用,⑴能满足泄理1中/⑴和用⑴5F〔X)所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确立从而确总z F ⑴ z F 总）z F （X ）且这种情况可以继续依此类推.分析当兀TO 时，分子分母的极限皆为零，故属于6型不定式，可考虑应用洛必达法曲土二曲鉛单二曲土“ 解宀° sin x ® 伽 * z cos x&x +&~y注最后一个求极限的函数COSX 在X = 0处是连续的.注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.x- sin xsin x 16x 6例 1 求 3° sin xlim例2求3°X 3（兀-1）宀[仗-] 7（" 1）[2x （z -1）72例3求解注（1）在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子点，则任应用洛必达法则时需要 汁算导数L 斥（*一4）］,从而使运算复杂化.因此，任应用洛必达法则求极限时，特别要注 意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得 到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10 .r 2" In 2lim ---------（2）例4中的极限宀2 2x 已不是未左式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致 错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未泄式，不能应用洛必达法则.对于X T3时的未泄式6有以下泄理.定理2设⑴当x s 时，函数了〔X ）及尺匕）都趋于零； ⑵当H N时，/⑴与廿⑴都存在，且F W*°；同样地，对于2。
（或XT3）时的未左式8,也有相应的洛必达法则. 定理3设⑴当XK （或X^OD ）时，函数了及月匕丿都趋于无穷大；（2）在点2的某去心邻域（或当切＞"时）.八力及貳⑴都存在，且片⑺"；In x lim例5求心如F存在（或为无穷大）•XT(L(3) E)存在（或为无穷大儿S>0)1-需KT8 $ ㈡v In7 1 &lim ----- = lim —= lim -------------- = 0“P £KT 代旳才―lim ^―@为正整数以＞ 0）例6求0事实上，例6中的M 不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当兀T+＜0时，函数111兀、疋（n ＞0^ B 口＞°）都是无穷 大，但三个函数增大的“速度”是不一样的.戶 亿‘°）最快，其次是/依＞°）,最慢 的是血心0 QD除了 6和丛型未左式外，还有0. CO,03-03,0° 3r,00°型的未圧式.这些未龙式可转化0 8为6或0□型的未左式来讣算，下面我们通过实例来加以说明.0Da 型未立式去汁算.lim (sec z - tan A 例8求心号lim 才In x= lim 巴二 lim In 尤=limKT O 4" 1 ?r->0+ ?r->0+1因为於， lnx .-In Ax"lim lim —— _?r->0+ 100心旷10 0而 於是8型未左式， b 汇是0型未定式，所以0・a 型未龙式可以转化为0或分析因为鞍M =°所以賂X°）是0・°°型未定式.又lim ]n x =1In x=lim ?r->+v心-1）严=0lim in x 二-03x->04ZTT&«!lim sec = co lim tan. A = co Em (sec z - tan A)分析因为心号「X ，所以心号是8 — 8型未立式•又因为lim (sec 石-1an x) = lim f2号r 1 - sin A 0 0lim ---------- ——而心奇COSX是0型未立式，所以上述W-W型未左式可以转化为0型未立式来讣算.r ( 、1 _ $in 不，.co$ 入门lim l^sec x-tan x^= lim ------------- = lim —----- = 0解XT■专KT■专COSA sin x注讨论CO-OD型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论.lim x 例9求2旷lim x= 02 —个幫指函数求极限的问题，由于"屮lim x ' &,所以心旷是一个0型未定式.又因为而鴨也"是0心型未定式,0 OD所以上述o°型未左式可以转化为6或o□型未左式来汁算.(2 Alim — arc tan x0 丿lim -arctan^ = l 応広=血分析由于iZ/ 2 Ylim — arctan z丿是一个严型未泄r(2 >lim I — arctan x咒丿0 OD-r-«y-»-KD而丿是° •⑷型未左式，所以上述严型未左式可以转化为°或8型未左式来讣算.r(2 )lim — arctan x解兀/由于1 sin. x1- sm x=lim ------------2% cosx? 21lim例11求心&lim 石=4OD lim _ 二 0limo分析 由于心我，,所以心&是一个°3型未左式.又因为丄lim 抄 丁 -lim 尤不=总归协・ 曲—lnx 0 —心如 ，而是0・3型未泄式，所以上述⑷卩型未泄式可以转化为o或8型未定式来计算.z lim 扫lim =&^' 解xg由于r 1.r Inx .. 1lim —In A = lim -------- = lim — ★今2 X #T4<o x x所以030・CO ,（A19 >ra°型未左式向6或启型未立式的转化可形式地表示为:0 - co =0 00- co8 0D丁二10303或90° = 」lnOe= /9二戶（或历）;9r = 严】=1 严二戶 （或紀所以 lim xln XT ■母 2—arctan x JTlimlim (2—arctan z5—=lim -1+ x 2) arctan x 兀00°之°皿二尹9 =/（或戶）.最后我们指出，洛必达法则是求未泄式极限的一种方法.当泄理的条件满足时，所求的 极限当然存在（或为8），但当左理的条件不满足时，所求极限不一立不存在.也就是说，r /'Mr /Wlim —ryr lifU —当（KT8） 不存在时（无穷大的情况除外）、仍可能存在，见下而的例题.V A4-sin Alim -----------例12求心9 x ・03解这是一个0□型未立式，我们有r x+sin x lim- = r (x+sin x) r 1 + cosx lim -——~~— = limr 1 + COSAR A4-sin Alim -----------lim ------------由于上式右端极限29 1 不存在，所以未泄式29 X 的极限不能用洛必达法则lim+ sin A去求，但不能据此断怎极限29 X不存在.这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限.A 4-sin A〈sm Alim --------- 一 =lim 1 + 二 14-0=1 i A XT9 < x 丿x + sin xlim --------------由此可见极限29 X 是存在的. 二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方 法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说 到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数 都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似汁算中讨论过.设函数 了匕）在％点的某个邻域可导，且7［心）工0,则在该邻域/G ）爲（％） + /让）0_兀0）用上述b -心）的一次多项式去近似表达函数/（X ）存在两点不足：（1）精确度不高，它所产生的误差仅是比b-勺）髙阶的无穷小： （2）用它做近似计算时，不能具体估算岀误差大小.因此，在一些精度要求较髙且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的.这时我们就想，是否可以找到一个关于（"忌）的更高次多项式去近似地表达函数/⑴，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数/（X）在含有％的某个开区间具有直到力+1阶的导数，并设用于近似表达函数了⑴的多项式为P血）二吗+勺（—％）+勺0—对冉勺广（1）既然我们要用久⑴去近似地表达了⑴，自然要求久⑴在可处的函数值及它的直到襁阶的导数在勺处的值依次与/仇），广（心），・・・，/叫厲）相等，即...,卅（勺）二严）（心）.这样我们就得到了如下刀+i个等式2q =/”比）,...,灯耳二严Go）,即…广比）厲一严）阳宓二川心）r严广亿），勺=丁\ ...「厂将所求得的多项式久⑴的系数％,勺，…，外代入⑴式，得（2）下而的泰勒（Taylor）中值左理告诉我们，多项式（2）就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f （x）,其误差的确变小了.泰勒中值定理若函数f（x）在含有X。