逆推法
逆向推理法
逆向推理法在写作文时，我们往往会把一件事情反过来想想，这样会让你有很大的收获，如果只是顺着思路写，反而会漏掉好多。
下面我就给大家介绍几种常用的逆向推理法：逆推法就是把文章从头至尾读一遍，把不懂的、疑难的地方找出来，做上记号，再仔细阅读分析，看哪些地方能得到解决。
反推法就是从结果倒着推回原因，又从原因倒着推回结果。
如：《我最敬佩的一个人》：人们都说我们的总理周恩来敬爱老一代革命家朱德和贺龙元帅，但我却更敬爱周总理。
我问妈妈为什么？妈妈说：“这还不简单吗，别人夸自己的孩子都是怎么说的，你也可以照着这么说呀！”这就是逆向推理法，这样可以帮助我们弄清文章的思路，使文章的脉络更加清晰，不仅要看开头和结尾，中间的内容也要留心，可以把它叫做三段式作文法，也是很常用的一种写作方法，既保证了文章的完整性，又便于我们理解文章。
我们先分析第二段，第二段主要讲了总理身边的一位女护士，我们不难发现其实总理是被她所感动，所以他才敬佩她，接着读一读后面的内容，第二段讲述了这位女护士为何成为总理的特护，就是因为她在关键时刻挺身而出，抢救了总理，就连医生也说，这样的场景很少见。
根据反推法可知：原因是那位女护士救了总理。
因此答案也就呼之欲出，就是她在关键时刻救了总理。
这样我们又把文章的第三段补充完整了。
有些同学在写文章的时候喜欢随意地将文章中的内容复制粘贴，不加任何修改，这样文章就失去了原汁原味。
我们必须对文章中的语句进行精心地修改，力求通顺连贯、精彩到位。
这样文章的结构就会更加合理，同时也体现了考生良好的语言运用能力。
大家要注意修改文章中的病句，包括用词不当，搭配不当等，这样才能达到语言优美，准确流畅的效果。
还要养成修改习惯，坚持每写完一篇文章都要自己检查一遍，不断提高文章的质量。
这种逆向推理法其实在日常生活中无处不在，如我们看一本书，如果用顺序法，一页一页地看，那就无法了解全书的内容了，如果按逆向推理法来看，就可以迅速地了解全书的内容，而且从中悟出许多道理。
用逆推法解题
用逆推法解题用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()10735?12+-?÷??→??→??→??→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少解：12560 60320 20727 271017?=÷=+=-= 答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-?= 921269206-= 92065109256+?= 答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316-=（本）166814+-=（本）+=（本）16610÷=（本）16824答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
逆推法
逆推法同学们在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。
有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。
由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。
其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，这样，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？思路分析：因为细菌每小时增长1倍。
10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。
算式：100118-+=()（小时）答：增长到100万个时需要8小时。
例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。
他们原来各有课外书多少本？思路分析：四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120430÷=（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。
算式：120430÷=（本）丁原有的本数：306531+-=（本）丙原有的本数：305431+-=（本）乙原有的本数：304331+-=（本）甲原有的本数：303627+-=（本）答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。
例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。
逆推法在数学解题中的应用
解析： 本题要是从1到100这些自然数中找出10个数的倒数试着加费力
费时，还不一定计算的正确，如果采用逆推法解题就轻松得多。
•
1= 1-
1 2
+
1-1
23
+1
3
-
1 4
+
1 4
-
1+
5
1-
5
1 6
+
...
• =（1 - 1）+（1
银行里取出了 350 元，因此还要逆推一步。 • 逆推第三步： • 妈妈从银行里取出 350 元之前是多少元？就是原有存款数。 • 用加法计算得：1450＋ 350＝ 1800（元） • 列综合式计算：1200＋400－150＋350 • ＝ 1600— 150＋350 • ＝ 1450＋ 350＝1800（元） • 答：妈妈在银行里原有存款是 1800 元。
练习题
• 1．一桶油，第一次倒出 12 公斤后，倒进 15 公斤；第二次倒出 20 公斤，桶里还有 18 公斤。这桶油原有多少公斤？
• 2 .一筐水果,卖出42 斤后,又卖出余下的 1 ,这时筐里还有15斤,这
筐水果原有多少斤？
4
2 6 12 30 42 56 72 90 10
→例2：上月，妈妈从银行里取出存款 350 元，本月中旬存入 150 元。本月下旬，又取出 400 元，这样在银行里还有存款 1200 元。 问妈妈在银行里原有存款多少元？
• 解析： • 本题“在银行里原有存款虚”是原数。 • 该原数根据题意，经过了三次变化。 • 第一次变化，是上月从“原存款中取出 350 元； • 第二次变化：是本月中旬存入了 150 元； • 第三次变化：是本月下旬又取出了 400 元。 • 原数是经过这三次变化，才是 1200 元的。
解题方法与技巧之逆推法_
（一）从结果出发逐步逆推 例 1 一个数除以 4，再乘以 2，得 16，求这个数。（适于三年级程度） 解：由最后再乘以 2 得 16，可看出，在没乘以 2 之前的数是：
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
解题方法与技巧之逆推法
小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋 友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口 返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果 出 发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
答略。
例 5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多 30 吨，第二次取出余下 的一半少 100 吨，第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨。这批化肥原来是多少吨？（适于 四年级程度）
解：从“第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化 肥：
1500+610=2110（千克） 在没运进 720 千克之前，粮库里有大米：
2110-720=1390（千克） 在没运走 450 千克之前，粮库里有大米：
1390+450=1840（千克） 答：粮库里原来有大米 1840 千克。
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
1
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
例 3 某数加上 9 后，再乘以 9，然后减去 9，最后再除以 9，得 9。问这个数原来是 多少？（适于三年级程度）
17、逆推法
逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。
有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。
由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。
（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。
*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走6 10千克，粮库现有大米1500千克。
问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米：1500+610=2110（千克）在没运进720千克之前，粮库里有大米：2110-720=1390（千克）在没运走450千克之前，粮库里有大米：1390+450=1840（千克）答：粮库里原来有大米1840千克。
*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。
问这个数原来是多少？（适于四年级程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：9×9=81在减去9之前的数是：81+9=90在乘以9之前的数是：90÷9=10在加上9之前，原来的数是：10-9=1答：这个数原来是1。
*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。
逆推法例题
逆推法例题（原创版）目录1.逆推法的概念和基本原理2.逆推法的解题步骤3.逆推法在实际问题中的应用4.逆推法的优点和局限性正文一、逆推法的概念和基本原理逆推法，顾名思义，是一种从结果出发，逆向推导出过程或原因的解题方法。
在数学、物理、化学等自然科学领域中，逆推法被广泛应用。
它的基本原理是：已知某个问题的结果，通过分析结果产生的原因或条件，从而找到解决问题的方法。
二、逆推法的解题步骤1.确定题目所给条件：首先要对题目进行仔细阅读，了解题目所描述的问题，明确题目所给出的已知条件。
2.分析题目要求：根据题目要求，明确需要求解的问题，并思考如何通过已知条件来解决这个问题。
3.逆向推导：从题目所求的问题出发，沿着思路逆向推导，逐步分析问题产生的原因或条件，直到找到解决问题的方法。
4.验证答案：将推导出的答案代入原题中，验证答案是否符合题意，以确保解题正确。
三、逆推法在实际问题中的应用逆推法在解决实际问题中具有很高的实用价值。
例如，在物理学中，当我们需要求解一个物体在给定力的作用下的运动状态时，可以先根据物体的运动状态，逆向推导出物体所受到的力的大小和方向；在数学中，逆推法可以帮助我们求解复杂的组合问题，如排列组合、概率等问题。
四、逆推法的优点和局限性逆推法的优点在于它能帮助我们快速找到解决问题的方法，尤其在面对复杂问题时，逆推法能够化繁为简，使得问题变得容易解决。
然而，逆推法也有其局限性，那就是它要求解题者具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力。
对于一些问题，逆推法可能无法直接找到答案，这时需要结合其他解题方法，如正向推导法、归纳法等，共同解决问题。
总之，逆推法是一种有效的解题方法，通过从结果出发，逆向推导出过程或原因，帮助我们快速找到解决问题的方法。
算术技巧：逆推法
有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。
这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。
有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。
公考考试中经常会出现这样一类题，题目形式如下：A、B、C三堆货物，从A中取出一部分给B，再从B中取出一部分给C，然后再从C中取出一部分给A。
已知经过变换后A、B、C的数量，求变换前A、B、C的数量。
对于这类题，运用常规方法列出三元一次方程求解固然可以求出数值，但通常运算量很大，耗时长且易出错，也违背了出题人的本意。
数量关系中一般不会出太繁琐的运算，看似复杂的题目一般都有简捷的方法。
解这类题常用的方法就是逆推法。
下面我们就通过下面几道例题看一下逆推法的应用。
例1：有砖26块，兄弟两人争着挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了，哥哥看弟弟挑太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，问最初弟弟挑多少块?( )A. 14B.16C.18D.20----‘2008年河北省招警考试’【解析】B。
哥哥挑了(26+2)÷2=14块，弟弟是26-14=12块。
逆推：(1)哥哥还给弟弟5块，则哥哥是14-5=9块，弟弟是12+5=17块;(2)弟弟抢走哥哥的一半，抢走了一半，则剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18块，弟弟是17-9=8块;(3)哥哥抢走弟弟的一半，则弟弟原来就是8+8=16块。
故本题正确答案为B。
例2：甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。
用逆推法解题
用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()10735?12+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少 解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-=答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯= 答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？ 分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316-=（本）166814+-=（本）+=（本）16610÷=（本）16824答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
倒推法
自 我 检 测
独立完成练习三十九 4、5
例3、小虎做一道减法题时,把被减数 十位上的6错看成9,减数个位上的9错 写成6,最后所得的差是577，这道题 的正确答案是多少？ 思考： 1、被减数十位上的6错看成9,结果会 怎样？ 2、减数个位上的9错写成6,结果会怎 样？
练习：
小亮在做一道减法算式时，把减数 个位上的1看成7，把减数十位上的 7看成1，结果得出差是111，求正 确的答案。
练习： 1、修一段公路，第一天修了全路的 一半多2千米，第二天修了余下的一 半少1千米，这时还剩下20千米没有 修，这条公路有多长？
练习：
2、百货商店出售彩色电视机，上 午售出总数的一半多20台，下午售 出剩下的一半多15台，还剩75台。 店里原有彩色电视机多少台？
练习：
3、有若干吨煤，第一次用去了一 半多2吨，后买进4吨；第二次又用 去一半，接着又买进3吨，这时还 剩15吨。原有煤多少吨？
例1、王老师说：“把我的年龄减去 2，除以5加上8，乘6正好是72.” 同学们，你能推算出王老师今年多 大吗？
倒 推 法
倒推法又称逆推法，也叫还原法，是 一种常见的思考方法。它是从问题的最后 结果出发，一步一步倒着推，最后得出所 求答案。 两个相反：1、运算次序与原来相反 2、运算方法与原来相反。
练习： 1、某数加上6，乘以6，减去6，除以6， 其结果等于6，则这个数是多少？ 2、 小玲问一老爷爷今年多大年龄，老爷 爷说：“把我的年龄加上17后用4除，再 减去15后用10乘，恰好是100岁”那么， 这位老爷爷今年多少岁？
自 我 检 测
独立完成练习三十九 1、2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2、电工组买来一捆电线,工人们第 一天用去全长的一半多5米，第二天 用去余下的一半少8米，第三天用去 14米，最后还剩10米，这捆电线原来 有多长？
初中物理思维方法大全——方法2逆推法
初中物理思维方法大全——方法2逆推法逆推法是一种常用的物理思维方法，它可以帮助我们从目标状态出发，逆向思考，找出达成目标所需的先决条件和过程。
下面是一个关于使用逆推法解决问题的例子：假设我们需要在实验室里进行一个物理实验，目标是测量一根杆的长度。
但是我们没有一把足够长的尺子来进行测量，该如何解决这个问题呢？首先，我们可以从目标状态出发，即测量杆的长度。
测量杆的长度一般可以使用尺子、卡尺等工具，但这里没有足够长的尺子可用。
接着，我们可以思考逆向的过程，即如果有一把足够长的尺子，我们将如何测量杆的长度呢？首先，我们可以将尺子的一端放在杆的一端，然后逐渐移动尺子的另一端，直到它触碰到杆的另一端。
这样，我们就可以读取尺子上的刻度，进而得到杆的长度。
但问题是没有足够长的尺子可用，那我们是否可以找到其他的方法呢？我们可以想到使用其他长度已知的物体来测量杆的长度。
比如，如果我们有一个已知长度的标准尺子，我们可以将它和杆平行并且紧贴在一起，然后逐渐向右滑动标准尺子，直到它完全覆盖住杆。
这时，我们就可以读取标准尺子上的刻度，进而得到杆的长度。
如果我们没有标准尺子，我们还可以考虑其他方法，比如使用已知长度的线段。
我们可以将线段和杆平行并且紧贴在一起，然后逐渐向右滑动线段，直到它完全覆盖住杆。
同样地，我们可以读取线段上的刻度，进而得到杆的长度。
综上所述，通过逆推法，我们可以得出测量杆长度的方法：使用一个已知长度的物体（如尺子、线段等），通过比较长度来间接测量杆的长度。
逆推法在物理学中有广泛的应用，比如解决问题、推导公式、研究物理实验等。
通过逆推法，我们可以从目标出发，逆向思考，找出问题的解决方法，从而提高问题解决的效率和质量。
掌握逆推法可以帮助我们更好地理解物理概念和现象，提高物理学习的效果。
因此，在学习物理时，我们应该灵活运用逆推法，培养逆向思维的能力，不断拓展我们的物理思维。
逆推法解题
2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果 等于36，求这个数。
３.有一个数，把它乘以4以后减去 46，再把所得的差除以3，然后减 去10，最后得4。问：这个数是几？
这个问题是由（□×4-46）÷3-10＝4， 求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去 10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后 不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘 以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。 答：这个数是22。
对于A、B、C三个数，显然先算C， C=80÷4=20；再算B，B=20×20=400；最 后算A，A=400－50=350。列综合算式为： 80÷4×20－50=20×20－50=400－50=350
加减互换， 乘除互换
练一练
1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14， 其结果等于26，这个数是多少？
专题五十六
逆推法解题
L/O/G/O
由结果往前推算的顺序来解答问题的方法 叫做逆推法,又叫还原法。解答这类问题的 一般规律是：原来是加，倒退为减；原来 是减，倒退为加；原来是乘，倒退为除； 原来是除，倒退为乘。例如：一个数加上 2，减去3，乘以4，除以5等于12，求这个 数。我们通常用逆推法来解这类题目。
经典例题
【例题】在算式（□+50）÷20×4=80中，□处应填 几？ 按照题目的运算顺序应该先算括号中的加法， 再算括号外的除法，最后算乘法。按此运算规律， 可将题目表示为如下计算流程算 图：
思 路 点 拨
题目要求方格中的数，就是求第一个方格 中的数，为了便于表述，我们用字母A、 B、C分别表示三个方格中的数，如下图 所示。
魔法数学，魔在教学，法在解题
初中数学重点梳理：逆推法
逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用。
解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。
顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。
知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时， 则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： 相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ， 有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2， 根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。
第11讲：逆推法
小亮拿着1包糖，遇见好朋友 A，分给了他一半;过一会又遇见 好朋友B，把剩下的糖的一半分 给了他;后来又遇到了好朋友C， 把这时手中所剩下的糖的一半又 分给了C，这时他自己手里只有 一块了.问在没有分给A以前，小 亮那包糖有几块?
小亮未给小朋友前，那包糖应有8块
农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半
又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1 个，这时篮中还剩1个.问原来篮中有 蛋几个?
[(某数+6)×6-6]÷6=6…顺序式 (6×6+6)÷6-6=某数…逆序式
经计算可知“某数”=1.
小勇拿了妈妈给的零花钱去买
东西.他先用这些钱的一半买了玩 具，之后又买了1元5角钱的小人 书，最后还剩下3角钱.你知道妈 妈给小勇多少钱吗?
解：可以这样倒着想：小勇最后剩 下3角钱，在买书之前的钱应是3角 +1元5角=1元8角.这个数目是他买 玩具后剩下的，买玩具前的钱数应 当是：1元8角×2=3元6角.这就是 妈妈给他的钱数.
逆推：篮中最后(即第二次卖后)剩1个; 第二次卖前篮中有(1+1)×2=4个; 第一次卖前篮中有(4+1)×2=10个; 即篮中有10个蛋.
逆序推理法
逆序推理法，也叫逆推法或倒推 法.简单说，就是调过头来往回想.
老师心中想了一个数，对他的
学生说：“给这个数加上9，再取 和的一半应是5.”他叫学生们把这 个数算出来.你会算吗?
某数加上6，乘以6，减去6，除 以6，最后结果写出顺序式，再接 着写出逆序式，
逆推与图示整理
逆推与图示引入：张老师说；“把我的年龄数减去8，除以5，加上8，再乘6，正好是72.”同学们，你能推算出张老师今年多大吗？【知识要点】1、必要知识储备。
运用“逆推法”解决问题要以四则运算中加减乘除的各部分之间的关系为知识基础。
加数＋加数=和 =〉一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差 =〉被减数=减数＋差因数×因数=积 =〉一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商 =〉被除数=除数×商2、对“逆推法”的理解。
“逆推法”思考问题，不仅是解题思路的“逆向”，而且计算方法也是恰恰相反。
从后往前推，原来是加法，推回去是减法，原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法，原来是除法，推回去是乘法；总之，总是逆着往回想、往回算，因而，这种解题思路，又称“还原”。
3、需要用“逆推法”解决的问题，常常要满足三个条件：⑴、已知最后结果；⑵、已知在达到最终结果时每一步具体过程；⑶、最初结果为未知数。
把握这三个条件，准确运用画图来帮助分析题意，“逆推法”一定会运用得好的。
〔典型例题〕〔例1〕、一根钢管，第一次截去3米，第二次截去剩下的一半后，还剩 5米。
这根钢管原来长多少米？〔例2〕、工人们铺一段公路，第一天铺了全长的一半还多2千米，第二天铺了余下的一半少1千米，此时还剩18千米。
公路全长多少千米？〔例3〕、小马虎抄了一道整数加法题，因为字迹潦草，算题时，把个位上的6看做了0，把十位上的5看做了8，结果所得的和是123，那么，正确答案是多少？注：同学们，虽然“逆推法”帮助小马虎解决了问题，可是我真心希望你们要认真审题，仔细书写，不要再犯“小马虎式”的错误了！〔例4〕、小华在郊外采了一大把野花，在回家的路上，碰见了哭鼻子的小妹妹，她把花束的一半送给了小妹妹；后来，她有碰见了爱花的小哥哥，她又把此时手中的花束的一半给了小哥哥；最后又遇见了好朋友妞妞，她又把此时手中花束的一半分给了妞妞，这样一来，小华手里只剩下3枝花了，可她一样很高兴。
数字逆推求差
数字逆推求差数字逆推是一种数学问题，通过给出一系列数字中的前几个数字，推测出后续数字的规律，并进一步应用这个规律，计算出所求差值。
这是一个有挑战性但又具有趣味性的问题。
在本文中，我们将介绍数字逆推求差的方法，并通过一些实例来演示这一概念的应用。
逆推法是一种常见且有效的数学求解方法，其中通过寻找数列中数字之间的差异和规律来确定所求差值。
一旦我们找到了这一规律，我们就可以应用它来预测和计算出所需的差值。
下面我们将讨论一些常见的数字逆推求差方法。
方法一：等差数列求差等差数列是指一个数列中的每个数字都与前一个数字之间存在相同的差。
如果我们已知了前几个数字，并且这些数字构成了一个等差数列，那么我们可以使用这个差值来计算后续的数字。
例如，我们已经知道数列的前三个数字是3、6和9。
根据等差数列的性质，我们可以看出每个数字与前一个数字之间的差是3。
因此，我们可以推测出下一个数字是12，继续以此类推，直到我们计算出所需的差值。
方法二：递推规律求差除了等差数列，我们还可以通过递推规律求解数字逆推问题。
递推规律是指根据前几个数字，通过一定的运算或模式，得到后续数字的规律。
通过识别这个规律并应用它，我们可以逆向计算所需的差值。
举个例子，我们已知数列的前三个数字是2、4和8。
我们注意到每个数字都是前一个数字乘以2得到的。
因此，我们可以推测下一个数字是16，然后是32，以此类推。
通过递推规律，我们可以得出差值。
方法三：数学模型求差在一些复杂的数字序列中，递推规律和等差数列可能无法很好地描述差值的变化。
此时，我们可以考虑使用数学模型来求解差值。
例如，我们已知数列的前三个数字是1、2和5。
很难通过等差数列或递推规律来确定差值的规律。
在这种情况下，我们可以利用二次函数的知识，构建一个数学模型。
通过将前几个数字代入模型，我们可以计算出后续数字，并进而获得所需的差值。
综上所述，数字逆推求差是一种有趣且具有挑战性的数学问题。
通过识别数列中数字之间的关系和规律，我们可以运用逆推法来计算差值。
验算的三种方法
验算的三种方法
以下是三种常见的验算方法:
1. 逆推法:通过逆推原式,推导出未知量的值,从而检验原式的真假。
例如,如果已知一个二次方程的值为 $a$,则可以将 $a$ 代入方程,得到 $2a^2 = b$。
进一步推导出 $b$,从而检验原方程是否成立。
2. 带值法:将待检验的式子写成函数的形式,通过给出一些已知点的函数值,来检验该函数是否符合原式。
例如,如果原式为 $x^2 + 3x - 5 = 0$,则可以将已知的点 $(1, 2)$ 和 $(5, 3)$ 带入函数中,得到 $1^2 + 3(1) - 5 = 2$ 和 $5^2 + 3(5) - 5 = 3$,前者与原式不符,后者符合。
3. 比较法:将待检验的式子与已知的式子进行比较,看它们是否满足相同的条件。
例如,如果已知一个二次方程的值为 $a$,则可以将$a$ 代入方程,得到 $2a^2 = b$。
此时,可以将 $a$ 与原方程进行比较,看它们是否满足相同的条件,比如是否都为实数。
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逆推法解题（A卷）
一、填空题
1.将一个数做如下运算:乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么这个数是 .
2.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原
有斗酒.
3.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到乙站,从乙站开45辆到甲站,这时乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停辆车.
4.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第三次卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有吨.
5.四个袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,丙调6粒到乙袋,乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原来有粒棋子.
6.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩一个,再取走3份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有个桔子.
7.袋子里有若干个球,小华每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球,那么,袋中原来共有个球.
8.3÷7的小数点后面第1999位上的数是 .
9.已知A,B,C,D四数之和为45,且A+2=B-2=C×2=D÷2,那么,这四个数依次
是 .
10.两个小于1000的质数之积是一个偶数,这个偶数最大可能是 .
二、解答题
11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求它几天占池塘的 ?
12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米?
13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多10元,最后剩下125元,求他原来有多少元?
14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,把余下的一半又半个卖给第二个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原来有西瓜多少个?
逆推法解题（A卷）答案
一、填空题
1. (100×4+20-112)÷4=77
2. 斗
第三次见花前应有一斗;
第三次遇店前应有 (斗);
第二次见花前应有 (斗);
第二次遇店前应有 (斗);
第一次见花前应有 (斗);
第一次遇店前应有 (斗).
3. 甲:45辆;乙:90辆.
把后来甲站所停汽车的辆数看为"1"的倍数,那么乙站所停的是1.5倍,那么"135"辆就是2.5倍,这样
甲站后来有:135÷2.5=54(辆)
乙站后来有:54×1.5=81(辆)
甲原有:54+36-45=45(辆)
乙原有:81+45-36=90(辆)
4. 782吨.
[(180+8)×2+15]×2=782(吨)
5. 甲38粒;乙42粒,丙45粒,丁43粒. 现各有168÷4=42(粒).
甲:42-6+2=38
乙:42-6+6=42
丙:42-3+6=45
丁:42-2+3=43
6. 85个.
1×4+1=5(个)
5×4+1=21(个)
21×4+1=85(个)
7. 34个.
(3-1)×2=4(个)
(4-1)×2=6(个)
(6-1)×2=10(个)
(10-1)×2=18(个) (18-1)×2=34(个)
8. 4
3÷7=0.42857142……6位
1999÷6=333 (1)
所以是4.
9. 设C数为M,则
A=2M-2
B=2M+2
C=M
D=4M
9M=45,M=5
∴A=8;B=12;C=5;D=20.
10. 1994
由于质数除2以外便都是奇数,奇数×奇数=奇数.
所以其中一个质数定是2,1000以最大的质数是:997. 997×2=1994
二、解答题
11. 第14天占 ;第13天占 .
12. 39天长:40÷2=20(厘米);
38天长:20÷2=10(厘米);
37天长:10÷2=5(厘米);
36天长:5÷2=2.5(厘米).
13. [(125+10)×2+5]×2=550(元)
14. 第七个人:0个;
第六个人:(0.5+0)×2=1(个);
第五个人:(1+0.5)×2=3(个);
第四个人:(3+0.5)×2=7(个);
第三个人:(7+0.5)×2=15(个);
第二个人:(15+0.5)×2=31(个);
第一个人:(31+0.5)×2=63(个);
一共有:(63+0.5)×2=127(个).。