三角函数整理专题

课题1：两角和与差公式的应用

一、【学习目标】

1、熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；

2、利用公式进行三角函数式的化简和求值。 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

（1）cos()αβ-= ;（2）cos()αβ+= ； （3）sin()αβ+= ;（4）sin()αβ-= ； （5）tan()αβ+= ；（6）tan()αβ-= ；

辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ++，其中

cos ϕϕ==

三、例1.求值：

（1）sin 75 （2）7cos 12

π

（3）tan105

（4）cos 20cos70sin 20sin 70- （5）sin119︒sin181︒－sin91︒sin29︒

（6）001cos15sin1522

+ （7）0022-

例2. 已知A 、B 均为钝角且sin A B ==

，求（1）)cos(B A +；（2）A+B.

例3. 已知

324π

βαπ<<<，12cos()13αβ-=，3

sin()5

αβ+=-.求sin 2α. 【同类变式】 1、求值：①

1tan151tan15+︒

-︒= ②sin 72cos 42cos72sin 42-=

③=o 15sin ④=0

15tan 。

2、已知βα、均为锐角，5

5sin =α ，1010cos =β，求(1))sin(βα-;(2)βα-.

3、已知βα,⎪

⎭

⎫ ⎝⎛∈ππ,43，)sin(βα+=,53-,13124sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛

-πβ求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα

4、若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π

4)的值。

【巩固提高】

1、已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－3

5，则cos β的值为________．

2、已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010

，α、β均为锐角，则β等于________． 3、已知cos 3()45π

α-=，sin 512()413πβ+=-且β3(0,),(,)444

πππ

α∈∈，求sin(α+β).

4、已知α、β∈(,)22

ππ

-，且tan α，tan β是方程x 2的两个根，求α+β值。

5、已知函数()sin cos f x x x =+（1）求函数()f x 的周期、单调区间； （2）若[,]4

x π

π∈-

求函数()f x 的值域。

课题2：倍角公式与其他三角公式应用

一、【学习目标】

1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式以及一些公式的变形；

2、利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。 二、1、二倍角的正弦、余弦、正切公式： （1）sin 2α=

（2）cos2α= = = （3）tan 2α= 2、公式的变形：

降幂公式：2

cos α= ，2

sin α= ，

=θθcos sin ，2tan α= 。

三、例1.求值：（1）

15cos 15sin （2）8

sin 8cos 2

2

π

π

- （3）

5.22tan 15.22tan 22-

（4）52sin cos 11212ππ

- (5) 12

cos 24cos 48cos 48sin 8ππππ

例2. 已知4

sin 5

θ=，并且θ在第二象限，求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。

例3.已知函数2

1

()(2cos 1)sin 2cos 42

f x x x x =-+，

（1）求()f x 的最小正周期及最大值； （2）若(0,),4

x π

∈求函数()f x 的值域。

【同类变式】1、求值（1）2

sin 2

cos 4

4α

α

- （2）

ααtan 11

tan 11+--

（3）θθ2cos cos 212

-+ （4）35cos

cos

cos

cos 12

8

812

π

π

ππ

2、若已知23πθπ<<，且4

3

tan =θ，求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。

3、已知函数2

()cos sin cos f x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期及最小值；

（2） 若(,),42

ππ

α∈

且3()8f πα+=

，求cos α的值。

【巩固提高】

1、若270°＜α＜360°，则α2cos 2

1212121++= 2、已知2

sin cos 3

x x +=

，则sin 2x =________. 3、化简：（1）2＋2cos8＋21－sin8 （2）2cos 22cot()cos ()

44

x

x x ππ

+-

4、已知α为锐角，且2

1

tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.

5、已知1

0,sin cos 25x x x π

-

<<+=. （1）求sin cos x x -的值.

（2）求

22

3sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x

-++的值.