算法设计与分析：第2章 算法分析基础
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算法执行时间达到求解该类问题所需时间的下界。
与所求解问题自身的复杂程度有 关。
ch2.6
Definition of the optimal algorithm（最优算法）
For problem P, the algorithm A does at most WA(n) steps in the worst case (upper bound) F is a lower bound for a class of algorithm. (lower bound)
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性
思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试。
遗憾的是，简单的算法不一定高效
ch2.4
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率
第2章 算法分析基础
学习要点：
掌握算法分析中的算法复杂度概念 ➢时间复杂度、空间复杂度 ➢最好、最坏和平均情况时间复杂度
掌握算法分析的渐近表示法 掌握用C++语言描述算法的方法
章节内容：
2.1 算法复杂度 2.2 渐近表示法 2.3 递推关系（课外阅读）
ch2.2
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性
I:问题规模为n的实例。Dn :规模为n的所有合法输入的集合。 p(I):实例I出现的概率。
ch2.12
算法的空间复杂度
算法的空间复杂度 ——算法运行所需的存储空间 ✓ 固定空间需求 与所处理数据的大小和个数无关，即与问题实例的特征无关。 （包括：程序代码、常量、简单变量、定长成分的结构变量所 占的空间） ✓ 可变空间需求 与算法执行过程中处理的特定数据的规模有关。 （如：数据元素所占的空间，算法执行所需的额外空间—如递 归算法所需系统栈空间）
means that: For any algorithm in the class, and any input of size n, there is some input of size n for which the algorithm must perform at least F(n) basic operations. If WA=F, then A is optimal.
执行算法所需的时间和存储空间
算法设计者常常需要在算法的简明 性和效率之间作出谨慎的选择
ch2.5
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率 Optimality——最优性
注意区分“正确性”和“健壮性”的概念： 算法正确性——在合法的输入下，算法应Байду номын сангаас现预先规定的功能和计算精度要求。 程序健壮性——当输入不合法的数据时，程序应能做适当处理而不至于引起严 重后果。 正确性和健壮性互相补充。 程序可靠性——在正常情况下能正确地工作，在异常情况下也能做出适当处理。
ch2.3
2.1 算法复杂度
float tempsum=0.0; //1
if (n)
//1
for (int i=0;i<n;i++) //n+1
{
{
return RSum(list,n-1)+list[n-1]; //1
tempsum+=list[i]; //n
}
}
return 0;
//1
return tempsum; //1
ch2.7
例如:FindMax(int L[]) //求n个元素中的最大元素
{
int max=L[0]; int i=1; while(i<n)
最优算法
{
if (max<L[i]) max=L[i];
i=i+1;
}
}
又如： 可证排序问题的时间复杂度下界为(nlogn)。 则最坏时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 因此：堆排序算法和两路合并排序算法都是最优算法。
ch2.8
影响程序运行时间的因素
程序所依赖的算法 根本的、起决定作用的
问题规模和输入数据
输入、输出
数值大小和状态
计算机系统性能
硬件系统性能（CPU速度）和软件系统性能（操作系统、编译器）
ch2.9
算法复杂度
——运行一个算法所需的时间和空间资源的量。
How to Measure? •Machine independent •Language independent •Programming style independent •Implementation independent
ch2.13
通过程序步来分析算法的时间复杂度
求数组元素累加之和的迭代程序： 求数组元素累加之和的递归程序：
(P20 程序2-1)
(P21 程序2-2)
float Sum(float list[],const int n) float RSum(float list[],const int n)
{
{
ch2.11
算法的时间复杂度
（1）最好情况下的时间复杂性： B(n) = Tmin(n) = min{ T(n,I) | I∈Dn }
（2）最坏情况下的时间复杂性： W(n) = Tmax(n) = max{ T(n,I) | I∈Dn }
（3）平均情况下的时间复杂性：
A(n) = Tavg(n) = p(I)T(n,I) IDn
}
} 程序总步数为：2n+3
T
(n)
T
(n
2 1)
2
n0 n0
程序总步数为：2n+2
但递归调用引起的循环计算和使用for语句的循环计算所需的开销是不同的。递
算法的时间复杂性（Time Complexity）—— T(n) 算法的空间复杂性（Space Complexity）—— S(n)
其中n是问题的规模（输入大小） ch2.10
算法的时间复杂度
算法的时间复杂度——算法运行所需的时间 最好、最坏和平均时间复杂度
(不考虑计算机因素对算法分析的影响） ✓最好情况（出现概率较大时分析） ✓最差情况（实时系统） ✓平均情况（已知输入数据是如何分布的，通常 假设等概率分布）
与所求解问题自身的复杂程度有 关。
ch2.6
Definition of the optimal algorithm（最优算法）
For problem P, the algorithm A does at most WA(n) steps in the worst case (upper bound) F is a lower bound for a class of algorithm. (lower bound)
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性
思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试。
遗憾的是，简单的算法不一定高效
ch2.4
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率
第2章 算法分析基础
学习要点：
掌握算法分析中的算法复杂度概念 ➢时间复杂度、空间复杂度 ➢最好、最坏和平均情况时间复杂度
掌握算法分析的渐近表示法 掌握用C++语言描述算法的方法
章节内容：
2.1 算法复杂度 2.2 渐近表示法 2.3 递推关系（课外阅读）
ch2.2
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性
I:问题规模为n的实例。Dn :规模为n的所有合法输入的集合。 p(I):实例I出现的概率。
ch2.12
算法的空间复杂度
算法的空间复杂度 ——算法运行所需的存储空间 ✓ 固定空间需求 与所处理数据的大小和个数无关，即与问题实例的特征无关。 （包括：程序代码、常量、简单变量、定长成分的结构变量所 占的空间） ✓ 可变空间需求 与算法执行过程中处理的特定数据的规模有关。 （如：数据元素所占的空间，算法执行所需的额外空间—如递 归算法所需系统栈空间）
means that: For any algorithm in the class, and any input of size n, there is some input of size n for which the algorithm must perform at least F(n) basic operations. If WA=F, then A is optimal.
执行算法所需的时间和存储空间
算法设计者常常需要在算法的简明 性和效率之间作出谨慎的选择
ch2.5
2.1 算法复杂度
好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率 Optimality——最优性
注意区分“正确性”和“健壮性”的概念： 算法正确性——在合法的输入下，算法应Байду номын сангаас现预先规定的功能和计算精度要求。 程序健壮性——当输入不合法的数据时，程序应能做适当处理而不至于引起严 重后果。 正确性和健壮性互相补充。 程序可靠性——在正常情况下能正确地工作，在异常情况下也能做出适当处理。
ch2.3
2.1 算法复杂度
float tempsum=0.0; //1
if (n)
//1
for (int i=0;i<n;i++) //n+1
{
{
return RSum(list,n-1)+list[n-1]; //1
tempsum+=list[i]; //n
}
}
return 0;
//1
return tempsum; //1
ch2.7
例如:FindMax(int L[]) //求n个元素中的最大元素
{
int max=L[0]; int i=1; while(i<n)
最优算法
{
if (max<L[i]) max=L[i];
i=i+1;
}
}
又如： 可证排序问题的时间复杂度下界为(nlogn)。 则最坏时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 因此：堆排序算法和两路合并排序算法都是最优算法。
ch2.8
影响程序运行时间的因素
程序所依赖的算法 根本的、起决定作用的
问题规模和输入数据
输入、输出
数值大小和状态
计算机系统性能
硬件系统性能（CPU速度）和软件系统性能（操作系统、编译器）
ch2.9
算法复杂度
——运行一个算法所需的时间和空间资源的量。
How to Measure? •Machine independent •Language independent •Programming style independent •Implementation independent
ch2.13
通过程序步来分析算法的时间复杂度
求数组元素累加之和的迭代程序： 求数组元素累加之和的递归程序：
(P20 程序2-1)
(P21 程序2-2)
float Sum(float list[],const int n) float RSum(float list[],const int n)
{
{
ch2.11
算法的时间复杂度
（1）最好情况下的时间复杂性： B(n) = Tmin(n) = min{ T(n,I) | I∈Dn }
（2）最坏情况下的时间复杂性： W(n) = Tmax(n) = max{ T(n,I) | I∈Dn }
（3）平均情况下的时间复杂性：
A(n) = Tavg(n) = p(I)T(n,I) IDn
}
} 程序总步数为：2n+3
T
(n)
T
(n
2 1)
2
n0 n0
程序总步数为：2n+2
但递归调用引起的循环计算和使用for语句的循环计算所需的开销是不同的。递
算法的时间复杂性（Time Complexity）—— T(n) 算法的空间复杂性（Space Complexity）—— S(n)
其中n是问题的规模（输入大小） ch2.10
算法的时间复杂度
算法的时间复杂度——算法运行所需的时间 最好、最坏和平均时间复杂度
(不考虑计算机因素对算法分析的影响） ✓最好情况（出现概率较大时分析） ✓最差情况（实时系统） ✓平均情况（已知输入数据是如何分布的，通常 假设等概率分布）