新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归纳法

新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归

纳法

Last revision date: 13 December 2020.

数列、极限和数学归纳法

安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________

(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和.

【解析】由算法框图可知(1)

1232

k k T k +=++++=，若T ＝105，则

K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15.

（18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .

（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的

正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则

,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②

①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n

.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n

（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n

另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k

k k

k k k ⋅++-+=

-+=

得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k

k k k 所以∑∑+==⋅+==2

3

1tan )1tan(n k n k k n k k b S

23

tan(1)tan tan(3)tan 3(

1)tan1tan1

n k k k n n +=+-+-=-=-∑

安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++=

（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15

（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+=

=+=，故a a a 1210++

=3⨯5=15.故选A.

北京理

11.在等比数列{}n a 中，若11

2

a =

，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a ++

+=________.

【解析】112a =

，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以1

2

为首项，以2为公比的等比数列，1121

||||||22n n a a a -+++=-。

20.若数列n A ：1a ，2a ，…，(2)n a n ≥满足1||1k k a a +-=（k =1，2，…，

1n -），则称n A 为E 数列。记12()n n S A a a a =+++.

（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；

（2）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是

2011n a =；

（3）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得

()0n S A =如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以

)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .

所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a 2000—a 1000≤1，

a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1

所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999. 又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.

故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.综上，结论得证。 （Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 因为2111112c c a a c a a ++=++= ……

,1211+++++=n n c c c a a

所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S

)].1()2)(1()1)(1[(2

)

1(121--++--+----=

n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以

所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2

)

1(,0)(-=n n A S n 必须使

为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当

,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a

),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a

;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时

当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a 当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ， 使得.0)(,01==n A S a 北京文

（14）设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则

()0N = ；()N t 的所有可能取值为 。6；6，7，8

（20）（本小题共13分） 若数列12:,,

(2)n n A a a a n ≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数

列，记()12+

+n n S A a a a =+。

（I ）写出一个E 数列5A 满足13==0a a ；