立方和与立方差公式
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
关于数学公式，你们能顺利的说出哪几个呢?我们的数学公式，真的是越学越复杂了，现在店铺就带你们去看看什么是立方和公式，感兴趣的朋友们快过来看看哦。
什么是立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。
该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和;表达式为：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。
立方和公式与立方差公式的推导过程
这个题目其实可以从反方向去理解，就是计算下面两个乘法公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
之后反过来记忆结果就可以。
如果非要从正面推导的话，可以选用添加项的方法，
如
a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方公式和立方差公式是高中数学重要的代数公式，用于化简一些代数式。
这里我们分别介绍一下这两个公式的含义和用法。
1. 完全立方公式完全立方公式（也叫做三项完全平方公式）是指一个立方数加上两个积的形式，即：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$其中，$a$、$b$、$c$为任意实数。
这个公式的含义是，将一个三次项完全展开后，将其中涉及的二次项组成一个完全平方，使得展开后的式子可以化简得更加简洁。
举例来说，我们可以用完全立方公式来计算 $2^3+3^3+4^3-3\times 2\times 3\times 4$：$=2^3+3^3+4^3-72$$=(2+3+4)((2^2+3^2+4^2)-(2\times 3+3\times 4+4\times 2))$ $=9\times(4+9+16-6-12-8)$$=9\times 3=27$因此，我们可以通过完全立方公式将一个较为复杂的表达式化简为更简单的形式。
2. 立方差公式立方差公式是指两个立方数之差的形式，即：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$其中，$a$、$b$为任意实数。
这个公式可以用来计算两个立方数之间的差值，从而简化计算。
举例来说：$5^3-2^3=(5-2)(5^2+5\times 2+2^2)=3\times 33=99$立方差公式的重要作用之一是用于计算一些多项式分解的式子。
比如，我们可以用立方差公式将 $x^6-1$ 分解为：$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$然后我们可以进一步将 $(x^2-1)$ 因式分解为 $(x+1)(x-1)$，得到：$x^6-1=(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)$这样，在计算多项式的根时，我们就可以将计算分解出来的每一部分进行单独的计算，从而简化计算。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
立方和与立方差
精心整理利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+(立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=-(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 【例解：3(2)ab ，号．【例2232)()b -或23()a -解：(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1)31x - (2)338ab +(3)66xy -2．把下列各式分解因式： (1)327a +(2)38m -(3)3278x -+(4)3311864p q --(5)3318125x y -(6)3331121627x y c +(1)34xy x +(2)33n n xx y +-(3)2323()a m n a b +-(4)2232(2)y x x y-+24)c +(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-2b 2)(25a 2+4b 4+2ab 2)； （3）（4）课堂练习 1立方和或立方差公式：(1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27；(3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(41-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[???]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是?????????????????????[???]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x)22424222（5）81+（6）827- 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
利用立方和立方差公式因式分解
利用立方和立方差公式因式分解因式分解是数学学习中的一个重要内容，而利用立方和立方差公式进行因式分解更是其中的一个关键知识点。
立方和公式：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³立方差公式：(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³咱们先来看看立方和公式。
比如说，要分解 x³ + 8 这个式子。
这里8 可以写成 2³，所以就可以把式子变成 x³ + 2³，然后套用立方和公式，a 就是 x，b 就是 2，那么分解的结果就是 (x + 2)(x² - 2x + 4)。
再说说立方差公式。
就拿 27x³ - 1 来说吧，1 可以写成 1³，27x³可以写成 (3x)³，这样就变成了 (3x)³ - 1³，用立方差公式，a 是 3x，b 是 1，分解后就是 (3x - 1)(9x² + 3x + 1)。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道例题：分解 x³ + 27。
我刚写完题目，就看见他在下面抓耳挠腮的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊？”我就鼓励他先想想立方和公式的形式。
他皱着眉头想了一会儿，突然眼睛一亮，举起手说：“老师，我知道啦！这是 x³ + 3³，所以可以分解为 (x + 3)(x² -3x + 9)！”看着他那兴奋的样子，我心里也特别欣慰。
在实际做题中，利用立方和立方差公式进行因式分解，能让一些复杂的式子变得简单清晰。
比如说，如果遇到像64x³+ 125 这样的式子，要是不利用公式，可能会觉得无从下手。
但只要想到 64x³是 (4x)³，125 是 5³，马上就能套用立方和公式，得到 (4x + 5)(16x² - 20x + 25) 。
完全立方和立方差公式记忆口诀
完全立方和立方差公式记忆口诀
嘿，咱来说说完全立方和立方差公式哈！
完全立方公式就是：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³。
比如说，就像搭积木一样，a 就是那种大积木，b 就是小积木，(a+b)³就像是用大积木和小积木搭成的一个大城堡，里面有a³这个超级大的房间，还有3a²b、3ab²、b³这些不同的小空间呢！
立方差公式是：(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³。
这就好比从一个大城堡(a³)里拆掉一些小房间(3a²b、3ab²、b³)形成一个新的形状呀。
比如有个数是 8（2³），另一个数是 1（1³），那 (2-1)³不就是 1 嘛！
咱可一定要把这两个公式记好喽，以后做题那可就轻松多啦，不是吗？哎呀，是不是觉得数学也挺有意思的呀！。
立方与立方差公式
立方与立方差公式摘要：1.立方和立方差公式的定义与表示2.立方和立方差公式的性质3.立方和立方差公式的应用4.总结正文：立方和立方差公式是代数学中的基本公式之一，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
下面，我们将详细介绍这两个公式，并探讨它们的性质和应用。
首先，我们来看立方和公式。
立方和公式是指，将一个数自乘三次，可以表示为三个相同因数的和。
具体来说，设a 为任意实数，则a 的立方和公式可以表示为：a^3 = a + a + a。
这个公式很直观，因为一个数的三次方就是该数自身加上自身两次。
接下来，我们看立方差公式。
立方差公式是指，两个数的立方差可以表示为它们的和与差的立方。
具体来说，设a 和b 为任意实数，则a 和b 的立方差公式可以表示为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3。
这个公式的推导需要一些代数技巧，但它在解决一些复杂的数学问题时非常有用。
那么，立方和立方差公式有哪些性质呢？首先，它们都是关于实数的恒等式，也就是说，对于任意实数，这两个公式都成立。
其次，立方和公式可以推广到多元情况，例如，四个实数的立方和可以表示为：a^3 + b^3 + c^3 +d^3 = (a + b + c + d)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - ac - ad - bc - bd - cd)。
立方和立方差公式在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，它们可以用来求解一些复杂的积分问题；在概率论中，它们可以用来求解一些复杂的概率分布问题；在物理学中，它们可以用来求解一些复杂的物理问题。
总的来说，立方和立方差公式是代数学中的基本公式，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
3个数的立方和公式和立方差公式
3个数的立方和公式和立方差公式嘿，咱们来聊聊数学里超有趣的 3 个数的立方和公式以及立方差公式！先说说立方和公式，它就像是一个神秘的魔法咒语，能让复杂的计算变得轻松简单。
这公式是：(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ +b³ + c³ - 3abc 。
举个例子哈，比如说有三个数 2、3、4。
按照立方和公式来算，先算出 a² + b² + c² - ab - bc - ca 的值。
a = 2，b = 3，c = 4 时，a² = 4，b² = 9，c² = 16，ab = 6，bc = 12，ca = 8 。
那 a² + b² + c² - ab - bc - ca = 4 + 9 + 16 - 6 - 12 - 8 = 3 。
然后再乘以 (a + b + c) ，也就是 (2 + 3 + 4) ，结果就是 9 × 3 = 27 。
算出来 2³ + 3³ + 4³ - 3×2×3×4 正好也等于 27 ，神奇吧！再看看立方差公式，它是：(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，说：“老师，这公式感觉好难记住啊！”我笑着跟他说：“别着急，咱们来玩个小游戏。
”我让他们把 a 和 b 当成自己喜欢的数字，然后一步步代入公式计算。
那个小家伙选了 5 和 2 ，算完之后眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我好像懂啦！”看着他那开心的样子，我心里也特别有成就感。
这两个公式在数学解题里可太有用啦！比如说遇到那种需要展开式子或者化简的题目，它们就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解题的大门。
立方和与立方差公式的推导
立方和与立方差公式的推导立方和与立方差公式是数学中常见的两个公式，用于计算数的立方和和立方差。
它们在代数运算和数学推导中有着重要的应用。
我们来看立方和公式的推导。
假设有连续的n个数，分别为a, a+1, a+2, ..., a+(n-1)。
它们的立方和可以表示为S1= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(n-1))^3)。
为了推导立方和公式，我们可以先观察前几个立方和的数列，然后找出其中的规律。
当n=1时，立方和为a^3；当n=2时，立方和为(a^3 + (a+1)^3)；当n=3时，立方和为(a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3)。
根据这个规律，我们可以猜测立方和公式的一般形式。
接下来，我们来进行数学归纳法证明，以验证我们的猜测。
首先，当n=1时，立方和为a^3，符合我们的猜测。
假设当n=k时，立方和公式成立，即S1= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3)。
那么当n=k+1时，立方和为S2= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3 + (a+k)^3)。
我们可以将S2拆分为S1和(a+k)^3两部分，即S2= S1 + (a+k)^3。
根据归纳假设，S1可以用立方和公式表示，所以我们只需要将(a+k)^3加到S1中即可。
我们展开(a+k)^3的式子，可以得到(a+k)^3=a^3 + 3a^2k + 3ak^2 + k^3。
将这个式子代入S2中，可以得到S2= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3) +(a^3 + 3a^2k + 3ak^2 + k^3)。
通过整理和合并项，我们可以得到S2的简化形式，即S2= ((k+1)a^3 + 3a^2(k+1)(k/2) + 3a(k+1)(k/2)^2 + (k+1)^3(k/2)^3)。
完全立方和与立方差公式
完全立方和与立方差公式好的，以下是为您生成的文章：咱从小到大，学数学的时候，总有那么几个公式让人又爱又恨，完全立方和与立方差公式就是其中的“大主角”。
还记得我上中学那会，数学老师在黑板上写下这两个公式的时候，我心里就犯嘀咕：“这又是啥呀？”但后来发现，它们就像神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。
先来说说完全立方和公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
咱们来仔细瞧瞧这个公式。
比如说，咱有个边长为a + b 的立方体，要算算它的体积。
那咱就可以把这个大立方体分成几部分。
先看边长为 a 的小立方体，它的体积就是 a³呗。
然后呢，沿着长度方向多出来的那一块，就是 b 乘以 a²，有 3 个这样的部分，所以就是 3a²b 。
同理，宽度方向多出来的是 3ab²，最后边长为 b 的小立方体体积就是 b³。
这么一拆分，是不是就感觉这个公式特别清晰明了啦？再看看立方差公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。
其实和完全立方和公式有相似之处。
比如说，a 是个大数字，b 是个小数字，那从 a³里减去 b 带来的影响，就有了后面那些项。
给大家举个例子，假设咱要给一个房间做个大改造。
房间的长是 a 米，宽是 a 米，高也是 a 米，这就是个标准的立方体。
然后咱想把其中一个角落切去一个小立方体，这个小立方体的边长是 b 米。
那原来大房间的体积是 a³立方米，切去的小角落体积就是 b³立方米。
而因为切去这个小角落，在长、宽、高方向上减少的体积就是 3a²b 和 3ab²。
在做数学题的时候，这两个公式可好用啦。
比如遇到那种需要展开式子或者化简的题目，它们就派上大用场了。
立方和差公式
立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。
注意：下方文本中出现圆圈不用在意，圆圈为文本制作间隔符号。
（例如：）立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)3项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)推导过程：a³+b³+c³-3abc=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）3项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^21迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/22次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
立方差与立方和推导过程
立方差与立方和推导过程立方差和立方和，这听起来像是数学课上那些神秘的符号和公式，其实它们在生活中处处可见哦。
想象一下，三个人在一起，结果变成了一个超大的三角形，哈哈，没错，这就是我们要聊的立方和和立方差。
你可能会问，这两者有什么关系呢？好吧，让我给你慢慢道来。
立方和，顾名思义，就是把几个数的立方加起来，想象一下把苹果切成小块，最后把这些小块堆成一座高山。
而立方差呢？这就像是在玩“你打我，我打你”，看谁能赢得更高的分数。
立方和的公式是 (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2))，而立方差则是 (a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2))。
听起来复杂，其实一点都不难，咱们一步一步来，轻松就能搞定。
我们先从立方和开始吧。
想象一下，你有两个小伙伴，一个叫A，另一个叫B。
A特别喜欢收集橘子，B则钟情于苹果。
假如A有3个橘子，B有4个苹果，立方和就是把这两个数字的立方加起来。
A的橘子立方是 (3^3 = 27)，B的苹果立方是 (4^3 = 64)。
加起来就是 (27 + 64 = 91)。
嘿，91听起来真不错，对吧？这就像是一个派对上的超大果盘，大家都来抢着吃。
然后，咱们再看看立方差。
如果A这次不想分享了，只想把自己的橘子藏起来，那就有趣了。
立方差的计算就变成了 (3^3 4^3 = 27 64)，结果是个负数，哈哈，这就像A生气了，直接把苹果推到一边，气呼呼的走了。
我们可以更深入地探讨一下这些公式背后的奥秘。
立方和和立方差就像是一个动态的游戏，两个数在不同的舞台上跳舞。
每一个公式都在告诉我们，不同的数之间其实有着千丝万缕的联系，像极了生活中那些看似不相关的人，实际上一碰面就会产生火花。
你能想象吗？当你把一个简单的数提升到三次方，就像给它施了魔法，让它变得更加出色。
立方和好比是一场华丽的聚会，所有的数都兴奋地聚集在一起，而立方差则像是一场戏剧冲突，揭示了数与数之间的竞争关系。
立方公式和差
立方公式和差咱先来说说立方公式和差这回事儿哈。
立方公式和差，这在数学里可是挺重要的一块呢！就像盖房子得有稳固的根基一样，学好这个对咱数学的大厦建设那是必不可少。
先给您唠唠立方和公式：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³。
这就好比是一把神奇的钥匙，能帮咱打开很多难题的锁。
比如说，有这么一道题，让咱算 (2 + 3)(2² - 2×3 + 3²) 等于多少。
咱就照着公式来，先算里面的，2²是 4，2×3 是 6 ，3²是 9 ，然后一减一加，再乘以 5 ，答案就出来啦。
立方差公式呢，就是 (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³。
这也不难理解，就像是一个魔法咒语，一念就能把难题解决。
记得我之前教过一个学生，这孩子呀，一开始对立方公式和差那是一头雾水。
有一次上课，我讲完了这部分内容，让大家做几道练习题。
这孩子盯着题目，抓耳挠腮半天，就是下不了笔。
我走过去一看，发现他根本没把公式理解透。
我就坐他旁边，一点点引导他。
“你看啊，这道题给的是两个数相减的形式，咱是不是得用立方差公式啊？那先把公式写出来，然后把这道题里的数对应着往里代。
”我就这么耐心地跟他说，他也听得特别认真，眼睛紧紧盯着题目和公式，手里的笔不停地写写画画。
最后，他终于算出了答案，那高兴的劲儿啊，就跟中了大奖似的。
从那以后，他对这部分内容越来越熟练，数学成绩也提高了不少。
其实啊，立方公式和差在生活中也有用处呢。
比如说，您要盖个小仓库，得算算体积吧，这时候立方公式就派上用场啦。
学习立方公式和差，不能死记硬背，得理解其中的道理。
多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握啦。
总之，立方公式和差虽然有点复杂，但只要咱用心去学，多练习，就一定能把它拿下！可别被它一开始的样子给吓住喽，勇敢地去探索，您会发现其中的乐趣和奥妙的！。
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立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2(3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2提示：在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。
参考答案：(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2说明：1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：（1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);（5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)提示：先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。
参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8（2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)(3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4) (2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。
参考答案：（1）解法一：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= (x2-1)[(x2+1)2-x2]= (x2-1)(x4+2x2+1-x2)= (x2-1)(x4+x2+1)= (x2-1)[(x2)2+x2-1+12]= (x2)3-13= x6-1解法二：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= [(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]=（x3+1）(x3-1)= (x3)2-12= x6-1（2）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= (a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]= (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)= (a2-b2)(a4+a2b2+b4)= (a2)3-(b2)3= a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= [（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]= (a3+b3)(a3-b3)= (a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。
第三阶梯[例1]（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：用乘法公式进行化简参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)= x3+8+x3-1= 2x3+7当时，（2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解：（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。