高等数学平面及其方程

bB
?
D
?
0,
??cC ? D ? 0,
D
D
D
A? ? , B?? , C?? .
a
b
c
将A ? ? D,
D B?? ,
D C?? ,
a
b
c
代入所设方程得
x ?
y ?
z ?1
平面的截距式方程
a bc
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
例 5 求平行于平面 6 x ? y ? 6z ? 5 ? 0而与三个坐标
A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C(z ? z0 ) ? 0
? Ax ? By ? Cz ? ( Ax 0 ? By0 ? Cz0 ) ? 0
?D
Ax ? By ? Cz ? D ? 0 平面的一般方程
法向量
? n?
{A, B ,C}.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D ? 0, 平面通过坐标原点；
这里先介绍平面的点法式方程：
一、平面的点法式方程 z
? n
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做该平 面的 法线向量 ．
M0 M
o
y
x
法线向量的 特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
? n ? {A, B , C },
M 0( x 0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y, z)
解 设平面为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0,
由平面过原点知 D ? 0,
由平面过点(6,? 3, 2)知 6A ? 3B ? 2C ? 0
?
? n?
{4,?
1,2},
? 4 A ? B ? 2C ? 0
? A ? B ? ? 2C, 3
所求平面方程为 2 x ? 2 y ? 3z ? 0.
? a ? 1 , b ? 1, c ? 1 ,
例 1 求过三点 A(2,? 1,4)、B(? 1,3,? 2)和 C ( 0,2,3 )的平面方程.
解 AB ? {? 3, 4,? 6}
AC ? {? 2, 3,? 1}
取
? n?
AB ?
AC
?
{14, 9,? 1},
所求平面方程为 14( x ? 2) ? 9( y ? 1) ? ( z ? 4) ? 0,
? D ? 0, 平面通过 x 轴；
(2) A ?
0,
? ?
D
?
0,
平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B ? 0, C ? 0 情形.
(3) A ? B ? 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A ? C ? 0, B ? C ? 0 情形.
例 3 设平面过原点及点(6,? 3, 2)，且与平面 4 x ? y ? 2z ? 8垂直，求此平面方程.
第七章
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将 以向量作为工具 讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。
确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析 几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此。
平面方程为
x 3 ? x1 y3 ? y1 z3 ? z1
x ? x1 x2 ? x1 x3 ? x1
y ? y1 y2 ? y1 y3 ? y1
z ? z1
z2 ? z1 ? 0 ——三点式方程
z3 ? z1
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为
x ? y ? z ? 1 (a ,b ,c ? 0) abc
??解ຫໍສະໝຸດ n1? {1,? 1,1}, ?
?n2
? {3, ?
2,?
12}
取法向量 n ? n1 ? n2 ? {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x ? 1) ? 15( y ? 1) ? 5(z ? 1) ? 0,
化简得 2 x ? 3 y ? z ? 6 ? 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
必有
M0M ?
? n?
? M 0M ?n ? 0
? M 0M ? {x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 }
? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C(z ? z0 ) ? 0
平面的点法式方程
?
其中法向量 n ? {A, B ,C }?, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 .
解 设平面为 x ? y ? z ? 1,
z
abc
?V ? 1, ? 1 ?1 abc ? 1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a ? b ? c ,
616
化简得 1 ? 1 ? 1 , 令 1 ? 1 ? 1 ? t 6a b 6c 6a b 6c
若取平面的另一法向量 m
此时由于
?? m // n ?
? m?
?
? n?
?? A,? B ,?C?
平面方程为 ? A( x ? x0 ) ? ?B( y ? y0 ) ? ? C(z ? z0 ) ? 0
? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C(z ? z0 ) ? 0
平面上的点都满足上方程，不在平面上 的点都不满足上方程，上方程称为平面的方 程，平面称为方程的图形．
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式
x?a y z ?a b 0 ?0
?a 0 c 按第一行展开得 (x ? a)bc ? y(? a)c ? zab ? 0
即 bcx ? acy ? abz ? abc
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x ? y ? z ? 7 和
3 x ? 2 y ? 12z ? 5 ? 0的平面方程.
化简得 14 x ? 9 y ? z ? 15 ? 0.
一般地
过不共线的三点
M 1( x1 , y1, z1 ) M 2 ( x2 , y2 , z2 ) M 3( x 3 , y3 , z3 )
的平面的法向量
?
i
?
n ? M1M 2 ? M1M 3 ? x2 ? x1
? j
y2 ? y1
? k
z2 ? z1
例 4 利用平面的一般式方程导出平面的截距式
方程.
解 设平面为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0, 则平面与
x , y, z 三轴分别交于 P(a,0,0) 、Q(0, b,0)、R(0,0, c)
（其中 a ? 0，b ? 0 ，c ? 0 ）
?aA ? D ? 0,
将三点坐标代入得
? ?