20世纪数学发展概述
20世纪中国中学数学课程的发展(一)(1901—1949)
20世纪中国中学数学课程的发展（一）（1901—1949）（西北师范大学教育学院，吕世虎）本文拟从课程文本（课程标准、教学大纲、教材）发展变化的视角对20世纪中国中学数学课程发展的阶段及其特点做一个梳理，为思考中国数学教育发展历史提供一些思路。
中国的学校数学教育始于1902年。
为了对20世纪中国中学数学课程的历史渊源有比较完整的认识，首先对1902年之前40年数学课程的情况做一个简单的回顾。
因此，这里把1862—1901作为一个阶段来考虑。
20世纪前半期（1901—1949）中国中学数学课程的发展阶段从时间上大体可以作如下划分：1、1901年至1911年。
一般教育史上称为清末初订学制的时期；2、中华民国建立后的1912年到1922年。
这段时间中国实行中学4年制，也称为中学4年制时期；3、1923年至1928年。
这段时间中国中学实行的是6年制，此期颁布了比较完整的课程纲要和学科课程纲要，这段时期也称课程纲要时期；4、1929年至1949年。
这段时间中国中学仍然实行的是6年制，此期颁布了系统的课程标准，这段时期也称为课程标准时期；首先，对于1902年之前40年的数学课程作一个简单回顾。
中国兴办学堂始于1862年（清朝同治元年）。
当时办的学堂有多种类型，如，专门学堂、普通学堂等。
专门学堂培养的是翻译人员或者军事人员等等，开设一些语言、技术、数学等课程。
普通学堂包括大学堂、中学堂、小学堂等，相当于现在的普通教育。
普通学堂不同程度的设置数学课。
当时，没有关于整个教育系统和教育宗旨的规定，更没有关于数学课程要教授的科目以及数学教学的要求的规定。
这一时期使用的数学教科书主要是中国三种古本数学书（《算经十书》、《数理精蕴》、《几何原本》）和美国传教士翻译六本数学书（《笔算数学》、《代数备旨》、《形学备旨》、《八线备旨》、《代形合参》、《代微积拾级》）。
美国传教士翻译六本数学书的内容包括算术、代数、几何、三角、解析几何和微积分等，这些内容分别在不同的学堂教授，但是各学堂教授什么内容是比较随意的。
20世纪数学的发展特色
20世纪数学的发展特色《20世纪数学的发展特色》20世纪是数学发展史上一个极其重要而独特的时期。
在此期间，数学经历了许多重大的变革和发展，为科学研究和现代技术的进步作出了巨大贡献。
本文将从几个重要方面介绍20世纪数学的发展特色。
首先，20世纪数学的一个显著特点是对公理化和形式化的追求。
早期数学的基础主要建立在几何学和代数学的基础之上，缺乏一致的公理化体系。
然而，20世纪以来，数学家们开始追求更加严谨的数学基础，并努力将各个分支联系起来。
这导致了公理化和形式化的发展，形成了现代数学的推理和证明规范。
其次，20世纪数学的另一个特色是对抽象代数、拓扑学和几何学等分支的建立和发展。
在这一时期，数学家们开始研究更为抽象和广泛的数学概念，如群论、环论和域论等。
同时，拓扑学和几何学等领域也得到了前所未有的深化和推广。
这些抽象的数学工具和概念不仅在数学本身中扮演着重要的角色，还对其他学科的发展产生了重要影响。
第三，20世纪数学的第三个重要特色是应用数学的广泛发展。
随着科学技术的进步，数学在解决现实世界的问题中起到了越来越重要的作用。
20世纪数学家们在物理学、工程学、经济学等领域中作出了诸多杰出贡献。
一些重要的数学方法和技术，如微分方程、概率论、优化理论等，被广泛应用于实际问题的建模和求解中。
最后，20世纪数学的发展特色之一是计算机技术的崛起与数学的交叉融合。
计算机的出现使得数学家们能够处理更大规模和更复杂的数学问题。
计算机代数系统、数值计算方法和计算几何等学科的发展进一步推动了数学的发展。
同时，数学也为计算机科学的发展提供了重要理论基础，二者相互促进，推动了科技革命的进程。
综上所述，《20世纪数学的发展特色》包括对公理化和形式化的追求、抽象代数、拓扑学和几何学的建立和发展、应用数学的广泛发展，以及与计算机技术的交叉融合。
这些特点使得20世纪成为数学发展史上一个具有里程碑意义的时期，为现代数学的繁荣和科学技术的进步奠定了坚实基础。
20世纪中国中学数学课堂教学发展的历史阶段及其特点
寅 学 制 ） （ 定学 堂章 程 ＞ 癸 卯 学 制 ） 和 奏 （ 颁布 实施 时 开 始 的 。在
２ Ｏ世 纪 的 一 百 年 中 ， 国 中 学 数 学 教 学 经 历 了 现 代 教 学 体 制 的 我 形 成 、 展 和 创 新 ３个 发 展 阶 段 。 发
Ｃｅ ｕ ｙ ｎｔ ｒ
Ｂｏ
Ａｂｓｒ ｃ Ｄｕ ｉ ０ ｃ ｎ ｕｒ ｓ ｃ ｎｄ ｒ ｔ ｍ ａ ｉｓ ｔ ａ ｈｉｇ ｉ ｉ ａ ａ ｅ ｄ ｖ ｌ ｐ ｎ ｒ ｍ ｈ ｏ ｍ ｆａｌｏｌ ｔａ ｔ： ｒｎｇ ２ ｅ ｔ ｙ， ｅ ｏ ａ ｙ ｍａ ｈｅ ｔｃ ｅ ｃ ｎ ｎ Ｃｈ ｎ ｒ ｅ ｅｏ ｉ ｇ ｆｏ ｔ ｅ ｆ ｒ ｏ ｌ ｄ— ｓ ｙｅ ｐ ｉ ａｅ ｔ ｌ ｒｖ ｔ ｓ ｈ ｌｗｉｈ ｉ ｉｉ ｕ ｌｉ ｔ ｕ ｔｏ ｔ ｃａ ｓ ｏ ｍ ｅ ｃ ｉ ｗｉｈ Ｃｈｉｅ ｅ ｃ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｗｈｃ ｘ ｒｅ ｃ ｓ ｔ ｅ ｔｇｅ ｏ ｖ ｌ — ｃ ｏｏ ｔ ｎｄｖ ｄ ａ ｎｓｒ ｃ ｉｎ ｏ ｌｓ ｒ ｏ ｔ ａ ｈｎｇ ｔ ｎ ｓ ｈａ ａ ｔ ｓ ｉｓ， ｉｈ ｅ ｐｅ ｉｎ ｅ ｈｒ ｅ ｓ ａ ｓ ｆｄｅ ｅｏｐ ｒ
ｒ ｆｒ ｎｃ ｎ ｆｅ ｔ ｏ ｈｅ ｒ ｆ ｍ ｅ ｏ ａ ｙ ｍ ａ ｈ ｍ ａｉｓ ｔａ ｈｉｇ ｎ ｗ ａ ｙ ． ｅ ｅ ｅ ｅ ａ ｄ ｅ ｆｃ ｓｆ ｒｔ ｅｏｒ ｏｆｓ ｃ ｎｄ ｒ ｔ ｅ ｔｃ ｅ ｃ ｎ ｏ ｄａ ｓ Ｋｅ ｗｏ ｄ ２ ｃ ｎ ｕｒ Ｓｅ ｏ ｄａ ｙ ｍａ ｈｅ ａ ｉｓ Ｃｌｓ ｒ ｏ ｔａ ｈｎｇ Ｓ ａ Ｃｈａ ａ ｔ ｒｓｉｓ ｙ ｒ ｓ： Ｏ ｅｔ ｙ ｃ ｎ ｒ ｔ ｍ ｔｃ ａ ｓ ｏ ｍ ｅ ｃ ｉ ｔ ｇｅ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ
数学史的重要事件与人物总结
数学史的重要事件与人物总结数学作为一门古老而重要的学科，其历史跨越了几千年。
在这漫长的历程中，数学经历了许多重要的事件和由杰出人物创造的重大成就。
本文将对数学史中的一些重要事件和人物进行总结。
一、古代数学1. 古埃及与古巴比伦数学古埃及与古巴比伦是人类历史上最早发展数学的文明。
古埃及人用于计量土地的方法促进了早期几何的发展，而古巴比伦人则研究了一些基本的代数概念，如线性方程和平方根。
2. 古希腊数学在古希腊时期，一些重要的数学思想被提出。
毕达哥拉斯学派关注几何和数论，他们发现了勾股定理，认为数是宇宙的基本构成元素。
欧几里得的几何原理成为数学教材的基础，对后来的数学发展产生了深远影响。
3. 阿拉伯数学古希腊的数学思想通过阿拉伯人的翻译活动传入伊斯兰世界。
在这一时期，阿拉伯数学家对代数学有了重大贡献，如穆罕默德·本·穆斯阿尔·哈拉齐为代数学奠定了基础，同时阿拉伯人还引入了十进制的数字系统，并通过这一发明推动了数学的发展。
二、近代数学1. 文艺复兴时期的科学革命随着欧洲文艺复兴的兴起，数学作为一门独立的学科开始发展。
法国数学家笛卡尔提出了坐标几何学，成为解析几何的奠基人。
伽利略的物理实验和理论研究推动了数学与自然科学之间的紧密联系，为物理学、力学和天文学的发展做出了贡献。
2. 新的数学分支的出现17世纪后期至18世纪初期，微积分被独立地发现和发展。
牛顿和莱布尼茨同时独立地发明了微积分，该发现极大地推动了物理学、工程学和其他学科的进展。
此外，概率论、统计学以及数学分析等新的数学分支也在这一时期出现。
3. 数学的形式化19世纪数学的一个重要事件是数学的形式化。
数学家如贝尔纳德·卡尔诺和乔治·庞加莱为数学建立了公理化的基础，并使之成为一门严密的学科。
形式化推动了数学的快速发展，使得许多新的数学分支的发展成为可能。
三、现代数学1. 20世纪的数学革命20世纪是数学发展的重要阶段之一。
数学发展简史
数学发展简史人类进入原始社会，就需要数学了，从早期的结绳记事到学会记数，再到简单的加减乘除，这些都是人类日常生活中所遇到的数学问题。
数学是有等级的，就像自然数的运算是小学生的水平一样，超出了这个范围小学生就不能理解了。
像有未知数的运算小学生就无从下手一样，数学的发生发展也是从低级向高级进化的，人类最早理解的是算数，经过额一段时间的发展算数发展到了方程、函数，一级一级的进化，才发展到了现代的的数学。
人类数学的发展做出较大成就的是古希腊时期，奇怪的是古希腊对数的运算并不突出，反而是要到中学才能学到的几何学在古希腊就奠定了基础，学过几何的人对欧几里得不会陌生，欧几里得是古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
在古希腊教育中几何学占有相当重要的地位，柏拉图提倡的希腊六艺就包括几何，后来希腊文化衰落了，希腊被入侵，希腊图书馆的藏书被掠夺了，被阿拉伯人保存了。
有这么一个说法，是阿拉伯人对希腊语与拉丁语文献的保留，才让欧洲人得以返过来取经，找回“失落”的希罗文化。
其中包括柏拉图学说和欧几里得几何。
经过了中世纪的黑暗，欧洲找回了古希腊古罗马文化，才有了欧洲的文艺复兴。
在算术上，阿拉伯人对数学的贡献是现在人们最熟悉的1、2、……9、0十个数字，称为阿拉伯数字。
但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲。
阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的数学记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。
代数这门学科名称就是由阿拉伯人发明的。
阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，我们数数的时候都是从1开始的，标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。
他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。
数学的起源和发展
一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段：数学萌芽时期(公元6世纪以前)初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)现代数学时期(20世纪40年代以来)一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。
这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。
古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。
巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算。
他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。
几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
二、初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。
这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。
这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。
在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。
如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。
这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。
这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。
从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期。
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上存在着许多重大的事件和里程碑式的发现，但是其中仍然有一些是无法被忽略的重要高峰。
下面将介绍数学发展史上的四个高峰。
第一高峰：古希腊数学
古希腊数学是数学发展史上的第一个高峰。
早在公元前6世纪，古希腊人就开始研究数学，并取得了一些重要的成果。
他们用几何学方法解决了很多数学问题，比如平方根和三角函数的计算。
古希腊人还开发了一套形式化的逻辑系统，这成为了现代数学的基础。
第二高峰：文艺复兴数学
文艺复兴时期，数学经历了第二个高峰。
在欧洲，数学家们开始对古希腊数学的成果进行研究，并进行了深入的发展。
他们开发了代数学、微积分学和概率论等重要分支，这些成果为现代科学的发展奠定了基础。
第三高峰：19世纪数学革命
19世纪是数学发展史上的第三个高峰。
这是由于当时许多重要的数学家在短时间内取得了很多重要的成果，这些成果大大推动了数学的发展。
比如高斯、欧拉和拉格朗日等人在代数和分析领域做出了很多突破性的贡献。
第四高峰：20世纪数学
20世纪是数学发展史上的最后一个高峰。
在这个时期，数学经历了巨大的变革和发展。
比如，20世纪初，G·庞加莱提出了拓扑学
的想法，这引发了一个新的分支的发展。
随后，数学家们还在计算机科学和数学物理学等领域做出了很多重要的发现，这些成果深刻地改变了数学的面貌。
代数学发展简史及线性代数简史
代数学发展简史及线性代数简史代数学的发展简史：代数学作为一门数学学科，起源非常古老。
早在公元前3000年，古巴比伦人就开始使用代数方法解决一些实际问题，比如计算土地面积与粮食数量。
然而，真正意义上的代数学发展始于古希腊时期。
在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数字”的概念，并建立了一套基本的代数规则。
他的学生柏拉图以及柏拉图的学生亚里士多德进一步发展了这些理论。
随着时代的推移，代数学逐渐与几何学分离，成为一个独立的学科。
在16世纪，意大利数学家费拉里奥首次使用代数符号来表示未知量。
17世纪，法国数学家笛卡尔在其著作《几何学》中，将代数与几何紧密结合，发展了解析几何。
在18世纪和19世纪，代数学得到了飞速发展，出现了复数、矩阵论、高斯消元法等重要概念和方法。
20世纪是代数学的黄金时期。
在这个时期，代数学被赋予了更深层次的意义。
20世纪初，德国数学家希尔伯特提出了20个关于数学基础的未解问题，其中许多涉及代数学领域。
这些问题推动了代数学的发展，并促使人们对数学基础的研究。
现代代数学已经成为数学中的一门重要分支，涉及众多领域，如数论、代数几何、群论、环论等。
代数学的发展不仅深化了人们对数学本质的认识，也为其他学科的发展提供了强有力的数学工具。
线性代数的发展简史：线性代数作为代数学中的一个重要分支，起源于17世纪。
早在17世纪，数学家哈密尔顿开始研究线性代数的基本概念。
然而，线性代数的理论基础最早是由19世纪英国数学家卡尔·弗里德里希·高斯奠定的。
高斯在矩阵理论和线性方程组的解法上做出了重要贡献，他发展了行列式的概念，并提出了高斯消元法。
19世纪末和20世纪初，线性代数得到了飞速发展。
德国数学家大卫·希尔伯特和俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫开创了线性算子理论的研究。
他们引入了现代线性空间的概念，并发展了线性变换、特征值、特征向量等重要概念。
此外，瑞士数学家埃尔米特和德国数学家约尔当也对线性代数做出了重要贡献，他们提出了埃尔米特矩阵和约旦标准型等概念。
与数学相关的历史事件
数学是一门古老的科学学科，它的发展历史充满了各种历史事件和重要的发展。
以下是一些与数学相关的历史事件：公元前4世纪：数学的基础概念开始被系统地研究，毕达哥拉斯学派对数学和哲学做出了重大贡献。
他们相信数学是研究万物的本质，尤其是数的结构。
他们提出了许多重要的数学定理，包括“万物皆数”，即所有事物都可以用数来描述。
中世纪：随着阿拉伯数学的兴起，数学得到了进一步的发展。
阿拉伯数学家如阿尔·花拉子米、阿尔·卡西等，对几何、代数和算术等领域做出了重大贡献。
阿拉伯数字的发明也标志着数学符号化表达的开始。
16世纪：欧洲文艺复兴时期，数学开始与实际问题更加紧密地联系在一起。
例如，解析几何的发明者笛卡尔就解决了如何用数学方式描述两个变量之间的关系的问题。
这一时期，概率论和组合数学也得到了发展。
17世纪：随着科学实验的增多，数学开始发展出更精确的工具来描述和预测自然现象。
例如，微积分的发明使得科学家能够研究速度、加速度、流量等概念。
此外，几何学也得到了进一步的发展，欧几里得几何学被重新审视和解释。
19世纪：随着工业革命的到来，数学的应用范围越来越广。
线性代数、统计、拓扑学等新的数学分支开始出现。
此外，计算机科学的兴起也使得数学的研究方式发生了改变。
计算机可以帮助人们更快地计算和验证数学结果。
20世纪：量子力学、相对论等物理学的重大发现需要新的数学工具来描述。
这些领域的发展推动了代数学、分析学、几何学等学科的进步。
计算机科学的进一步发展也使得人们可以使用计算机进行大规模的数学计算和模拟。
以上就是一些与数学相关的历史事件的大致概述。
数学的发展是一个持续的过程，它不断地与其他学科交叉，解决新的问题，创造新的工具和方法。
数学的三个发展时期现代数学时期
数学的三个发展时期——现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
代数的发展可以追溯到古代，但近世代数的起源可以追溯到16世纪。
以下是近世代数发展的简史。
1. 文艺复兴时期（16世纪）在文艺复兴时期，代数开始浮现了一些重要的发展。
意大利数学家Cardano首次提出了解三次方程的方法，并发表了《代数学大全》。
同时，法国数学家Viète 提出了代数中的符号表示法，开创了代数符号的使用。
2. 方程论的发展（17世纪）17世纪，方程论成为代数中的重要研究领域。
法国数学家Fermat和英国数学家Descartes分别独立地发展了代数几何学，将代数与几何相结合。
Fermat提出了著名的“费马大定理”，并在边注中提到了他的证明思路，这成为了代数中的一个重要问题。
3. 群论的兴起（19世纪）19世纪，代数的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家Galois提出了群论的概念，并建立了现代代数的基础。
他研究了方程的可解性，并提出了著名的“Galois理论”，解决了费马大定理中的一些特殊情况。
Galois的工作对代数的发展产生了深远的影响。
4. 现代代数的建立（20世纪）20世纪，代数的发展进入了一个全新的阶段。
德国数学家Hilbert提出了代数基础的问题，并提出了一系列的公理化方法。
同时，抽象代数成为了代数中的重要分支，研究了各种代数结构的性质。
在这一时期，代数的研究范围得到了极大的扩展。
5. 应用领域的发展近世代数的发展不仅仅局限于理论研究，还涉及到了许多实际应用领域。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
代数的发展为这些领域提供了强大的工具和方法。
总结：近世代数的发展经历了多个阶段，从文艺复兴时期的代数基础研究，到方程论的发展，再到群论和现代代数的建立，代数的研究范围不断扩展。
近世代数的发展不仅仅是理论上的突破，还涉及到了许多实际应用领域。
代数的发展为数学和其他学科的发展做出了巨大贡献。
我国数学学科专业发展的历史沿革
我国数学学科专业发展的历史沿革一、综述我国人民在古代曾对数学的发展做出过辉煌的贡献。
大约在19世纪，西方数学理论较系统地传入中国。
在洋务运动中，1862年清政府设立了同文馆，内设有天文算学馆。
在1898年成立了京师大学堂，同文馆并入京师大学堂，而其中的天文算学馆，成为大学堂的“算学门”。
京师大学堂算学门于1913年正式招生，成为我国的第一个大学数学系。
辛亥革命以后，我国成立了许多新式大学，其中都有数学系。
以后逐渐和西方国家有了较多的学术交流，并向欧美和日本派出留学生。
20世纪30年代，我国自己的数学研究群体开始形成，成立了学术团体，创办了学术杂志。
到40年代就出现了一些杰出的数学家，其中陈省身、华罗庚、苏步青、许宝騄等以其重大贡献而享誉世界。
然而，旧中国留给我们的家底毕竟是单薄的。
我国当时仅在数学的若干经典分支有自己的研究人员，而许多重要的分支学科，特别是应用数学学科，几乎是一片空白。
1949年新中国的成立，为我国科学技术的发展奠定了基础。
从20世纪50年代初开始，我国派出大批留学生去原苏联和东欧国家学习。
这批学者回国后为我国数学科学的进一步发展发挥了重要作用。
1952年，在“向苏联学习”的口号下，全国范围内进行了高等学校的院系调整。
它本质上是一次力度很大的教育教学改革，在很长时间之内产生了深远的影响。
此后，我国的高等学校被分为文理科综合性大学、工科院校、农科院校、医科院校以及师范院校等不同性质的大学与学院。
当时，设立了综合性大学13所、高等师范院校33所，其中均有数学系。
与此同时，还全盘照搬了原苏联当时的教学计划和教材，不仅设立了各式各样的专业，还有了各种专门化。
这些，对我国高等学校数学学科专业的教育体制产生了长久的影响。
当时的教育体制是计划经济的产物。
从解放初到“十年动乱”前，我国的数学系毕业生几乎都是在这样的体制下培养出来的。
那时数学系的培养目标是单一的，只培养数学研究人员与数学教师。
20世纪80年代改革开放以来，国家派出了大批的数学工作者以访问学者的身份到欧美进修与交流；又开放了青年学生直接出国留学的渠道；还邀请了不少外国数学家访华讲学。
【精品】转载 20世纪数学史略
转载20世纪数学史略原文地址：20世纪数学史略作者:木桃20世纪数学史略20世纪的数学一如既往地向前发展,其速度可以说超出了人们的预料.与19世纪的经典数学相比，20世纪的数学也可称之为现代数学。
§120世纪数学的特点一般认为,现代数学具有以下特征:（1)各门数学学科以集合论为基础，按数学结构的框架展开,推理方式进一步形式化，数理逻辑成为数学的基础分支。
（2）纯粹数学进一步抽象化了,但却并未离开整个科学的发展。
它的核心内容已从过去的微积分，单元多项式理论，三维解析几何及局部微分几何为主体转到以泛函分析，抽象代数和拓扑学（所谓新三高)为主体.数学内容从单变量发展到多变量，从平面和立体几何转向一般的n维空间的几何，从研究局部性态发展为研究整体性态，从线性问题过渡为非线性问题.(3）新的应用学科蓬勃发展。
概率论与数理统计迅速普及，几乎渗入所有的科学分支。
控制论、信息论、对策论、规划论等全新学科在二次大战后纷纷问世.数学广泛渗入一切科学分支自然科学的，也包括社会科学的。
各科学分支数量化的进程仍在一日千里地前进。
（4）最重要的特点也许是电子计算机的问世,它改变了数学发展的方向。
大范围的科学计算使许多数学方法获得新生,并正在改变数学家的工作方式.机器证明正在成为数学界的现实。
与计算机相关，离散数学将成为数学中的主角之一.§220世纪数学中心的转移在上世纪末、本世纪初之时,法国的大数学家庞加莱（H。
poinoare1854-1912）执国际数坛牛耳，巴黎是世界数学中心之一.当时正在上升的明星是德国的希尔伯特（D.Hilbert1962—1943)。
1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表明他将领导新世纪的数学新潮流.从1900年到1933年，德国的哥庭根大学成为世界数学的中心，其中早期的核心人物是克莱茵(F。
Klein1849-1925），希尔伯特和闵可夫斯基（H。
20世纪数学发展史回眸
10.3数学共同体
数学科学的殿堂，是以纯粹数学为核心的许多不同壳层构 成的。这个核心仍然被源源不断的新概念、新结构和新理论搞 得炽热。来自核心的概念，透过数学科学的外层，源源不断地 以智慧的燃料供给更多应用的领域里某些难以想象的复杂问题。 反过来，外层产生的问题——在纯粹数学与应用数学融合扩散 的层面上——供给核心以新结构、新方法和新概念。在数学科 学的核心范围内，已有将近一百种可以辨认的分科。假如再加 上应用数学，如统计学、计算数学、运筹学和理论物理，则不 同分科的数目将不下几百个。这些领域的研究，分布在大约1， 500个用近100种语言出版的刊物上。按照美国《数学评论》杂 志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学 科，而更细的分科就难以计数
10.3.1数学交流机制
18、19世纪，一些国家相继成立了由宫廷和政府支持的科学院，这些 科学院出版科学期刊、组织学术交流与评价，对数学发展起了积极的推 动作用。然而那时的数学活动还只是在为数不多的人员之间进行。 19世纪下半叶，产生了真正的民间团体的数学家组织——各国数学会。 1920年，在第六次国际数学家大会上，法、英等11 个国家的代表发起成立了最早的国际数学联盟。到1995年，国际数学联 盟（lnternationaI Mathematical Union，简称IMU）已有59个国家和地 区成为该联盟的成员。中国数学会于1996年加入了IMU。 1897年，闵科夫斯基等21名数学家发起召开国际数 学家大会。来自16个国家的208名数学家在瑞士苏黎世举行了第一次国际 数学家大会，并决定以后定期召开这样的大会 首届菲尔兹奖于1936年奥斯陆国际数学家大会上颁发。
数学发展史的四个阶段
数学发展史的四个阶段
中国的数学发展史可以分为四个阶段：从古典数学到现代数学，从印刷机发明到计算机的出现，从古典科学来到现代科学的产生，从哲学到数学的发展。
古典数学，是指公元前3世纪到18世纪之间，数学研究成果形
成的一个时期，它主要包括亚历山大时期的希腊数学家和拉丁数学家，古代中国的数学家，如董仲舒和张邱锡，以及16、17世纪的欧洲数
学家，例如莱布尼茨和开普勒。
古典数学的主要功能是对理论的发展，对实践的指导和技术的开展，以及利用数学方法来解决自然科学和哲学问题。
17世纪，由于印刷机的发明，使得数学家们有更多的可能性来
发展和研究，从而出现了现代数学，现代数学侧重于理论研究，着重科学技术在实际应用中使用，它有助于数学语义研究，数学实践与理论内容概念的建立，以及发展具有实际价值的技术理论，为后来的科学研究奠定了基础。
20世纪，由于计算机的出现，使得数学科学进入了一个新的时代。
计算机可以高效地计算大量复杂的数据，帮助数学研究者们做出更快、更精确的决策，也为科学和技术研究提供了前所未有的机会。
最后，从1997年起，中国出现了哲学到数学发展的过渡时期，
哲学文化开始复苏，古代的哲学思想也渐渐影响到数学发展，如现代数学规范，现代数学哲学等。
该时期的数学研究不仅利用古代的经验，而且更多的是以新的视角来看待数学的发展。
中国数学发展史的四个阶段：古典数学、现代数学、从印刷机发明到计算机的出现，及从哲学到数学发展，见证了中国数学史上蓬勃发展的历史。
这些阶段和浪潮，不仅提高了我们对数学的理解，而且也为科学发展和社会进步创造了条件。
数学的发展历程
数学的发展历程一、古代数学（公元前3000年 - 公元5世纪）1. 古埃及数学- 古埃及人在公元前3000年左右就有了初步的数学知识。
他们主要为了满足实际生活的需要，如土地测量、建筑工程等。
- 埃及人发展了一套独特的计数系统，以10为基数，但不是位值制。
例如，他们用象形文字表示数字，一个竖线表示1，一个倒置的U形符号表示10等。
- 在几何学方面，他们能够计算简单的面积和体积。
如计算三角形、梯形面积，并且在建造金字塔等建筑时运用了一定的几何知识。
2. 古巴比伦数学- 古巴比伦人大约在公元前1800年就有了较为发达的数学。
他们的计数系统是60进制，这种进制对现代的时间（60秒为1分钟，60分钟为1小时）和角度（360度，1度 = 60分，1分 = 60秒）计量有深远影响。
- 他们能解一元二次方程，有泥板记录了大量的数学问题，包括商业中的算术问题、土地划分等几何问题等。
3. 古希腊数学- 早期希腊数学（公元前600 - 公元前300年）- 泰勒斯被认为是古希腊第一位数学家，他引入了演绎推理的思想，证明了一些几何定理，如等腰三角形两底角相等。
- 毕达哥拉斯及其学派强调数的和谐，发现了毕达哥拉斯定理（勾股定理），并且对数字进行了分类，如奇数、偶数、完全数等。
但他们也有一些神秘主义的数学观念，如认为数是万物的本原。
- 古典希腊数学（公元前300 - 公元前200年）- 希腊化时期数学（公元前200 - 公元5世纪）- 阿基米德是这一时期最伟大的数学家之一。
他在几何学方面取得了巨大成就，计算出许多复杂图形的面积和体积，如球的表面积和体积公式。
他还善于将数学应用于实际问题，如利用杠杆原理计算物体的重量等。
同时，他也是一位伟大的物理学家。
4. 古代中国数学- 中国古代数学有着悠久的历史。
早在商代（公元前1600 - 公元前1046年）就有了甲骨文记载的数字。
- 南北朝时期（公元420 - 589年）的祖冲之进一步将圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间，这一成果领先世界近千年。
131-第12章20世纪数学概观（Ⅱ）——空前发展的应用数学
第12章20世纪数学概观（Ⅱ）——空前发展的应用数学引言数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。
历法、航海、商业的计算，桥梁、寺庙、宫殿的建造，武器与工事的设计等等，往往都需要借助于数学去获取圆满解决。
在人类文明进步的历次重大产业革命和思想革命中，数学作为科学的推动力或直接的参与者，也起到了不可或缺的作用。
尤其是进入20世纪以后，数学更是以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已经形成为当代数学的一股强大潮流。
本章概览学习目标1了解二十世纪应用数学与计算数学的发展状况。
2.了解数学物理、生物数学、数理经济学，电子计算机的诞生、计算机影响下的数学。
本章主要内容：介绍20世纪的一些数学研究成果及数学奖，数学物理、生物数学、数理经济学，电子计算机的诞生、计算机影响下的数学本章学习时数：学习内容：知识点1——应用数学的新时代20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的发展是当代数学的一大潮流。
随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，而其中数学的渗透又特别明显。
这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交叉学科建立的动力。
数学已成为其他学科理论的一个重要组成部分，这是数学应用日益广泛的体现。
这种体现具体讲就是数学化。
现代科学发展的一个显著特点是：自然科学、技术科学以及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈来愈精确的方向发展。
电子计算机的发展和应用，为各门科学的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
在20世纪应用数学有以下几方面特点：（1）、数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。
（2）、纯粹数学几乎所有的分支都得到应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透。
（3）、现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。
20世纪中国中学数学课堂教学发展的历史阶段及其特点
20世纪中国中学数学课堂教学发展的历史阶段及其特点摘要:20世纪,我国中学数学教学从私塾个别授课形式发展为具有中国特色的班级教学,经历三个发展阶段,即现代教学体系形成阶段(1902～1949年)、发展阶段(1950～1976年)和创新阶段(1977～2000年),其间的变革特点和历程,对于我们今天所进的中学数学教学改革有着重要的历史借鉴意义和作用。
tags:20th century Secondary mathematics Classroom teaching Stage Characteristics我国早在明朝时期的国子监就出现了班级授课制的萌芽,但我国近代的中小学班级授课制的建立较西方晚300余年。
我国内地中学最早采用西方国家的班级授课是在1844年的宁波女校。
其后外国传教士在中国开始创办的教会学校都实行班级授课,但普遍在中学堂实行班级授课则是在《钦定学堂章程》(壬寅学制)和《奏定学堂章程》(癸卯学制)颁布实施时开始的。
在20世纪的一百年中,我国中学数学教学经历了现代教学体制的形成、发展和创新3个发展阶段。
1.我国中学数学现代教学体系形成阶段(1902～1949年)这一阶段是引进西方数学教育,我国中学数学现代教学体系初步形成阶段。
在这个阶段发生了对中学数学教学有重要影响两个的教育事件。
一件是1902年和1904年分别颁布了《钦定学堂章程》和《奏定学堂章程》,将书院改为学堂,中学数学按班级授课,数学课堂教学在全国成为普遍的教学组织形式。
一件是1922年颁布了“壬戌学制”,同年年底颁布了《学校系统改革令》,将学堂改为学校,中学数学现代教学开始形成。
因此,可将第一阶段分为两个时期:1902～1922年,我国中学数学课堂教学初建时期,在这一时期我国的教育从古代科举选仕制度急速地向西方近现代教育体制转变;1923~1949年,我国数学课堂教学的形成时期,在这一时期,我国中学教育进入现代教育的体系。
20世纪纯数学的发展
下面我们从四个方面论述纯数学的进展。
一、元数学20世纪初期，集合论的内在矛盾开始暴露出来，使数学界震动最大的是罗素在1901年发现的悖论。
为了解决这个矛盾，罗素提出了分支类型论，并在这个基础上与怀特海合著3大卷《数学原理》（1910－1913）。
一个解决悖论的途径是策梅罗于1908年提出的集合论的公理化，他的公理体系经过后来的补充和修改成为公理集合论的一个公认的基础。
与此同时，对于数学基础进行了热烈的争论，产生了相互对立的逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派。
以希尔伯特为代表的形式主义企图把全部数学建立在少数公理的基础上，然后给公理的无矛盾性一个绝对的证明，这就是所谓证明论。
1931年，哥德尔证明了他的著名的不完全性定理，使得希尔伯特所期望的形式系统的绝对完全性的证明根本做不到，从而使数理逻辑完全转向一个新的方向。
1931年，哥德尔的不完全性定理导致数理逻辑的大发展。
首先是20世纪30年代发展起来的一般递归函数的概念，1936年图灵提出了图灵机的概念，给可计算性一个具体的刻画。
由于不完全性定理出现形式系统中的不可判定问题，特别是群的字的问题不可解与希尔伯特第10问题的否定解决。
1938年，哥德尔证明连续统假设的相对无矛盾性，20世纪60年代又发现选择公理和连续统假设等的相对独立性，由此产生一系列的数学方面的后果。
特别是从20世纪50年代起模型论的诞生，对数学本身也有很大的冲击，其中主要的是非标准分析的产生以及拓扑斯理论的发表。
由于集合论的公理系统不完全，自然考虑加进一些新的公理，其中选择公理是比较重要的，在代数和分析的许多证明中是不可少的。
但是也有一些公理，比如大基数公理，可以导出所有实数的子集都是勒贝格可测的。
数理逻辑的研究又重新受到数学家的重视。
二、结构数学20世纪上半期主要奠定抽象代数、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析等分支的基础，20世纪下半期结构数学的重点是代数拓扑学。
1、抽象代数从19世纪末起，代数学的面貌发生了根本性改变，这时抽象群的结构理沦和表示理论已经有了一定的发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
韩山师范学院成人教育学生毕业论文（2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信.毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要在人类文明进程中，数学作为科学的推动力或直接的参与者，起到了不可或缺的作用.20世纪，数学蓬勃发展，并向其他科学技术领域更加广泛和深入地渗透. 20世纪的数学与经典数学相比发生了翻天覆地的变化.因此, 研究20世纪数学的发展具重要的意义.本文将主要通过两个方面来展现20世纪数学发展的概貌：介绍20世纪数学发展趋势的主要特征，陈述20世纪数学的大事记.关键词：20世纪；数学；发展趋势；大事记AbstracMathematics as the driving force of science or as a direct participant plays an indispensable role in the progress of human civilization. In 20th century, mathematics developed quickly and infiltrated other science and technology field more deeply and widely. Therefore, it is significant to study the development of mathematics in the 20th century. The paper will show the general picture of the development of mathematics in the 20th century in two aspects: introducing the main characteristics of the development of mathematics in the 20th century, and giving memorabilia of mathematics in the 20th century.Key words : 20th century; mathematics; development tendency; memorabilia目录1. 20世纪数学发展趋势 (1)1.1 纯粹数学的主要趋势 (2)1.1.1 更高的抽象 (2)1.1.2 数学的统一化 (3)1.1.3 对基础的深入探讨 (5)1.2 应用数学 (5)1.2.1 数理统计 (5)1.2.2 运筹学 (6)1.2.3 控制论 (7)1.3 数学与计算机 (8)1.3.1 电子计算机的诞生 (8)1.3.2 计算机影响下的数学 (8)1.3.3 计算机科学中的数学 (10)2. 20世纪数学大事记 (11)3. 结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)20世纪数学发展概述英国科学家丹皮尔曾经说过：“再没什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”.数学是历史最悠久的人类知识领域之一.从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材.数学在人类文明进步的整个历史过程中作出了无与伦比独特的巨大贡献.数学早已被确认为是一门科学, 按照传统的科学体系分类法, 人们一般把数学当作自然科学的一个分支.在信息化、高科技的今天, 人们也越来越认识到：数学不仅是科学, 还是技术. 数学已兼有科学和技术两种品质, 这是其它学科所难做到的, 不可不知.正如马克思所说：“一种科学只有在成功地运用数学时, 才算达到了真正完善的地步.”20世纪刚刚过去，百年来的世界数学，恰如高山巍峨，大海浩瀚.17 世纪近代数学在欧洲产生之后, 经历了18 世纪的积累和19 世纪的变革，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展，与经典数学相比发生了很大变化.现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已经成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地变化发展之中.特别是20 世纪40 年代计算机诞生以后, 数学核心领域 (即核心数学, 也称纯粹数学) 的扩张, 数学空前广泛的应用, 以及计算机与数学的相互影响, 形成了现代数学研究活动的三大方面：纯粹数学领域诞生了一些新的抽象分支: 实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数, 经典分支如数论、微分方程论、微分几何、复变函数论和概率论等也进一步高度发展；数学的应用越来越广泛, 发展出一些应用数学分支: 数理统计、运筹学和控制论等；计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力, 进一步活跃了计算方法的研究, 形成了一门以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的新的数学分支——计算数学.同时, 数学的发展也显示出, 数学与社会、经济、生产的联系越来越紧密.如果说, 在历史上纯数学的成果首先是被利用于其他自然科学领域而对科学革命、继而对社会、经济发生影响, 那么, 20世纪的现代数学成果则更快地直接应用到了经济发展中, 对各国家的经济决策产生影响.在我看来，对20世纪数学发展的研究，无论对于进一步深刻认识作为科学的数学本身，还是进一步深入了解人类文明的发展都具有重要的意义.1.20世纪数学发展趋势20世纪的数学发展，主要可分为三大活动：第一是数学核心领域（既核心数学，也称纯粹数学）的扩张；第二是数学的空前广泛应用；第三是计算机和数学的相互影响.这三大活动构成了20世纪数学发展的主要线索.1.1 纯粹数学的主要趋势纯粹数学是19世纪的遗产，按照英国数学家、哲学家罗素的看法，纯粹数学在20世纪，得到了巨大的发展.纯粹数学在20世纪不断的挺进，并且产生出很多令人惊异的成就.比如，众所周知、哄动一时的费马大定理，自它被提出已经有300多年的历史了，但是在之前几个世纪一直都没有解决，到了20世纪被解决了.还有，四色定理也是有100多年的历史了，在20世纪初被解决了.再如，连续统假设在某种意义上，也可以说是在20世纪获得了解决.包括很复杂的有限单群的分类定理，也是20世纪的重大成果.所以说，20世纪产出来一系列令惊叹的成就.与19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势：1、更高的抽象性.2、更强的统一性；3、更深入的基础探讨.1.1.1 更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一.这一趋势，最初主要是受到了两大因素的推动，集合论观点的渗透和公理化方法的运用.（1）、集合论观点：19世纪末由G.康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家（包括克罗内克、克莱因和庞加莱等）的反对，但到20世纪初，这一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，在弗雷歇等人的著作（如《关于泛函演算若干问题》，1960）中集合已不必是数集或点集，而可以是任意性质的元素集合，如函数的集合，曲线的集合等等.这就使集合论能够作为一种普遍的语言而进入数学的不同邻域，同时引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等等）的深刻变革.（2）、公理化方法：H.外曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础，而现在它却成为具体数学研究的工具，”现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特.我们已经知道，虽然欧几里德已经用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理系统不是完备的.希尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统.与以往相比，希尔伯特公理化方法具有两个本质的飞跃.首先，是希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象.欧几里德几何对所讨论的几何对象（点、线、面等）都给以描述性定义，而希尔伯特发现点、线、面的具体定义本身在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们与所选择的公理的关系.因此希尔伯特的公理体系虽然也是从“点、线、面”这些术语开始，但他们都是纯粹抽象的对象，没有特定的具体内容.正如希尔伯特本人曾形象地解释的那样：不论是管这些对象叫点、线、面，还是叫桌子、椅子、啤酒杯，它们都可以成为这样的几何对象，对于它们而言，公理所表达的关系都成立.这就赋予了公理系统的最大的一般性，当赋予这些抽象对象以具体内容时，就形成各种特殊的理论.其次，希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，既：（1）相容性（2）独立性（3）完备性.由于上述的特点，希尔伯特的公理化方法不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领域，成为组织、综合数学知识并推动具体数学研究的强有力的工具.集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路.这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛兴.这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展.1.1.2 数学的统一化20世纪以来，数学的发展也像其他科学一样，一方面不可避免地越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，既不同科相互渗透、结合的趋势.20世纪下半叶，数学科学的这种统一化趋势空前加强.不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起.下面我将按统一性的观点对20世纪纯粹数学的部分分支作一扫视.我们将会看到，至少从使用的数学方法而论，数学中不同分支的界限正在变得模糊.（一）、微分拓扑与代数拓扑拓扑学的基本对象是“流形”.流形是通常曲面的推广.如果撇开具体的曲面现象，一个n维流形的抽象定义是指具有下列性质的对象：它从任何一个局部看都很像通常的n维欧几里德空间（R n）.如二维球面就是一个二维流形：任意一小片球面看上去都像一小片平面.当然局部相象并不能推出整体相象，不过这种局部相象使我们可以在任一流形的局部区域建立笛卡儿坐标系以及其为基础的通常的微分运算，就称这样的流形为“微分流形”或“光滑流形”，而称为微分运算基础的、能覆盖整个流形的坐标系（类似于球面上的经、纬线）为“微分结构”.这里“协调一致”是指从流形的一个局部过渡到另一个局部时不会发生互相冲突.以微分流行为基本对象的拓扑学叫做微分拓扑学.微分拓扑学的创始人是美国数学家惠特尼（H.Whiney,1907-1989, 他在1936年发表《微分流形》一文，给出了微分流行的一般定义，并证明了任何微分流形M n 总可以嵌入到高维欧式空间作为光滑子流形.1937年他又引进了重要的基本概念“纤维丛”.纤维丛可以粗略地看成是普通曲面及其上每点的切平面所成总体的推广.对一般的流形，惠特尼将流形本身及其上每点的切平面所成总体的推广.对一般的流形，惠特尼将流形本身及其上每一点的线性独立的切向量组的全体总括在一起而得到纤维丛的概念，并定义了作为纤维丛结构的基本不变量的惠特尼示性类.惠特尼示性类的定义涉及上同调类，因而使微分拓扑与代数拓扑紧密地联系起来.事实上，微分拓扑学中广泛地使用着与同调、同伦等有关的代数拓扑方法.反过来，代数拓扑学又受到了微分拓扑学的推动.纤维丛由于其局部线性的特征而成为代数拓扑中同调与上同调计算的便利工具.（二）、整体微分几何微分几何的主要研究工具是微分，由此多数古典微分几何是局部性的、小范围的.整体微分几何以研究微分几何性质与大范围性质之间的联系为目标.由于纤维丛的概念反应了流形的固有的拓扑性质，它提供了从局部研究向整体研究过度的合适机制.因此，整体微分几何的研究与微分拓扑学便有不解之缘，纤维丛与示性类的引入，使整体微分几何的研究出现了突破，陈省身在这方面有奠基性的贡献.微分几何本来就是分析在几何中的应用.整体微分几何则表现出与现代分析更深刻的联系，特别是非线性偏微分方程理论的运用，引出了整体微分几何的重大成果.（三）代数几何代数几何原来是伴随解析几何发展起来的以欧式空间中的曲线和曲面为对象的分支，后来演变为研究若干代数方程的公共零点集（即代数簇）的几何性质.虽然在20世纪以前已积累了大量工作，代数几何的基础却不牢固.直到1939年，范德瓦尔登才利用交换代数的方法奠定了代数几何的新基础.1946年，韦依发表《代数几何基础》，利用抽象代数方法建立了抽象域上的代数几何理论，以后代数几何的发展便与代数拓扑、多复变函数、抽象代数、微分几何等交织在一起，并取得了重大的进展.1955年，法国数学家塞尔利用拓扑学中“层”的概念建立代数簇的理论，以此为基础格罗申迪克将代数簇概念推广为更一般的“概型”.概型的概念使代数几何的发展进入了新阶段.它不仅统一了代数几何本身的各种理论与结果，而且使代数几何与代数数论的研究统一到共同的语言下，形成了所谓“算术代数几何”，并引导了重大的突破.（四）多复变函数论单复变函数论在19世纪以皮卡为代表的法国函数论学派的工作已有很大的发展，如耐凡林那理论、覆盖面理论等的建立.在20世纪，单复变函数论在黎曼曲面与单值化、拟共形映照等方面都有重要的进展.多复变函数论是单复变函数论的自然推广，但多变量情形的复杂性使这种推广在1950年以前进展缓慢.到20世纪下半叶，由于综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数等领域的概念与方法，多复变函数论的研究取得了很大的进步.一个重大的突破是古典黎曼-洛赫定理的推广.（五）动力系统庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的出发点.美国数学家伯克霍夫从1912年起以三体问题为背景，扩展了动力学系统的研究.1937年，庞特里亚金提出结构稳定性概念，要求在微小的扰动下保持相图不变，使动力系统的研究向大范围转化.1925年莫尔斯推广伯克霍动力系统理论中间极小极大原理，得到莫尔斯不等式，以后有发展成所谓“莫尔斯理论”，即讨论微分流形上可微函数f的临界点理论.动力系统的研究由于方法与分析方法的有力结合而取得了重大进步，借助与计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论，这方面的研究涉及众多的数学分支.（六）偏微分方程与泛函分析现代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论等分支都有密切的联系.（七）随机分析日本数学家伊藤清引进的随机积分与随机微分方程，为一门意义深远的数学新分支——随机分析的发展奠定了基础.自那以后，概率论分析与几何领域渗透日益加剧，还产生了随机微分几何、无穷维随机分析等领域.1976年马利安文等用随机分析方法重新证明了阿蒂亚-辛格指标定理和偏微分椭圆算子的霍尔曼德定理，更加深刻地揭示了随机性数学与决定性数学的内在统一性，随机分析的研究方兴未艾，并与理论物理密切相关.1.1.3 对基础的深入探讨数学的严格基础，自古希腊以来就是数学家们追求的目标.这样的追求，在20世纪以前曾经历过两次巨大的考验，即古希腊不可公度量的最高成就——集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望.尽管集合论的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题，庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说, 完全的严格性已经达到了”!但就在第二年，英国数学家罗素却以一个简单明了的集合论“悖论”，打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新的争论.对数学基础的更深入的探讨及由此引起的数理逻辑的发展，是20世纪纯粹数学的又一重要趋势.1.2 应用数学数学向另一门科学渗透到一定阶段，就会形成一些交叉分支，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学.等等.它们的数目还在增加.但一般说来，它们在数学方法上很难独立.20世纪应用数学发展的一个独特景观，是产生了一批具有自己的数学方法、相对独立的应用学科.1.2.1 数理统计简单的统计古来就有.但以概率论为基础、以统计推断为主要内容的现代意义的数理统计学，则到20世纪才告成熟.英国生物学家和统计学家皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用.1901年，皮尔逊通过发展相关与回归理论，成功地创立了生物统计学.1908年，皮尔逊的学生戈塞特以“学生分布”开创了小样本统计理论，使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象.现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔.20世纪20、30年代，他因提出许多重要的统计方法，而开辟了一系列统计学的分支领域.如系统的相关分析与回归分析、方差分析、试验设计.费希尔因为引进显著性检验概念而成为另一门重要统计分支假设检验的先驱之一.费希尔实际上还开辟了多元统计分析的方向，他关于多元正态总体的统计分析，就是一种狭义的多元分析.1928年维夏特导出了“维夏特分布”，将这一方向发展为统计学中的一个独立分支.多元统计分析的奠基人还有中国数学家许宝騄和美国数学家霍太林等.1946年，瑞典数学家克拉姆用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟.二战期间，数理统计学研究中一些重要的新动向，在很大程度上决定了这门学科在战后的发展方向.其中最有影响的是美籍罗马尼尼数学家沃尔德提出的序贯分析和统率决策理论.序贯分析的要旨是在统计推断中以“序贯抽样方案”来代替传统的固定抽样方案，这样就可以使整个推断程序在达到一定精度时自动停止，因此有很大的优越性.沃尔德原为解决军方提出的实际问题而提出这一统计方法.1947年，他发表专著《序贯分析》，使之在战后发展为数理统计中一个重要分支.统计决策理论也因首次将决策观念纳入统计方法而引起了战后数理统计思想的革新.他用博奕的观点看待数理统计问题，定义了统计推断程序的风险函数，用以判别推断程序的好坏.这是对传统统计方法的突破与创新.1.2.2 运筹学运筹学原意为“作战研究”（Operational Research ），最早因二战中负责英国海岸雷达系统的罗（A. P. Rowe ）的倡议而发起.“运筹”之说在中国确定于1964年，语出《汉书》：“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”运筹研究在1940年英国对付德军空袭的战斗中建有奇功，在如搜寻潜艇、深水炸弹投放方案、兵力分配等方面也都发挥了功效.二战结束后，运筹学被引入民用部门，研究内容不断扩充，形成了一门新兴的应用学科.目前，它已包括有数学规划论、博奕论、排队论、决策分析、图论、可靠性数学理论、库存论、搜索论等许多分支，统筹与优选也可列入运筹学的范畴，运筹学就是运用这些数学方法来解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关的问题.数学规划是运筹学中一个基本而又庞大的领域，其中线性规划论则是发展最早和比较成熟的分支.有一类实际问题需要将某些对象最大化（如利润、安全等）或最小化（如支出、风险等），数学规划就是为这类实际问题提供数学模型的一种方法，具体地说，数学规划寻求函数),,,(21n x x x f 在规定),,,(21n x x x 必须满足一定条件时的极小（或极大）值.),,,(21n x x x f 称为“目标函数”，必须满足的条件称为“约束条件”.如果目标函数和约束条件都是线性的，就叫线性规划，即∑==ni i i x a x f 1)(min约束条件为∑=≥=≥=niijiijmimjxcxb1);,,2,1;0(线性规划问题在孕育整个运筹学的数学理论方面扮演了重要角色，并且至今仍是这门学科的中心课题.线性规划的先驱者是苏联数学家康托洛维奇，他于1939年发表《生产组织与计划中的数学方法》，这是为最早的线性规划著作.1947年，美国的丹齐克又独立地发展了线性规划理论，线性规划这一名称就是他首先使用的.特别是，丹齐克设计了单纯形算法作为处理线性规划问题的工具.单纯形法在实用上非常有效，因而使线性规划论有了发展的基础.通过探讨目标函数和约束条件的不同情况，数学家们得到了线性规划论沿不同方向的推广.1951年库恩和塔克尔对一般非线性规划问题得到了局部极值点的“库恩-塔克尔条件”，他们的论文《非线性规划》，可以看作是这一分支学科的发端.继线性规划和非线性规划之后建立的另一个数学规划论同时也是运筹学的基本分支是动态规划，其奠基人是贝尔曼.贝尔曼1957年发表的专著《动态规划》，标志着该学科的建立.1.2.3 控制论控制论也是在二战期间新兴的应用学科.其创始人维纳因接受军方的与火力控制有关的“预报问题”而开始了这方面的研究.与此同时，维纳关注的还有“滤波问题”.在维纳之前，预报问题与滤波问题一直被视作不同问题进行讨论.维纳的独到之处在于发现了它们与其他类似问题的共性，并借用统计学的时间序列概念对它们做出了统一处理.维纳将它们的求解问题归结为特定数学算符的最优设计，以及实现这些算符的物理装置的最优设计.这种设计过程，依赖于数学中变分法的极小化技术，同时取决于所处理信息时间序列的统计学.维纳广泛地利用了调和分析与数理统计等数学领域中成熟的工具，建立起一整套最优设计的方法，逐步形成了系统的控制理论.1948年，维纳终于出版了他的名著《控制论》，宣告了这门学科的诞生.维纳的控制论通常被称为“经典控制论”.20世纪50年代以后，它获得推广发展，形成了研究系统调节与控制的一般规律的现代控制论.1958年，庞特里亚金提出极大值原理，是为确定系统最优控制的一种强有力的方法；1960年，卡尔曼引进状态空间法和“卡尔曼滤波”概念，使人们能更有效地控制随机噪声，扩大了控制论的研究范围.庞特里亚金极大值原理、卡尔曼滤波以及前面已提到的贝尔曼动态规划最优化原理，构成了现代控制论的三大基石.在20世纪形成的与数学密切相关的应用学科中，还应该提到信息论.信息论的创始人是美国人香农，他1948年发表“通信的数学理论”等论文，以概率论为基础研究信息量与通信编码.信息论后来则发展成更一般的关于信息加工、存储与分析的理论.1.3 数学与计算机。