江苏高一数学下学期期中试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。
江苏省高一数学下学期期中试题(含解析)
【解析】
平面 ，那么 ，又 平面 ， 平面 ，设 ，在 中， ，在 中， ， ， 时，三棱锥P-AEF体积最大为 ，此时， ， .
【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
那么由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为2．
故答案为：2．
【点睛】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：〔1〕圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；〔2〕圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
那么k2= =﹣4，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
那么直线l的斜率的取值范围是〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕，
故答案为〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕．
【点睛】此题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道根底题．
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即樟卯结构〕啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内〔容器壁的厚度忽略不计〕，假设球形容器外表积的最小值为30π，那么正四棱柱的高为______．
【详解】
证明：〔1〕取PB的中点E，连接EN，AE．
江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________参考答案：1．C【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解．【详解】设()i ,z a b a b =+ÎR ，则2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，2724iz =--Q ，227224a b ab ì-=-\í=-î，解得34a b =ìí=-î或334i 4a z b =-ì\=-í=î．或34i z =-+．所以复数z 的虚部为4±．故选：C.2．B【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A ；由复数相等的定义可判断B ；用特殊值可判断C 、D.【详解】对于A ，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A 错误；对于B ，若i z a b a =+Î（R,b Î R )则当0a b ==时，i 0z a b =+=，反之，若i=0z a b a =+Î（R,b Î R )，则由复数相等的定义知，必有0a b ==成立，故若i z a b a =+Î（R,b Î R )，则当且仅当0a =且0b =时，0z =，B 正确；对于C ，令12i z z =1=，，则2222121i 0z z +=+=，此时不满足120z z ==，C 错误；若i 1i(,x y x y +=+ÎC )，不妨令i x =，i y =-，满足等式，此时1x y ==不成立，故D 错误．故选:B 3．B【分析】结合线面垂直的性质即可分析.【详解】过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选：B.4．B【分析】把条件2222OA OB CA CB -=-转化为2222OA OB CA CB-=-uuur uuu r uuu r uuu r ，再根据向量的运算与a 的位置关系为：//b a 或故答案为：//b a 或b a Ì13．24,55æöç÷èø。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
离为（ ）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ， 故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ， 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .
2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数()()22i 0m m m -+-=，则实数m =（）A ．2B ．3C ．0D ．1【答案】A【分析】根据复数相等可得出关于实数m 的方程组，即可解得实数m 的值.【详解】因为复数()()22i 0m m m -+-=，则有20(2)0m m m -=⎧⎨-=⎩，解得2m =，故选：A.2．已知向量()2,1a =r ，(),1b λ=- ，若a b ∥，则实数λ=（）A ．2B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】若a b ∥，则()211λ⨯-=⨯，解得2λ=-.故选：C.3．某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为24的样本，则应抽取的老年人人数为（）A ．6B ．10C ．8D ．4【答案】D【分析】首先确定抽样比，再用抽样比乘以样本容量即可得到应抽取的老年人人数.【详解】首先确定抽样比2718154276=++，则抽取一个容量为24的样本，应抽取的老年人人数为12446⨯=，故选：D.4．已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．12-B ．12C ．34-D ．34【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由πtan()34α+=，得πtan tanπtan 14tan()3π41tan 1tan tan 4ααααα+++===--，解得1tan 2α=.故选：B5．已知向量()1,2a =r ，()4,b k = ，若a 与b 垂直，则a 与a b + 夹角的余弦值为（）A ．33B ．34C ．55D ．45【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为a 与b垂直，则1420k ⨯+⨯=，解得2k =-，即()4,2b =- ，可得()5,0a b +=，则()222215205,125,505a a b a a b ⋅+=⨯+⨯==+=+=+= ，所以a 与a b + 夹角的余弦值()55cos ,555a a b a a b a a b⋅++===⨯⋅+.故选：C.6．已知1cos cos 2αβ-=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．5972【答案】D【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ-=-+=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=，两式相加得()()1113cos cos sin sin 22cos 249326αβαβαβ-=-+=+=-，()59cos 72αβ∴+=.故选：D.7．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，若60A =︒，1b =，3ABC S = ，则sin sin a bA B++的值为（）A ．2393B ．239C ．39D ．13【答案】A【分析】利用三角形的面积求出c ，利用余弦定理求出a ，然后求出sin aA 进而得出sin sin a b A B++的值．【详解】因为60,1,3ABC A b S ︒=== ，所以131sin602c =⨯⋅︒，所以4c =，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-，所以2116413a =+-=，13a =，所以由正弦定理得13239sin 3sin s 2i 3n a bA B a A ++===．故选：A ．8．已知正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅的取值范围是（）A ．(]0,16B ．[)0,16C ．(]0,8D ．[)0,8【答案】B【分析】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，利用平面向量数量积的运算性质可得2PE = ，求出PF 的取值范围，可得出24CP DP PC PD PF ⋅=⋅=- 的取值范围.【详解】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，则()()()()22240PA PB PE EA PE EB PE EA PE EA PE EA PE ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，所以，2PE = ，所以，点P 在以线段AB 为直径的半圆弧上，如下图所示：当点P 为线段EF 与半圆弧的交点时，PF取最小值2，结合图形可知，2241625PF BF CF BC <=+=+=，故225PF ≤<，同理可得[)240,16CP DP PC PD PF ⋅=⋅=-∈ ，故选：B.二、多选题9．对一组数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅，如果将它们改变为()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅，其中0c ≠，则下面结论中正确的是（）A ．均值变了B ．方差不变C ．均值与方差均不变D ．均值与方差均变了【答案】AB【分析】根据均值、方差的性质分析判断.【详解】设数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅的均值为x ，方差2s ，则数据()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅的均值为x c +，方差2s ，且0c ≠，故均值改变，方差不变，故A 、B 正确，C 、D 错误.故选：AB.10．已知复数3i1iz +=-，则下列说法正确的是（）A ．5z =B ．z 的虚部为2-C ．z 的共轭复数为12i -D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的概念、模、共轭复数定义、几何意义判断各选项．【详解】由题意知，复数3i (3i)(1i)12i 1i 2z +++===+-，所以5z =，虚部为2，z 的共轭复数为12i -，z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：ACD.11．下列各式中，值为1的是（）A ．3tan1513tan15-︒+︒B ．24tan15cos 15︒︒C ．2cos10sin 20cos 20︒-︒︒D ．()sin 5013tan10︒+︒【答案】ABD【分析】逆用差角的正切计算判断A ；切化弦并降幂扩角计算判断B ；凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C ；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D 作答.【详解】对于A ，3tan15tan 60tan15tan 4511tan 60tan1513tan15-︒︒-︒==︒=+︒︒+︒，A 是；对于B ，22sin154tan15cos 154cos 154sin15cos152sin 301cos15︒︒︒=⋅⋅︒=︒︒=︒=︒，B 是；对于C ，2cos10sin 202cos(3020)sin 202(cos 30cos 20sin 30sin 20)sin 203cos 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒===︒︒︒，C 不是；对于D ，sin 50(cos103sin10)sin 502cos50sin100sin 50(13tan10)1cos10cos10cos10︒︒+︒︒⋅︒︒︒+︒====︒︒︒，D 是.故选：ABD12．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，则下列命题中正确的是（）A ．在ABC 中，sin sin AB >的充要条件是A B>B ．在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形C ．在锐角ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B >恒成立D ．在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形【答案】ACD【分析】根据正余弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =⇒=,所以222π,Z,A B k k =+∈或22π2π,Z,A B k k +=+∈因此A B =或π2A B +=，故ABC 为等腰三角形或者直角三角形，故B 错误；对于C ，因为锐角三角形ABC ，故ππ2A B >+>,故cos()0A B +<，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+<，故sin sin cos cos A B A B >，故C 正确；对于D ，2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c b ac +-=，结合2b ac =得2()0a c -=，故a c =，又60B =︒，故60A B C ===︒，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是.【答案】17【分析】利用百分位数的求法即可.【详解】因为1590%13.5⨯=，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.14．已知4a = ，a 与b 的夹角为120°，则a 在b方向上的投影向量的模为.【答案】2【分析】由投影模长公式cos a θ⋅ ，代入数据即可求得a 在b 方向上的投影向量的模.【详解】a 在b 方向上的投影向量的模1cos 4cos120422a θ⎛⎫=⋅=⨯︒=⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为：2.15．若342ππβπα<<<<，且()2cos 10αβ+=-，4sin 25β=，则αβ-=.【答案】34π【分析】由题意求出αβ-的范围，cos 2β，()sin αβ+的值，而αβ-=()2αββ+-，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.【详解】因为4πβπ<<，所以222πβπ<<，4sin 205β=>，所以22πβπ<<，所以42ππβ<<，所以24ππβ-<-<-，32ππα<<，所以524ππαβ<-<，因为22πβπ<<，4sin 25β=，则3cos 25β=-，524παβπ<+<，()2cos 10αβ+=-，所以()72sin 10αβ+=-所以()()()()sin sin 2sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ⎡⎤-=+-=+-+⎣⎦7232421051052⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以αβ-=34π.故答案为：34π.16．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别表示角,,A B C 所对边的长，πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23b =，则a c +的取值范围是.【答案】(6,43⎤⎦【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得π3B =，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理π43sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数求取值范围.【详解】因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+，π312sin cos 2sin cos cos 3cos sin cos cos 622C B C C B B C B C ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即cos cos sin sin 3cos sin cos cos B C B C B C B C -+=-，整理得sin sin 3cos sin B C B C =，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得sin 3cos B B =，即tan 3B =，且()0,πB ∈，可得π3B =，因为ABC 为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，由正弦定理可得234sin sin sin 32a b c A B C ====，即4sin ,4sin a A c C ==，可得()4sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2sin 23cos a c A C A A B A A A +=+=++=++π6sin 23cos 43sin 6A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3sin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(π43sin 6,436a c A ⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故a c +的取值范围是(6,43⎤⎦.故答案为：(6,43⎤⎦.四、解答题17．已知复数()11i z a a =+∈R ，复数234z i =-，(1)若12z z +∈R ，求实数a 的值；(2)若2a =，求12z z .【答案】(1)4(2)112i+【分析】（1）根据复数的加法结合复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的乘法运算求解.【详解】（1）由已知()1244i z z a +=+-∈R ，则40a -=，解得4a =，（2）当2a =时，()()1212i 34i 34i 6i 8112i z z =+-=-++=+.18．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率直方图.(1)求a 的值；(2)试估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；(3)试估计该地区某种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】(1)0.006(2)12(3)47.9【分析】（1）由概率之和为1即每个小长方形的面积之和为1可求得a ；（2）首先计算[)20,30的小长方形的面积即概率，即可求得年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；（3）由平均值等于组中值乘以小长方形的面积之和即可求得平均年龄.【详解】（1）由()0.0010.0020.0120.0170.0230.0200.0170.002101a ++++++++⨯=，得0.006a =.（2）0.0121010012⨯⨯=从而估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数为12人（3）设平均年龄为x ，则由频率直方图可得：(50.001150.002250.012350.017450.023550.02650.017x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.006850.002)1047.9+⨯+⨯⨯=从而估计本地区某种疾病患者的平均年龄为47.9岁.19．如图，在ABC 中，25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，设CA a= ，CB b = ．(1)用a ，b 表示AF ，BE；(2)如果60ACB ∠=︒，2AC =，且CD EF ⊥，求BC ．【答案】(1)13AF b a =- ；12BE a b =-；(2)3【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）先求得,EF CD ，由CD EF ⊥，可得0CD EF ⋅= ，从而可得222301510b a -= ，结合已知可得3b = 即可.【详解】（1）因为25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ，所以1133AF AC CF CA CB b a =+=-+=- ，1122BE BC C E B CA b C a =+=-+=- .（2）因为11112332EF EC CF CA CB b a =+=-+=-，()223223555555CD CA AD CA AB CA CB CA CB b aCA =+=+=+=+=-+又因为CD EF ⊥，所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以222301510b a -= ，由2a = ，可得3b = ，所以BC 的长为3.20．在ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.(1)求sin sin BC；(2)若1AD =，1DC =，求ABC 的面积.【答案】(1)12(2)3158【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理运算求解；（2）因为πADC ADB ∠+∠=，分别在ABD △和ACD 中使用余弦定理，结合（1）中的2AB AC =，可解得1cos 4ADC ∠=，进而计算出△ABC 的面积.【详解】（1）因为AD 平分BAC ∠，则BAD CAD ∠=∠，即sin sin BAD CAD ∠=∠，又因为2ABD ADC S S =△△，则11sin 2sin 22AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⨯⋅∠，所以2AB AC =，在ABC 中，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ==.（2）因为::2:1ABD ADC S S BD DC ==△△，所以22BD DC ==，在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠，又因为πADC ADB ∠+∠=，所以cos cos ADC ADB ∠=-∠，由（1）知2AB AC =，则()22222cos 42cos AD BD AD BD ADC AD DC AD DC ADC++⋅∠=+-⋅∠，即()144cos 4112cos ADC ADC ++∠=+-∠，所以1cos 4ADC ∠=，因为()0,πADC ∠∈，所以2115sin 1cos 1164ADC ADC ∠=-∠=-=，由于2ABD ADC S S =△△，所以1153153311248ABC ADC S S ==⨯⨯⨯⨯=△△.21．已知函数()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若()2f x =，求x 的取值集合；(2)若()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)}{|ππ,4x x k k =∈+Z (2)(,22⎤-∞⎦【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简整理后，解方程即可求出结果；（2）()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，进而利用二倍角和同角的平方关系化简整理，再结合均值不等式即可求出结果.【详解】（1）因为()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πππππ2cos sin 23cos 3sin 23cos 266633x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1π3πππππ2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 223233333x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 2x =，若()2f x =，则π22π2x k =+，k ∈Z ，所以x 的取值集合为}{|ππ,4x x k k =∈+Z （2）因为()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以sin 2cos 23a x x -≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.由ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得sin 20x ≠，因此3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.2222223cos 23sin 3cos cos sin sin 2cos sin 22sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x+++-+==2tan 22tan tan tan x x x x+==+.因为ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan 1,3x ⎡⎤∈⎣⎦，由基本不等式得22tan 2tan 22tan tan x x x x+≥⋅=，当且仅当tan 2x =时，取到等号.所以a 的取值范围为(,22⎤-∞⎦.22．已知,,a b c 分别表示ABC 中角,,A B C 所对边的长，cos b A c =，2b =(1)求B ；(2)若O 为ABC 的外接圆，若PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，求PM PN ⋅ 的最小值.【答案】(1)π2(2)223-【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数的和差公式化简求值即可；（2）结合图形，利用数量积的定义与圆的切线的性质转化PM PN ⋅ ，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）已知cos b A c =，由正弦定理得sin cos sin B A C =，又因为πA B C ++=，所以()sin sin C A B =+，所以()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+，即sin cos 0A B =，可得sin 0A =或cos 0B =，因为0πA <<，0πB <<，所以sin 0A ≠，则cos 0B =，即π2B =.（2）由O 为ABC 的外接圆，且π2B =，所以ABC 的外接圆的半径112r OA OC b ====，又因为PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，所以1OM ON == ，又222221PM PN OP ON OP ==-=- ，1OP > ，所以()2cos 12sin PM PN PM PN MPN PM PN NPO ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅-∠ ()2222222212113ON PM OP OP OP OP OP ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪=-=--=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22223223OP OP≥⋅-=- ，当且仅当42OP = 时，等号成立，所以PM PN ⋅ 的最小值为223-.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分利用圆的切线的性质，将cos MPN ∠转化为212ON OP ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ ，从而得解.。
江苏省南京高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ） z ()13i z i -=-i zA ．1B ．2C D ．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．z【详解】由题意． 23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i i z i i i i --++--====+--+=故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．已知向量，满足，则向量，夹角的大小等于（ ）a b||a = ||b = ()1a b b -⋅= a b A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】A【分析】先由得到，再根据数量积公式得到()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= cos θ=的范围进行求解.【详解】设向量向量，的夹角为， a bθ由，得， ()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= 即，2||||cos ||1a b b θ⋅-=因为||a = ||b =所以，解得 21θ-=cos θ=又因为，所以，0180θ≤≤ 30θ= 即向量，的夹角的大小为30°． a b故选：A ．3．已知复数z 1，z 2，则z 1z 2的代数形式是（ ）cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭cos sin 66i ππ⎫+⎪⎭ABcos sin 44i ππ⎫+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭C D【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得． 【详解】∵a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，∴， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-∴, sin()sin()sin cos sin cos B C C A C B C A +-+=-∴， sin cos sin cos 0B C A C -=∴或，∴或，cos 0C =sin sin A B =2C π=A B =故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用． 5．若，则（ ） 4sin 3cos 0αα-=2sin 22cos αα+=A ．B ．C ．D 4825562585【答案】B【解析】由，求得，再由，即可求出．4sin 3cos 0αα-=3tan 4α=222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+【详解】由，求得， 4sin 3cos 0αα-=sin 3tan cos 4ααα==而， 222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++所以． 22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则ABC ∆3AB AC ==4BC =P BC ()AP AB AC⋅+（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意(01)BP BC λλ=≤≤义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设.(01)BP BC λλ=≤≤，()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+ 因为，()()()()220BC AB AC BA AC AB AC AC AB λλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯所以.()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅= 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力. 7所得的结果是（ ）2cos 20-︒A ．B ．C ．D ．2141232【答案】B【分析】，再结合2cos20︒=展开整理即可得答案.()sin40sin6020=-【详解】2cos202cos20︒=====.sin2012sin202===故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在2cos20︒=化简整理即可求解.()sin40sin6020=-8．已知中，的面积为（）ABC1,sin,23B C A BCπ=-==ABCAB．C．D【答案】C【分析】由已知判断为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解与的值，B sin B sinC b c代入三角形面积公式得答案．【详解】解：由，得，可得为锐角，2B Cπ=-2C Bπ-=B又，，则，1sin3A=1sin()3B C∴+=1sin(223Bπ+=即，，解得，则1cos23B=∴21213cos B-=cos=B sin B=sin sin()cos2C B Bπ=+==由正弦定理，sin sin sina b cA B C==得．sinsina BbA==sin6sina CcA=．∴111sin6223ABCS bc A==⨯⨯=故选：．C二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是( ) A ．若复数(i 为虚数单位)，则 1i1iz +=-i z =B ．若复数z 满足，则2z ∈R z ∈R C ．若复数，则z 为纯虚数的充要条件是()i ,z a b a b =+∈R 0a =D ．若复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 1z =【答案】AD【分析】A ：根据复数的除法运算法则计算即可；B ：设，根据求出a 、b ()i ,z a b a b =+∈R 2z ∈R 的值即可判断；C ：根据纯虚数的概念即可判断；D ：设，求出z 对应的点(a ，b )()i ,z a b a b =+∈R 的轨迹方程即可判断．【详解】对于A ，，故A 正确； ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+对于B ，设z =a +b i ，a 、b R ，则， ∈2222i z a b ab =-+；当a =0，b ≠0时，z =b i R ，故B 错误；20z ab ∈⇒=R ∉对于C ，，则z 为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0，故C 错误；()i ,z a b a b =+∈R 对于D ，设，则，()i ,z a b a b =+∈R 2211z a b =⇒+=则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确． 故选：AD ．10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）a bA ．若，则，的方向相同+=- a b a b a bB ．若⊥，则a ba b a b +=- C ．若，则在方向上的投影向量为a b a b +=+ a b aD ．若存在实数λ使得，则a b λ=+=- a b a b 【答案】BC【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D 的正误，再根据投影向量的定义可判断C 的正误．【详解】因为，， +=- a b a b 2222+22a b a b a b a b +⋅=+-⋅ 故即，故，共线反向，故A 错误．a b a b ⋅=-⋅ cos ,1=- a b a b若⊥，则，故，故B 正确．a b 2240a b a b a b +--=⋅=a b a b +=- 若，则即，a b a b +=+ 2222+22a b a b a b a b +⋅=++⋅a b a b ⋅=⋅ 故，故，共线同向，故cos ,1a b = a b()0b a λλ=> 则在方向上的投影向量为，故C 正确． a b b a a a a a bλλ==由A 选项的分析可知：即为，共线反向，且， +=- a b a b a ba b ≥ 故当时，，共线同向，故不成立， 0λ>a b+=- a b a b 故选：BC ．11．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），ABC a ∈R tan A tan B x 230x ax a -++=则可能是（ ） ABC A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】BCD【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，，230x ax a -++=tan A tan B 所以，所以，tan tan tan tan 3A B a A B a +=⎧⎨⋅=+⎩tan tan tan()(2)1tan tan 1(3)2A B a aA B a A B a a ++===≠--⋅-+--且或. 24(3)06a a a ∆=-+≥⇒≥2a <-所以， tan()02aA B a +=<--因为，所以，从而可得， A B C π+=-tan()tan()tan 0A B C C π+=-=-<tan 0C >所以.02C π<<当时，，所以，，此时锐角三角形.6a ≥tan tan 0A B ⋅>02A π<<02B π<<ABC 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 3a <-tan tan 0A B ⋅<,A B ABC 若，则，此时，所以，解得或（舍），tan tan A B =A B =tan tan 2a A B ==322a aa ⋅=+6a =2a =-当时，是等腰三角形.6a =ABC 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. ABC 故选：BCD12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则下列224sin 02A Bb a a +-+=结论正确的是（ ） A ．角C 一定为锐角 B ． 22220a bc +-=C ． D ．sin 2sin cos 0B A C +=3tan tan 0A C +=【答案】BCD【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断. 【详解】∵，∴， 224sin02A Bb a a +-+=224cos 02C b a a -+=即，∴， ()22cos 10b a a C -++=cos 02bC a=-<又，∴一定是钝角，故A 错误；()0,C π∈C 由余弦定理知，， 222cos 22a b c bC ab a+-==-化简得，，故B 正确；22220a b c +-=∵， ()()222222222tan sin cos sin cos 1tan cos sin sin cos 332a b c bc A A C A C a b C A C C A c b ab b c a +-⋅-==⋅=⋅==-⋅+-∴，3sin cos cos sin 0A C A C +=，C 正确；()sin 2sin cos 0sin 2sin cos 0A C A C B A C ++=⇒+=∴，D 正确； 3tan tan 0A C +=故选：BCD【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、填空题13．已知平面向量，，且，则 _________ . ()2,1a =- (),2b m = a b ⊥+= a b【分析】利用求出，再求出的坐标后可求其模长．a b ⊥ m a b +【详解】因为，故，，故， a b ⊥220m -=1m =()3,1a b += 故a +14．已知，且_____________. π0π2αβ<<<<cos αβ==αβ+=【答案】54π【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出. sin ,cos αβ()sin αβ+αβ+【详解】因为， π0π2αβ<<<<cos αβ==所以 sin α===cos β===所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛== ⎝因为，所以， π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<所以，54αβπ+=故答案为：. 54π15．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西A B D A B D 15︒、北偏东方向．再往正东方向行驶16海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏45︒C B C A C 西方向，则、两岛屿之间的距离为___________海里． 60︒A B【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形在中由正弦定理求得的值，在中求出ADC △AD BDC BD ，在中由余弦定理求得的值． ADB AB 【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，105ADC ∠=︒30ACD ∠=︒16CD =45DAC ∠=︒在中，由正弦定理得：，解得ADC △16sin 45sin 30AD=︒︒AD==又，，所以， 45BDC ∠=︒90BCD ∠=︒16BC DC ==BD =又，154560ADB∠=︒+︒=︒在中，由余弦定理得：ADB ， 222260384AB =+-⨯︒=解得AB =所以､两岛屿之间的距离为 A B 故答案为：四、双空题16．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．DE AB ⊥且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF +()DE DF DA +⋅____________．【答案】 11120【分析】设，由可求出；将化为关于BE x =222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ ()DE DF DA +⋅ x的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥， 22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅ ， 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，的最小值为. 310x =()DE DF DA +⋅ 1120故答案为：1；. 1120五、解答题17．已知复数（，是虚数单位）.123i,2i z a z a =+=-R a ∈i (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； 21z z +a (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 1z 260x x m -+=m 【答案】(1) 2a >-(2) 18m =【分析】（1）写出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的几何意义结合题意列出2z 21z z +方程组，从而可得出答案；（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案. 【详解】（1）解：，22i z a =+，()()1223i z z a a +=+++因为在复平面内对应的点落在第一象限，21z z +所以，解得；2030a a +>⎧⎨+>⎩2a >-（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根， 1z 260x x m -+=所以虚数也是一元二次方程的根， 13i z a =-260x x m -+=则，2111126,9z z a z z a m +==⋅=+=所以.3,18a m ==18．已知角是的内角，若，. A ABC),cos a A A = ()1,1b =-r (1)若，求角A 的值；a b (2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.()f x a b =⋅ ()f x a b 【答案】(1)；(2). 5π6(-【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A ，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并()f x 根据投影 的定义求在上的投影向量.a b 【详解】解：(1)∵角是的内角，∴，A ABC 0πA <<又，且，),cos a A A = ()1,1b =-r a b ∴，即，cos 0A A -=12cos 02A A ⎫⎪⎭+=∴， πsin 06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∵，∴， 0A π<<ππ7π666A <+<则，即； ππ6A +=5π6A =(2)， ()πcos 2sin 6f x a b A A A ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ ∵，∴要使取得最大值，则，即. ππ5π666A -<-<()f x ππ62A -=2π3A =∴， 2π2π31,cos ,3322a ⎫⎛⎫==-⎪⎪⎭⎝⎭∴在上的投影向量为. ab ()(1,1a b b b ⋅⋅=-=- 19．在①A = ，a =b =②a = 1，b = A = ；③a，b = ，B =这3π6π3π三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 ________ ，解三角形.【答案】；或 ②ππ232B C c ===，，2ππ136B C c ===，，【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可. 【详解】（1）选择条件①π3a b A==根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或，时，，不符合题意.π4B∴=3π4B=3π4B=πA B+>所以选择条件时，，此时，①π4B=ππ5ππA Bπ4312C=--=--=计算得：sinsina CcA===此时三角形的解只有一个，不符合题意.（2）选择条件.②π16a b A===，根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或π3B∴=2π3B=时，，此时计算得：π3B=ππππA Bπ632C=--=--=2c=时，，此时计算得：2π3B=π2πππA Bπ636C=--=--=1c a==选择条件，解三角形可得结果为：②或ππ232B C c===，ππ136B C c===，，（3）选择条件③π3a b B==根据正弦定理得：sinsin1a BAb===，此时，计算得：π2A∴=ππππA Bπ326C=--=--=c=此时三角形只有一个解，不符合题意.所以选择条件，解三角形结果为：或 ②ππ232B C c ===，ππ136B C c ===20．在中，角所对的边分别为，且．ABC , ,A B C ,,a b c ()cos =2cos a B c b A -（1）求角；A （2）若向量，求的取值范围． ()2cos ,2cos ,0,sin 2c mB A n æöç÷ç÷è==ø2m n - 【答案】（1）；（2）． 3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得；A （2）由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由（1）求得角范C 围，结合余弦函数性质可得结论．【详解】解：（1）在中，ABC cos =(2)cos a B c b A -由正弦定理：，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，因为，故，sin 2sin cos C C A =(0,)C π∈sin 0C >从而，又，所以． 1cos 2A =(0,)A π∈3A π=（2） ()2cos ,10),si ,n 2(n C m B == 22cos ,12si )c n ((o = ,cos s 2C m n B B C -=- 2222cos cos m n B C -=+ 1cos 21cos 222B C ++=+)11cos 2c (os 22B C =++ ]12=1+[cos2223()cos C C p +-4()co ]11[cos 222s 3C C p -+=+]1=1+[22cos 221cos 2C C C +--111[cos 2]222C C =+- 11cos(2)23C π=++因为，， 203C π<<52333C πππ<+<11cos 232C π⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以 1151cos 22234C π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭所以2152,24m n éö÷-Îê÷êëø 所以． 2m n -Î21．如图，在四边形中，，，ABCD 34ABC π∠=AB AD⊥AB =（1）若的面积；AC =ABC ∆（2）若，，求的长. 6ADC π∠=CD =AD【答案】（1）；（2.12【分析】（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得从而，在sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭1=sin 4x πθ⎛⎫-⎪⎝⎭ACD ∆中，由正弦定理得θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin ∠CAD ．再利用余弦x 定理可得结果.【详解】（1）因为，34ABC π∠=AB =AC =所以，即，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2230BC BC +-=所以.1BC =所以. 11122ABC S =⨯= （2）设，，则， 04BAC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AC x =2CAD πθ∠=-在中，由正弦定理得：， ABC ∆sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以； 1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，，所以. ACD ∆sin sin 62x CD ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭x =即，1sin 4πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 2θ=所以，sin cos CAD θ∠=所以AC x ==cos CAD ∠=所以在中，.ACD ∆2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠即，解得（舍）.2220AD --=AD =AD =【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知的最小正周期是． ()()21sin cos (0)2f x x x x f x ωωωω=->π(1)求的值；ω(2)若，求值； ()4π7π5312f αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭sin2α(3)当时，讨论方程的根的个数． π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6f x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】(1)；1ω=； (3)答案见解析.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合函数的最小正周期计算作答.()f x （2）利用（1）的结论，结合平方关系及和角的正弦公式求解作答.（3）求出函数，并探讨在上的性质，由函数值的变化情况即可推理作答. π()6y f x =+π[0,2【详解】（1）依题意， 1cos 21cos 2π()22sin(22226x x f x x x x ωωωωω-=-=-=-函数的最小正周期，解得， ()f x 2ππ2ω=1ω=所以的值是1.ω（2）由（1）知，，于是，而， π()sin(2)6f x x =-π4()sin(2)65f αα=-=π7π312α≤≤则，， ππ2[,π]62α-∈π3cos(2)65α-=-所以 ππππππsin2sin[(2sin(2cos(2)sin 666666αααα=-+=-+-. 431()552=+-⨯=（3）由（2）知，函数，显然， πππ(sin(2),[0,662f x x x +=+∈ππ7π2[,]666x +∈函数在上单调递增，函数值由增大到1，在上单调递减，函数值由1减小π()6y f x =+π[0,612ππ[,62到， 12-则当或时，方程的根的个数为0； 12k <-1k >π()6f x k +=当或时，方程的根的个数为1； 1k =1122k -≤<π(6f x k +=当时，方程的根的个数为为2. 112k ≤<π()6f x k +=。
江苏高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则（ ） ()3,4a = ()1,2a b -= a b ⋅=A ．5B ．14C ．D ．6-【答案】B【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.a【详解】因为，，所以， ()3,4a = ()1,2a b -= ()()1,22,2b a =-=所以.324214a b ⋅=⨯+⨯=故选：B. 2．已知，则（ ） 1cos 3α=sin sin2αα=A ．B ．C ．D ．1272278271627【答案】D【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案. 2sin α【详解】因为，所以； 1cos 3α=228sin 1cos 9αα=-=所以. 28116sin cos 29327sin sin22αααα=⨯==⨯故选：D.3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，则塔尖之间的AC =BC =45MCA ∠=︒30NCB ∠=︒120MCN ∠=︒MN 距离为（ ）米.A ．80B ．120C ．D ．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.,MC NC MN【详解】，80,160MC NC ====在三角形中，由余弦定理得：MCN米.MN ===故选：D4．在中，，，则（ ） ABC 4cos 5A =()1tan 3A B -=tan B =A ．B ．C ．D ．139139559【答案】A【分析】先求出，根据可求答案. tan A ()1tan 3A B -=【详解】因为在中，，所以为锐角，且， ABC 4cos 5A =A 3sin 5A =所以； sin 3tan =cos 4A A A =因为，所以， ()1tan 3A B -=tan tan 1=1tan tan 3A B A B -+即，解得. 933tan 1tan 44B B -=+1tan 3B =故选：A.5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为ABC D BC 2AE ED =ED xAB y AC =+ 19x y+（ ）A ．B ．16C ．48D ．60163【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.2,AE ED =13ED AD =331x y +=【详解】, 12,3AE ED ED AD =∴=,，又B ，D ，C 三点共线， 13AD x AB y AC =+33AD xAB y AC =+331,0,0,x y x y ∴+=>>, ()1919327333273048y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当即当时取最小值. 1948x y ∴+≥327,y x x y =11,412y x ==故选:C.6．已知，且，，则（ ）π02βα<<<()12cos 13αβ-=3cos25β=()sin αβ+=A ．B ．C ．D ．6365336548651665【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为所以， π02βα<<<π02αβ<-<又，所以，()12cos 13αβ-=()5sin 13αβ-===因为，所以， π02β<<02πβ<<因为，所以， 3cos25β=4sin 25β==所以. ()()()()sin sin[2]sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ+=-+=-+-531246313513565=⨯+⨯=故选：A7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长ABC A B C a b c 1b =22cos a c C -=ABC 的最大值为（ ）A B C ．3 D ．113【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B ，利用余弦定1cos 2B =理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. a c +【详解】由,可得, 1b =22cos a cC -=2sin sin 2sin cos A C B C -=即，即， 2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=2cos sin sin 0B C C -=因为，故， ()0,π,sin 0C C ∈≠12cos 10,cos 2B B -=∴=而，故， (0,π)B ∈π3B =故，即，2222cos ()31b a c ab B a c ac =+-=+-=22()()31314a c a c ac ++=+≤⨯+解得，当且仅当时取等号，02a c <+≤1a c ==故周长的最大值为， ABC 213+=故选：C8,且,,则（ ） cos cos αββα=-()0,πα∈()0,πβ∈αβ-=A ．B ．C ．D ． π3π3-2π32π3-【答案】C【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从αβ-αβ-而求出.αβ-【详解】,()0,πα∈ ()0,πβ∈,,sin 0,sin 0αβ∴>>cos cos 0βα∴->又时,是减函数,,. ()0,πx ∈ cos y x =αβ∴>0παβ∴<-<由和差化积公式可得:,2sincos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=,,,,()0,πα∈ ()0,πβ∈sin02αβ+∴>,∴sin22αβαβ--=,又,, ∴tan2αβ-=0παβ<-< π23αβ-∴= 2π3αβ∴-=故选:C.二、多选题9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是ABCD 5AB =4BC =E F BC CD （ ）A ．B ．12AE AB AC =+ 12AF AB AD =+ C ． D ．41AE AF ⋅=25AC AB ⋅=【答案】BD【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可. 【详解】如图建系，，()()()()()50,0,5,0,5,4,0,4,5,2,,42A B C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭,A 选项错误;()()155,05,412,2212AB AE AC ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭+,B 选项正确; ()()1155,00,4,4222AB AD AF ⎛⎫++== ⎪⎝⎭=,C 选项错误;()5255,2,484122AE AF ⎛⎫⋅=⋅=+≠ ⎪⎝⎭,D 选项正确. ()()5,45,0554025AC AB ⋅=⋅=⨯+⨯=故选：BD.10．下列代数式的值为1的是（ ） A ． B ． 4sin75cos75︒︒22cos 15sin 15︒-︒C ． Dcos15sin15-︒︒【答案】AD【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案. 【详解】对于A ，，A 正确； 14sin75cos7502si 5n1︒︒=︒=对于B ，，B 不正确； 22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=对于C， cos15sin15i 5n15⎫︒︒=︒︒-⎪⎪⎭C 不正确； )cos45cos15sin45sin15=︒︒︒︒=︒=-对于D ，D 正确. ()tan60tan15tan 601511tan60tan15︒-︒==︒-︒=+︒︒故选：AD.11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（ ）ABC A B C a b cA ．若，，，则是钝角三角形 2a =3b =4c =ABCB ．若，则是等腰三角形 sin2sin2A B =ABC C ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C >ABCD ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C ++>ABC 【答案】AC【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案. 【详解】对于A ，因为，，，所以为最大角，2a =3b =4c =C ，所以是钝角三角形，A 正确；22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯ABC 对于B ，因为，所以或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=即或，是等腰三角形或直角三角形，B 不正确； A B =π2A B +=ABC 对于C ，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C 正cos cos cos 0A B C >cos ,cos ,cos A B C ABC 确；对于D ，当时，满足，但是为钝角三角形，D 不正π2π,63A B C ===cos cos cos 0A B C ++>ABC 确. 故选：AC.12．已知，则的值用可以表示为（ ） sin10a = 2231sin 40cos 40- a A ．B ．C ．D ．2841a a +-2421a a +-16a 32a 【答案】AD【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案. 【详解】 222222313cos 40sin 40sin 40cos 40sin 40cos 40--=， ()()2222311cos801cos8048cos8048sin1048221cos 101sin 101sin 804a a +--+++====--又 ()sin30sin 310=⨯sin(1020)sin10cos 20cos10sin 20=+=+22sin10(12sin 10)2sin10cos 10=-+ 313sin104sin 102=-=， 31342a a ∴-=故，得到 3681a a -=()()3222246883214832111a a a a a a a a a a-+-+===---故选：AD三、填空题13．向量在向量方向上的投影向量______. ()3,4a = ()1,2b =- c =【答案】()1,2-【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】向量在向量方向上的投影向量是. ()3,4a = ()1,2b =- ()1,2a bb b b⋅⋅==-故答案为：()1,2-14．函数的最小值为______. ()2sin cos2f x x x =-【答案】32-【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.()f x 【详解】，()22sin cos22sin 2sin 1f x x x x x =-=+-，根据二次函数的性质可知，1sin 1x -≤≤当时，取得最小值. 21sin 222x =-=-⨯()f x 2113221222⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32-15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______,a b a b a -= ()0a a b ⋅-= a b - b【答案】135°或者34π【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB 为等a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，，则，a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 若||＝||，，即||＝||，且⊥，a b - a ()0a a b ⋅-= BA OA OA BA 则△OAB 为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°＝135°， a b - b故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．四、双空题16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且ABD △1AB AD ==DAB θ∠=B DBC ，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.BC BD =θ=AC【答案】3π41【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此2π34AC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈时的值.θ【详解】在中，由余弦定理得ABD △，2222cos 112cos 22cos BD AD AB AD AB DAB θθ=+-⋅∠=+-=-故，，BC =()0,πθ∈π0,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，，所以， π2ABC θ-∠=π2DBC ∠=πππ222ABC ABC DBC θθ-∠=∠+∠=+=-故2222cos 122cos π2AC AB BC AB BC ABC θθ⎛⎫=+-⋅∠=+--- ⎪⎝⎭32cos 32cos 22θθθθ=-+=-+，π32cos 4sincos2sin 2cos 33224θθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，()0,πθ∈ππ3π,444θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故当，即时，取得最大值，最大值为，ππ42θ-=3π4θ=2AC 3故AC 1=故答案为：，3π41五、解答题17．已知.()πsin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值域；()f x (2)若，，求的值.()35f α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) []1,1-【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得； （2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可. 【详解】（1）， ()11sin sin cos sin cos 3226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以的值域为 ()f x []1,1-（2）由（1）得，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ππ2π,663⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭α所以.π4sin 65α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=18．已知，. π02α<<21sin 12sin 22αα=-(1)求的值； tan2α(2)若，，求的值. π02β<<2tan 2tan 30ββ--=αβ+【答案】(1)43-(2) 3π4【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然tan 3β=()tan 1αβ+=-后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以， 21sin 12sin 22αα=-1sin cos 2αα=所以，所以tan 2α=22tan 224tan21tan 143ααα⨯===---（2）因为，所以或. 2tan 2tan 30ββ--=tan 3β=tan 1β=-因为，所以，所以. π02β<<tan 0β>tan 3β=所以()tan tan 23tan 11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯因为，，所以，所以. π02α<<π02β<<0παβ<+<3π4αβ+=19．在中，角的对边分别为.已知. ABC ,,A B C ,,a b c cos cos cos a b cA B C+=+(1)求角的大小；A (2)若为线段延长线上一点，且，求. D BC ,3BA AD BD CD ⊥=sin ACD ∠【答案】(1)； π3【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角()()sin sin A B C A -=-性质即可求的大小；A（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求ACB θ∠=2BC CD =ACD ACB △tan θ=角三角函数关系、诱导公式即可求的大小. sin ACD ∠【详解】（1）由正弦边角关系得：， sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+所以sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+则，即， sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-()()sin sin A B C A -=-所以（舍）或，故 . πC B -=2B C A +=ππ23A A A -=⇒=（2）设，且，ACB θ∠=2BC CD =在中，①， ACD ππsin sin 66CD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，②， ACB △ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，πsin 3πsin 6θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭tanθ⇒=所以sin si n ACD θ∠==20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.αβP Q(1)若，求的值； 13,22OP OQ ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()cos αβ-(2)若，，求的值. π6α=OP OQ -= 2cos 2π3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)14(2) 4781-【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；,OP OQ （2）根据，根据倍角公式可得答案. OP OQ -= ()8cos 9βα-=【详解】（1）因为，，()cos ,sin OP αα= ()cos ,sin OQ ββ= 所以， ()13cos cos ,sin sin ,22OP OQ αβαβ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以， 1cos cos 23sin sin 2αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式平方相加，得， ()522cos 2αβ+-=解得. ()1cos 4αβ-=（2）因为OP OQ -=== 所以. ()8cos 9βα-=因为，所以. π6α=π8cos 69β⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以 2πcos 2πcos 2π36ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2ππcos22cos 166ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 284721981⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，ABCD 他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是AC 2AD DC ==1AB =3BC =AC 3cos 4cos B D -定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和ABC ADC △1S 2S ，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题： 2212S S +(1)求出的值；3cos 4cos B D -(2)求的最大值.2212S S +【答案】(1)1(2)498【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案； 2AC （2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.2212,S S 【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，ABC 1AB =3BC =. 2222cos 196cos 106cos AC AB BC AB BC B B B =+-⋅=+-=-同理，在中，.ADC △288cos AC D =-所以，106cos 88cos B D -=-所以.3cos 4cos 1B D -=（2）由（1）可知； 3cos 1cos 4B D -=在中， ABC ， ()2222211199sin 13sin sin 1cos 2244S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理可得，在中，ADC △. ()()222221344cos 43cos 152cos 3cos 44S D B B B =-=-⨯-=⨯+-令，则cos B x =， ()()()22222212933314915233434422612S S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫+=-++-=-++=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值，最大值为. 16x =2212S S +498所以，当时，的最大值为. cos 16B =2212S S +49822．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB P Q AC BC 上异于，的动点，且.C B 120PMQ ∠=︒(1)当时，求的长度；120MQB ∠=︒PQ(2)若为的中点，设，求的取值范围.N PQ ()90120MQB θθ∠=︒<<︒22MN NP - 【答案】(1)PQ =(2)(1,6--【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求； ,MP MQ PQ （2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒MQB θ∠=θ,MP MQ 22MN NP - MP MQ ⋅ 等变换的知识可求范围.【详解】（1）在直角中，，，为的中点， ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB 所以，.30B ∠=︒2MB =在中，，，，MQB △120MQB ∠=︒30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得sin sin MB MQ MQB B=∠sin 2sin B MQ MB MQB ==∠在中，，同理，由正弦定理可得. MPA △2,30,60MA AMP A =∠=︒=︒MP =在中，，，MPQ 120PMQ ∠=︒MQ MP =根据余弦定理，2222cos PQMP MQ MP MQ PMQ =+-⋅∠得， 241193323PQ ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭所以PQ =（2）在中，，，，MQB △MQB θ∠=30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得. sin sin MB MQ MQB B=∠sin 1sin sin B MQ MB MQB θ==∠同理，在中，MPA △MP =因为， ()()()()22MN NP MN NP MN NP MN NP MN NQ MP MQ -=+⋅-=+⋅+=⋅所以 ()1cos120sin sin 210MP MQ MP MQ θθ⋅=︒=︒-== （用积化和差化简不扣分）=因为，所以，所以，90120θ<<︒︒1802240θ<<︒︒150230210θ︒︒<-<︒所以，所以()1cos260θ-≤-︒<()1cos230θ-≤-︒<所以16-<≤-所以的取值范围为.MP MQ⋅(1,6--。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
25
5
当 cos B 3 时， 5
因为
3 2
3 5
1 2
，且
B
2
,
，
所以 2π B 5π ，
3
6
又因为 sin A 24 ，且 3 24 1，
25
2 25
所以 π A π ，
3
2
所以 A+B>π，所以 cos B 3 ， 5
所以 cos C cos A B ，
cos Acos B sin Asin B ，
对于 B 选项，因为 a cos A b cos B ，由正弦定理可得 sin Acos A sin B cos B ，
因为 A 、 B 中至少有一个是锐角，则 sin Acos A sin B cos B 0 ，
从而可知 A 、 B 均为锐角，由 sin Acos A sin B cos B 可得 sin 2A sin 2B ，
则
AO
AC
|
OA ||
AC
|
cos
OAC
|
AC
||
OA
|Байду номын сангаас
cos
OAC
|
AC
|
1
|
AC
|
1
b2
9
，同理
2
22
AO
AB
1
c2
25
，
22
所以
OA
BC
OA
( AC
AB)
AO
( AC
AB)
AO
AC
AO
AB
9
25
8
.
22
故选：A
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题及解析
金陵中学2023-2024学年第二学期高一年级期中测试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1下列几何体中,棱数最多的为()A.五棱锥B.三棱台C.三棱柱D.四棱锥【答案】A2设z =2+4i1-3i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z =()A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i【答案】B 【解析】z =2+4i 1-3i =2+4i 1+3i 1-3i 1+3i=-10+10i10=-1+i,故z =-1-i.3△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =x ,b =3,A =π4,该三角形有两个解,则实数x 的取值范围为()A.3,6B.2,23C.62,3 D.62,3【答案】D【解析】由正弦定理x π4sin =3B sin ,可得B sin =62x ，即y =62x与y =sinB ,θ∈0,3π4有两个交点,则a 的取值范围是22<62x<1,即62<x <3,所以x 的取值范围是62,3.4已知a =3,-1 ,单位向量c 与b =2,1 同向共线,则c 在a方向上的投影向量为()A.-3510,510B.3510,-510C.-22,322D.322,-22【答案】B【解析】由已知得c =bb=255,55 ,则c 在a 方向上的投影向量为=a ⋅ca2a =3510,-510 .5已知M =sin 100°-cos 100°,N =2sin44°cos12°+sin46°sin12° ,P =121+tan22° 1+tan23° ,那么M ,N ,P 之间的大小顺序为()A.M <N <P B.P <M <NC.N <M <PD.P <N <M【答案】B【解析】M =sin100°-cos100°=2sin100°×22-cos100°×22=2sin 100°-45° =2sin55°>2sin45°=1,N =2sin44°cos12°+cos44°sin12° =2sin 44°+12° =2sin56°>2sin55°=M ,又tan 22°+23° =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=1,即tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1,所以Q =121+tan22° 1+tan23° =121+tan22°+tan23°+tan22°tan23° =1,所以P <M <N .6已知θ∈0,π4 ,且cos2θ=53,则tan θ=()A.3-52B.3-54C.55D.5【答案】A【解析】(方法一)由cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=53,所以3-3tan 2θ=5+5tan 2θ,则tan 2θ=3-53+5=3-5 24,由θ∈0,π4 ,则tan θ=3-52.(方法二)因为θ∈0,π4 ),所以2θ∈0,π2 ,sin2θ=1-cos 22θ=23,所以tan θ=1-cos2θsin2θ=1-5323=3-52.(方法三)因为cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=53,且cos 2θ+sin 2θ=1,所以cos 2θ=121+53 ,sin 2θ=121-53 ,所以tan 2θ=sin 2θcos 2θ=3-53+5=6-256+25=5-15+12,由θ∈0,π4,则tan θ∈0,1 ,所以tan θ=5-15+1=3-52.7十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域,主要用于测量太阳等星体的方位,便于船员确定位置,如图1所示,十字测天仪由杆AB和横档CD构成,并且E是CD的中点,横档与杆垂直并且可在杆上滑动,十字测天仪的使用方法如下:如图2,手持十字测天仪,使得眼睛可以从A点观察,滑动横档CD使得A,C在同一水平面上,并且眼睛恰好能观察到太阳,此时视线恰好经过点D,DE的影子恰好是AE.然后,通过测量AE的长度,可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角),最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.若在一次测量中,AE=60,横档CD的长度为40,则太阳高度角的正弦值为()A.45B.35C.13D.34【答案】B【解析】由题意知AE垂直平分CD,故CE=12CD=20,在Rt△AEC中,AE=60,则AC=AE2+CE2=602+202=2010,则sin∠CAE=CEAC=1010,cos∠CAE=AEAC=31010,而∠CAD=2∠CAE,故sin∠CAD=2sin∠CAE cos∠CAE=2×1010×31010=35,即太阳高度角的正弦值为3 5 .8△ABC中,BC=2,AC=23,∠ACB=90°,D为线段CB的中点,点E,F分别在线段BA,AC上.若△DEF为正三角形,则△DEF的面积为()A.3316B.338C.7316D.3328【答案】C【解析】在△ABC中,BC=2,AC=23,∠ACB=90°,设∠CDF=θ,则∠BDE=120°-θ,在△DCF中,因为CD=12CB=1,∠DCF=90°在△DEB中,∠EBD=60°,∠DEB=θ,则BDsinθ=EDsin60°,ABC DEFθ所以ED =32sin θ=32sin θ,由题,△DEF 为正三角形,所以DF =DE ,即:1cos θ=32sin θ,所以tan θ=32,所以cos θ=27,所以DF =1cos θ=72,从而△DEF 的面积为S △DEF =34DF 2=34722=7316.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知复数1iiz -=，则z 的虚部为（）A ．i-B ．iC ．1-D ．1【正确答案】C【分析】先利用复数代数形式的除法运算化简复数z ，再求z 的虚部.【详解】221i i i i 11i i i 1z --+====---，则z 的虚部为1-.故选：C.2．P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【正确答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出PB AC ⊥，进一步可得出PA BC ⊥，PC AB ⊥，即可得出结论.【详解】因为PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= ，所以，PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 是ABC 的垂心.故选：D.3．已知复数z 满足2z +，则2i z -的最小值为（）AB ．C ．D ．【正确答案】A【分析】设i z x y =+(),R x y ∈，由题意可得()222+2x y +≤，由此可知复数z 对应的点(),x y在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，而2i z -=(),x y 到点()0,2的距离，进而结合圆的知识即可求解.【详解】设i z x y =+(),R x y ∈，则2i x y ++≤即()222+2x y +≤，所以复数z 对应的点(),x y 在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，又()2i 2i z x y -=+-=(),x y 到点()0,2的距离，而()2,0-到()0,2的距离为所以2i z-的最小值为.故选：A.4．欧拉公式()i e cos isin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知πi 61e 22θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则cos θ=（）A．B ．12-C ．12D ．2【正确答案】A【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出5π2π6k θ=+，进而求解.【详解】i e cos isin θθθ=+，πi 6ππ1ecos isin i 6622θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1cos 62πsin 62θθ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎪∴⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，π2π2π63k θ∴-=+，Z k ∈，即5π2π6k θ=+，Z k ∈，5π5πcos cos 2πcos 66k θ⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭故选：A.5．在如图所示的半圆中，AB 为直径，O 为圆心，点C 为半圆上一点且15OCB ∠= ，AB = ，则AC等于（）A ．4+B 1C 1D ．4-【正确答案】C【分析】依题意可得30COA ∠=，OA OC == AC OC OA =- ，根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为15OCB ∠= ，OC OB =，所以230COA OCB ∠∠== ，又AB = OA OC == AC OC OA =-，所以AC OC OA =-==1=.故选：C6．在ABC 中，若cos 1cos2cos 1cos2b C Bc B C⋅-=⋅-，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断ABC 的形状.【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，22cos sin cos 1cos22sin cos sin cos 1cos22sin b C B C B Bc B C B C C⋅⋅-==⋅⋅-,即cos sin cos sin C BB C=，整理为sin cos sin cos B B C C =，即11sin 2222B C =，得22B C =，或2218090B C B C +=⇒+= ,所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D7．点P 是ABC 所在平面内一点且满足AP xAB yAC =+，则下列说法正确的个数有（）①若12x y ==，则点P 是边BC 的中点；②若点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，则12,33x y ==；③若点P 在BC 边的中线上且12x y +=，则点P 是ABC 的重心；④若2x y +=，则PBC 与ABC 的面积相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】B【分析】①转化为BP PC = ，即可判断；②选项转化为2BP PC =，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点P 为BC 边的中线的中点，即可判断；④可得点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等即可判断.【详解】①若12x y ==，则1122AP AB AC =+ ，即AP AB AC AP -=-，即BP PC = .即点P 是边BC 的中点，故①正确；②由点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，所以2BP PC =，即()2AP AB AC AP -=- ，即21=33AP AB AC + ，所以21,33x y ==，故②错误；③因为点P 在BC 边的中线上，设D 为BC 中点，设AP AD λ= ，又()1=2AD AB AC + ，所以22AP AB AC λλ=+ ，又12x y +=，则1+=222λλ，所以1=2λ，即12AP AD = ，所以点P 为BC 边的中线的中点，故不是重心，故③错误；④设2AM AB = ，2AN AC =，则22x y AP AM AN =+ ，221x y +=，故点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等，所以PBC 与ABC 的面积相等，故④正确.故选：B.8．在ABC 中，3B π=，BC，则cos A 的值为（）A．B．CD【正确答案】B【分析】由题意设出BC x =，再利用锐角三角函数结合勾股定理，分别求出AB 、AC 的值，再由余弦定理即可求出cos A 的值.【详解】由题意，设BC x =，那么BC边上的高AD =，3B π= ，3sin 3ADxAB π∴==，6tan 3ADxBD π==，则56xDC BC BD =-=，2222225769x x AC DC AD ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，在ABC中，由余弦定理可得：222222799cos 2x x x AB AC BC A AB AC +-+-==-⋅故选：B.二、多选题9．若关于x 的方程20x ax b ++=的一个根是12i -，则下列说法中正确的是（）A ．2a =-B ．=5b -C ．i a b +的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D ．i,i a b a b ++在复平面内对应的两点间的距离为【正确答案】AD【分析】首先将方程的实数根代入方程，求,a b ，再分别根据共轭复数的定义，以及复数的几何意义判断选项.【详解】由条件可知，()()212i 12i 0a b -+-+=，整理为()()342i 0a b a +--+=，则30420a b a +-=⎧⎨+=⎩，2,5a b =-=，故A 正确，B 错误；i 25i a b +=-+，其共轭复数i 25i a b -=--，对应的点的坐标为()2,5--，在第三象限，故C错误；i 25i a b +=-+，对应的点为()2,5-，52i ai b +=-，对应的点为()5,2-，两点间的距离d ==D 正确.故选：AD10．下列命题正确的是（）A ．非零向量1e 和2e不共线，若121212,2,36AB e e AC e e CD e e =-=+=- ，则B 、C 、D 三点共线B ．已知1e 和2e 是两个夹角为60的单位向量，12122,4a e e b ke e =+=- 且a b ⊥ ，则实数5k =C ．若四边形ABCD 满足()0,0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是矩形D ．点O 在ABC 所在的平面内，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，则动点P 的运动路径经过ABC 的重心【正确答案】BD【分析】计算出BC ，即可判断BC 与CD不共线，从而判断A ，根据数量积的定义及运算律判断B ，可得⊥DB AC 再结合平面几何的性质判断C ，设BC 的中点为D ，得到2AP AD λ=，即可判断D.【详解】对于A ：因为非零向量1e 和2e 不共线，所以1e 和2e可以作为平面内的一组基底，因为12AB e e =- ，122AC e e =+ ，1236CD e e =-所以()()12121222BC e e e e A AB e C e ==+--=+- ，显然不存在实数λ使得CD BC λ=，故B 、C 、D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为1e 和2e 是两个夹角为60 的单位向量，所以121211cos 601122e e e e =︒⋅=⨯⨯=⋅ ，又122a e e =+，124b ke e =- 且a b ⊥ ，所以()()()2211212122240284a b e e ke e ke e k e e ⋅=+⋅-=--⋅+=，即()120842k k --+=，解得5k =，故B 正确；对于C ：由0AB CD += 可得ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC -⋅= ，即0DB AC ⋅=，所以⊥DB AC，即四边形ABCD 为对角线互相垂直的平行四边形，则该四边形可能是菱形或正方形，故C 错误；对于D ：设BC 的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为()OP OA AB AC λ=++ ，所以2OP OA AD λ-=，即2AP AD λ= ，所以A 、P 、D 三点共线，即P 在AD 上，又三角形重心在AD 上，所以动点P 的运动路径经过ABC 的重心，故D 正确；故选：BD11．在ABC 中，π,33B b c ===，则下列说法正确的是（）A ．C 有两解B ．BC 边上的高为2C ．BC 的长度为32+D ．ABC 的面积为94【正确答案】BC【分析】根据正弦定理判断A ；根据条件直接求BC 边上的高，判断B ；根据余弦定理判断C ；根据三角形面积公式判断D.【详解】A.根据正弦定理可知，sin sin c b C B =，则3sin C =:3sin 4C =，且c b <，所以角C 只有一解，故A 错误；B.BC 边上的高sin 322h c B ===，故B 正确；C.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即21293a a =+-，解得：32a +=或0a <（舍）即BC ，故C 正确；D.9113sin 32228ABCSac B +==⨯⨯= ，故D 错误.故选：BC12．已知函数()()()sin cos sin cos f x x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间32π,π2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈C ．方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为12,,,n x x x ，且12πn x x x +++=- D ．若()()123f x f x -=，则12min3π4x x -=【正确答案】ACD【分析】A.去绝对值后，化简函数，判断函数的单调性；B.根据对称性的性质，判断对称性；C.去绝对值，写成分段函数，根据图象，判断选项；D.根据函数的最值，结合图象，判断D.【详解】()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2πf x x x x x +=+-+⎡+++⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin cos sin cos x x x x f x =-+=，所以函数是周期函数，周期为2π，当3π2π,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，[]24π,3πx ∈--，根据周期性可知，与[]0,π的单调性一样，cos y x =在区间[]0,π单调递减，所以()cos 2f x x =-在区间3π2π,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；若函数()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈，则其中一条对称轴是π4x =，但()01f =-，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π02f f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以函数不关于π4x =对称，故B 错误；当cos 0x ≥时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，当cos 0x <时，()()2sin cos 1sin 2f x x x x =-=-，所以()ππcos 2,2π,2π22π3π1sin 2,2π,2π22x x k k f x x x k k ⎧⎡⎫-∈-++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，Z k ∈，如图，画出函数的图象，当3ππ,22x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当5π4x =-时，取得最大值2，当π3π,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当3π4x =时，取得最大值2，方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为1234,,,x x x x ，125π5π242x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，343π3π242x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，所以1234πx x x x +++=-，故C正确；因为函数的最大值为2，最小值为-1，若()()123f x f x -=，则()12f x =，()21f x =-，113π2π4x k =+,222πx k =,12,Z k k ∈,12123π2π2π4x x k k -=+-,所以12min3π4x x -=，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．下面给出的几个关于复数的命题，①若()()22432i x x x -+++是纯虚数，则实数2x =±②复数()21i()a a +∈R 是纯虚数③复数sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点Z 位于第三象限④如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，则|2i 1|z --的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【正确答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为22(4)(32)i x x x -+++为纯虚数，所以224=0320x x x ⎧-⎨++≠⎩，解得2x =，故①错误；对于②，因为R a ∈，所以2+10a ≠，所以2(+1)i a 是纯虚数，故②正确；对于③，因为sin1000︒-<，cos1000︒<，所以sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，i i 2z z ++-=表示复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -和到点(0,1)B 的距离之和，又因为2AB =，所以复数z 对应的点Z 在线段AB 上，而2i 1z --表示点Z 到点(1,2)P 的距离，所以其最小值为PB =故②③．14．已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.【正确答案】2【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a 的方程，即可求得答案.【详解】由()π0,sin sin 3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭1()sin cos 22a x x =-，由于()f x221()(32a -+=，解得2a =，或1a =-（负值舍去），故215．ABC 是钝角三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,,2,4a b c a b ==，则最大边c 的取值范围为__________.【正确答案】()【分析】由题意可得π2C >，由余弦定理结合c a b <+即可求解.【详解】因为ABC 是钝角三角形，最大边为c ，所以角C 为钝角，在ABC 中，由余弦定理可得：2222416cos 0216a b c c C ab +-+-==<，可得c >又因为6c a b <+=，所以6c <<，所以最大边c 的取值范围是.()故答案为.()16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．【正确答案】12-/-0.5【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A 为原点，分别以,AB AD为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI ，正方形EFGC 边长为a可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a ，)1DF a=则)1cos 30F x a =⋅ ，)1sin 302F y a a =+⋅+ ，即F a a ⎫⎪⎪⎝⎭又AF AB AD x y =+，()()()3353,2,00,22,222a a x a y a ax ay ⎛⎫++∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭即33225322ax a ay a⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即33532222ax ay a a ++-=-，化简得12x y -=-故12-四、解答题17．已知复数()()212221i,sin 12cos i z m m z λθθ=-+-=+--（其中i 是虚数单位，,R m λ∈）.(1)若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数m 的值；(2)若12z z =，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)3m =-(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得22210m m -=-<，解之即可得解；（2）根据12z z =，可得()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，消去m ，再结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则22210m m -=-<，解得3m =-；（2）若12z z =，则()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，由②得22cos m θ=③，将①③相加得22sin cos λθθ=++，故22213cos sin 2sin sin 1sin 24λθθθθθ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1θ-≤≤，则当1sin 2θ=时，min 34λ=，当sin 1θ=-时，max 3λ=，所以λ的取值范围为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知函数()2ππ2sin ,(0)6212x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.【正确答案】(1)()2sin 2f x x=(2)ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解；（2）根据函数图象的平移和变换公式得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）由()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()ππππcos 2sin 2sin 6666f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于相邻两对称轴间的距离为π2，故函数的最小正周期为π，故2ω=．所以()2sin 2f x x =．（2）由题意，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，可得ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π42π232k x k +≤+≤+，Z k ∈，即ππ7ππ242242k k x +≤≤+，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.19．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数且21122z -≤≤.(1)求1z 的值以及1z 实部的取值范围；(2)若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数.【正确答案】(1)11z =，11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法设出1i z a b =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得221a b +=，且22z a =，故而11z =，再根据21122z -≤≤，即可求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1i z a b =+代入，结合复数的除法运算化简1111z z ω-=+，再由a ，b 范围即可得证.【详解】（1）设1i z a b =+(,R a b ∈，且0b ≠)，则()()()22222i 1i i i i i ia b a b z a b a b a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=++=++=++- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭，∵2z 是实数，0b ≠，∴221a b +=，即11z =，则22z a =，又∵21122z -≤≤，∴11222a -≤≤，即1144a -≤≤，∴1z 的实部的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()()()()()()2212211i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 11a b a b b aa b z a b a b a b b z a ω-++++---+====+-+-+++++()222212i 12i 1i121211b a b b b a a b a a +-++-==++++++，因为0b ≠，1144a -≤≤，所以ω为纯虚数.20．如图，一个直径为5m 的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心O 距离水面的高度为1.25m ，水车上的盛水筒P 到水面的距离为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计时，则h 与时间t （单位：s ）之间的关系为()πsin 0,0,2h A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭.(1)求h 与t 的函数解析式；(2)求在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长.【正确答案】(1)()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)200s 9【分析】（1）依题意可得52A R ==， 1.25b =，由周期求出ω，再结合图形可得1sin 2ϕ=-，即可求出ϕ，从而得到函数解析式；（2）令()0h t >，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）依题意52A R ==， 1.25b =，1.8160T =，即1003T =，则2π2π3π100503Tω===，由给定的图形知， 1.251sin 2.52ϕ=-=-，又||2ϕπ<，即有π6ϕ=-，所以h 与t 的函数解析式是()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）令()53π5sin 025064h t t π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭所以3π765066t πππ-<-<，解得20009t <<，所以水车在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长为200s 9．21．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足()sin sin sin 2sin b B c C A a b C +=⋅-.(1)求角A 的余弦值；(2)若D 是边AB 的中点且2CD =，求b 的取值范围.【正确答案】(1)2-(2)(2,【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到sin cos A A =-，即可求出A ，从而得解；（2）设ACD α∠=，利用正弦定理表示出AD ，AC ，设()f b α=，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理有sin sin sin a b cA B C==，sin sin sin (2sin )b B c C A a b C +=⋅- ，22sin sin sin (sin 2sin sin )B C A A B C ∴+=⋅-，即2222sin b c a bc A +=-，在ABC 中，由余弦定理，有2222cos a b c bc A =+-，2sin 2cos bc A bc A ∴=-，则sin cos A A =-，即tan 1A =-，(0,)A π∈ ，∴34A π=，则cos 2A =-；（2）如图，设ACD α∠=，则4ADC πα∠=-，(0,)4πα∈，在ACD 中,根据正弦定理，有sin sin sin CD AD ACA ACD ADC==∠∠，2c AD α∴==，sin()4AC b πα==-，设()sin()8sin 2cos 6sin 4f b πααααα==-+=+cos sin )sin()αααθ==+，（其中sinθ=，cos θ=(0,)6πθ∈）又()(,)(0,42ππαθθθ+∈+∈，所以()f α在(0,)2πα∈上单调递增，所以(),))4f παθθ∈+，又sin()(sin cos )425πθθθ+=+=，所以b 的取值范围为(2,．22．设正ABC 的边长为1,O 为ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点.(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++的值；(2)当4n =时.（i ）求i j OC CP OC CQ ⋅+⋅的值（用,i j 表示）；（ii ）求()1,,4,,,i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k N⋅+⋅+⋅≤≤∈的最大值与最小值.【正确答案】(2)（i ）510i j --；（ii ）最大值为225-，最小值为1350-．【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP uuu r 用OB OC ，uu u r uuu r表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+，……，20231202320242024OP OB OC =+ ，122023202320221122023(()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC=+uu u r uuu r1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC∴+++⋅⋅⋅++++=+uuu r uuu r uuu r uuuuu r uu uu u r uu u r uuu r u r uuu r 20252OB OC=+uu u r uuu r又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴=,120OB OC =o uu u r uuu r ，22222112(()2()333323OB OC OB OC OB OC ∴+=++⋅=++⨯-= ，则3OB OC += ，12202320252OB OC OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=uuu r uuu r uuu r uu uu u r uu uuu r uur u u r ；(2)(ⅰ)ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OCB OCA ∴∠=∠= ，则,150i OC CP =ouuu r uu u r ，,150j OC CQ =o uuu r uuu u r ，又4n =，,i j P Q ∴分别为BC ，CA 的5等分点，又1BC CA ==，55i i CP -∴=，5j jCQ =；cos150cos150i i j j OC CP OC CQ OC CP OC CQ ∴⋅+⋅=⋅+⋅555((352352101010i j i j i j ----=⨯⨯-+⨯⨯-=--=（ⅱ）2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ，155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ --∴⋅=++⨯155115355552650i j i j i ij---=⨯⨯=-+；同理可得：15650j kj jk OQ OL -⋅=-+ ；15650k i k ki OL OP -⋅=-+ ；15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++-++∴⋅+⋅+⋅=-+ ；令()()5515()()1250250j k i j k jki j k ij jk ik S --++-++-++=-+=-+①当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，4j ∴=时取最大值，则()max 54441422505025k k S +-+=-+=-=-；4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +-+--=-+=，则当4k =时，min 1350S =-；②当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +-+=-+=-=-；1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250kS +=-+，则当1k =时，min 1121325050S =-+=-；综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225-，最小值为1350-．关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++-++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk --++-的形式，视为关于i 的一次函数，讨论5j k --的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） 3i z =-z =A ．3B ．4CD ．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为，所以3i z =-z ==故选：C.2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） ()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x π6x =ϕA ．B ．C ．D ．π12π6π32π3【答案】B【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值. ()πππZ 32ϕ+=+∈k k ϕ【详解】由题得：，故，而，所以.π16f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭()πππZ 32ϕ+=+∈k k 0πϕ<<π6ϕ=故选：B.3．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选ABC A D E F AB BC CA 项正确的是（ ）A ．B ．AB AC AE += AB AC BE -= C ．D ．12EF AB = 12DE DF ⋅= 【答案】D【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A 、B 、C 项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D 项.12DE AC =12DF BC =【详解】对于A 项，因为是边的中点，所以，故A 项错误；E BC ()12AE AB AC =+对于B 项，因为是边的中点，所以，E BC 22CB EB BE ==-所以，故B 项错误；2AB AC CB BE -==-对于C 项，因为，分别是边，的中点，所以，且. E F BC CA EF AB ∥12EF AB =又因为反向，所以，故C 项错误；,EF AB 12EF AB =-对于D 项，因为，，分别是边，，的中点，D E F AB BC CA 所以，且,，且， ∥D E A C 12DE AC =DF BC ∥12DF BC =所以，，.12DE AC =12DF BC=因为，，所以，2AC BC ==π3ACB ∠=12222CA CB ⋅=⨯⨯= 所以， 2AC BC CA CB ⋅=⋅=所以，故D 项正确.1142CA CB DE DF ⋅==⋅ 故选：D.4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积Rt O A B '''△OAB A O B B A ''''⊥2O A ''=OAB A 是（ ）A B ．1C D ．【答案】D【分析】由直观图得到原图可得答案.【详解】因为，所以，，2O A OA ''==O B ''=OB =90BOA ∠=所以的面积是OAB A 12OAB S OA OB =⨯⨯=A 故选：D.5．已知向量，，，则实数（ ）.()0,2a =r)b = ()()a kb ka b -⊥+k =A ． B ．0 C ．1 D ．或11-1-【答案】D【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得24a = 24b = 2a b r r ×=()()0a kb ka b -⋅+= 出答案.【详解】由已知可得，，，.222024a r =+=22214b =+= 2a b rr ×=因为， ()()a kb ka b -⊥+所以，，()()0a kb ka b -⋅+=所以有，()22210ka k a b kb +-⋅-= 所以，，解得.()242140k k k +--=1k =±故选：D.6．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的1111ABCD A B C D -M N AC 1A B 是（ ）A ．平面B ． //MN 11ADD A MN AB ⊥C ．与所成角为45°D ．平面MN 1CC MN ⊥1ACD 【答案】D【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A ；由平面证明BD 1A D AB ⊥11ADD A ；由，得出与所成角；由与不垂直判断D.AB MN ⊥1MN A D A 11CC D D A MN 1CC MN 1CD 【详解】对于A ：如图，连接，.BD 1A D 在正方形中，为的中点,，即也为的中点， ABCD M AC AC BD M ∴⋂=M BD 在中，分别为的中点，，1A BD A ,M N 1,BD A B 1MN A D A 又平面，平面，平面，故A 正确；MN ⊄ 11ADD A 1A D ⊂11ADD A MN ∴A 11ADD A对于B ：平面，，，故B 正确；AB ⊥Q 11ADD A 1AB A D ∴⊥AB MN ∴⊥对于C ：，，与所成角为，故C 正确； 1MN A D A 11CC D D A ∴MN 1CC 1145A DD ∠=︒对于D ：连接，，11111,,,A D B C CD B D 1111B C CD B D == 1160B CD ∴∠=︒，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D 错误；11B C A D A ∴1A D 1CD MN 1CD MN 1ACD故选：D7．（ ）2023i 2⎫+=⎪⎪⎭A ． B ． CDi2i 2i 2i 2【答案】B【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭【详解】，即. 231i i2i i 244⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭所以. 231i 13i 13112i 22i 44i 44i i i ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=--=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以 26743674023i i i 1i 222i 2⎫⎫⎫⎫⎛⎫+=+=-⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎭⎭⎭⎣⎦. ()33723371i i i 1i 222⎫⎫⎛⎫=⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣=-+=⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎭⎦⎭故选：B8．淮阴中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在、处分别测得雕塑最高点的仰角B C 为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据）5cm =BC cos100.985︒=A ．4.92B ．5.076C ．6.693D ．7.177【答案】A【分析】运用正弦定理先求出BD ，再求出AD . 【详解】在中，由正弦定理得：BCD △，()sin ·2·cos10sin sin sin BD BC BCD BD BC BC BCD BDC ABD BCD ︒∠=⇒==∠∠∠-∠在中，；R t ABD A 1sin 2cos10sin 30250.985 4.922AD BD ABD BC ︒︒=∠=≈⨯⨯⨯=故选：A.二、多选题9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A ，，，其中为坐标原点，则z z i z z B C O （ ） A ．B ．C ．D ．OA OB = OA OB ⊥AB AC = OC AB ∥【答案】AB【分析】分别求得的值判断选项A ；利用向量垂直充要条件判断选项B ；分别求得,OA OB的值判断选项C ；利用向量平行充要条件判断选项D. ,AB AC【详解】设，则，， i(,R)z a b a b =+∈i i z b a =-+i z a b =-则.(,),(,),(,)A a b B b a C a b --选项A ：判断正确；(,),(,)OA a b OB b a ==- 选项B ：，则.判断正确；()0OA OB a b ab ⋅=-+= OA OB ⊥选项C ：，(,),(0,2)AB b a a b AC b =---=-=则不一定成立.判断错误； AB AC = 选项D ：，(,),(,)AB b a a b OC a b =---=-，()()()()22b a b a a b b b a a -----=+-则不一定成立.判断错误.OC AB ∥故选：AB10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的αl m n A B C D 命题是（ ）A ．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形. ABCD AB BC CD DA ===ABCD B ．若，，则.l α∉∈A l A αÏC ．若，，，，，，则. m α⊂n ⊂αA m ∈B n ∈∈A l B l ∈l ⊂αD ．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线. l m n l n m 【答案】ABD【分析】举特例即可说明A 、D 错误；根据直线与平面的位置关系可判断B ；由已知结合基本事实2，即可得出C.【详解】对于A 项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A 项错误； 对于B 项，若，则或与相交，故B 项错误；l α∉l α∥l α对于C 项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内， A α∈B α∈l α根据基本事实2可知，故C 项正确；l ⊂α对于D 项，如图正方体中，和异面，，但是，故1111ABCD A B C D -11A B BC 11∥A B AB AB BC B ⋂=D 项错误. 故选：ABD.11．漫步在江苏省淮阴中学没理的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似的看作是正八边形的一半.在此图形中.在五边形中，，以下结论正确ABCDE AB BC CD DE ===的是（ ）A ．.OA OC +B ．2AD BC =u u u r u u u r C ．在上的投影向量为. AD AB1AB ⎫⎪⎪⎭D ．点者线段上，且，则的最大值是.P CD BP xBC yBA =+x y+2【答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，AB x AFy，， 1AB BC CD DE ====π3π,48AOB CBx OAB ∠=∠=∠=则且， ()()0,0,1,0,1,1,A B C D ⎛⎛+⎝⎝1122O ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，1111,12222OA OC ⎛⎫⎛⎫⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭11,122⎫-=-⎪⎪⎭ ， A 正确；OA OC ∴+=，所以 ，B 错误；1,22AD BC ⎛=== ⎝ 2AD BC ≠u u u r u u u r又，，所以，即在向量上的投影向量为1AD ⎛=+ ⎝ ()1,0AB = 2·1AD AB AB = AD AB，C 正确；1AB ⎫⎪⎪⎭若在线段（包括端点）上，设，，P DC DPDC λ=[]0,1λ∈所以，，BP BD DP BD DC λλ⎫=+=+=⎪⎪⎭ ()1,0,BA BC =-= 由，可得，BP xBC yBA =+1x y y λ=-⎪+=⎪⎩则，故，11x y λ=-+⎧⎪⎨+⎪⎩)[]21,0,1x y λλ+=-∈所以，D 正确. 1,2x y ⎡+∈⎣故选：ACD.12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） ()sin4sin3f θθθ=+1θ2θ3θ()f θ()0,πA ．B ． {}123π,,7∈θθθ12312π7θθθ++=C ．D ．1231cos cos cos 8θθθ=1231cos cos cos 2θθθ++=-【答案】BCD【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A 、B ，将1θ2θ3θ根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可123cos cos cos θθθπ2π4π777cos cos cos -sin π7判断C ，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 123cos cos cos ++θθθsinπ7【详解】由题知，，是的三个根， 1θ2θ3θsin 4sin 30θθ+=可化为，即，sin 4sin 30θθ+=sin 4sin 3θθ=-()sin 4sin 3πθθ=+所以可得或，， 43π2πk θθ=++43ππ2πk θθ++=+Z k ∈解得或，， π2πk =+θ2π7k θ=Z k ∈因为，所以或或，()0,πθ∈2π7θ=4π76π7故可取，，，12π7θ=24π7θ=36π7θ=所以选项A 错误；因为，所以选项B 正确； 12312π7θθθ++=1237c o 2c πs 4π6π7os o cos c scos s7co θθθ=4cos cos co 2πππ77s π7⎛⎫= ⎝-⎪⎭ ππ2π4π2sin π2π4π7777π7772sin 7cos cos coscos cos cos =-=-2π2π4π2sin 777π4sin 7cos cos =-7co 4π4π2sin 77π8s sin=-， π8ππsin πsinsin1777πππ88sin 8sin 8sin777⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-=-=-=故选项C 正确；而 1237c o 2πos cos cos c sc 7os c 7os 4π6πθθθ++++= π2π4π6πsin 7777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， π2ππ4ππ6πsin sin sin 777777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=根据积化和差公式：， ()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin272727272727πsin 7-+-+-=，故选项D 正确. 1πsin127π2sin 7-==-故选：BCD.【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； cos cos 2cos3cos 4ααααsin α（3）积化和差公式：，()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦. ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦三、填空题13．已知复数在复平面内对应的点都在射线的虚部为______ z ()2,0y x x =>z 【答案】2【分析】依题意可设复数得到方程，解得即可. 2i(0)z a a a =+>a 【详解】依题意可设复数，2i(0)z a a a =+>由（舍去）， 5z ==1a =1a =-所以， 12zi =+所以的虚部为. z 2故答案为：.214．已知函数的部分图像如图所示，若，则等()()(),0f x x f x ωϕω=+>，2AB BC AB ⋅=- ω于___【答案】/ 2π12π【分析】先利用条件求得，求得最小正周期为4，进而求得的值.2AB BC AB ⋅=- π3ABC ∠=ω【详解】由，，即， 2BC AB = 2AB BC AB ⋅=- 2cos ,AB BC AB BC AB ⋅=- 可得，则，1cos ,2AB BC =- 1cos ,2BA BC = 又，则， (),0,πBA BC ∈ π3ABC ∠=过点B 作于E ，则，， BE AD ⊥BE =2AD =则，则， 4T =2ππ42ω==故答案为：π215．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面1111ABCD A B C D -E F G 11B C 11C D 1B B 截正方体所截面的周长为___EFG【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.EFG 【详解】连接并延长交延长线于Q ，则EG CB 12BQ CB =过Q 作，交于H ，交于K ，则， //QH BD AB AD ,BH HA AK KD ==过K 作，交于T ，连接，1//KT AD 1DD FT 则六边形即为平面截正方体所得截面， FEGHKT EFG又均为棱的中点，则截面的周长为,,,,,F E G H K T故答案为：16．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，ABC A 1AB =4AC =60A ∠=︒AD BC E F AB AC上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______EF AD G AEF △ABC A AG EF ⋅【答案】2【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，AG AD AE mAB AF nACλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++= 则， ()22AG xAE y AF AD AB AC xmAB ynAC xm yn λλλ=+==+=+⇒== 即，122mnλλ+=又面积为面积的一半可得：， AEF △ABC A 1sin 60112122sin 602AE AFmn AB AC ⨯⋅⋅=⇒=⨯⋅⋅ 所以.221221mm m m λλλ+=⇒=+，()()23321922242m AB AC AG E nAC mAB F n m λλλ⋅+-=-=-++= 易知(][]210,1,1423,62n m m ⎡⎤∈∴∈⇒+∈⎢⎥⎣⎦ 当时，即重合时取得最小值.1m =,E B 321226-+=故答案为：2【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++=得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量()2AG AD AB AC λλ==+ 122m n λλ+=12mn =积为关键.AG EF ⋅四、解答题17．己知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. z 21iz z ++-i (1)求复数；z (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 ()2m z -m 【答案】(1)2i 3z =-(2) 2(,)3+∞【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到i,R z b b ∈=0b ≠2223i 1i 22z b b z +-++=+-23=02b+，即可求解；（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.2i 3z =-()2244(i 93m z m m -=-+2409m ->4>03m 【详解】（1）解：由题意，设，其中且， i z b =R b ∈0b ≠可得， ()()()()i 21i 2i 2223i i i 1i 1i 1i 1i 22b z b b b z b b ++++-++=+=+=+---+因为为实数，可得，解得，即. 21i z z ++-23=02b +23b =-2i 3z =-（2）解：由，则，2i 3z =-()222244(i)()i 393m z m m m -=+=-+因为复数所表示的点在第一象限，可得且，()2m z -2409m ->4>03m 解得，所以实数的取值范围为.23m >m 2(,)3+∞18．（1）求的值域sin 2cos xy x=-（2）若，求的取值范围.33sin cos 0θθ+<sin cos θθ+【答案】（1）；（2） ⎡⎢⎣)⎡⎣【分析】（1）令，根据辅助角公式结合正弦函数的性质得出所求值域； sin 2cos xy ax==- （2）令，结合立方和公式得出，进而得出的取值范围.sin cos t θθ+=()21302t t -<sin cos θθ+【详解】（1）令，则，sin 2cos xy a x==-sin cos 2x a x a +=，其中，所以.)2x a ϕ+=tan a ϕ=sin()[1,1]x ϕ+=-，则，，解得. 22411a a ≤+231a ≤a ⎡∈⎢⎣即的值域为. sin 2cos xy x =-⎡⎢⎣（2）令，因为， sin cos t θθ+=πsin cos 4θθθ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以，因为， t ⎡∈⎣()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+所以，21sin cos 2t θθ-=所以()233221sin cos (sin cos )sin sin cos cos 12t t θθθθθθθθ⎛⎫-+=+-+=- ⎪⎝⎭，解得. ()21302t t =-<0t ≤<即的取值范围为.sin cos θθ+)⎡⎣19．《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥为一个阳马，面，是上的一点.P ABCD -PC ⊥ABCD M CD(1)求证：；BC PM ⊥(2)若，分别是，的中点，求证：平面 M N CD PB //CN AMP 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得； BC ⊥PCD BC PM ⊥（2）利用线面平行判定定理即可证得平面//CN AMP 【详解】（1）面，面，则，PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥又，，面， CD BC ⊥CD PC C = ,CD PC ⊂PCD 则面，又面，则 BC ⊥PCD PM ⊂PCD BC PM ⊥（2）取中点T ，连接， PA ,NT MT 又，则， PN BN =1//,=2NT AB NT AB 又，则， 1//,=2CM AB CM AB //,=CM NT CM NT 则四边形为平行四边形，则，CMTN //CN MT 又平面，平面，则平面.CN ⊄AMP MT ⊂AMP //CNAMP20．在中，的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-(1)若，求的值； cos cos a C c A=cos B (2)若，点在线段上，且满足，求的取值范围. 2AB = D BC AC AB AD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD 【答案】(1) 78(2)4(0,)3【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到2sin()sin()A C A B +=+2sin sin B C =，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解. cos cos a C c A=sin 2sin 2A C =A C =（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD A 角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.2BD CD =1233AD AB AC =+【详解】（1）解：因为， ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-由正弦定理得， ()2sin sin cos sin cos 2sin cos C B A A B A C -=-即， 2sin cos 2sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=+可得，2sin()sin()A C A B +=+又因为，可得，即， πA B C ++=2sin sin B C =2b c =由，可得，可得，可得， cos cos a C c A=sin cos cos sin A CA C =sin cos sin cos A A C C =sin 2sin 2A C =又由，所以或，即或 ,(0,π)A C ∈22A C =22πA C +=A C =π2A C +=当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；π2A C +=π2B =2b c =π2B =所以时，此时，由余弦定理得，A C =2a c b ==222447cos 2228b b b B b b +-==⨯⨯综上可得，的值为 .cos B 78（2）解：由（1）知，即且，可得，， 2sin sin B C =2b c =2AB = 2c =1b =又由点在线段上，且满足， D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，,AC AB AC AB AC ABAD A 由三角形的内角平分线定理，可得，即， 2AB BDAC CD==2BD CD =在中，可得，ABD △2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+所以，22214244488221cos cos 99999999AD AB BC AB BC A A =++⨯⋅=++⨯⨯=+ 因为，可得，所以，所以，(0,π)A ∈cos (1,1)A ∈-216(0,)9AD∈ 4(0,3AD ∈ 即向量的取值范围是.AD 4(0,321．在直角中，，，，为边上一点，且. ABC A AB 90A ∠= 60B ∠= D BC 3BD DC =(1)若上一点满足，且，求的值.AD K 2DK KA =AK xAB y AC =+ 2x y +(2)若为内一点，且，求的最小值.P ABC A 1AP =()PA PB PC ⋅+ 【答案】(1) 7212x y +=(2) 0【分析】（1）由结合平面向量的减法可得出关于的表达式，由3BD DC = AD {},AB AC 2DK KA=可得出，可得出关于的表达式，进而可求得的值；13AK AD = AK{},AB AC 2x y +（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，A AC AB x y (),P x y 可得出，分析可得，其中，设，，利用平221x y +=π6PAC ACB ∠=∠=π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=面向量的数量积、平面向量的基本知识以及正弦型函数的值域可求得的最小值. ()PA PB PC ⋅+【详解】（1）解：因为，则，即，3BD DC =()3AD AB AC AD -=- 1344AD AB AC =+ 因为，则， 2DK KA =1113113344124AK AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭又因为，则，，故.AK xAB y AC =+ 112x =14y =1172212412x y +=+⨯=（2）解：在中，，，，ABC A 90BAC ∠= 60ABC ∠= AB =1tan 60ACAB ==以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， A AC AB x y则、、，设点，可得，()0,0A ()0,1B )C(),P x y 1=221x y +=设，若点在上且使得，且为的中点，此时，θ∠=CAP P BC 1AP = P BC π6PAC ACB ∠=∠=因为点在内，所以，，则，， P ABC A π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=，，，(),PA x y =--(),1PB x y =-- ),PC x y =-所以，，)2,12PB PC x y +=-所以，())())22212222PA PB PC xx y y x y y y ⋅+=---=+-=-+，()π2sin 22sin 3θθθ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭因为，则，故当时，取最小值.π06θ≤≤πππ332θ≤+≤ππ32θ+=()PA PB PC ⋅+ 022．已知复数的三角形式为.z cos isin z θθ=+(1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，z OZ OZ1OZy求复数（用代数形式表示）. z (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无z 2211ra a-+r 21u z z =++a 最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说r u a r 明理由.【答案】(1) z =(2)存在，时1r =a =【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答1OZ 1OZ0案.（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得[]2cos 10,3u θ=+∈2t a =111rt t-≠+u 出答案.【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°，OZ所得向量， ()()1cos 15isin 15OZ θθ=+︒++︒因 ()1sin15sin 45302°=°-°， ()1cos15cos 45302︒=︒-︒==因为向量恰好在轴正半轴上，1OZy 则， ()cos 150θ+︒=()sin 151θ+︒=解得 ()cos cos 151501θθ=+︒-︒=+()sin sin 151510θθ=+︒-︒=-=故复数. z（2）存在，时 1r =a =由题知，21u z z =++()cos 2cos 1i sin2sin θθθθ=++++====，1θ==+因的实部为，则， z 2211ra a -+221cos 1ra a θ-=+令，则， ()20t a t =≥()22111111111r t r ra rt r y r a t t t+----+====-++++易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，11y t=+[)0,∞+r 11r y r t +=-+[)0,∞+因，则， 1cos θ1-££[]2cos 10,3u θ=+∈则要使得只有最小值而无最大值，2cos 1u θ=+只需要即可，即，即，cos 1θ≠2211co 111s ra a rt t θ-==-≠++2rt t ≠+当时，，，不符合只有最小值无最大值； 0=t cos 1θ=-1u =当时，， 0t ≠21r t≠+因，则，又为正整数，则， 211t+>1r ≤r 1r ≥所以，1r =此时，当取得最小时，易得，221cos 1a a θ-=+2cos 1u θ=+01cos 2θ=-即，解得221112a a -=-+a =【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角()()cos isin 0z r r θθ=+>r z θz [)0,2πz 主值，记作，显然.arg z ()arg 2πZ z k k θ=+∈。
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数满足（为虚数单位），则（ ）z i i z z -=⋅i z =A ．B ．C ．D ．11i 22--11i 22-+11i 22-11i 22+【答案】A【分析】根据复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得结果.z 【详解】由得：，.i i z z -=⋅()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z +===-+--+11i22z ∴=--故选：A.224sin 15cos15︒-︒︒=A ．B C ．1D12【答案】D24sin 15cos15︒-︒︒=215215cos15sin sin -⨯21530sin sin =-D.()152cos 1530sin =-=+= 3．向量，，若与的夹角为，则的最大值为（ ）()2,0a =(),b x y=b b a -30︒bA ．2B ．C ．4D 【答案】C【分析】利用平面向量加减的三角形法则与正弦定理得到，从而得解.2sin b a B=【详解】由题意，记，则，,CB a CA b == b a CA CB BA -=-= 故由向量加减的三角形法则可得，与构成三角形，a b b a - ABC 则与的夹角等于 ，则，b b a -A 30A =︒由正弦定理可得，sin sin CA CBB A =sin sin b aB A =又，则，()2,0a =2a = 所以，即的最大值为.sin 2sin 4sin 4sin ab B a B B A ===≤ b4故选：C.4．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=4+满足，试用以上给出的公式求得的面积为ABC))sin :sin:sin 11A B C =-ABCA B C D【答案】C【分析】根据正弦定理可知三边的比为，又知三角形周长，故可求出))::11a b c =三边，代入面积公式即可求出面积.【详解】因为，所以由正弦定理得))sin:sin :sin 11A B C =，又，，则))::11a b c =4a b c ++=2a =b =2c =，，故．故选422ac =-=22212102c a b +-=-=S ==C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，及三角形边长的计算，属于中档题.5．正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则ABCD E BC F CD 2||AF AE AE ⋅= （ ）||AF =A ．3B ．5C ．D ．3252【答案】D【分析】根据，化简可得，建立平面直角坐标系，根据，利用坐2||AF AE AE ⋅= ⊥AE EF ⊥AE EF 标计算可得点坐标，最后计算可得结果.F 【详解】由题意，可知，即，2||AF AE AE ⋅= ⋅=⋅ AF AE AE AE 即，()AF AE AE AE AE AF AE AE EF ⋅-⋅=⋅-=⋅=所以，即，⊥AE EF EF AE ⊥建立如图平面直角坐标系设，，(),2F x ()2,1E ()0,0A 所以()()2,1,2,1=-=EF x AE 由，所以EF AE ⊥3024102⋅=⇒-+=⇒=AEEF x x 则，所以3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭F 5||2==AF 故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，本题关键在于得到，通过建系便于计算，EF AE ⊥着重考查了推理与运算能力，属中档题.6．已知，则（ ）1sin()33παα-+=sin(2)6πα+=A ．B ．C ．D ．232919-79-【答案】D【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式1sin()33παα-=求解即可.sin(26πα+【详解】1sin(33παα-=1sin cos cos sin 333ππααα∴-+=11sin 23ααα∴=11sin 23αα∴=1cos(63πα∴-=2217sin(2sin 2(=cos 2()2cos ()1216626639πππππαααα⎡⎤⎛⎫∴+=-+-=--=⨯-=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭故选：D.7．在中，，若，则的最大值为（ ）ABC tan2sin 2A BC+=1AB =12AC BC +A B ．CD32【答案】A【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理将边化角，即可得到C，，则，利用三角恒等变换公式及ACB =BC A =3122πAA A C BC ⎛⎫-⎪= ⎭+⎝辅助角公式计算可得.【详解】∵在中，，ABC tan2sin 2A BC +=∴，πtan 2sin 22C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴，即，πsin 222sin πcos 22C C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 24sin cos 22sin 2C C CC =∴，2cos4sin 1022C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得或，cos02C =24sin 102C-=即或或（舍去），cos 02C =1sin 22C =1sin 22C =-又，，∴，()0,πC ∈π0,22C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3C =又∵，∴，1AB =1πsin sin sin3AC BCB A==∴，，又，ACB =BC A =2π3B A =-∴3122πA A A C BC ⎛⎫-⎪ ⎭++⎝2π2πsin cos cos sin 33A A A ⎫=-⎪⎭1cos 2A A =，其中()A ϕ=+tan ϕ=所以当时，()sin 1A ϕ+=max12AC BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴12AC BC +故选：A.8．在给出的下列命题中，错误的是（ ）A ．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线,,,O A B C (1)()OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈R,,A B C B ．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为,a bααc ，且表示方法是唯一的(,) c a b λμμλ=+∈RC ．已知平面向量满足，则为等腰三角形,,OA OB OC,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭ABC D ．已知平面向量满足，且，则是等,,OA OB OC ||||(0)OA OB OC r r ==> |=|0OA OB OC ++=ABC 边三角形【答案】B【分析】对A ，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B ，根据平面向量基本定理可CA mCB =判断；对C ，根据可得，根据可得为OA OB OA OC ⋅=⋅OA CB ⊥ ||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭OA 的角平分线即可判断；对D ，由平方可求得的夹角，即可判断.BAC ∠OA OB OC +=-,OA OB 【详解】对A ，若，则，即，则(1)OA m OB m OC =⋅+-⋅ ()OA OC m OB OC -=- CA mCB = ，且有公共点，故共线，故A 正确；//CA CBC ,,A B C对B ，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B 错误；,a b 对C ，，，即，所以，OA OB OA OC ⋅=⋅ ()OA OB OC ∴⋅-= 0OA CB ⋅= OA CB ⊥ 又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C 正确.||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭OA BAC ∠ABC 对D ，若，且，则，||||(0)OA OB OC r r ==> |=|0OA OB OC ++= OA OB OC +=- 则，即，2222OA OA OB OB OC +⋅+= 22222cos ,r r OA OB r r +<>+= 则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为1cos ,2OA OB <>=-,OA OB 120︒,OA OC 120︒,OB OC ，所以是等边三角形，故D 正确.120︒ABC 综上，错误的选项为B.故选：B.二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （2-i ）= i 2020，则下列说法错误的是（ ）A ．复数z 的模为B ．复数z 的共轭复数为1521i55--C ．复数z 的虚部为D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限1i 5【答案】ABC【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：复数满足，整理得．z 2020(2i)i z -=21010(i )12i2i 2i 5z +===--对于A ：由于，故A 错误；21i 55z =+||z ==对于B ：由于，故，故B 错误；21i 55z =+21i55z =-对于C ：复数的虚部为，故C 错误；z 15对于D ：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D 正确；z 21(,55故选：ABC ．10．设向量，则（ ）(1,1),(2,0)a b =-=A ．B ．||||a b a -= ()//a b a-C ．D ．在上的投影向量为（1，0）()a b a-⊥ a b【答案】ACD【分析】根据平面向量的运算法则，向量与向量垂直、平行的坐标表示，平面向量数量积的几何意义判断.【详解】，A 对.(1,1)a b -=--a - ，所以B 错，C 对.()(1,1)(1,1)110a b a -⋅=--⋅-=-+=向量在向量上的投影为：，投影向量为(1,1)a =- (2,0)b = cos ,1a b a b a a b a a b b⋅⋅⨯<>=⨯==.所以D 对.(2,0)1(1,0)2a b b bb⋅⨯=⨯= 故答案为：ACD.11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）．()π4cos cos 13f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭A ．函数的最小正周期为()f x π2B ．为函数图像的一条对称轴5π6x =()f x C ．函数在上单调递减()f x 4π19π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数在上有3个零点()32y f x =+[]0,π【答案】BC【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析.【详解】由题意得：()π4cos cos 13f x x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭14cos cos 12x x x⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22cossin 1x x x =-++()1cos 221x x =-++2cos 2x x=-122cos 22x x ⎫=-⎪⎪⎭，π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，。
江苏省连云港市新海高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省连云港市新海高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．cos225cos45sin225sin45-︒︒︒︒的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D 2．已知i 为虚数单位，且复数2024i 4i z =，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 为实数 B ．2024i i =C ．复数z 为纯虚数D ．4i z =3．已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（ ）A ．3B ．C ．5D ．4．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =b 60B =︒，则角C 等于（ ） A ．45︒B ．75︒C ．105︒D ．135︒5．若πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．23C ．910 D ．12-6．《后汉书-张衡传》曰：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机，外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km 的A ，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北45︒方向，若A 地地动仪正东方向的铜丸落下，B地东偏南30︒方向的铜丸落下，则地震的位置在A 地正东（ ）km ．A ．50B ．100C ．100D ．100⎭7．如图，设正八边形ABCDEFGH 的边长为a ，若2A C A E ⋅=u ur u u ru u ，则此正八边形的面积是（ ）A ．1B C ．2D ．8．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()sin A C B =-，则角A 的最大值是（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．直四棱柱是长方体B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D ．棱台的侧面是等腰梯形10．关于复数1z ，2z ，下列说法正确的是（ ）A ．若120z z ->，则12z z >B ．若120z z =，则10z =或20z =C ．1212z z z z +=+D ．若22120z z +<，则1z ，2z 中至少有一个是虚数11．如图，点P ，Q 分别是长方形ABCD 的边DC ，CB 上两点且22AB AD ==，DP DC λ=u u u r u u u r，CQ CB μ=u u u r u u u r，则下面结论正确的是（ ）A ．当12λμ==时，APQ △是钝角三角形 B ．若12DP DC =u u u r u u u r ，34CQ CB =u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r 的值是114C ．当λμ=时，APQ △的面积最小值是34D ．当12λ=时，向量数量积PQ AQ ⋅u u u r u u u r 的最小值是74三、填空题12．已知2sin cos αβ+=32cos sin 2αβ+=-，则()sin αβ+的值等于．13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒， 2a =r ，3b =r ，则2a b -r r 与a r夹角的余弦值是．14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1s i n 1c o s 2c o s s i n 2B AB A --=，则2222b a c +的取值范围是．四、解答题15．设复数()11i z a a =-∈R ，234z i =-． (1)若12z z +是实数，求12z z ⋅；(2)若复数()21z 在复平面上对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围； (3)若复数z 满足21z z -=，求z 的最小值．16．在平面直角坐标系中，已知点()1,4A ，()2,3B -，()2,C m ． (1)若三点,,A B C 共线，求实数m 的值； (2)若ABC V 是锐角三角形，求实数m 取值范围；(3)是否存在实数m ，使得AB u u u r在AC u u u r上的投影向量是113AC u u ur ？若存在，请求出实数m 的值，若不存在请说明理由．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11B C 的中点，设平面1A BM 与底面ABC 的交线为l ．(1)证明：1AC P 平面1A BM ； (2)证明：l P 平面1A MC ．18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin()sin sin B A A C -+=． (1)求内角B 的大小；(2)角B 的平分线BD 与边AC 交于点D ，2BD =，若2a c =，求边b 的值； (3)若3a =，求ABC V 的周长的取值范围．19．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，点F 在线段BD 上且是靠近B 点的一个三等分点，AF 交ED 于点G ，EC 交AD 于点O ．(1)用AB u u u r和AD u u u r 表示AF u u u r ； (2)若EG ED λ=u u u r u u u r，求实数λ；(3)过点O 的直线与边AB ，BC 分别交于点S ，T ，设四边形DEST 的面积为1S ，梯形AEDC 的面积为2S ，求12S S 的最小值．。
江苏苏州市2024年高一下学期期中调研数学试题+答案
高一期中调研试卷数 学2024.04注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，则复数()()3i 4i −−在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知单位向量a ，b ，则a b −=A ．1BCD ．33．i 是虚数单位，则11iz =−的共轭复数是 A ．11i 22+B ．11i 22−C ．1i −D．1i +4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，135A =°，则sin sin b cB C++的值为A BCD ．5．已知向量()3,4a=−，()2,0b = ，则a 在b上的投影向量为A ．()3,0B ．3,02C ．3D ．66．下列命题正确的是A ．AB AC BC −=B ．若向量()2023,2024a = ，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为()2025,2024C ．在△ABC 中，0AB AC ⋅>是△ABC 为锐角三角形的充要条件D ．在△ABC 中，若λ为任意实数，且()CP CB CA CA CB λ=⋅+⋅，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心7．苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD 核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH 全球高层建筑卓越奖．建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q ）一直线上位于Q 同侧两点A ，B 分别测得金融中心顶部点P 的仰角依次为30°，45°，已知AB 的长度为330米，则金融中心的高度约为A ．350米B ．400米C ．450米D ．500米8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，13BF BC = ，AF 与BE 交于点G ，若BA a = ，BC b = ，则BG =A ．2177a b +B ．1277a b +C ．2155a b +D ．1255a b +二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC 中，下列说法正确的是A ．若ABC >>，则sin sin sin A B C >> B ．若A B C >>，则sin 2sin 2sin 2A B C >> C ．若A B C >>，则cos cos cos A B C <<D ．若A B C >>，则cos 2cos 2cos 2A B C <<10．1z ，2z 是复数，下列说法正确的是A ．若210z <，则1z 是纯虚数 B ．若12z z =，则2212z z =C ．若1z ，2z 互为共轭虚数，则1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称D ．若22120z z −>，则2212z z >11．已知P 是边长为1的正六边形ABCDEF 内一点（含边界），且AP AB AF λ=+，R λ∈，则下列正确的是A ．△PCD 的面积为定值B ．λ∃使得PC PA >C ．∠CPD 的取值范围是,63ππD ．PC的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a ，b 为两个不共线的非零向量，若ka b + 与2a b −共线，则k 的值为 ．13．△ABC 中，若3sin 45A π+=−，则sin 12A π−=． 14．已知△ABC 的外接圆半径为1，则AB BC ⋅的最大值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数z 在复平面上对应点在第一象限，且z =2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z −在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求AB AC ⋅的值．16．（15分）已知向量OA ，OB不共线，点P 满足OP xOA yOB =+ ，x ，y R ∈．证明： （1）若12xy ==，则点P 是线段AB 的中点； （2）1x y +=是A 、B 、P 三点共线的充要条件． 17．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 满足：A 在x 轴的正半轴上，C 的横坐标是1，OA OB ⋅ AOB α∠=，AOC β∠=，α是锐角，β是钝角． （1）求()cos αβ−的值； （2）求2βα−的值． 18．（17分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知1AD =，2CD =，△ABC 为等边三角形，记ADC α∠=．（1）若3πα=，求△ABD 的面积；（2）若,2παπ∈，求△ABD 的面积的取值范围． 19．（17分）某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD 某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若P ，Q 分别为边AB ，DA 上的动点，当△APQ 的周长为2时，PQ 有最小值（图1）、∠PCQ 为定值（图2）、C 到PQ 的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求PQ 的最小值；图1（2）如图2，证明：∠PCQ 为定值；图2（3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．图3高一期中调研试卷 数学参考答案2024.04一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBCADCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分题号 9 10 11 答案ACDACAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．12−；13；14．12四、解答题：本题共5小题，共77分15．解：（1）设i z a b =+，则z =，()()2222i 2i z a b a b ab =+=−+，因为z=，2z 的虚部为2，所以22222a b ab +== ， 解得：11a b == 或11a b =− =−， 又复数z 在复平面上对应点在第一象限， 所以11a b ==，故1i z =+ （2）因为1i z =+，所以()221i 2i z =+=，21i 2i 1i z z −=+−=−， 所以()1,1A ，()0,2B ，()1,1C −()()1,10,22AB AC ⋅=−⋅−=−16．证明：（1）因为12x y ==的，所以1122OP OA OB =+ ，即2OP OA OB =+ ，所以OP OA OB OP −=−，所以AP PB =所以P 是线段AB 的中点 （2）充分性：若1x y +=，则1y x =−，所以()1OP xOA x OB =+− ，所以OP OB xOA xOB −=−所以()BP x OA OB xBA − ，所以A 、B 、P 三点共线 必要性：因为A 、B 、P 三点共线，所以存在实数x 满足：BP xBA =所以()OP OB x OA OB −=− ，即OP OB xOA xOB −=−所以()1OP xOA x OB =+− ，所以1x y +=综上所述，1x y +=是A 、B 、P 三点共线的充要条件 17．解：（1）因为1OA OB == ，点()cos ,sin B αα，所以cos OA OB α⋅== ，所以cos α=，又α为锐角，所以sin α因为钝角β的终边与单位圆O 的交点C 的横坐标是所以cos β=，sin β所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ −=++=（2）由（1）知sin α=cos α=，sin β=，cos β=，所以4sin 22sin cos 25ααα==， 223cos 22cos 1215αα=−=−=−所以()34sin 2sin cos 2cos sin 255βαβαβα −=−=−−×= 因为α为锐角， 所以02πα<<，所以02απ<<， 又cos 20α<， 所以2,2παπ ∈又,2πβπ ∈， 所以2,22ππαβ−∈−， 所以24πβα−=．18．解：（1）在△ACD 中，由余弦定理，2222cos 1422cos33AC AD CD AD CD πα=+−⋅⋅=+−××=，所以AC =90DAC ∠=°， 又因为△ABC 为等边三角形，所以AB AC ==150BAD BAC DAC ∠=∠+∠=°，所以11sin 1sin15022ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=×°=（2）不妨设DAC β∠=． 在△ACD 中，由余弦定理，2222cos 1422cos 54cos AC AD CD AD CD ααα=+−⋅⋅=+−××=−，22254cos 1412cos cos 22AC AD DC AC AD AC ACααβ+−−+−−===⋅． 在△ACD 中，由正弦定理，sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，即2sin sin AC αβ=， 所以2sin sin ACαβ=．所以1111sin sin sin 22322ABD S AB AD BAD AC AC πβββ∆=⋅⋅∠=⋅+=⋅)1sin 1sin 23πααα =−=−+， 又因为,2παπ ∈， 所以2,363πππα −∈，所以sin 3πα−，即△ABD 的面积的取值范围为． 19．解：（1）设QPA θ∠=， 因为△APQ 的周长为2所以sin cos 2PQ PQ PQ θθ++=所以2sin cos 1PQθθ==++因为0,2πθ∈sin 14πθ<+<，所以14πθ<+<所以2PQ= 即PQ的最小值为2−图1（2）设PCB α∠=，QCD β∠=，则tan PB α=，tan DQ β=， 所以1tan AP α=−，1tan AQ β=−，PQ =因为△APQ 的周长为2， 所以21tan 1tan αβ=−+−+tan tan αβ+=所以tan tan 1tan tan αβαβ+=−⋅ 即()tan 1αβ+=， 因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβπ<+<，所以4παβ+= 所以()24PCQ ππαβ∠=−+= （3）因为11sin 22CPQ S PQ CE CQ CP PCQ ∆=⋅=⋅∠所以PQ CECP ⋅=⋅， 因为1tan AP α=−，1tan AQ β=−， 所以()()222tan tan tan tan PQ AP AQ αβαβ=−+=−−−=+ 又1cos CP α=，1cos CQ β= 所以()tan tan CE αβ+⋅所以sin cos cos sin cos cos CE αβαβαβ +⋅所以()sin cos cos CE αβαβ+⋅ 因为4παβ+=，CE 所以1CE =，即C 到PQ 的距离的定值为1图3。
江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
上单调递增；
试卷第21 页，共33 页
C．
f
(
x)
的图象关于直线
x
=
7π 12
对称
D． f ( x) 在区间 (0, 2π ) 上有 3 个零点
11．如图所示，在边长为
3
的等边三角形
ABC
中，
uuur AD
=
2 3
uuur AC
，且点
P
在以
AD
的中点
O
为圆心，
OA
为半径的半圆上，若
uuur BP
=
， ON
为邻边的平行四边形的面积为
( ) ( ) ur r
ur r
ur r
S m, n = x1y2 - x2 y1 ；当 m ， n 共线时，规定 S m, n = 0 ．
( ) ur r
(1)分别根据下列已知条件求 S m, n ：
①
ur m
=
(
2,1)
，
r n
=
(
-1,
2)
；②
ur m
=
(1,
uuur xBA
+
y
uuur BC
，则下列说法正确的有（
）
A．
uuur BD
=
1 3
uuur BA
+
2 3
uuur BC
uuur uuur C． BP × BC 存在最大值为 9
B．
uuur BD
×
uuur BO
=
13 2
D．
x
+
y
的最小值为
2
3 9
+
1
江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC 中，已知8,30,105a B C ===o o ，则b 等于（ ）A ．323B ．4 3 C．D ．4 22．若cos 21π2cos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=（ ）AB ． 22C ．14D ．123．复数2i1i z +=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z B ．z 的共轭复数为31i 22+C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在平面内的对应点位于第一象限41cos20-︒的值为（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．−45．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，222,44a S b c ==+-，则△ABC 外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．πD ．2π6．已知梯形ABCD 中，//,3,3AD BC BF FC AH HF ==u u u r u u u r u u u r u u u r，且BH BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ的值为（ ）A ．364B ．564C ．764D ．9647．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形8．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =2 3，102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15二、多选题9．计算下列几个式子，结果为 3的是（ ） A．tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒B ．()2sin35cos 25sin55cos65︒︒+︒︒C ．2πtan6π1tan 6- D ．1tan151tan15+︒-︒10．已知向量()1,3a =r ，()2,4b =-r ，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b a +⊥r r rB．2a b +r rC ．向量a 与向量b的夹角为34πD ．b 在a 的投影向量是()1,311．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =△ABC满足sin :sin :sin A B C =，且ABCS =△，请判断下列命题正确的是（ ）A ．△ABC周长为5B ．3C π=C ．△ABCD ．△ABC 中线CD的长为2三、填空题12．已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r.13sin αα+，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()s i n co s c o s s i n B C B C b c C+⎫+=⎪⎭，π3B =，则2a c +的最大值为.四、解答题15．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中(a =r(1)若4c =r ，且//c a r r，求c 的坐标；(2)若1b =r ，且()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭r r r r ，求a与b 的夹角θ 16．m 为何实数时，复数()()()22i 3i 121i z m m =+-+--满足下列要求：（1）z 是纯虚数；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限； 17．已知π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求2sin 22cos 1tan ααα++的值；(2)若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin β=αβ+的值.18．已知向量()cos ,sin a αα=r ，12b ⎫=-⎪⎪⎝⎭r ，π02α<<. (1)若a b ⊥r r 时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -=r r 2πsin 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19．请欣赏：上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（ⅰ）中AEB ∠的大小，会得到更多不同的“树形”.(1)在图（ⅰ）中，AB =2，1AE =，且AE AB ⊥，求AQ ；(2)在图（ⅱ）中，AB =2，1AE =，设()0180EAB θθ∠=︒<<︒，求2AQ 的最大值.。
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高一数学
一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线033=-+y x 的倾斜角的大小为（ ）
A. 6π
B. 3π
C. 32π
D. 6
5π
2.在ABC ∆中，3
A π
∠=，3BC =，AB =，则C ∠的大小为（ ）
A. 6π
B. 4π
C. 2π
D. 3
2π
3.点P 是直线02=-+y x 上的动点，点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为（ ）
A. 12-
B.1
C.12+
D.2 4．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ),2()41,(+∞⋃-∞
B. )1,41(
C.
),1()4
1,(+∞⋃-∞ D. ),1[]4
1
,(+∞⋃-∞
5． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝2 3 ，则a ＋b ＋c
sinA ＋sinB ＋sinC
等于
（ ）
A ．1
B ．2 3
C ．4
D ．4 3
6．圆x 2
+y 2
+4x ﹣4y ﹣8=0与圆x 2
+y 2
﹣2x+4y+1=0的位置关系（ ） A. 相交 B. 外离 C. 内切 D. 外切 7. 直线 ,m n 和平面α， 若n m ,与平面α都平行，则直线 ,m n 的关系可以是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 以上都有可能 8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若sin 3sin cos A C B =，且2c =，则ABC ∆的面积最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．
处.
9. 已知R m ∈，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 若12//l l ，则实数m 的值为 ．
10. 在△ABC 中，已知BC=2，AC=7，,3
2π
=B ，那么△ABC 的面积是 ．
11．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ， 90=∠ABC ，
1===BC AB PA ，则PC 与平面PAB 所成角的正切值．．．
为 ． 12．如果平面直角坐标系中的两点A )1,1(+-a a ，B ),(a a 关于直线L 对称，那么直线L 的方程为 ．
13. 若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有三个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R 的值为___________.
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
A c C a
B b cos cos cos 2+=,则角B 的值 ．
15．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进10
3
米后到
点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_____米．
P
A B
C
（第11题）
C
D E A
B
θ
2θ 4θ
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为22420
+-+=．若直线
x y x y =+上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 3
y x b
的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中
点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF//平面PDC．
18. （10分）在ABC
∆中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
=+.
a b C B
cos sin
（1）求角B的值；
（2）若
a=，求b的值.
∆的面积S=5
ABC
19. （12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿
正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 小时追上，此时到达C 处．
（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．
20. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，ABC AA 平面⊥1,底面为正三角形，AB ＝AA 1，D 是BC 的中点，P 是CC 1的中点. 求证：（1）A 1B//1AC D 平面； （2）11B P AC D ⊥平面.
21. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及
点(1,0)A -，(1,2)B ．
（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；
（2）在圆C 上是否存在点P ，使得22
PA +
P 的
个数；若不存在，说明理由．
22．（14分）如图，圆，：1)2(22=+-y x M 点)1(t P ，-为直线1-=x l ：上一动
点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B . （1）若，1=t 求切线所在直线方程； （2）求AB 的最小值；
（3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求ST 的最小值.。