3.3.2 随机数的含义与应用 课件(人教B版必修3)

个数N1. S3 N1 计算频率fn(A)＝ ，即为概率P(A)的近似值． N
半圆的面积为S1＝2π，矩形的面积为S＝8.由几何概率公式 π N1 π 得P(A)＝ .所以 ≈ . 4 N 4 4N 8N 所以 1即为π的近似值，半圆的面积的近似值即为 1. N N
利用随机模拟法估计图形面积的步骤是： ①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则 图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示； ②利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴 N1 影部分的概率P(A)＝ ； N ③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有 S N1 N1 N1 ＝ ，解得S＝ S′，则已知图形面积的近似值为 S′. N N S′ N
[精解详析]
S1
设事件A表示“掷两颗骰子都得到1点”．
用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录
其中有多少次随机数x和y都出现1(即同时出现1点)，首先置 n＝0，m＝0. S2 用变换int(rand()*5)＋1产生1～6之间的整数随机数
x表示掷一颗骰子出现的点数；用变换int(rand()*5)＋1产生
2
的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型的概率公式的 S S N1 12N1 点落在阴影部分的概率为 ，所以 ≈ .所以S≈ 即为 12 12 N N 阴影部分面积的近似值．
[一点通]
解决本题的关键是利用随机模拟法和几
何概型概率公式分别求得几何概型概率，然后通过解方程 求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点： 一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概 率．
个试验估计飞镖落在小正方形内的概率，写出算法步 骤．
解：设“飞镖落在中央小正方形内”为事件A，由几何概型 S小正方形 1 的计算公式得P(A)＝ ＝ . S大正方形 4 用计算机模拟这个试验，步骤如下： S1 用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m 记录其中有多少次飞镖落入中央小正方形内．首先置n＝0， m＝0. S2 用变换rand()*4－2产生－2～2之间的随机数x表示所投 飞镖的横坐标；用变换rand()*4－2产生－2～2之间的随机 数y表示所投飞镖的纵坐标．
[例3]
利用随机模拟的方法近似计
算如图所示阴影部分(函数y＝2－2x－x2
与x轴围成的图形)的面积．
[思路点拨] 首先计算与之相应的规则多边形的面
积，然后由几何概型的概率公式进行面积估计．
[精解详析]
(1)利用计算机产生两组0～1上的均匀随
机数，a1＝rand( )，b1＝rand( )．(2)经过变换a＝a1*4－3， b＝b1*3得到一组－3～1和一组0～3上的均匀随机数．(3)统 计试验总数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b<2－2a－ N1 a 的点(a，b)数)．(4)计算频率 就是点落在阴影部分的概率 N
[一点通]
解决此题的关键是产生两组整数随机数
来表示点数，要注意用取整函数产生整数．
1．本例中条件改为“抛掷一颗骰子”结果如何？ 解：设事件A“掷骰子得到一点”．
S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记
录其中有多少次随机数x出现1(即出现1点)．首先n＝ 0，m＝0； S2 用变换rand()*5＋1产生1～6之间的整数随机数x
2．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率 是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是
多少？
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计 算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数． 我们用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示 未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三
(2)经过伸缩变换a＝a1*24得到一组[0，24]上的均匀随 机数； (3)统计出试验总次数N和[5，8]内的随机数个数N1(即 满足5≤a≤8的个数)； N1 (4)计算频率fn(A)＝ 即为概率P(A)的近似值． N
4.如图所示，向边长为4的大正方形内投
入飞镖，求飞镖落在中央边长为2的小
正方形内的概率．并用计算机模拟这
S3 判断(x，y)是否落在中央小正方形内，也就是看是否满 足|x|≤1，|y|≤1.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1. 如果不是，m的值保持不变． S4 表示随机试验次数的计数器n值加1，即n＝n＋1.如果还 需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束． m 程序结束后，事件A发生的频率 作为A的概率的近似值. n
[一点通]
用随机模拟法估算几何概型概率的关键
是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的 范围．
3．在长为24 cm 的线段AB上任取一点M，并以线段AM 为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介
于25 cm2 与64 cm2 之间的概率．
解：设事件A＝“正方形的面积介于25 cm2 与64 cm2 之间”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机 数a1＝rand( )；
5．如图，在长为4、宽为2的矩形中有一 以矩形的长为直径的半圆，试用随机 模拟法近似计算半圆面积，并估计π 值．
解：事件A：“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆 内”． S1 S2 经过变换x＝rand( )*4－2，y＝rand( )*2. 统计出试验总次数N和满足条件x2＋y2<4的点(x，y)的
提示：不相同．
问题2：能用古典概型概率公式求解吗？ 提示：不能． 问题3：如何求概率？ 提示：可用随机数的方法．
1．随机数 随机数就是 在一定范围内随机 产生的数，并且得到
这个范围内的每一个数的 机会 一样．
2．产生随机数的方法 (1)用函数型计算器产生随机数的方法： 每次按 shift、Ran# 键都会产生0～1之间的随机数， 而且出现0～1内任何一个数的可能性是 相同 ．
定这些量．
按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模 拟法或蒙特卡罗方法．
用均匀随机数模拟试验时，首先把实际问题转 化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型．
[例1]
点的概率．
同时抛掷两颗骰子，用随机模拟法估计都是1
[思路点拨]
可根据抛掷两颗骰子，需要产生两组
1～6之间的整数随机数来分别表示两颗骰子的点数．
(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中
产生随机数的方法)： ①Scilab中用 rand( ) 函数来产生0～1的均匀随机 数．每调用一次rand( )函数，就产生一个随机数． ②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换 rand( )*(b－a)＋a 得到．
3．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法 (1)建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量 有关． (2)设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确
次，所以每三个随机数作为一组．
例如：产生20组随机数： 812 907 932 569 683 113 271 989 730 537 925 556 834 755
966 191 432 256 393 027
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在 1，2，3，4，5，6中，则表示三次都投中，它们分别是 113，432，256，556，即共有4个数，所以三次投篮都投 4 中的概率近似为 ＝20%. 20
1～6之间的整数随机数y表示掷另一颗骰子出现的点数，用1 表示1点，用2表示2点，用3表示3点，„，用6表示6点．
S3 判断是否同时出现1点，即是否满足x＝1且y＝1， 如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m 的值保持不变． S4 表示随机试验次数的计数器n值加1，即n＝n＋1， 如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序 结束． m 程序结束后事件A发生的频率 作为事件A的概率的近 n 似值．
表示掷骰子出现的点数：用1表示1点，用2表示2点，
用3表示3点，„，用6表示6点；
Hale Waihona Puke S3判断是否出现1点，即是否满足x＝1.如果是，则计数
器m的值加1，即m＝m＋1.如果不是，m的值保持不变； S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如
果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结 m 束．程序结束后事件A发生的频率 作为事件A的概率的近 n 似值．
[例2]
两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳
子上挂一盏灯，用随机模拟法估算灯与两端的距离都不
小于2 m的概率．
[思路点拨]
由条件可知取得[2，4]内的随机数个
数与[0，6]内的随机数个数之比就是事件A发生的频率．
[精解详析] 记事件A＝{灯与两端的距离都不小于2 m}． (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数， a1＝rand()； (2)经过伸缩变换，a＝a1*6； (3)统计出试验总次数N和[2，4]内的随机数个数N1； N (4)计算频率fn(A)＝ 1即为概率P(A)的近似值． N
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3.2 第 三 章 概 率 随 机 数 的 含 义 与 应 用
3.3. 2
理解教材新知
随 机 数 的 含 义 与 应 用
考点一
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
3.2
随机数的含义与应用
3．3.2
随机数的含义与应用
种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵， 求恰好成活4棵的概率． 问题1：每棵树苗成活的可能性相同吗？