调和函数
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
调和函数
本章主要内容
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
Cauchy积分定理
Cauchy 积分公式
高阶导数 公式
复合 闭路 定理
原函数 的概念
积分公式 及计算
15
轭调和函数.
5
现在提出如下问题：
已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
§3-4 调和函数
1. 调和函数的概念 2. 解析函数与调和函数的关系
1
1. 调和函数的概念
定义 如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y2
0
则称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.
2
2. 解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证明 设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 为区域 D 内的一个解析函数，则
u v , u v . x y y x
根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此
u( x, y) 与 v( x, y) 具有任意阶的连续偏导数,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
复分析中的调和函数性质研究
复分析中的调和函数性质研究复分析是数学中的一个分支领域，研究复平面上的函数及其性质。
其中一个重要的研究方向就是调和函数的性质。
调和函数是复分析中的一类特殊函数，具有多种有趣的性质和应用。
本文将对调和函数的性质进行研究和探讨。
一、调和函数的定义和基本性质调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即Δu=0。
其中Δ是拉普拉斯算子，对于复平面上的函数u(x,y)，可以表示为Δu=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0。
调和函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
调和函数具有很多基本性质，如调和函数的实部和虚部也是调和函数、调和函数的导数仍为调和函数等。
这些性质使得调和函数的研究具有很好的可行性和普适性。
二、调和函数的积分表示公式调和函数可以通过积分来表示，即u(x,y)=Re[f(z)]，其中f(z)是复平面上的解析函数。
根据调和函数的积分表示公式，可以进一步研究调和函数的性质。
例如，可以利用 Cauchy-Riemann 方程推导出调和函数的光滑性和调和函数在边界上的取值等。
三、调和函数的奇点调和函数可能存在奇点，即在某些点上函数值无定义或无限大。
奇点的分类包括孤立奇点、极点和本性奇点等。
对于调和函数的奇点，可以通过研究奇点周围的性质和特征，进一步了解调和函数的行为和性质。
奇点的位置和类型对调和函数的性质有重要影响。
四、调和函数的边界性质调和函数在边界上的取值以及边界的性质是调和函数研究的一个重要方面。
根据调和函数的边界性质，可以研究边界上的调和函数的极值性质、最大模原理等。
调和函数在边界上的取值可以通过边界上的基本解得到，例如圆盘上的基本解是调和函数1/2πlog(1/|z|)。
这使得我们可以通过边界上的调和函数值来推断内部的调和函数性质。
五、调和函数的应用调和函数有广泛的实际应用，例如在物理学中的电势场、热传导中的温度分布、流体力学中的速度势场等。
调和函数的性质和应用在科学和工程中起到了重要的作用。
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
调和函数
∆ ( au + bv ) = a∆u + b∆v
2．解析函数与调和函数的关系 定理： f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )是区域D内的解析函数
⇒ u与v是区域D内的调和函数 证明： f ( z )在D内解析 ⇒ u x = v y , v x = −u y
且u, v有任意阶连续偏导数
2 v 3 x ⇒ = + g ′( y ) ⇒ v ( x, y ) = 3 x y + g ( y ) y
2
3 2 ′ ⇒ g ( y ) = − y +C ⇒ g ( y ) = −3 y
⇒ v ( x, y ) = 3 x y − y + C 2 2 2 ′ 方法3：f ( z ) = u x − iu y = 3x − 3 y + 6ixy = 3z
2 3
⇒ f ( z ) = z + C1
3
= x − 3 xy + i (3 x y − y ) + C1
3 2 2 3
Re f ( z ) = x − 3xy ⇒ C1 = iC
3 2
⇒ f ( z ) = z + iC
3
即v是u的共轭调和函数
v ( x, y ) = ∫
x
( x, y )
( x0 , y 0 )
− u y dx + u x dy + C0
(x ,y )
0 0
(x,y)
(C0为任意常数)
y x0 y0
= ∫ − u y ( x, y0 )dx + ∫ u x ( x, y )dy + C0
(x,y )
调和函数极值原理
调和函数极值原理调和函数是指具有形式为f(x) = 1/x的函数，其中x不等于0。
在数学中，调和函数是一类特殊的函数，它们在很多领域都有重要的应用。
在本文中，我们将探讨调和函数的极值原理，以及如何利用这一原理解决实际问题。
首先，我们来看一下调和函数的性质。
调和函数f(x) = 1/x在定义域内是单调递减的，并且当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于0。
这意味着调和函数在定义域内没有极大值或极小值，但它可能在一些特殊情况下取得极值。
接下来，我们将讨论调和函数的极值原理。
对于调和函数f(x) = 1/x，如果在某一区间[a, b]内存在极值，那么这个极值一定是在区间的端点处取得的。
换句话说，调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
为了更好地理解调和函数的极值原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上的极值情况。
根据极值原理，我们知道f(1) = 1和f(2) = 1/2，因此极小值为1/2，极大值为1。
这个例子验证了调和函数极值原理的有效性。
在实际问题中，调和函数的极值原理可以帮助我们解决一些优化和最值求解的问题。
例如，在工程领域中，我们经常需要考虑如何设计一个系统，使得某些性能指标达到最优。
通过利用调和函数的极值原理，我们可以更好地优化系统的设计，使得系统的性能达到最优状态。
此外，调和函数的极值原理也在数学分析和微积分中有重要的应用。
通过深入研究调和函数的极值原理，我们可以更好地理解函数的性质，从而为更复杂的函数求极值提供了重要的思路和方法。
综上所述，调和函数极值原理是指调和函数在有限区间内的极值只可能出现在区间的端点处。
这一原理在数学分析、工程优化等领域都有重要的应用价值，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解调和函数的极值原理，并在实际问题中应用这一原理，取得更好的效果。
关于调和函数
0
F
u f ( x ), x , 2 牛曼内问题 u 有解的必要条件是 n ( x )
dS 0.
因为
V
(u 2 v v 2u )dV (u
S
v u v )dS n n
，则
设u在内是调和函数 且 取 v 1 ,
1 u(M 0 ) 2 4 a
Байду номын сангаас
ka
udS
4 极值原理
对不恒等于常数的调和 函数u( x , y, z ), 其在区域的任何 内点上的值都不可能达 到它在上的上界和下界 .
例如，稳定的温度场，热量由外面流入，经过物体内部 流出，达到动态平衡，因此当物体内部没有热源时，温 度分布不可能在内部有最高点或最低点．
u S n dS 0
于是
u ( x) n
dS 0.
函数
1 v( M 0 ) 4
是泊松方程
rM M d
0
F
v F
一个特解 .
3 平均值公式
调和函数在其定义域 内任一点的值等于它在 以该点为心且 包含于的球面上的平均值:
5 拉普拉斯方程解的唯一性问题 狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
1 u(M 0 ) 4
1 1 u S (u n ( r ) r n )dS
如果u在 S上有连续的一阶偏导数在区域内, u F , 则 ,
1 u(M 0 ) 4
1 1 1 u S (u n ( r ) r n )dS 4
rM M d
第三章 调和方程
方程
4.2调和函数的基本性质
数的连续性，必可找到此点在球面 SR 上的一个
邻域，在此邻域中也有 u(M ) u(M 1). 因此，即使
在球面 SR 的其余部分上满足 u(M ) u(M 1), 也有
u(M )dS u(M 1 )dS
SR
SR
性质 2
u(M 0 )
3 ( 极值原理 )
1 4 a2 udS.
a
(13)
用 反证法 . 假定函数 u在 某点 M 1 达到最大值，
u
给定的， 而
n 在边界
上的值就不知道， 由此 n在边界 上
的值就不能再任意给定了。
a
(13)
u( x, y, z)是区域 内的 调和函数 ，
它在 上连续，且 不为常数 ，则 它的最大值、
最小值只能在边界 上达到 ( 极值原理 ) 。
推论 ( 比较原理 ) 设 u, v都是区域 内的 调和函数 ，且在
上连续，若在 边界 上成立不等式 u v, 则在 内该不等式同样成立， 且只有在 u v 时，在
任取 一点 N , 在区域 中作连接 M 1, N 两点的
折线 l , 记折线 l 到区域 边界 的最小距离为 d.
由于点 N 的 任意性 ，就得到
整个区域 上满足
u(M ) u(M 1).
与题设矛盾。 则极值原理 得证。
d
K1
K2 M2
M3
l
M1
S2
S1
Kn
Mn N Sn
性质 2 性质 3
1 u(M 0 ) 4 a2 udS.
内等号才成立。
利用 极值原理 证明 狄利克雷问题
u( x, y, z) 0, ( x, y, z)
u | f ( x, y, z)
调和函数满足的条件
调和函数满足的条件一、引言调和函数是数学中一类重要的函数，它在物理、工程和应用数学中有着广泛的应用。
调和函数的定义比较简洁：在某个区域内，调和函数等于它周围点的平均值。
本文将详细探讨调和函数满足的条件及其性质。
二、调和函数的定义调和函数一般用Φ表示，对于二维情况，调和函数Φ(x,y)的定义为：在某个区域内，Φ(x,y)在这个区域内的每一点(x,y)处的值等于它周围点的平均值。
对于三维情况，调和函数的定义可以类似地推广。
三、调和函数的性质调和函数具有以下一些重要的性质：1. 连续性调和函数在其定义区域内连续，这是调和函数的最基本性质之一。
通过定义可知，调和函数等于其周围点的平均值，因此在定义区域内任意点的小邻域内，函数值不会出现突变或跳跃。
2. 光滑性调和函数在其定义区域内光滑，也就是说，调和函数具有无穷阶导数。
这一性质是由于调和函数等于其周围点的平均值，因此通过对调和函数进行求导，可以得到更高阶的导数。
3. 极值性调和函数在其定义区域内不具有局部极值点，也就是说，调和函数在其定义区域内不会同时满足偏导数为零的条件。
这是因为，假设调和函数在某点处取得极值，根据调和函数的定义，其他点的平均值必然也等于这个极值，从而使得整个区域内的函数值处处相等，矛盾。
4. 平均值性调和函数在其定义区域内满足平均值性，即调和函数在任意区域内的平均值等于该区域边界上的函数值的平均值。
这是由调和函数的定义直接推导出来的，也是调和函数的一个重要性质。
四、调和函数的解析解在某些特殊情况下，可以求得调和函数的解析解。
常见的情况包括矩形区域和圆形区域内的调和函数。
1. 矩形区域内的调和函数在矩形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式。
该级数是由正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数是通过矩形区域的边界条件来确定的。
2. 圆形区域内的调和函数在圆形区域内，调和函数的解析解可以表示为一个无穷级数的形式，该级数是由与圆形边界相切的圆周上的正弦函数和余弦函数构成的，每个正弦函数或余弦函数与它们对应的系数构成级数项，系数也是通过圆形区域的边界条件来确定的。
调和函数
性质
在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数 的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。
调和函数
数学术语
01 定义
03 性质 05 推广
目录
02 例子 04 06 “重调和”方程
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一 阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在 和惟一性定理。
如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子 和偏导数算子是交换的。
在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可 以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。
调和函数研究的一个推广是黎曼流形上的调和形的研究，后者与上同调的研究有关。此外，可以定义调和的 向量值函数，或者两个黎曼流形间的调和映射。这些调和映射出现在最小表面理论中。比如说，一个从R上区间射 到一个黎曼流形的映射是调和的当且仅当它是一条短程线。
“重调和”方程
若u(x,y)足“重调和”方程
收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。
调和函数和调和分析的基本理论
调和函数和调和分析的基本理论调和函数是数学领域中的一个重要概念，它与调和分析密切相关。
调和函数在物理学、工程学和数学领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍调和函数和调和分析的基本理论，并探讨其在不同领域的应用。
一、什么是调和函数调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数。
在二维直角坐标系中，拉普拉斯方程可以写成：∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，u是待求的函数。
如果一个函数满足上述方程，那么它就是一个调和函数。
调和函数具有许多重要的性质，其中之一就是调和函数的平均值定理。
根据平均值定理，一个调和函数在闭区域内的平均值等于它在边界上的平均值。
这个定理在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
二、调和分析的基本理论调和分析是研究调和函数的分支学科。
它涉及到傅里叶级数、傅里叶变换以及奇异积分等内容。
1. 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数是调和分析中的重要概念。
它可以将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数。
傅里叶级数的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理和电路分析等领域。
而傅里叶变换则是将一个函数分解成频域上的成分。
它是傅里叶级数的推广，适用于非周期函数。
傅里叶变换在信号处理、通信工程和图像处理中有着重要的应用。
2. 奇异积分与调和空间奇异积分是调和分析中的另一个核心内容。
它将调和函数和奇异积分结合起来，用于研究调和函数在边界上的性质。
奇异积分在领域边界值问题、电磁场分析和流体力学等方面具有广泛的应用。
调和空间是调和分析中的一种常用工具。
它是一个函数空间，其中的函数满足一定的调和性质。
调和空间在调和分析的研究和应用中起到了重要的作用。
三、调和函数和调和分析的应用调和函数和调和分析在不同领域中都有重要的应用。
1. 物理学中的应用调和函数在物理学中的应用非常广泛。
例如，调和函数可以描述声波、电磁场和热传导等现象。
数学中的调和分析
数学中的调和分析调和分析是数学中的一个重要分支，它研究的是调和函数和调和级数。
调和函数在物理学、工程学、信号处理等领域具有广泛的应用。
本文将从调和函数的定义、性质以及应用等方面进行论述。
一、调和函数的定义和性质在数学中，调和函数是指任意可微的实函数，并且它的所有二阶混合偏导数的和等于零。
具体地，对于定义在开集上的函数，如果它在每个点处二阶偏导数的和均等于零，则称该函数为调和函数。
对于二维的情况，调和函数满足拉普拉斯方程，即△f=0，其中△是拉普拉斯算子。
对于三维的情况，调和函数的定义类似，即△f=0。
调和函数具有许多重要的性质。
首先，调和函数在有界开集上连续。
其次，调和函数在有界开集的边界上连续可微。
此外，调和函数的极值必然出现在边界上。
最后，调和函数具有平均值性质，即在球面上的平均值等于球心处的函数值。
二、调和级数的定义和性质调和级数是调和函数展开的一种形式。
调和级数的形式为∑(1/n)，其中n为正整数。
调和级数在数学分析中起到了重要的作用。
调和级数的收敛性是调和分析的一个重要问题。
欧拉在18世纪证明了调和级数是发散的，即调和级数的和无穷大。
然而，调和级数的对数调和级数（形式为∑(1/nlogn)）是收敛的，这被称为调和级数的柯西收敛定理。
调和级数的收敛性问题一直是数学中的一个难题，直到20世纪，斯坦纳在1967年证明了调和级数的对数调和级数是最小的收敛调和级数，这一结果被称为斯坦纳定理。
三、调和分析的应用调和函数和调和级数在多个领域中都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 物理学：调和函数在电磁学、流体力学、量子力学等物理学领域中具有重要的应用。
例如，调和函数可以表示电势场、磁场以及波动方程的解等。
2. 工程学：调和函数在信号处理、图像处理、通信等工程学领域中具有广泛的应用。
例如，调和函数可以用来分析信号的频谱、图像的特征等。
3. 概率论：调和函数在概率论中也有重要的应用。
例如，调和函数可以用来构造马尔可夫链、分析随机游走等问题。
调和函数满足的条件
调和函数满足的条件调和函数是指在区域内处处可微且二次偏导数连续的实函数。
调和函数在物理、数学、工程等领域有着广泛的应用，比如电场、热力学、流体力学等。
本文将介绍调和函数的定义、性质以及满足的条件。
一、调和函数的定义调和函数是指在区域内处处可微且二次偏导数连续的实函数。
具体地说，设 $u(x,y)$ 是区域 $D$ 内一实函数，如果对于任意 $(x,y)\in D$，都有：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partialy^2}=0$$则称 $u(x,y)$ 是 $D$ 内的一个调和函数。
二、调和函数的性质1. 调和函数具有平均值性质。
即对于任意圆盘 $B_r(x_0)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<r\}$，都有：$$u(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi r}\iint_{B_r(x_0)}u(x,y)dxdy$$这个性质表明了调和函数在某个点上的值等于其在该点附近所有点上值的平均值。
2. 调和函数具有最大值原理。
即在区域 $D$ 内，如果调和函数$u(x,y)$ 在某点 $(x_0,y_0)$ 取得了最大值，则 $u(x,y)$ 在整个区域$D$ 上都取不到比它更大的值。
3. 调和函数具有解析性质。
即如果调和函数 $u(x,y)$ 在某个区域内处处可微，则它是解析函数。
三、调和函数满足的条件1. 连续性条件：调和函数必须是连续的。
这是因为二次偏导数连续这一条件要求了函数必须具有一定的连续性。
2. 可微性条件：调和函数必须在区域内处处可微。
这是因为只有在可微的情况下才能定义二次偏导数，并且只有二次偏导数连续才能保证其是调和函数。
3. 边界条件：对于某些问题，我们需要在给定边界上求解调和函数。
此时，我们需要指定边界上的一些条件，比如 $u(x,y)=f(x,y)$ 或$\frac{\partial u}{\partial n}=g(x,y)$，其中 $n$ 是边界法向量。
2.3调和函数
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数： u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足 u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1： f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数 u与v是区域D内的调和函数
2
2
f
z
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2xy
1 2
x2
c
f (z) 1 (2 i)z2 ic, 这里c是任意实常数。 2
即为所求解析函数。
（法三）
f z ux ivx ux iuy 2x y i 2y x
2x i2y y ix 2 x iy i x iy
v为u的共轭调和函数 .
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数 u x, y x2 y2 xy ,
求一解析函数f(z)=u+iv
解：（法一） ux 2x y , uy 2 y x
2 i z
f
z
1
i 2
z
2
c.
注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即 c=ic1,这里c1是任意实数.
C R方程 f 0, f (z) u(x, y) iv(x, y)仅与z有关。 z
令z x i0,则f (z) f (x i0) f (x).
调和函数的基本特性
调和函数的基本特性调和函数是数学中的一类特殊函数，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍调和函数的基本特性，包括定义、性质和应用等方面。
一、调和函数的定义调和函数是指满足拉普拉斯方程的实函数。
具体而言，对于二维平面上的调和函数，其满足以下方程：△u = 0其中，△表示拉普拉斯算子，u表示调和函数。
对于三维空间中的调和函数，其方程为：△u = 0调和函数在物理学、工程学和数学等领域中具有广泛的应用。
二、调和函数的性质1. 调和函数的连续性：调和函数在其定义域内是连续的，即函数值在定义域内的任意一点都存在。
2. 调和函数的平均值性质：对于调和函数u(x)，其在球面上的平均值等于球心处的函数值，即u(x) = (1/4πr^2)∫∫u(x')dS其中，r为球面的半径，x'为球面上的点，dS为球面上的面积元素。
3. 调和函数的最大值原理：在定义域内，调和函数的最大值只能出现在边界上，而不能在内部取得。
4. 调和函数的解析性：调和函数在其定义域内是解析的，即可以展开为幂级数的形式。
5. 调和函数的唯一性：在给定边界条件下，调和函数的解是唯一的。
三、调和函数的应用1. 物理学中的应用：调和函数在电磁学、流体力学和热传导等领域中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，调和函数可以描述电势和磁场的分布情况。
2. 工程学中的应用：调和函数在声学、光学和结构力学等领域中也有重要的应用。
例如，在声学中，调和函数可以描述声波的传播和反射。
3. 数学中的应用：调和函数在数学分析和偏微分方程等领域中具有重要的地位。
例如，在偏微分方程的求解中，调和函数常常作为基本解来构造其他解。
总结：调和函数是满足拉普拉斯方程的实函数，具有连续性、平均值性质、最大值原理、解析性和唯一性等基本特性。
调和函数在物理学、工程学和数学等领域中有广泛的应用。
通过研究调和函数的性质和应用，可以深入理解数学和物理学的相关概念和理论。
商业摄影 调和函数
商业摄影1. 调和函数的基本概念1.1 什么是调和函数调和函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于商业摄影中。
调和函数指的是满足拉普拉斯方程的函数，即它在二阶偏导数之和为零的条件下，使得在某个区域内的函数值等于该区域边界上的函数值的平均值。
1.2 调和函数的特性调和函数具有以下几个重要的特性： - 平均值性质：调和函数在一个区域内的函数值等于该区域边界上的函数值的平均值。
- 极值性质：调和函数在区域内部取得极值点时，必然位于该区域的边界上。
- 最大模原理：在一个有界区域内，调和函数的最大值必然出现在该区域的边界上或者在边界上某一点的附近。
- 可微性：调和函数在其定义的区域内是二阶连续可微的。
2. 调和函数在商业摄影中的应用2.1 调和函数的图像处理应用调和函数在商业摄影中广泛应用于图像处理领域。
利用调和函数的特性，可以有效地对图像进行降噪、增强和修复等操作。
通过将调和函数与图像的像素值进行卷积，可以实现图像的平滑、锐化等效果，从而提高图像的质量和观感。
2.2 调和函数的光照估计应用在商业摄影中，光照估计是一个重要的问题。
通过对场景中的光照进行估计，可以帮助摄影师更好地控制光线的强弱和方向，从而达到理想的拍摄效果。
调和函数方法是一种常用的光照估计方法，它通过对图像像素值的调和函数进行分析，推测出场景中的光照信息。
2.3 调和函数的色彩校正应用在商业摄影中，色彩校正是一项重要的任务。
调和函数可以应用于色彩校正中，通过对图像的颜色分布进行调整，改变图像的色彩和对比度，从而使照片更加生动、饱满。
调和函数方法可以根据图像的色彩分布进行自适应校正，提高色彩还原的准确性和效果。
3. 调和函数在商业摄影中的优势和挑战3.1 优势•基于数学理论：调和函数是数学中的经典概念，具有严格的数学理论基础，能够保证处理结果的准确性和稳定性。
•高效而灵活：调和函数方法在商业摄影中具有较高的计算效率，并且可以根据具体实际问题进行灵活的调整和应用。
调和函数
dS 0.
性质 6.2 设 u(x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点P0(x0 y0 z0) 处有
13
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(1 r
)
dS
(1.13)
证 利用基本积分公式(1.9)即得.
类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u(P0 )
1
2
ln
1 r
u n
u
n
(ln
1) r
dl
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界.
性质 6.3 (平均值定理) 设 u(x y z)是区域 内的调和函数,
9
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(1) r
dS
1 4
3u d r
(1.9)
其中 r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 n是边界曲面的外单位法向, dS是曲面
上的面积单元,d 是体积单元.
证 以P0为中心 为半径作球K 使 K 表示该球的球面,
16
以 P0 为心 R为半径作球KR 使KR完全包含于内, 记 KR 的球面为 S R,可以证明,在S R上有
u M
事实上,若函数
u
在S
上某一点的值小于
R
M
,
则由连续性知,
在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
16. 调和函数及其性质
朱健民教授主讲
第七章 调和函数
§7.1 调和函数及其性质 §7.2 圆盘上的狄利克雷问题
§7.1 调和函数及其性质
7.1.1 一般概念 定义 设二元实函数 且满足Laplace方程
在区域 内有连续的一阶和二阶偏导数， ，
则称
为区域 内的（二元）调和函数.
条件是：
为
在 内的共轭调和函数.
已知
和
中的任一个便可确定 ，但可能相差一个实的
或纯虚的常数. 如已知
由此有
， 则有
, ,
， .
§7.1 调和函数及其性质
例1 求一解析函数 ， 使其实部为
.
【解】（方法一）已知
,
, , ,
，由公式有
，
于是所求解析函数为
.
（方法二） 由导数公式
有
， 所以
，
.
性质 设 内的解析函数
，
由解析函数的中值公式有
取实部便得.
特别，若 是在闭圆盘
， 上的调和函数，则
.
-平面 -平面
§7.1 调和函数及其性质
-平面
̅
̅
-平面
1
1
̅
§7.1 调和函数及其性质
推论2.1 若 是闭圆盘
则对于
，有
上的调和函数， . —— 泊松公式
【证】函数
设
，̅
为闭圆盘
̅
上的调和函数，由于
，
,即
， 两边求微分有
【证】设
§7.1 调和函数及其性质
为 平面上区域 内的调和函数， 平面上区域
将 映射到 内，则
为 内的调和函数.
算法与数据结构实验 调和函数
算法与数据结构实验：调和函数一、介绍调和函数是离散数学和算法与数据结构中的重要概念之一。
在数据结构中，调和函数用于计算一些操作的平均时间复杂度。
在本文中，我们将深入探讨调和函数的概念、性质和应用。
二、调和函数的定义调和函数又称平均阻塞时间函数，是一种将函数与级数联系起来的数学概念。
对于正整数 n，调和函数 H(n) 的定义如下：H(n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n调和函数的值随着 n 的增加而增加，但增速逐渐减慢。
事实上，调和函数是发散的，也就是说，它的值可以无限增加，但增速越来越慢。
三、调和函数的性质1.渐近性质：调和函数的渐近增长速度与自然对数函数 ln(n) 相同。
换句话说，当 n 趋向于无穷大时，调和函数 H(n) 的增长速度与 ln(n) 几乎相同。
2.上下界性质：调和函数的上下界可以用自然对数函数来确定。
具体而言，调和函数 H(n) 的下界是 ln(n)，而上界是 ln(n) + 1。
3.近似性质：当 n 很大时，调和函数的值可以用自然对数函数来近似表示。
这是因为自然对数函数的增长速度比调和函数更慢，所以在实际应用中，我们可以使用自然对数函数来近似计算调和函数的值。
四、调和函数的应用调和函数在算法与数据结构中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平均时间复杂度分析在算法设计和分析中，我们经常需要评估某个操作的平均时间复杂度。
如果我们知道该操作在不同输入规模下的执行时间，我们可以使用调和函数来计算平均时间复杂度。
具体而言，如果一个操作在输入规模为 n 的情况下执行的时间复杂度是O(H(n))，那么它的平均时间复杂度就可以用调和函数来表示。
2. 算法优化调和函数的性质可以帮助我们优化算法的执行效率。
由于调和函数随着 n 的增加而增长缓慢，我们可以利用这一性质来设计更具效率的算法。
例如，当我们需要处理大规模的数据时，可以尽量避免使用具有较高调和函数值的操作，从而提高算法的执行效率。
调和函数的平均值公式
调和函数的平均值公式调和函数是一种复合函数，它广泛用于数学，物理和工程等领域。
调和函数的平均值是它的一个重要参数，其计算比较复杂，下面介绍它的平均值公式。
一、定义定义调和函数为：H(x)=f(x)g(x)其中，f(x)是比例函数，g(x)是转移函数。
调和函数的平均值定义为：M = (1/T)∫T 0 H(x)dx其中，T表示计算的一段时间段。
二、公式调和函数的平均值公式可以用如下定理得出：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上分别具有积分 f(x)dx和积分g(x)dx，则1/K∫K 0 f(x)g(x)dx=[1/K(b-a)][f(K)g(K)+f(a)g(a)+f(b)g(b)]其中，K=1/2(a+b)同时我们可以知道，f(K)g(K)=1/2[f(K+1)+f(K-1)][g(K+1)+g(K-1)]，这样我们就可以得到调和函数的平均值公式：M=(1/T)[1/T(b-a)][f(K)g(K)+f(a)g(a)+f(b)g(b)]=(1/T)(f(K)g(K )+f(a)g(a)+f(b)g(b))三、实例下面我们以一个实际的例子来计算调和函数的平均值，以加深理解。
假设函数f(x)和g(x)如下：f(x)=x2g(x)=x3且我们计算的时间段为[a,b]=[1,2]根据前面所述，我们有K=1/2(1+2)=1.5因此，调和函数的平均值公式可以表示为：M = (1/2) [1/2(2-1)][f(K)g(K)+f(1)g(1)+f(2)g(2)] 即M=(1/2) [1/2(1)][f(1.5)g(1.5)+f(1)g(1)+f(2)g(2)]= (1/2) [1/2(1)][1.53+12+8]= (1/2) [1/2(1)][17.53]= 4.8825四、结论从上面的实例可以看出，调和函数的平均值公式可以帮助我们便捷准确地计算出调和函数的平均值，而无需考虑函数原型计算其值。
调和函数的平均值公式对于复杂的函数计算具有重要作用。
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下面证明对 内的所有点,都有 u M. 为此在内任取一点
P(x y z), 由于是区域, 所以可用完全位于 内的折线l 将点P0和
P 连结起来,设l 与边界 的最短距离为d ,于是函数 u 在以 P0
为心R
d 2
为半径的球
K
R
K1上,恒等于M ,
16
以 P0 为心 R为半径作球KR 使KR完全包含于内, 记 KR 的球面为 S R,可以证明,在S R上有
u M
事实上,若函数
u
在S
上某一点的值小于
R
M
,
则由连续性知,
在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
u M , 于是在 SR 上成立不等式
1
内的调和函数, 且在 的边界 上连续, 如果在 上有不等式
dS
1 4
1 r
3 ud
定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.
定理 6.2 设函数u(x y)在有界区域 内二阶连续可微， 在
上连续且有连续的一阶偏导数，则当点P0(x0 y0)时有
1
u(P0 ) 2
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面的外单位法向n与 x轴i 的方向余弦, dS
是 上的面积元素.
3
Green公式的推导：
设函数 u(x1 x2 xn ) 和v(x1 x2
偏导数. 在公式(1.1)中令
Pi
u
v xi
i
1 2
得到
xn )在内有连续的二阶
称函数
1
1
r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2
为三维Laplace方程(1.6)的基本解
8
注 基本解在 (x y z) (x0 y0 z0)时关于(x y z)或(x0 y0 z0 )都是调和 函数 且无穷次可微.
其次, 考虑二维Laplace方程2u uxx uyy 0在极坐标变换
u
v n
v
u n
dS
我们把(1.5)称为第二Green公式.
(1.5)
1.2. 调和函数与基本解
定义 6.1 对于函数 u(x1 x2 xn ) ,如果它在n 维空间Rn 的有
界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
5
nu ux1x1 ux2x2
下它可化为
x y
x0 rcos y0 rsin
2u
1 r
r
(r
u ) r
1 r2
2u 2
0
(1.8)
二维Laplace方程的基本解
ln
1 r
定理 6.1 设函数 u(x y z)在有界区域 内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点P0(x0 y0 z0) 时, 有
n
n v
i 1
xi
u
xi
dx1
dxn
n v
u
i 1
xi
cos(n xi )dS
(1.2)
(1.2)可改写成为
u nvd
n
uxi vxi d i 1
u
v n
dS
(1.3)
则称u在区域 内是调和函数.
uxnxn 0
(1.6)
如果nu 0( 0), 则称u在区域内是下调和(上调和)函数.
如果是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P(x1 x2 xn)
趋于无穷远时,函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数
A,使当点P与坐标原点的距离r A 时, 总有
R
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)
15
称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的
平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u(P0
)
1 4 R2
R
udS
u(
P0
)
1 4 R2
R
udS
(1.17)
udS 1
MdS M
4 R2 SR
4 R2 SR
但由平均值公式(1.15),有
1
4 R2 SR udS u(P0) M
这就发生了矛盾. 所以在球面 SR 上,必须有 u M
17
同理可证, 在任一以P0 为心, ( R)为半径的球面S上, 也有
u M . 因此,在整个球 K R 上,有
证 利用基本积分公式(1.9)即得.
类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u(P0 )
1
2
ln
1 r
u n
u
n(Biblioteka n1) r dl
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界.
性质 6.3 (平均值定理) 设 u(x y z)是区域 内的调和函数,
有界连通区域, n 是曲面的外单位法向. 若函数Pi (x1 x2 xn )
(i 1 2 n) 在闭区域 上连续, 在内有一阶的连续偏
导数, 则
n i 1
Pi xi
dx1
dxn
n
Picos(n xi )dS , i 1
P0(x0 y0 z0) 是 内的任一点以, P0为心 R为半径作球 KR只要球 KR 连同其边界 R 包含在 内,则有公式
1
u(P0 ) 4 R2
udS
R
(1.15)
14
证 将公式(1.13)应用于球面 R 上,得到
u(P0
)
1 4
R
1 r
u n
9
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(1) r
dS
1 4
3u d r
(1.9)
其中 r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 n是边界曲面的外单位法向, dS是曲面
上的面积单元,d 是体积单元.
证 以P0为中心 为半径作球K 使 K 表示该球的球面,
u(x y z) M
这和函数 u 在 上不恒等于常数的假设相矛盾. 因此 u不能
在 的内部取得它的最大值.
对于最小值的情形, 由 u 的最小值就是 u 的最大值, 而 u
也是调和函数,从而推得函数 u 也不能在 的内部取得它的最小值. 定理证毕.
推论 6.1 (调和函数的比较原理) 设 u 和 v 都是有界区域
x0 y0
rsin cos rsin sin
z z0 rcos .
则(1.6)(取n 3)可化为
3u
1 r2
r
(r2
u ) r
1 r 2sin
(sin
u
)
1 r 2 sin 2
2u 2
0
(1.7)
由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r为自变量的
u n
dS
0.
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v 1 ,取 u为所给的调和
函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边
值问题
3u 0 (x y z)
u n
.
有解的必要条件是函数 满足
( u n
)
.
因为u
及
un在上连续，所以
u n
关于
一致有界,
且当
0时,有
, u u(P0 )
u n
0 ‚
K
11
于是由上式即得
u(P0 )
1 4
1 r
u n
u
n
(
1 r
)
4
若将(1.3)中的u和v互相对换,又得
vnud
n
vxi uxi d i1
v u dS n
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.
(1.4)
若将(1.3)与(1.4)相减,则得
(u
nvv
nu)d
常微分方程
1 r2
r
(r 2
u ) r
0
7
其通解可写为
u
c1 r
c2
这里c1
, c2是任意常数.
所以函数 u
1 r
是一个球对称特解,
从而推得
1
1
r (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2
在任一不包含点 P0(x0 y0 z0)的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性.
dS 0.
性质 6.2 设 u(x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点P0(x0 y0 z0) 处有