振动理论 第五讲 有阻尼自由振动

x(t ) A exp(12.5t ) sin(21.65t )
由边界条件确定其他未知量
例、3 确定使水准仪不发生振动的阻尼系数（42页例3）

cy
m x gAx
m
y l x L
力矩平衡：
cy l m L gAx L 0 x cl 2 x m L gAx L 0 x L
(m kx) x 0 x
m kx 0 x x 0 静平衡条件
当系统在平衡位置时，速度为最大，势能为零，动能
具有最大值Tmax；
当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而
势能具有最大值Umax。
由于系统的机械能守恒 ,因而
Tmax U max
可以作为基于能量法的固有频率计算公式
c 2m
定义 临界阻尼系数
c0 2 mk
c c c0 2 m k
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (1)
0
方程的解
x (t ) A cos n t ） （
A
0 / n ) 2 x (x
2 0
x 0 n x0 π arc tan x0 n


4 2 2
d
n
2
n 1 2

2 1
2
小阻尼
2
例、2 有一阻尼系统，质量8千克, 弹簧常数5N/mm， c=0.2N.s/mm。确定振动位移表达式。
系统的无阻尼固有频率为
k 5 1000 n 25rad/s m 8 系统的临界阻尼系数为
m L2 cl 2 x L2 gAx 0 x
临界阻尼：
2 (ccl 2 )2 4(mL )(L2 gA)
L cc l
2
4mgA
L c cc l
2
4mgA
三、结构阻尼
由于材料受力变形而产生的内摩擦
力和变形之间产生了相位之后 迟滞曲线所包含的面积就是每一加载 循环中的能量耗散
2 2

k c
？
四、受干摩擦阻力作用的振动
Fd Nsign ( x)
N 为物块与界面间的压力
m Nsign ( x) kx 0 x
x m kx N , x 0 x m kx N , x 0
N x A sin(t ) k , x 0 N x A sin(t ) , x0 k
E Fdx
实验表明：其与材料刚度成正比，与振幅 平方成正比 E kA2
等效阻尼系数
对于简谐振动，粘性阻尼力为
Fd cx cA cos(t )
每一循环耗散的能量为
E cxdx cx 2 dt cA2
E kA cA
x 2 t 为方程的特解
稳态响应或零初始条件的解
振动微分方程
m c x k x 0 x
设 有
x (t ) A e s t
特征方程
c2 k 2 4m m
m s2 c s k 0
s1, 2 n n 2 1
阻尼比或阻尼因子
s1, 2
第四节 有阻尼自由振动 阻尼：粘性阻尼、库伦阻尼、 干摩擦阻尼和结构阻尼等
圆管层流
圆管层流时的运动微分方程（牛顿力学分析法）
取长为dx 半径为r 的圆柱体，不计重力 和惯性力，仅考虑压力和剪应力，则有
u r p+dp dx L p2
r 2 p r 2 ( p dp) 2rdx 0 dp 2
N A x0 3 k 2
x ( x0 3
N
k
) cos( t )
N
k
2
2 t
半个周期内振幅减少了
N
k
2012年3月15日
能量法
无阻尼 无能量耗散 机械能守恒
T U E
d (T U ) 0 dt
式中T是动能
常量
1 2 T mx 2
势能=重力势能+弹簧势能
势能 的变化=力所作功的负值
1 2 U [mg k ( st )]d kx 0 2
x
d 1 2 1 2 ( mx kx ) 0 dt 2 2
tn1 tn d
x n1 Ae
n t n1
x n1 Ae
n ( t n d )
对数衰减率
exp( nt n ) ln ln x n 1 e百度文库p[ n (t n d )] xn n d n 2
dx r
p1 p
τ
根据牛顿粘性定律
再考虑到
则有
du dr dp p dx L
du p r dr 2L
速度分布规律与流量
对上式作不定积分，
u
p 2 r c 4L
c
边界条件： r = R，u = 0；则可得定积分常数 则
p 2 R 4L
p u (R2 r 2 ) 4L
x
x
1 rl 2 1 m1 2 x x 2 3g 2 3
系统的总动能为
1 m1 2 T T1 T2 (m ) x 2 3 1 rl 2 1 m1 2 x x 2 3g 2 3
系统的势能为
1 2 U kx 2
3m k 3m m1 m
d Fd p 4L 4 v v 4 D
d
2
4
d c 4L D
4
第2章 单自由度系统
第四节 有阻尼自由振动
二、粘性阻尼自由振动
振动微分方程
m cx kx F (t ) x
方程的解
x(t)x1 (t) x2 (t)
其中， x1 t 为相应齐次方程的解 瞬态响应
系统对初始扰动的响应 讨论 (3)
1
s2t
方程的解
x (t ) A1 A2 t e
x 0） x0 （ x 0） x0 （
x (t )e [ x0 ( x0 x0 s ) t ]
st
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (4) 1 方程的解
x (t ) A1e A2 e
s1t
s2t
x 0） x 0 （ x 0） x 0 （
1 x (t ) s1 s 2
( x
0
x0 s2 ) e
s1 t
( x 0 s1 x 0 ) e
s2 t

振动特性
•无阻尼 0：
简谐运动 •弱阻尼 0 < <1： 振幅按指数衰减的准周期振动 •临界阻尼 =1：
64 64 f Re UD
一、粘性阻尼
1 1 2 2 2( D ) Ut d vt 4 4
1 d 2 U ( ) v 2 D
2
32 L p U 2 D
32L 1 d 2 d p ( ) v 16L 4 v 2 D 2 D D
由于压差作用于活塞而造成的阻力为
c c 2mn 2 8 25 400N.s / m
系统的阻尼比为
c 0.2 0.5 c c 0.4
系统为弱阻尼系统，有阻尼固有频率为
d 1 0.52 25 21.65rad/s
n 0.5 25 12.5
系统自由振动的位移表达式为
初始条件
x(0) x0 , x(0) 0
初始时向左运动，速度方向为负
N A sin( ) x0 k A cos( ) 0
N A x0 k 2
x ( x0
N
k
) cos( t )
N
k T t 2

x0 n x0 arc tan d x0 x0 n x0 arc tan d x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
x ( x0
N
k
) sin(t )
“初始”条件
N x( ) ( x0 2 ), x(0) 0 k
初始时向右运动，速度方向为正
N N A sin( ) ( x0 2 ) k k A cos( ) 0
衰减运动，在初始扰动下回零时间最短
•过阻尼 >1： 衰减运动
例、1 有一阻尼系统，质量为 m, 弹簧常数为 k，测得 其振动数据，试确定其阻尼大小。
首先从形状可 以判断其为弱 阻尼振动，因 而有
x n Ae
n tn
cos ( d tn ) cos ( d tn1 ) cos ( d tn )
u umax
τ
dr R
τ0
圆管层流的速度和剪应力分布
最大流速与平均流速 由
u p (R2 r 2 ) 4L
知，r=0时有最大流速 u max，且
u max u (r ) r 0
平均流速
p 2 R 4L
pD 2 U 32L
32 L p U 2 D
圆管内层流的摩擦系数
arc tan
x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (2) 0 1
方程的解
x (t ) Ae
A
2 0
n t
cos ( d t )

2
x0 n x0 x d
例、计及弹簧质量，试确定系统的固有频率 当系统具有位移x 和速度 上端

。 处的位移为 x 速度为 x l l
x
时， 距离

l
k
系统动能有两部分： 质量块m的动能
d
1 2 T1 mx 2
m
O
弹簧质量所具有的动能 1 l r 2 2 T1 x d 0 g l2 2