等腰三角形的性质(几何)
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等腰三角形的性质（1）
引 论
复 习
1 6 2 7
新 课 3 8
下一页
小 结
4 9
练 习
5
作 业
10 1
等腰三角形的性质
引论
等腰三角形是一种特殊的三角形。它 既是三角形，就具备三角形的普遍性质、 既是三角形，就具备三角形的普遍性质、 判定方法、稳定性等。但它又是 判定方法、稳定性等。但它又是 特殊的三角形 它就应有自己 它就应有自己 独有的性质和判定方法。 独有的性质和判定方法。 本节课我们将学习 本节课我们将学习 它的性质定理 它的性质定理 及其推论。 及其推论。
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返回
1. 请同学们在练习本上画一个等腰三角形，标出字母， 并回答：什么叫做等腰三角形？ 2. 等腰三角形各部分的名称是什么？
A
腰 底角
顶角
腰 底角
B
上一页 下一页
底
C
返回
3. 请大家观察自己所画的等腰三角形，能发现它有什 么性质吗？
来自百度文库
3
1. 实验：请同学们把自己画的等腰三角形剪下来，再用折纸 的方法把它的两腰叠在一起，从实验中能得到什么结论？ 发现它的两个底角能够完全重合。就是说等腰三角形的两个 底角相等，如图 A A
D
C
(二)等腰三角形中作辅助线的常见方法:
(1)顶角的平分线; (2)底边的中线; (3)底边上的高.
上一页 下一页 返回
1.口答
A
(1)怎样从等腰三角形的性质定理得出推论: C 等腰直角三角形的每一个锐角都等于 45°？B (2)如果等腰三角形的一个底角等于75°,那么它的顶角等于 多少度？ 30° (3)等腰直角三角形斜边上的高把直角分成两个角,求这两个 角的度数45 . °、45° 2.填空:根据等腰三角形性质定理的推论,在 ABC中,AB=AC时 (1)∵AD⊥BC, ∴∠ BAD =∠ CAD , BD = DC ; (2)∵AD是中线, ∴ AD ⊥ BC ,∠ BAD ＝∠ CAD ; (3)∵AD是角平分线, AD ⊥ BC , BD ＝ DC ∴ .
A
C D E
求: ∠BAE的度数.
B 2.
直角三角形ABC中, ∠BCA= 90°,AC=AE, BC=BF, E、F在斜边BA上，求∠ECF的度数.
E
F
A
B
上一页 返回
C
B
C
B
B B B B B BB
C (B)
现在我们来证明这个性质。
上一页 下一页
返回
2.求证：等腰三角形的两个底角相等。
首先,同学们要了解几何中文字题证明的步骤: (1)根据题意画出图形，标明字母； (2)根据题设、结论，结合图形，用字母和符号写出已 知、求证。 (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程。 A 已知： ABC中 , AB = AC (如图).
A
B
D
C
证明：作顶角∠A的平分线AD，在 BAD和 CAD中 AB = AC （已知） ∠1 = ∠2 （辅助线作法） AD = AD （公共边） ∴ BAD ≌ CAD （SAS） ∴ ∠B = ∠C （全等三角形的对应角相等） 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。 （简写成“等边对等角”）。 上一页 下一页 返回
求证：∠ B = ∠ C .
分析：如何证两角相等？
(1)从结论想，应找一对全等三角形， 有吗？（能否从折纸中得到启发？）
B
C
（2）可以从等腰三角形的顶点A引什么线分割三角形？ 上一页 下一页 返回
①引顶角平分线,可以得到满足“SAS”的一对 全等三角形。 ②引中线，可以得到满足“SSS”的一对 1 2 全等三角形。 ③引高线，可以得到满足“HL”的一对 全等直角三角形。 我们选第一种作辅助线法来写出证明过程，后两种留给同学 们课外思考。
｛
几何语言表达： 在 ABC中， ∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠C
A
3.在上面的证明过程中,由
ADB≌
ADC
B
D
C
你还能得到什么结论? BD = CD, ∠ADB = ∠ADC = 90°， 所以 AD 平分BC, 并且AD⊥BC, 即 推论 1 底边. 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于
从推论 1 可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合.简称三线合一. 推论 2 于60°. 上一页 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等 下一页
返回
A 4. 范例讲解: 例1 已知:如图. 房屋的顶角∠BAC=100°, 过屋顶 A 的立柱AD⊥BC, 屋椽 AB = AC . B C D 求:顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数。 分析：(1)观察图形,图中有几个三角形？（三个三角形: ABC、 ABD、 ACD，∠B既在 ABC内也在 ABD内） (2)已知∠BAC =100°,由AD是等腰三角形 ABC底边上的 1 高知，∠BAD =∠CAD = ∠BAC=50°，因此∠B即可在 ABC内计 2 算,也可在 ABD内计算。 解:在 ABC中, ∵AB = AC (已知 ) 等边对等角 ∴∠B = ∠C （ ） 1 ∴∠B =∠C = (180°－∠A ) =40°(三角形内角和定理) 2 又∵ AD⊥BC (已知) 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合 ∴∠BAD = ∠CAD （ ） ∴∠BAD = ∠CAD = 50°. 上一页 下一页 新课结束！ 返回
A
B
3.已知: ABC是等边三角形,AD是高.画出图形,说出图中 60°、30°、60°、60°。 ∠BAC,∠BAD,∠B,∠C的度数. 上一页 下一页 返回
D
C
作业： 书上72页 课外思考题： 1.
3、4、5。
如图 , B、C、D、E在同一条直线上， BC=CA=AD=DE，∠CAD = 90°
课堂小结
及它的两个推论，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能 熟练应用，归纳如下： 1. ABC中,如果AB=AC,那么∠B=∠C;
（一） 这节课我们学了等腰三角形的性质定理：等边对等角，
A
2.
ABC中,如果AB=AC, D在BC上,那么由条件
(1)∠BAD=∠CAD, (2)AD⊥BC, (3) BD=CD B 中的任意一个可以推出另外两个.
引 论
复 习
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作 业
10 1
等腰三角形的性质
引论
等腰三角形是一种特殊的三角形。它 既是三角形，就具备三角形的普遍性质、 既是三角形，就具备三角形的普遍性质、 判定方法、稳定性等。但它又是 判定方法、稳定性等。但它又是 特殊的三角形 它就应有自己 它就应有自己 独有的性质和判定方法。 独有的性质和判定方法。 本节课我们将学习 本节课我们将学习 它的性质定理 它的性质定理 及其推论。 及其推论。
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1. 请同学们在练习本上画一个等腰三角形，标出字母， 并回答：什么叫做等腰三角形？ 2. 等腰三角形各部分的名称是什么？
A
腰 底角
顶角
腰 底角
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3. 请大家观察自己所画的等腰三角形，能发现它有什 么性质吗？
来自百度文库
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1. 实验：请同学们把自己画的等腰三角形剪下来，再用折纸 的方法把它的两腰叠在一起，从实验中能得到什么结论？ 发现它的两个底角能够完全重合。就是说等腰三角形的两个 底角相等，如图 A A
D
C
(二)等腰三角形中作辅助线的常见方法:
(1)顶角的平分线; (2)底边的中线; (3)底边上的高.
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1.口答
A
(1)怎样从等腰三角形的性质定理得出推论: C 等腰直角三角形的每一个锐角都等于 45°？B (2)如果等腰三角形的一个底角等于75°,那么它的顶角等于 多少度？ 30° (3)等腰直角三角形斜边上的高把直角分成两个角,求这两个 角的度数45 . °、45° 2.填空:根据等腰三角形性质定理的推论,在 ABC中,AB=AC时 (1)∵AD⊥BC, ∴∠ BAD =∠ CAD , BD = DC ; (2)∵AD是中线, ∴ AD ⊥ BC ,∠ BAD ＝∠ CAD ; (3)∵AD是角平分线, AD ⊥ BC , BD ＝ DC ∴ .
A
C D E
求: ∠BAE的度数.
B 2.
直角三角形ABC中, ∠BCA= 90°,AC=AE, BC=BF, E、F在斜边BA上，求∠ECF的度数.
E
F
A
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B
C
B
B B B B B BB
C (B)
现在我们来证明这个性质。
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2.求证：等腰三角形的两个底角相等。
首先,同学们要了解几何中文字题证明的步骤: (1)根据题意画出图形，标明字母； (2)根据题设、结论，结合图形，用字母和符号写出已 知、求证。 (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程。 A 已知： ABC中 , AB = AC (如图).
A
B
D
C
证明：作顶角∠A的平分线AD，在 BAD和 CAD中 AB = AC （已知） ∠1 = ∠2 （辅助线作法） AD = AD （公共边） ∴ BAD ≌ CAD （SAS） ∴ ∠B = ∠C （全等三角形的对应角相等） 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。 （简写成“等边对等角”）。 上一页 下一页 返回
求证：∠ B = ∠ C .
分析：如何证两角相等？
(1)从结论想，应找一对全等三角形， 有吗？（能否从折纸中得到启发？）
B
C
（2）可以从等腰三角形的顶点A引什么线分割三角形？ 上一页 下一页 返回
①引顶角平分线,可以得到满足“SAS”的一对 全等三角形。 ②引中线，可以得到满足“SSS”的一对 1 2 全等三角形。 ③引高线，可以得到满足“HL”的一对 全等直角三角形。 我们选第一种作辅助线法来写出证明过程，后两种留给同学 们课外思考。
｛
几何语言表达： 在 ABC中， ∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠C
A
3.在上面的证明过程中,由
ADB≌
ADC
B
D
C
你还能得到什么结论? BD = CD, ∠ADB = ∠ADC = 90°， 所以 AD 平分BC, 并且AD⊥BC, 即 推论 1 底边. 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于
从推论 1 可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合.简称三线合一. 推论 2 于60°. 上一页 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等 下一页
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A 4. 范例讲解: 例1 已知:如图. 房屋的顶角∠BAC=100°, 过屋顶 A 的立柱AD⊥BC, 屋椽 AB = AC . B C D 求:顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数。 分析：(1)观察图形,图中有几个三角形？（三个三角形: ABC、 ABD、 ACD，∠B既在 ABC内也在 ABD内） (2)已知∠BAC =100°,由AD是等腰三角形 ABC底边上的 1 高知，∠BAD =∠CAD = ∠BAC=50°，因此∠B即可在 ABC内计 2 算,也可在 ABD内计算。 解:在 ABC中, ∵AB = AC (已知 ) 等边对等角 ∴∠B = ∠C （ ） 1 ∴∠B =∠C = (180°－∠A ) =40°(三角形内角和定理) 2 又∵ AD⊥BC (已知) 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合 ∴∠BAD = ∠CAD （ ） ∴∠BAD = ∠CAD = 50°. 上一页 下一页 新课结束！ 返回
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B
3.已知: ABC是等边三角形,AD是高.画出图形,说出图中 60°、30°、60°、60°。 ∠BAC,∠BAD,∠B,∠C的度数. 上一页 下一页 返回
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C
作业： 书上72页 课外思考题： 1.
3、4、5。
如图 , B、C、D、E在同一条直线上， BC=CA=AD=DE，∠CAD = 90°
课堂小结
及它的两个推论，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能 熟练应用，归纳如下： 1. ABC中,如果AB=AC,那么∠B=∠C;
（一） 这节课我们学了等腰三角形的性质定理：等边对等角，
A
2.
ABC中,如果AB=AC, D在BC上,那么由条件
(1)∠BAD=∠CAD, (2)AD⊥BC, (3) BD=CD B 中的任意一个可以推出另外两个.