整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法 讲解
小学奥数讲义-整数裂项
整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形:()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+, 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解:由于()21n n n n +=+,所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 例题精讲 知识点拨整数裂项1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++,所以, 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出,()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】 计算:135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=, 21351910100++++==,所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算:101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项: 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算:123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算．记原式为A ,再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯,则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=, 现在知道A 与B 的和了,如果能再求出A 与B 的差,那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以,()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-,33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-,……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-, 可见,原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算:1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx
整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。
知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。
例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
1-2-3裂项与通项归纳
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合 （1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+知识点拨教学目标1-2-3裂项与通项归纳（2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
整数裂项方法及技巧小学
整数裂项方法及技巧小学
1. 整数裂项法
整数裂项法是一种解决复杂问题的方法，它从整数中抽取出最大因子进行分解，以求出复杂问题的最简形式。
例如：
12= 2 x 2 x 3 (最大因子为 2, 3)
24= 2 x 2 x 2 x 3(最大因子为 2, 3 )
整数裂项法在解决复杂计算的问题时，可以用来简化计算，有着重要的作用。
2、整数裂项法的特点
(1)整数裂项法能根据整数的不同特征，从中抽取出合理的数字，并从中分解出大因子；
(2)整数裂项法能够快速简化复杂问题，用最少的参数求出结果；
(3)整数裂项法不仅可以用于运算，而且可以用于实验法、反演法等基础理论也能得到充分的利用。
3、整数裂项法的技巧
(1)要做好整数裂项方法的前期准备，可以先了解其核心的因子，这将有助于快速的结果算出；
(2)整数裂项方法运算时要按照顺序，从高位先开始算起，以准确把握最终的结果；
(3)要熟悉整数裂项方法中常见的技巧，例如常见的模、溢算法等，以有效的解决复杂问题；
(4)要正确使用整数裂项方法，结合实际情况灵活运用，以及熟练掌握及时认识出一些简易问题，这将有利于加快算法的速度。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项根本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，互相抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×〔4－1〕＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×〔5－2〕＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×〔51－48〕=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进展计算．对于项数较多的情况，可以进展如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×〔10－1〕＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×〔13－4〕＝7×10×13－4×7×10例题精讲知识点拨整数裂项49×52×9＝49×52×〔55－46〕＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =〔49×52×55＋1×4×2〕÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进展整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进展整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，此题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进展计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯， 那么123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯如今知道A 与B 的和了，假如能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ 其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009! 【例 4】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1 (541)431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n nn n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=- 完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作.后延减前伸，差数除以N.N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数,减负要加正。
对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ (2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++【巩固】()()()33636936300++++++++++二、分数裂和【例 6】 填空: ()+=2165, ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213, ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算:132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++ 课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯家庭作业3、12379112131 3571220284056 +++++++4、12389 (1)(2)(3)(8)(9)234910 -⨯-⨯-⨯⨯-⨯-5、12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++L L【巩固】()()()33636936300++++++++++L L二、分数裂和【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++ 课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯L5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯L2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L家庭作业3、12379112131 3571220284056 +++++++4、12389 (1)(2)(3)(8)(9)234910 -⨯-⨯-⨯⨯-⨯-L5、12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++LLL学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数的裂项公式是学生的拔高基础、提高奥数水平的必修课，也是升学考
试得高分的基础。
因此，小学奥数裂项公式大全在现在的考试当中也起着非常重要的作用。
首先，小学奥数裂项公式大全中一般包含了六种常见的裂项公式，分别是除式
裂项、乘式裂项、巴什博式十进制数字裂项、欧拉公式、线性公式和立方公式。
接下来，小学奥数裂项公式大全中常用的除式裂项公式就是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，一个数字57的除式裂项是7x8，其
中7和8都是57的因子。
而乘式裂式是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，
一个数字24可以分解成2x2x2x3，其中2、2、2和3都是24的因子。
此外，线性公式和立方公式是小学奥数裂项公式大全中比较难掌握的两种公式，一般而言，线性公式要求学生分解多项式，立方公式要求学生对三角函数进行解析，两者都需要孩子掌握多项式的分解和三角函数的知识。
最后，学习小学奥数的裂项公式大全，在实践中学生要多练习，通过正确、错
误的练习来认识公式，总结常识，这样才能够真正掌握小学奥数的裂项公式大全。
以上就是小学奥数裂项公式大全的介绍。
五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++【巩固】()()()33636936300++++++++++【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++132579101119【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】222222222222226214321321211+⋯++-⋯++++-++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯ 课堂检测5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯3、 123791121313571220284056+++++++4、 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-家庭作业5、121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++教学反馈。
整数裂项的计算方法
整数裂项的计算方法嘿，咱今儿个就来唠唠整数裂项的计算方法！这可是个很有意思的玩意儿呢！你看啊，整数裂项就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开那些看似复杂难搞的数学大门。
比如说，咱有个式子像这样：1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)。
哇，乍一看是不是有点头疼？别急，这时候整数裂项就派上用场啦！我们可以把每一项都拆分成两个数的差，就像这样：1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3，2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3，3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3……以此类推。
然后你发现没，中间的那些项都可以相互抵消掉啦！最后就剩下两头的，神奇不神奇？这就好像我们在走一条长长的路，一路上有很多小障碍，但通过整数裂项这个方法，就像是找到了一条巧妙的捷径，一下子就穿过去了！再比如另一个例子，计算1²+2²+3²+……+n²。
这也能用整数裂项来搞定呢！我们可以把每一项都转化一下，变成可以裂项的形式。
你想想，数学的世界多奇妙啊！整数裂项就像是隐藏在其中的一个小秘密，等着我们去发现和运用。
咱平常学习数学，不就是要不断探索这些好玩的方法嘛！就像探险家在未知的领域里寻找宝藏一样，每找到一个新方法，都让人兴奋不已！通过整数裂项，那些原本让人头疼的式子都变得乖乖听话啦！咱可以轻松地算出结果，那种感觉，就像打了一场胜仗一样爽！所以啊，同学们可千万别小瞧了这个整数裂项的计算方法哦！它能让我们在数学的海洋里畅游得更顺畅，更开心！多去试试，多去探索，你就会发现它的魅力所在啦！怎么样，是不是迫不及待想去试试啦？赶紧的吧！。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a＜
b，那么有:
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或凑整
三、整数裂项基本公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
裂项求和部分基本公式1.求和：
证：
2.求和：
证：
3.求和：
证：
4.求和：
证：
5.求和：
证：因为，特殊数列求和公式
平方差公式
完全平方和（/差）公式。
小学奥数裂项公式汇总资料
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数教程-整数裂项 (4) (含答案)
【答案】 41650
【巩固】 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 ×10 =________
【考点】整数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然
4
4
原式 =
1 4
×
1×
2
×
3
×
4
+
1 4
×
2
×
3
×
4
×
5
−
1 4
×1×
2
×
3
×
4
+
+
1 4
×
9
×10
×11×12
−
1 4
×
8
×
9
×10
×11
= 1 × 9 ×10 ×11×12 = 2970 4
从中还可以看出，1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + + n × (n + 1) × (n += 2) 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式 (1) 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ... + (n −1) × n= 1 (n −1) × n × (n + 1)
3 (2) 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n −1) × n= 1 (n − 2)(n −1)n(n + 1)
小学奥数整数裂项与通项归纳
小学奥数整数裂项与通项归纳以《小学奥数整数裂项与通项归纳》为标题，写一篇3000字的中文文章整数裂项和通项归纳是小学奥数中一个重要的知识点，遇到这类题目要求的多，因此正确的掌握这两种方法是小学生正确解题的关键。
本文就整数裂项与通项归纳的概念及其在小学奥数中的应用展开讨论。
一、整数裂项、通项归纳概念及其特点整数裂项是指将一个整体分解，将复杂的东西分解成若干个简单的组成部分，比如将一个数字分解成最小单位，比如将一个数学表达式分解成元素，便可以理解为整数裂项。
通项归纳是指从一组具有一定规律的数据出发，从抽象的角度分析求出这组数据的总体规律，并根据总体规律推出此类数据的其他情况。
整数裂项和通项归纳都是在数学中应用很广泛的概念。
整数裂项是用简单的单元拆分一个复杂的整体，而通项归纳则是从多个例子中总结归纳出一个共同的规律，从而用简单的规律给出复杂的回答。
二、整数裂项、通项归纳在小学奥数中的应用（一）整数裂项小学时期学习过分数，可知，其实分数本质上是一种整数裂项。
要正确掌握分数的形式，必须学会用整数的形式表示，比如1/3=3/9,3/4=9/12，以此类推。
当出现一些更复杂的题目时，要正确解答，就要正确掌握整数裂项。
（二）通项归纳很多小学数学题目中都有连续等差数列及其等比数列的概念，而掌握这些规律要用通项归纳的方法，从一组已知的数据中，抽象出每一项与其他项之间的联系，总结出这组数据的总体规律，从而解决更多的有关等差数列、等比数列的问题。
三、学习整数裂项、通项归纳的要点1.持练习：学会整数裂项、通项归纳的关键在于坚持练习，以达到运用此知识点解决实际问题的能力。
2.意步骤：一边练习，一边注意完成每一步时应当掌握的内容，比如在整数裂项时应当注意拆分最小单位，在通项归纳时应当注意总结出连续等差数列及其等比数列的抽象规律。
3.思考：一旦遇到一个题目，应当多一些算法思考，比如在遇到一组数据时，应当首先审题，判断题目的性质，比如数据是否存在连续等差数列或者等比数列，这样才能正确找出解题思路。
整数裂项基本公式推导
整数裂项基本公式推导整数裂项是数学中一个挺有趣也挺有用的知识点。
咱们来好好聊聊整数裂项基本公式的推导。
先说说啥是整数裂项。
比如说，我们有一个数列 1，2，3，4，5……一直到 n。
如果要快速求出这个数列的和，直接一个个加起来可太麻烦啦。
这时候，整数裂项就派上用场了。
咱们拿一个简单的例子来说，比如求 1 + 2 + 3 + 4 + 5 的和。
正常算，就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。
但如果用整数裂项的方法呢？我们先把每个数写成两个数的差，比如 1 = 1×2÷2 ， 2 = 2×3÷2 - 1×2÷2 ， 3 = 3×4÷2 - 2×3÷2 ， 4 = 4×5÷2 - 3×4÷2 ， 5 = 5×6÷2 - 4×5÷2 。
这样一来，1 + 2 + 3 + 4 + 5 就可以写成：（1×2÷2） + （2×3÷2 - 1×2÷2） + （3×4÷2 - 2×3÷2） + （4×5÷2 - 3×4÷2） + （5×6÷2 - 4×5÷2）仔细看看，中间的那些一减一加的都抵消掉啦，最后就剩下 5×6÷2 = 15 。
这就是整数裂项的神奇之处！那整数裂项的基本公式是咋来的呢？我们设这个数列是 1，2，3，……，n 。
第 k 个数可以表示为 k = k×(k + 1)÷2 - (k - 1)×k÷2 。
那么这个数列的和 S 就可以写成：S = （1×2÷2） + （2×3÷2 - 1×2÷2） + （3×4÷2 - 2×3÷2）+ …… + （n×(n + 1)÷2 - (n - 1)×n÷2）同样的道理，中间一抵消，就剩下 S = n×(n + 1)÷2 。
整数裂项公式详细推导过程
整数裂项公式详细推导过程
整数裂项公式是一种用来求解多项式的方法，它可以将多项式分解为几个简单的因子的乘积，从而更容易求解。
下面我们就来详细推导整数裂项公式。
首先，我们来看一个三次多项式：
$P(x)=x^3+2x^2+3x+4$
我们可以将它分解为：
$P(x)=(x+1)(x+2)(x+4)$
这就是整数裂项公式的结果，下面我们来推导它的推导过程。
首先，我们将多项式的系数分解为几个整数的乘积：
$P(x)=x^3+2x^2+3x+4=(x+a)(x+b)(x+c)$
其中$a,b,c$是未知数，我们要求出它们的值。
接下来，我们将多项式展开：
$P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x+abc$
将其与原多项式相比较，可以得到：
$a+b+c=2$
$ab+ac+bc=3$
$abc=4$
解这三个方程，可以得到$a=1,b=2,c=4$，因此，原多项式可以分解为：
$P(x)=(x+1)(x+2)(x+4)$
这就是整数裂项公式的推导过程。
从上面的推导过程可以看出，整数裂项公式是一种非常有用的求解多项式的方法，它可以将复杂的多项式分解为几个简单的因子的乘积，从而更容易求解。
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整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解
在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法
则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，
把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：
【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100
分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵
消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？
1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;
2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;
3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;
……
99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;
规律是不是找着了？
原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-
2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷３
=99x100x101÷３
=333300
整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也
不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：
式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，
再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99
分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
思考：1x3能不能采用整数裂项法呢？
原式=1x3+(3x5x7-1x3x5+5x7x9-3x5x7+ (97x99x101)
95x97x99)÷６
=1x3+(97x99x101-1x3x5)÷６
=161651
G老师为什么把1x3单独列出来呢？
一般的，整数裂项向前伸展时，取的伸展数小于0，就需要取负数，这时候把该项摘出来单列会更加简便，而且避免将正负号混
淆弄错。
小学数学重难点知识总结讲解，快来和“G老师讲奥数”一起学习吧。