包络定理
包 络 定 理
dM g dx1 g dx 2 g da x1 da x 2 da a
运用一阶条件（1）进行替代，得
dM h dx1 h dx 2 g da x1 da x 2 da a
这就是所求的结果。 以效用极大化为例， MaxU
u( x1, x2)
s.t. P1x1 P 2 x 2 M
MaxL u ( x1, x 2) ( P1 x1 P 2 x 2 M )
直接套用包络定理，就得到：
L* L* u * L* u * * ， * x1* ， * x 2* M P1 P1 P 2 P 2 L* L* u * L* u * * * * 证明： ， x1 ， * x 2* M P1 P1 P 2 P 2
x1* u* x 2* u* * * P1) * P 2) ( ( ( P1 x1* P 2 x 2* M ) * x1* * x1* P1 x1 P 2 x 2 P1
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * 同理可证： * x 2* P 2 P 2
M (a) f ( x(a ), a )
对恒等式两边求微分，我们有
dM ( a ) f ( x ( a ), a ) x( a ) f ( x( a ), a ) da x a a
由于 x (a)是能够使 f 最大化的 x 值，我们知道
f ( x ( a ), a ) 0 x
把它代入上面的表达式，我们有
高级微观经济学——包络定理与条件极值
P
1
D
e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地，农 场主要以最短长度的篱笆围住它。 数学表达为： min p 2 x 2 y
s.t.xy A 建立拉格朗日函数：
LD 2 x 2 y D ( A xy ) x y A
2 2 2 x y A
* * y* f [ x1* (a), x2 (a),..., xn (a), a]
y 0(i 1,..., n) xi
包络定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论：
dy f * da a x x
*
e.g.
在斜边长为L的直角三角形中求周长最大的直角三角 形。设两直角边长为 x,y ，则求周长 z=L+x+y 在条件 L2=x2+y2下的最大值。
这里f1表示x每增加一单位目标函数的边际增加；g1表 示随x的增加y的取值范围的减少。这里， 表明周长增加 一单位，面积的增量。
p 说明放松限制 2 x 2 y p 一单位，最大面积 8 就会增加 p 。 8
这里
检验如下：
取
再取
可见 这个式子 很接近于限制条件增加一单位时，A的变化量。
da
?
⒈通过求解单变量最大化问题的方法，求出x*， 然后代入方程
2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x的最优值 点上令x为常数，对目标函数直接计算y / a
直观解释：
dy* y* x x* (a) da a
多变量情形
对于 y是多变量的函数，类似的包络定理仍然成 立。假设 y 取决于一组 x(x1,…,xn) 与特殊常数 a ，通 过求解n个一阶方程 得出这些 x(x1*,… ， xn*) 的最优值。假设方程满足二 * x 阶条件，每一个 i 能够表示为参数a的显函数，即 xi* xi* (a)
lecture2
0
u x
e p, u u
L x, u
性质六的证明
e p, u 在价格 p 上为凹函数
固定效用为 u ，取价格 p, p, p ，p p 1 p ，设 在价格为 p时最优解为 x ，支出函数为
求支出函数。
对偶问题
效用最大化： max u x x 支出最小化： min px x
s.t. u x u x* x h p , u
s.t. px y x* x p , y
当 y e p, u 、 u v p, y 时，效用最大化问题的解和支出最小化问题的解相同，即：
本讲涉及到的数学知识之一: 包络定理 三、包络定理的图形描述
M (a) g ( x(a), a)
a
a
第一节
间接效用函数
一、间接效用函数的定义
二、间接效用函数的性质 三、间接效用函数的应用
一、间接效用函数的定义
①
x2
收入变化
x2 x2
x1
x1
x1
②
价格变化
x2
x2
x1
x1
ＰＳ：关于吉芬商品
① ②
③
吉芬商品是由英国人Robert Giffen发现的，地 点在爱尔兰，时间19世纪中叶。 吉芬商品的存在一般得具备两个条件：一是很 少相近的替代品；二是其开支占收入的比例很 大。 一般来说，劣质商品对财富水平比较低的家庭 来说很可能是吉芬品。即土豆价格下降时，家 庭实际上更富有了，就愿意购买其它更为合意 的商品，从而减少对土豆的消费。
τ-李代数的普遍包络代数及其pbw定理
τ-李代数的普遍包络代数及其pbw定理李代数是一种抽象代数学中的重要概念，它也被称为PBW
（Poincaré-Birkhoff-Witt）代数或普遍包络代数。
李代数来自于抽象代
数学家Paul Levy的研究，他与其他学者发展了抽象代数的概念，其中
一个重要的成果就是李代数的普遍包络定理（PBW-Theorem）。
PBW
定理以根据李代数和多集组的定义生成普遍包络的形式定义了李代数
的性质，其中的核心在于它提供了一种将李代数和多集组结合在一起
的方法，从而使得对李代数的研究更加容易。
PBW定理是这样一个集合，其中包括存在乘积操作，构造出一个字原
生成代数和一个多集构造的多集代数，并且要求一个生成子代数将多
集生成子代数包含其中。
这一定理帮助学者们揭示了李代数的布尔值
的数学定义，使得它的定义更简单、更普遍。
当李代数被认为是PBW
定理时，它具有更好的多集结构，也能够被更好地应用。
PBW定理有很多理论应用，最重要的两点是首先通过PBW定理来定
义李代数的结构，另外就是将它们应用到数论中，在数论中，PBW定
理帮助研究者定义多集构造的多集代数和原子标度空间，因此非常有用。
总的来说，李代数的普遍包络定理是一个重要的概念，在理论上和实
践上都被证明其极其重要的作用，它的发现根植于抽象代数学的发展，促进了学者们对李代数及其结构的深入研究，也帮助人们在数论领域
中开展更加深入有效的研究。
微观经济学中的包络定理教学
包络定理是比较静态研究的重要数学工具，其描述的是，当函数中的某一参数发生变化时，函数最优值随之变化的规律。
包络定理在经济学中应用广泛，尤其体现于微观经济学中的消费者行为理论和生产者行为理论。
可以说，包络定理是学习和理解微观经济学中一些定理的一把关键钥匙，其重要性对微观经济学的学习不言而喻。
不过，包络定理的数学证明过程却相当抽象，很多学生学习起来往往感觉有一定的难度。
本文尝试从包络定理的说明和证明出发，画图形象解释包络定理的几何意义，并通过罗尔恒等式、谢菲尔德引理的证明来加深对包络定理的理解，促进微观经济学的教学。
一、包络定理的说明、证明和几何意义（一）包络定理的说明记最优化问题为：φ（a ）=max xf （x ，a ）。
这里，a 是一个参数（外生变量），x 是一向量，我们称φ（a ）为间接目标函数。
该最大值问题是在a 为某一固定值时寻找适当的x =x （a ），使得函数f （x ，a ）达到最大。
显然，若a 的数值发生变化时，x （a ）和目标函数的最大值f ［（x ，a ），a ］也会随之而变化。
判断a 的数值变化时φ（a ）=f ［（x ，a ），a ］变化的大小和方向，我们可以使用d φ（a ）d a 。
由于事先得到x （a ）比较麻烦，所以我们可以直接使用包络定理：d φ（a ）d a=ax =x （a ）（二）包络定理的证明假设对应参数值a 的最大值点x （a ）关于可微，则有：d φ（a ）d a =d f ［（xa ），a ］d a=n i =1移x 1d x 1（a ）d a+aax =x （a ）由于x （a ）是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立：x 1x =x （a ）=0i =1，2，…，n由此，包络定理得证。
（三）包络定理的几何意义图1包络定理的几何意义如图1所示，包络定理的几何解释就是“最优解点的轨迹组成的曲线”。
当a =a 1时，目标函数f （x ，a 1）的最大值就是f （x ，a 1）x =x （a 1）=φ（a 1）。
最简洁明了的讲解包络定理
以支出最小化为例：
Min e P1 x1 P 2 x 2
x1, x 2
s.t. U ( x1, x 2) u
x1, x 2,
Min L P1 x1 P 2 x 2 u ( x1, x 2) u
直接套用包络定理，就得到：
e( p1, p 2; u ) e( p1, p 2; u ) h1( p1, p 2; u ) 和 h 2( p1, p 2; u ) p1 p 2
x1* u * x 2* u * * * * ( ( ( p1 x1* p 2 x 2* M ) * * P1) P 2) M x1 M x 2 M
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * u * x1* u* x 2* * x1* x 2* P2 ( P1 x1* P 2 x 2* M ) * ( x1* P1 ) P1 P1 x1 P1 x 2 P1 P1 P1 P1
求偏导数，特别注意它们是 g 和 h 在保持 x1 和 x2 于其最优值不变的条件下对 a 的导 数。包络定理的证明为一直接的计算。微分恒等式（2） ，得
dM g dx1 g dx 2 g da x1 da x 2 da a
运用一阶条件（1）进行替代，得
dM h dx1 h dx 2 g da x1 da x 2 da a
Max ( K , L) PQ ( K , L) wL rK
我们可以把利润函数看作是值函数， P , w 和 r 是外生参数，则最优利润对外生参数
* Q* ， 求导，就等于目标函数的偏导数在最优选择处取值，则直接可以得到 p
* * L* ， K * 这就是说所谓的 Hotelling Lemma。 w r
包络定理
则最大值函数 (a) f (x(a),a)
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数 (a) f (x(a),a)
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a) f xj f g xj f
ai
j x j ai ai j x j ai ai
构造函数 L(x, p, m;) u(x1, x2 ) (m p1x1 p2x2 )
利用包络定理，可得
罗伊恒等式（Roy’s identity）
v( p, m)
m
x1
x1 (
p1,
p2 ,
m)
v( v(
p1, p1,
p2, m) p2, m)
/ /
p1 m
0 i 1,2,, n
xi x x(a)
因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。
d(a) f (x, a)
da
a x x *
2
包络定理图示
d(a) f (x*, a)
, f
da
a
(a)
f (x, a)
a1
a
3
包络定理的一个推论
对于一个具有一般性的最优化问题
记对应参数值 a 的最大值点为 x (a)，假设它关于 a 可 微，则有
d(a) d f [x(a),a] [ n f (x, a) d xi (a) f (x, a)]
da
da
i1 xi
da
a x x(a)
由于 x (a) 是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立
f (x, a)
对于约束条件 g(x, a) 0
包络定理ppt课件
构造函数 L(x, p, m;) u(x1, x2 ) (m p1x1 p2x2 )
利用包络定理，可得
罗伊恒等式（Roy’s identity）
v( p, m)
m
x1
x1 (
p1,
p2 ,
m)
v( v(
p1, p1,
p2, m) p2, m)
/ /
p1 m
7
包络定理的应用之二：成本曲线问题
x j
x j x j
L(x, a;) g(x, a) 0
如果我们得到最优解 x* x(a)
( j 1,2, , n)
则最大值函数 (a) f (x(a),a)
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数 (a) f (x(a),a)
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a) f xj f g xj f
生变化时，x* 和目标函数的最大值 f(x*, a) 也会随之而变化。
判断 a 的数值变化时 φ(a)= f[x*(a), a] 变化的大小和方向，
我们可以使用 d(a) d a
由于先得到 x*(a) 非常麻烦，我们可以直接使用包络定理
d(a) f (x, a)
da
a x x *
1
包络定理的证明
max x
u
(
x1,
x2
)
s.t. p1x1 p2 x2 m
我们容易得到马歇尔需求函数
x1 x1( p1, p2, m) x2 x2 ( p1, p2, m)
此时的效用函数值（间接效用函数）：
v( p1, p2 , m) u(x1*, x1*) u(x1( p1, p2 , m), x2 ( p1, p2 , m))
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-微观经济学中的数学工具【圣才
值，它在该点的导数（如果存在）必为零，即
df dq
q q*
0
（2）最大化的二阶条件（必要条件）：在满足一阶导数等于零的条件下，并不能保证该
点为极大值点，还必须满足二阶导数小于零，即
d 2
dq2
qq* f (q) qq* 0
上述两个条件同时满足才构成最大化的充分条件。
2．多元函数的最值问题 函数 f（x1，x2，…，xn）取最大值（或者最小值）的必要条件是，对于任意 x 的微小变 化的组合都有 dy＝0，这样该点必有：f1＝f2＝…＝fn＝0，此为极值的一阶条件。但这个条件 并不能保证最大化，还需要考察该点处的二阶偏导数是否满足自身的二阶偏导数为负，如果 满足才能保证最大化。
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其中函数 g 表示所有 x 满足的关系。
构造拉格朗日函数：
L f x1，x2，，xn g x1，x2，，xn
有一阶条件为：
L x1
f1 g1 0
L x2
f2 g2
0
M
L xn
fn gn
量到函数值对应的序关系。即对于函数 f，如果一组自变量对应的函数值大于另一组的，那
么经过单调映射后前者的函数值仍大于后者。但是由于单调映射有很多可能的形式，原齐次
函数的很多性质是不能保持的。要注意的是，位似函数有个很好的性质，即函数各个自变量
之间的隐含替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其绝对值。
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第 2 章 微观经济学中的数学工具
2.1 复习笔记
1．一元函数最大值问题
假设企业所获得的利润（π）仅取决于出售商品的数量（q），它的数学表达为π＝f（q），
包络定理及其应用
课改探微新课程NEW CURRICULUM包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。
它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。
本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。
本文共分五个部分，具体如下：一、包络的概念在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope ）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F （t ，x ，y ），这里不同的t 对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：F （t ，x ，y ）=0əF ət（t ，x ，y ）=0{由这两条方程消去t 后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。
数学中包络线的例子很多。
例如，绣曲线是包络线；直线族（A -s ）x+sy =（A-s ）（s ）（其中A 是常数，s 是直线族的变量）的包络线为抛物线。
二、包络在几何中的概念几何中有包络原理（the envelope principle ），它的定义为：平面内，以A 、B 为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A ，B 相连构成一个凸多边形，则该图形除AB 外所有边之和大于AB ；若在该图形之外且在AB 同侧有另外若干点与AB 构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。
利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。
三、包络在微分方程中的概念在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。
例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut ）方程u=tu ′+f （u ）′中，两边对t 取导数，得：u ′=u ′+tu ′+f ′（u ′）u ″整理得：（t +f ′（u ′））u ″=0由此可知u ″=0或u ″=-t .当u ″=0时，u=Ct+f （C ），称为克莱罗方程的一般解。
邢祖礼高级微观经济学课后习题答案及要点
2
1
2
2 2 x1 x2 0 成立
2 2 2 21 2 2 2 2 且 f11 f 22 2 f12 f1 f 2 f 22 f12 1 x1 x2 1 x2 x1 0 成立。
故而，该二元幂函数是凹函数（也是拟凹函数） 。 交叉偏导数为 0 的含义是 x1 和 x2 是独立影响 y 的，二者之间不存在替代效应。 （3） 用这样一个单调变换给 （2） 中的函数附加上“规模效应”， g x1 , x2 y x1 x2 ，
这里 为正数，请回答，函数 g 是否具有凹形？是否具有拟凹性？ 解：因为 g x1 , x2 y 所以 g1 y
1
1 1 1 1 1 x1 ， g2 y x2 ， g12 1 2 y 2 x1 x2
律性、现象并存和相续的实际规律性，尽管这些都不具有决定的准确性，但确定这些类型、 关系以及规律性，是经济学的任务之所在。而在案例分析的过程中，通过合理的逻辑、科学 的方法将个案中蕴含的普遍的经济规律抽象出来，也能得到一般性的结论。 其次， 好的案例分析可以有助于对现有理论的解释力进行检验， 从而推动已有的理论的 修正的发展。 1.4 已知函数 y ax 8x 10 ，其中 a 为参数， x 为自变量，请求出：
2 y 2 x2 1 x2 1 y
所以：
g11 g 22 g12
2
2 2 2 2 2 2 2 y 2 4 x1 x2 1 x1 x2 1 y 1 x2 1 x1 1 y 1 y 2 2 2 2 1 4 y 2 4 x12 2 x2 2
包络定理EnvelopeTheorem
我们可能没有 需要的。
这样的表现形式，但是导数 可能仍然存在，而且这常常就是我们所
处理隐函数是很简单的。
注意： 可能不存在。
4.1 例子
我们能够把函数写成方程形式： 如下： 我们能够对它进行微分并求出导数：
这个导数当 y=0 时，没有意义。
问：在
点处导数 不存在，意味着什么？
答：这时 既可以是正的也可以是负的。不确定。
定义 1 所有点都位于任何一个切面以下的函数就是凹函数。 例如，一个单变量的函数总位于它的切线下面那么它就是凹的。
两个变量的函数取最大值的二阶条件如下：
3 凹函数
这组函数满足凹函数的条件，
而下面这组函数就不满足凹函数的条件。
4 隐函数
函数既可以写成隐函数形式也可以写成显函数形式。 例如： 1. y=mx+b 显式 2. y-mx-b=0 隐式 3. f(y,x;m,b)=0 隐式 函数 2 和 3 是隐性的因为变量之间的关系是隐含的而不是像函数 Y=f(x)有这样显明的形式。 在经济学中我们常常用隐函数外生变量和内生变量都是混合在一起。
其中 是拉格朗日乘子。 那么：
这为什么成立呢？
因为在
处，函数最大化了，也就是对于每一个 ，都有：
唯一的非零偏导是：
这比它看起来更明显。再来考虑前面这个问题：
求得： 你们自己再去求下面这几个偏导数：
7 对偶性
每一个限制条件下的最大化问题都有一个相应的对偶问题，那就是在目标函数取最大值时
把限制条件函数最小化。 原问题：
4.３ 例子
再来考虑一个更复杂的例子：
求
。
在这种情况，只有运用隐函数定理才能求导。 1. 求全微分：
2. 代入数值：
补充材料1_值函数及包络定理学习笔记
冯文成 (东北财经大学 经济学院)
间接效用函数与支出函数
October 12, 2015
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主要内容
. 1 . 2 . 3 导言：直接效用函数 间接目标函数的一般概念 最大值函数 无约束参数模型 有约束参数模型 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 最大值函数与目标函数的关系 包络定理 间接效用函数的性质与罗伊恒等式 间接效用函数（值函数）的一个应用实例 Expenditure Function 支出函数
. . . . . .
冯文成 (东北财经大学 经济学院)
间接效用函数与支出函数
October 12, 2015
9 / 51
为什么要学习间接目标函数（或最大值函数） ？
我们由直接效用函数 u (x ) 经优化得出最优解 x ∗ ，基本含义是，消 费者选择 x ∗ 的消费量，可带来 u (x ∗ ) 这么多“直接”效用。 但是，如果某项政策旨在提高消费者的效用，却通常并不（或不 能）直接调整人们的消费量，而是调整商品的价格或消费者的收 入。 因此，我们要研究商品价格或消费者收入变动时，消费者的效用是 如何变化的，即通过价格或收入的变动影响到消费者选择最优消费 量的行为，进而“间接”地影响到消费者的效用（或称福利）值。 因此，我们要研究“间接效用函数”或值函数。 此外，在学习宏观经济学时，涉及到简单的动态规划，需要用贝尔 曼方程将无穷期的跨期优化问题转化为可以处理的有限期（两期） 优化问题时，借助的重要工具就是值函数。
.
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.
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.
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间接效用函数与支出函数
October 12, 2015
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土地经济学——利润函数
二、供给函数及数学定理的应用
• 由供给函数到利润函数：代入即可
1.由利润函数到供给函数：霍太林引理
• 霍特林引理(HotelIing’slemma) 令 yi ( p) 为厂商对物品i的净供给函数。那么
( p) yi ( p) pi
• 即：计算M 对a 的导数由f 对a 求偏导， 并保持x 固定在最优选择上来给出。 • 运用包络定理可以证明霍太林引理。
具体实例
• 单个投入、单个产出的利润最大化问题 ( p, w) max pf ( x) wx
x
通过霍太林引理/包络定理，知 供给函数为： ( p, w) f ( x( p, w))
第三章 利润函数
本章要点
• 利润函数的性质 • 供给函数的性质 • 霍特林引理、包络定理的应用
回顾利润函数的定义
• 表达式：
( p ) max py
y
满足y 在Y 中
• 关键：目标函数是价格的线性函数 利润函数的性质（思考背后的经济学直觉） 1．产出价格的非减函数，投入价格的非增函数 2．是价格p 的一次齐次函数 3．是价格p 的凸函数 4．是价格p 的连续函数
课后习题
1、一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数
将产出价格正规化，令其等于1。 (a)对函数 i (wi ) 的一阶导数和二阶导数， 我们可以知道些什么？ (b)如果 xi (w1, w2 ) 是对要素i的要素需求函数， 则 xi / wj 的符号是什么? (c)令 f ( x , x ) 为产生这种形式的利润函数 的生产函数。关于这种生产函数的形式， 我们可以说些什么呢?
• 4．连续性的证明来自极值定理（本书27章的最后 一个定理）
包络定理
2． 包络定理1在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数a 之后，目标函数中的选择变量x 可以任意取值。
如果x 恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。
而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。
对这一特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。
⑴ 包络定理：无约束模型设最大值函数为：()((),)V a f x a a =对参数a 求导有：(0)a x a a x dx V f f f f da=+== 其中，a f 在最优解处取值。
▼ 另一种表述设模型max (,)xf x a 的最优解为()x x a **=；代入原目标函数(,)f x a 即得最大值函数：()((),)V a f x a a *上式两边对参数a 求导得：[][((),)]a a x a a dx V f x a a f f f da ****⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦ 其中，方括号右边的下标“a ”表示对参数a 求导，上标“*”表示求导后的结果在最优解处取值。
由于是在最优解处取值，故由一阶必要条件可知0x f =。
于是有第三个等式。
第三个等式中的[]a f *表示原目标函数(,)f x a 对a 求导后在最优解处取值。
⑵ 包络定理：等式约束模型设最大值函数为：()((),(),)V a L x a a a λ=对参数a 求导有：(0)a x a a x dx d V L L L L L L da daλλλ=++=== 其中，a L 在最优解处取值。
▼ 另一种表述[][((),(),)]a a x a a dx d V L x a a a L L L L da da λλλ***⎡⎤==++=⎢⎥⎣⎦ ▼ 例子：效用最大化问题该问题的拉格朗日函数(,)()()L x u x y px λλ=+-是x 和λ的函数。
如果将最优解(,)x x p y **=和(,)p y λλ**=代入拉格朗日函数，则它就成为参数p 和y 的函数：(,)((,),(,),,)((,))(,)((,))V p y L x p y p y p y u x p y p y y px p y λλ*****==+- 其中，(,)(,,,)V p y L x p y λ**=可看作“间接”拉格朗日函数，参数p 和y 以两种方式影响它：一是直接影响，一是间接影响，即通过最优解x *和λ*来影响。
包络定理及其应用
包络定理及其应用作者：陈颂闫晓芳来源：《新课程·中旬》2014年第09期摘要：包络在数学中是一个很基本的概念，在各个学科上都有自己独特的含义。
通过讨论包络在数学中的概念，研究和数学联系非常紧密的经济学中包络的应用。
关键词：包络；包络定理；克莱罗方程包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。
它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。
本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。
本文共分五个部分，具体如下：一、包络的概念在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F（t，x，y），这里不同的t对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0由这两条方程消去t后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。
数学中包络线的例子很多。
例如，绣曲线是包络线；直线族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常数，s是直线族的变量）的包络线为抛物线。
二、包络在几何中的概念几何中有包络原理（the envelope principle），它的定义为：平面内，以A、B为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A，B相连构成一个凸多边形，则该图形除AB外所有边之和大于AB；若在该图形之外且在AB同侧有另外若干点与AB构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。
利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。
三、包络在微分方程中的概念在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。
例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，两边对t取导数，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0由此可知u″=0或u″=-t.当u″=0时，u=Ct+f（C），称为克莱罗方程的一般解。
包络是什么意思
包络是什么意思
包络是由许多椭圆形曲线交织而成的一种图形，外观看起来是包起来的一样。
包络在数学、信号处理、文学、经济学、传统中医学上都有自己独特的含义。
数学中包络
在数学上，一族平面直线(或曲线)的“包络”(envelope)是指一条与这族直线(或曲线)中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F(t,x,y)，这里不同的t对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足右下端的两条方程，由这两条方程消去t后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面(或曲面)的包络。
数据包络分析法
数据包络分析方法是一种基于投入产出数据的相对有效性评价方法。
该方法中包含若干关键要素，具体包括:生产可能集,测度,偏好,变量的类型,问题的层次以及数据是否是确定的.以上这些要素的组合,可以形成不同的DEA模型,用于解决不同的问题.本文旨在围绕以上关键要素对DEA方法近年的若干重要研究工作和模型进行梳理和分类,并简要介绍了DEA模型的若干应用.最后,给出未来可能的若干研究方向。
经济学中包络
这里主要指的是包络定理，西方经济学中应用在分析厂家长期生
产成本函数等的理论工具
文学中的包络
1、意思为包围环绕。
2、意为犹包括。
中医称包络
中医里面是指周身脉络。
包络线在经济学中的应用
高时，通道边幅的变化也会表现得相对激烈，市场变化率相对较低
时，通道边幅的变化也会表现得相对弱化。
包络线指数是由价格变化范围的上下界来定义的。当价格上
升到通道顶端时，出现了卖出信号；当价格下降到通道底端时，出现
了购买信号。
包络线指标实际上就是卖家以及买家共同作用，推动价格达
到边界位置。价格在以上几点的作用下，不断移动以至于到达一个
其中y是产出水
平,w是n个投入要素的价格向量。
证明：当要素价格为
时，设 为产出y需要的，能够使得
成本最小的最优要素向量，给出函数
。
式中
表示产出 的最为经济的方法。所以对一切 成立
，又在
时，
，得到 为 的最大
值点。
应用二：税金问题[1]
设有 某 一厂 商，需 求 函 数 设 为
，成 本 函 数 设 为
对于短期平均成本曲线以及长期平均成本曲线来讲，每条短 期平均成本曲线上都会有一个切点，而对于长期平均成本曲线来 讲，在它的最低点处，一定会存在一条短期平均成本曲线，此曲线 与长期平均成本曲线相切。厂商就可以按照这样的方式来确定自 己的生产计划，所以长期平均成本曲线又被称为计划曲线。
长期平均成本曲线和短期平均成本曲线的区别是：长期成本 曲线下降和上升时都相对比较平坦。由此可以看出，长期平均成本 在增加和减少的速度上来讲，都是相对比较缓慢的，这主要是因为 在一个长期的生产过程中，所涉及到的生产要素都要求随时可以 调整，在规模收益递增和规模收益递减中间还存在一个阶段，即规 模收益不变阶段；而在一个短期过程中，这个规模收益不变阶段是 非常短的，或者是不存在的。上述原因导致长期平均成本曲线是短 期平均成本曲线的包络线，而不是各短期平均成本曲线最低点的 连线。
包络
如图1中的直线组成一个圈，然而实际上我们并没有“画”这个圆，这时就把这个圆称作是包络线。
图1：数学中包络线的示意图要想画出类似的包络线，首先要画出一个大圆(例如直径10cm)，并把圆周分成 36等分，用量角器每10°作一点即可。
把第n点与第n+10点连线，就可画出如图1的圆形包络线。如果n+10大于36，则须减去36。例如当n=29时， n+10=39，减去36之后得到3，所以第29点是与第3点连线。
数据分析法
数据包络分析方法是一种基于投入产出数据的相对有效性评价方法。该方法中包含若干关键要素，具体包括: 生产可能集,测度,偏好,变量的类型,问题的层次以及数据是否是确定的.以上这些要素的组合,可以形成不同的 DEA模型,用于解决不同的问题.本文旨在围绕以上关键要素对DEA方法近年的若干重要研究工作和模型进行梳理和 分类,并简要介绍了DEA模型的若干应用.最后,给出未来可能的若干研究方向 。
信号处理中的
我们可以将任一平稳窄带高斯随机过程X(t)表示为标准正态振荡的形式 ： X(t)=A(t)cos(t+(t)) 其中是窄带随机过程的载波频率；A(t)和(t)是X(t)的包络和相位。包络即随机过程的振幅随着时间变化的 曲线。
经济学中
这里主要指的是包络定理，西方经济学中应用在分析厂家长期生产成本函数等的理论工具 它的内容是考虑含参量a的函数f(x,a)的无条件极值问题（x是内生变量，a是外生变量）。显然，一般地其 最优解V是参量a的函数，即V(a)。 包络定理指出：V对a的导数等于f对a的偏导数（注意是f对“a所在位”变量的偏导数 ）
2.意为犹包括。
元柳贯《尊经堂》诗：“贞明配日月，广大侔天地，简牍之所资，包络无巨细。”清沈德潜《说诗晬语》卷 下：“杜诗别於诸家，在包络一切，其时露缺处，正是无所不有处。”章炳麟《国故论衡·文学总略》：“凡云 文者，包络一切箸於竹帛者而为言。”
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2． 包络定理1
在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数a 之后，目标函数中的选择变量x 可以任意取值。
如果x 恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。
而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。
对这一特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。
⑴ 包络定理：无约束模型
设最大值函数为：
()((),)V a f x a a =
对参数a 求导有：
(0)a x a a x dx V f f f f da
=+== 其中，a f 在最优解处取值。
▼ 另一种表述
设模型
max (,)x
f x a 的最优解为()x x a **=；代入原目标函数(,)f x a 即得最大值函数：
()((),)V a f x a a *
上式两边对参数a 求导得：
[][((),)]a a x a a dx V f x a a f f f da *
***
⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦ 其中，方括号右边的下标“a ”表示对参数a 求导，上标“*”表示求导后的结果在最优解处取值。
由于是在最优解处取值，故由一阶必要条件可知0x f =。
于是有第三个等式。
第三个等式中的[]a f *表示原目标函数(,)f x a 对a 求导后在最优解处取值。
⑵ 包络定理：等式约束模型
设最大值函数为：
()((),(),)V a L x a a a λ=
对参数a 求导有：
(0)a x a a x dx d V L L L L L L da da
λλλ=++=== 其中，a L 在最优解处取值。
▼ 另一种表述
[][((),(),)]a a x a a dx d V L x a a a L L L L da da λλλ*
**
⎡⎤==++=⎢⎥⎣⎦ ▼ 例子：效用最大化问题
该问题的拉格朗日函数
(,)()()L x u x y px λλ=+-
是x 和λ的函数。
如果将最优解(,)x x p y **=和(,)p y λλ**=代入拉格朗日函数，则它就成为参数p 和y 的函数：
(,)((,),(,),,)((,))(,)((,))V p y L x p y p y p y u x p y p y y px p y λλ*****==+- 其中，(,)(,,,)V p y L x p y λ**=可看作“间接”拉格朗日函数，参数p 和y 以两种方式影响它：一是直接影响，一是间接影响，即通过最优解x *和λ*来影响。
这里需要注意的是：不能把“间接”拉格朗日函数写成((,),(,))L x p y p y λ**。
⑶ 对包络定理的说明
包络定理意味着，最大值函数V 对参数a 的偏导数等于目标函数f 或L 对参数a 的偏导数（在最优解处取值），或者说，参数变化对最大值函数的影响a V 等于它对目标函数的影响a f 或a L （a f 或a L 在最优解处取值）。
⑷ 例题：求a V
① 题目
12
1212,max() s.t. 24x x x x x x a += ② 求解
A 预备工作
建立拉格朗日函数：
121212(,,,)(24)L x x a x x a x x λλ=+--
一阶必要条件为：
12211220
40
240
L x L x L a x x λλλ=-==-==--=
由此可得： 12/4, /8, /16x a x a a λ===
B
用包络定理求解。
[][]/16a a V L a λ**=== （λ在最优解处取值） C 用传统方法验证。
将最优解12/4, /8x a x a ==代入目标函数得最大值函数：
2
12()()()4832
a a a V a x a x a ==⋅=
于是有：/16a V a =
⑷ 包络定理的应用：拉格朗日乘子
① 约束型参数
有一类特殊的参数是所谓“约束型参数”。
例如，消费者的预算线为p x y ⋅=（p 和x 均为向量）。
这里，收入y 即为约束型参数。
② 约束型参数对最大值函数的影响
约束型参数对最大值函数的影响有一个非常简单的结果，即它等于拉格朗日乘子：[]y V λλ**==（λ在最优处取值）。
设等式约束模型为：
max () s.t. ()x
f x
g x a = 这里，a 代表对选择变量的约束。
相应的拉格朗日函数为：
()(),,()()L x a f x a g x λλ=+-
根据包络定理有：
[][]a a V L λλ***=== （λ在最优处取值）
这意味着：最优的拉格朗日乘子λ*是约束a 的边际价值，或者说，影子价格，它衡量着约束a 变动所引起的目标函数最大值的变动。
③ 例子：预算约束对效用函数的影响
若消费者选择问题为
max () s.t. x
u x p x y ⋅= 则拉格朗日函数为：
()()L u x y p x λ=+-⋅
于是有：[][]y y V L λλ***===。
在这里，λ*是收入的边际效用，即收入增加一个单位所带来的效用的增加量。
④ 注意
非约束型参数没有上述结果。
例如，在预算约束中，价格向量p 对效用函数的影响并不等于λ，而是等于：
[][]p p V L x x λλ****==-=- 或者 [][]i i i i V L x x λλ****==-=- (/,/,1,,)i i i i V V p L L p i n =∂∂=∂∂=。