包络定理

2． 包络定理1

在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数a 之后，目标函数中的选择变量x 可以任意取值。如果x 恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。对这一特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。

⑴ 包络定理：无约束模型

设最大值函数为：

()((),)V a f x a a =

对参数a 求导有：

(0)a x a a x dx V f f f f da

=+== 其中，a f 在最优解处取值。

▼ 另一种表述

设模型

max (,)x

f x a 的最优解为()x x a **=；代入原目标函数(,)f x a 即得最大值函数：

()((),)V a f x a a *

上式两边对参数a 求导得：

[][((),)]a a x a a dx V f x a a f f f da *

***

⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦ 其中，方括号右边的下标“a ”表示对参数a 求导，上标“*”表示求导后的结果在最优解处取值。由于是在最优解处取值，故由一阶必要条件可知0x f =。于是有第三个等式。第三个等式中的[]a f *表示原目标函数(,)f x a 对a 求导后在最优解处取值。

⑵ 包络定理：等式约束模型

设最大值函数为：

()((),(),)V a L x a a a λ=

对参数a 求导有：

(0)a x a a x dx d V L L L L L L da da

λλλ=++=== 其中，a L 在最优解处取值。

▼ 另一种表述

[][((),(),)]a a x a a dx d V L x a a a L L L L da da λλλ*

**

⎡⎤==++=⎢⎥⎣⎦ ▼ 例子：效用最大化问题

该问题的拉格朗日函数

(,)()()L x u x y px λλ=+-

是x 和λ的函数。如果将最优解(,)x x p y **=和(,)p y λλ**=代入拉格朗日函数，则它就成为参数p 和y 的函数：

(,)((,),(,),,)((,))(,)((,))V p y L x p y p y p y u x p y p y y px p y λλ*****==+- 其中，(,)(,,,)V p y L x p y λ**=可看作“间接”拉格朗日函数，参数p 和y 以两种方式影响它：一是直接影响，一是间接影响，即通过最优解x *和λ*来影响。这里需要注意的是：不能把“间接”拉格朗日函数写成((,),(,))L x p y p y λ**。

⑶ 对包络定理的说明

包络定理意味着，最大值函数V 对参数a 的偏导数等于目标函数f 或L 对参数a 的偏导数（在最优解处取值），或者说，参数变化对最大值函数的影响a V 等于它对目标函数的影响a f 或a L （a f 或a L 在最优解处取值）。

⑷ 例题：求a V

① 题目

12

1212,max() s.t. 24x x x x x x a += ② 求解

A 预备工作

建立拉格朗日函数：

121212(,,,)(24)L x x a x x a x x λλ=+--

一阶必要条件为：

12211220

40

240

L x L x L a x x λλλ=-==-==--=

由此可得： 12/4, /8, /16x a x a a λ===

B

用包络定理求解。

[][]/16a a V L a λ**=== （λ在最优解处取值） C 用传统方法验证。

将最优解12/4, /8x a x a ==代入目标函数得最大值函数：

2

12()()()4832

a a a V a x a x a ==⋅=

于是有：/16a V a =

⑷ 包络定理的应用：拉格朗日乘子

① 约束型参数

有一类特殊的参数是所谓“约束型参数”。例如，消费者的预算线为p x y ⋅=（p 和x 均为向量）。这里，收入y 即为约束型参数。

② 约束型参数对最大值函数的影响

约束型参数对最大值函数的影响有一个非常简单的结果，即它等于拉格朗日乘子：[]y V λλ**==（λ在最优处取值）。

设等式约束模型为：

max () s.t. ()x

f x

g x a = 这里，a 代表对选择变量的约束。相应的拉格朗日函数为：

()(),,()()L x a f x a g x λλ=+-

根据包络定理有：

[][]a a V L λλ***=== （λ在最优处取值）

这意味着：最优的拉格朗日乘子λ*是约束a 的边际价值，或者说，影子价格，它衡量着约束a 变动所引起的目标函数最大值的变动。

③ 例子：预算约束对效用函数的影响

若消费者选择问题为

max () s.t. x

u x p x y ⋅= 则拉格朗日函数为：

()()L u x y p x λ=+-⋅

于是有：[][]y y V L λλ***===。在这里，λ*是收入的边际效用，即收入增加一个单位所带来的效用的增加量。

④ 注意

非约束型参数没有上述结果。例如，在预算约束中，价格向量p 对效用函数的影响并不等于λ，而是等于：

[][]p p V L x x λλ****==-=- 或者 [][]i i i i V L x x λλ****==-=- (/,/,1,,)i i i i V V p L L p i n =∂∂=∂∂=