多元多次方程组

淺談多元多次方程組李源順 一、前言在中學時期，求方程式是代數學上面的重要課題。

在一元方程式方面，我們在中學以前就學會了利用公式求一元一次、二次方程式的解，也知道它們的圖形是直線或抛物線。

圖形是曲線的一元三次以上的方程式方面，說不定有些同學也知道一元三次方程式也有公式解；一元四次以上的方程式，可以因式分解的，我們可以把它因式分解以後，再求出它的解；不能因式分解的，雖然沒有學到公式解，但我們學了利用牛頓法求它的近似根。

在多元方程組方面，我們學會了利用加減消去法、代入消去法、甚至矩陣的方法，求多元一次方程組的解，而且也了解它的幾何義意，例如，三元一次方程組的解是空間中平面的交點。

對於多元多次方程組，我們則沒有學到如何求出它的解，或也不了解它的解所隱含的義意。

現在我們將帶您了解如何解多元多次方程組。

此外，我們將教您如何利用數學軟體Mathematica 以及Maple 求多元多次方程組的解。

二、理想(ideal)由於方程式和多項式關係非常密切(將多項式加上“=0”即變成方程式)。

所以，為了了解多元多次方程組的問題，我們可以考慮多項式的問題，因而必須重新定義一個多元多次多項式每個單項的排列次序(order)，即單項式的大小。

一般定義的方法有二種:定義:設α=x x x n n1212ααα... ， β=x x x n n1212βββ... ，αβi i N ,{}∈ 0，i=1,2,..,n定義兩個單項式的大小順序為 x 1>x 2>...>x n ， 再者，同一未知數定義 x m +1>x m >...>x 2>x>1 我們稱α>β，這種次序大小稱為Lexicographic order(簡稱lex order)例如，x 1>x 2100， x x x 12212>定義:設α=x x x n n1212ααα...， |α|=αi i n=∑1β=x x x n n1212βββ...， |β|=βi i n=∑1， αβi i N ,{}∈ 0，i=1,2,..,n若|α|>|β|，或者 （|α|＝|β|，且x 1>x 2>...>x n ）我們就稱 α>β，稱為Graded lex order(簡稱grlex order)此時，x 1<x 2100， 且 x x x x 1223124>不管是用那一種次序，我們稱一個多元多次多項式g 的項中次序最高的為領導項(leading term)，簡寫為LT(g)，它的係數稱為領導係數(leadingcofficient)，簡寫為LC(g),而LM(g)=LT(g)/LC(g)為領導項中不含係數的變數。

我們都知道，一個(多元多次)方程式，若將它乘以非零的常數倍，其解不變，例如，F 1: x+y+1=0的解與 3F 1:3x+3y+3=0的解相同，並且把兩者相加，它們的解也不會變。

雖然這種做法對我們求解沒有太大的幫助，但它的觀念，在抽象代數上對我們引進一個 "理想"(ideal)的觀念卻非常有幫助。

定義:設k 是一個體(field)(可以想成k 是一個複數C),k[x 1,x 2,..,x n ]為係數屬於k 的n 元(x 1,x 2,..,x n )多次多項式所成的集合，即k[x 1,x 2,..,x n ]={a x x x i n i li i in12112ααα...=∑| a i k ∈,αij N ∈ {0}，i=1,2,..,l ，j=1,2,..,n}設I ∈k[x 1,x 2,..,x n ]。

若I 滿足下列條件，我們稱I 是一個理想(ideal) (1) 0∈I(2)若f,g ∈I ，則f+g ∈I(3)若f ∈I ，且h ∈k[x 1,x 2,..,x n ]，則hf ∈I定義: 設f 1(x 1,x 2,..,x n )=0 f 2(x 1,x 2,..,x n )=0 ....f m (x 1,x 2,..,x n )=0為一多元多次方程式組。

下面以 f 1=0,f 2=0,...,f m =0表示此方程組。

此時f 1,f 2,...,f m 則變成是一組多元多次多項式。

我們以<f 1,f 2,...,f m >表示f 1,f 2,...,f m 所生成(generate)的理想，即<f 1,f 2,...,f m >={h 1f 1+h 2f 2+...+h m f m | h 1,h 2,...,h m ∈k[x 1,x 2,..,x n ]}，而以V(f 1,f 2,...,f m )表示這個理想的解，即V(f 1,f 2,...,f m )={(a 1,a 2,...,a n )∈k[x 1,x 2,..,x n ] | f i ( a 1,a 2,...,a n )=0，1≤i ≤m}此時，因為h 1,h 2,...,h m 有無限多個可能性，所以理想<f 1,f 2,...,f m >內會有無限個多項式。

由於< f 1,f 2,...,f m >是由f 1,f 2,...,f m 所衍生成的，所以，V(f 1,f 2,...,f m )也是原方程組f 1=0,f 2=0,...,f m =0的解。

這個意思好像是說，h(x+y+1)+k(x-y-1)=0 ，h,k ∈R (它的幾何意義是：所有過二直線交點的直線)的解，和 x+y+1=0 x-y-1=0 的解相同。

三、Groebner 基底雖然類似上述的理想都會有無限多個多項式，但它總是可由有限個的多項式所生成(這是所謂Hibert basis 定理 -- 直觀的說，它就是由f 1,f 2,...,f m 所生成)。

既然，一個理想可以由有限個多項式生成，我們便試著想找一組“好”的多項式來表示這一個理想，且這一組多項式能夠給我們很好的訊息，使我們能順利的解出原先的方程組。

這個觀念就好像我們要解 x+y+1=0 ....(1) x-y-1=0 . (2)我們可以把(1)式和(2)式相加得 2x=0此時原方程組的解和x+y+1=0 2x=0的解相同，而變換後的方程組能很快的算出x 和y 。

在討論上述問題時，我們想到一個多項式都是由幾個單項式組成。

因此，我們先著手討論由一些(可能無限多個)單項式所生成的理想，即I=<A j x x x jn j j n ∈|...2121ααα>其中αji N ∈ {0}，i=1,2,..,n ，而A 是一個(有限或無限)集合我們可以證明出來(證明省略)，一個由單項式生成的理想總是由有限個單項式所生成。

藉由單項式的觀念，每一個多項式fi 都有一個領導項LT(fi)，我們便可定義出所謂的Groebner 基底。

定義：設I是一個理想，若有一組多項式g1,g2,...,gs，使得<LT(g1),LT(g2),...,LT(gs)>=<LT(I)>則這組多項式{ g1,g2,...,gs}，稱為I的Groebner 基底假使{ g1,g2,...,gs}是I的Groebner基底，我們可以證明出來<g1,g2,...,gs>=I(證明省略)。

現在我們就來看看這個Groebner 基底是怎麼算出來的。

四、Groebner 基底的演算法Groebner基底的算法說穿了其實就是單元多次多項式除法的推廣。

定理:(除法定理)設f1,f2,...,fm∈k[x1,x2,..,xn]是一個多元多次多項式組，f∈k[x1,x2,..,xn]是另一個多元多次多項式，則f可以表成f= a1f1+a2f2+...+amfm+r其中，ai ,r∈k[x1,x2,..,xn]，且r=0 或r不能為LT(f1),LT(f2),...,LT(fm)中的任何一個所整除。

(證明省略) 例如F=x2+y2+z2被F1: x2+y+z-1=0, F2: x+y2+z-1=0，F3: x+y+z2-1=0來除的話(用lex order)，F=F1+0F2+0F3+(y2-y+z2-z+1)，或F=0F1+(x-y2-z+1)F2+0F3+(y4+2y2z-y2+2z2-2z+1) ，或F=0F1+0F2+(x-y-z2+1)F3+(2y2+2yz2-2y+z4-z2+1)因此，這種除法並不唯一，但除式若是一個Groebner基底，則餘式會唯一。

定理:設I是一個理想，而G={ g1,g2,...,gs}是這個理想I的Groebner 基底，而f∈k[x1,x2,..,xn]，則f被G除的餘式會唯一，即存在唯一的r ∈k[x 1,x 2,..,x n ]，使得(1) r 不能為LT(g 1),LT(g 2),...,LT(g m )中的任何一個所整除 (2)f=h g i i ni =∑1+r ，其中h i ∈k[x 1,x 2,..,x n ]特別是，若f ∈I ，若且唯若餘式r=0 (證明省略)再者，我們若定義:設H=<f 1,f 2,...,f m >，其中f 1,f 2,...,f m ∈k[x 1,x 2,..,x n ] 我們以 f F表示多項式f 被H 所的餘式，f ∈k[x 1,x 2,..,x n ]。

定義:設f,g ∈k[x 1,x 2,..,x n ]，而x x x r r n r n 1212...為LM(f)與LM(g)的最低公倍式， 定義s(f,g)=x x x LT f f x x x LT g g r r n r r r nr n n12121212...()...()- (意思是把f 和g 的最高次項消掉)則我們發現有下面的性質:定理:設I 是一個理想，而G={ g 1,g 2,...,g s }是I 的Groebner 基底，若且唯若 s g g i j G(,)=0， ∀i j ≠ (證明省略)這個意思是說，假如G={ g 1,g 2,...,g s }是I 的Groebner 基底，則在理想I 中把基底的任兩個多項式的最高次項消掉而得的多項式，會被G 所整除。

我們利用這個技巧把一組多項式除了以後，若餘式不等於0，那把餘式加進來變成基底的一個多項式，直到不管再怎麼除，餘式都會等於0，此時，我們便得到這組多項式所生成的理想的Groebner 基底了。

例如，考慮k[x,y]，而多項式的順序用grlex order ，設f 1=x 3-2xy ， f 2=x 2y-2y 2+x ，I=< f 1,f 2>，則因為LT(s(f 1,f 2))=LT()())2()2(22223333x LT x y y x y x y x xy x x y x -=+---=- x 2∉<LT(f 1),LT(f 2)>所以，{ f1,f2}不是一個Groebner 基底。