系统的数学模型
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第2章系统的数学模型02精选全文完整版
的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
系统的数学模型
虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但 是在大多数情况下，实际的关系并非是真正 线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只 是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较 小的非线性因素所引起的误差，工程上又允 许的话，这一系统就可以作为线性系统来处 理。
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
线性系统的数学模型
第二章 线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型： 状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈 正反馈 单位反馈：H(S)＝1
主 要 内 容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型： 状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈 正反馈 单位反馈：H(S)＝1
主 要 内 容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是一种描述系统内部变量之间的数学表达式，它是系统的核心。
这种类型的模型可以有效地分析现有系统的结构及性能，并且可以用于改善系统的设计和性能。
系统数学模型通常是由一组微分或微分方程、简化的函数和一组状态变量来描述的。
这组方程可用来计算系统的输入和输出，以及系统中各参数的行为。
通过求解这组方程，就可以求得系统的性能，从而得以评估系统的质量，并找出问题所在。
系统数学模型帮助人们更好地理解系统，探索它的行为规律，它有助于提高系统的可靠性、稳健性和可控制性。
此外，系统数学模型也可以帮助人们预测系统性能，避免不必要的损失，并有助于精确地合理安排系统的资源。
通过构建系统数学模型，可以实现现代科学技术的自动化控制。
这种模型可以应用于机器人控制、新能源转换、交通系统等方面，大大提高自动化控制系统的精准性和效能。
总之，系统数学模型是一种有效的表达方式，可以帮助我们更好地理解系统，改善系统的设计和性能，为进一步推动现代自动化技术发展做出重要贡献。
系统的数学模型
系统的数学模型是建立在客观环境系统的基础上的，它反映了评价所涉及的各种环境要素和过程，以及它们之间的相互联系和作用。
这个模型是建立在物理定律和机械定律的基础上的，通过推导可以得到数学模型。
数学模型可以分为静态模型和动态模型，静态模型主要用于静态误差分析，而动态模型则主要用于分析连续系统（微分方程）和离散系统（差分方程）。
系统的数学模型还可以根据目的分为三类：用来帮助对象设计和操作的模型，用来帮助控制系统设计和操作的模型，以及用来进行系统仿真的模型。
在建模过程中，还需要注意掌握好复杂和简单的度，以作合理折中。
自动控制原理第二章
例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统的数学模型可以由多个方程组成,以下是一些常见的连续系统模型:
1. 牛顿第二定律方程:这是一个描述物体运动的方程,它表达了物体的位置和速度随时间的演化,通常写成以下形式:
$dX/dt = -ax$
其中,$X$ 表示物体的位置,$a$ 表示物体的加速度,$t$ 表示物体运动的时间。
2. 热力学方程:热力学方程描述了系统的热力学性质,包括温度的演化和热传导等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} =
-kAfrac{mathrm{d}X}{mathrm{d}t}$
其中,$T$ 表示系统的温度,$A$ 表示系统的面积,$k$ 表示热导率,$X$ 表示物体的位置。
3. 电磁学方程:电磁学方程描述了电荷、电流和磁感应等电磁现象的数学模型,可以描述电磁波的传播、电路中电荷的分布等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t} = -frac{partial V}{partial t}$
其中,$E$ 表示电场强度,$V$ 表示电场的电荷密度,$t$ 表示时间。
4. 波动方程:波动方程描述了声波或波动现象的数学模型,可以描述声波的传播、波动的产生等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}^2X}{mathrm{d}t^2} +
frac{mathrm{d}^2theta}{mathrm{d}t^2} = r^2sintheta$
其中,$X$ 表示物体的位置,$theta$ 表示物体的极角,$r$ 表示物体的距离,$t$ 表示时间。
这些方程只是连续系统模型中的一部分,还有很多其他的方程可以用来描述不同的连续系统现象。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
系统的数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各个变量
at at st
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
自动控制原理第二章 控来自系统的数学模型5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0
0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
0 0
O
t
f ( t )e dt
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.2 传递函数
一、传递函数的定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
线性定常系统(或元部件)在零初始条件下， 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏 变换之比称为系统 (或元部件 )的传递函 数。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求无源RC网络的传递函数
R
无源RC网络的微分方程为
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
自动控制原理第二章 控来自系统的数学模型5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0
0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
0 0
O
t
f ( t )e dt
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.2 传递函数
一、传递函数的定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
线性定常系统(或元部件)在零初始条件下， 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏 变换之比称为系统 (或元部件 )的传递函 数。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求无源RC网络的传递函数
R
无源RC网络的微分方程为
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
chap2 系统的数学模型
线性系统
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
14
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
19
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
控制原理
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第二章 系统的数学模型
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
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4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
控制原理
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第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
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2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
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第二章 系统的数学模型
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
系统的数学模型
系统的数学模型—微分方程与传输算子不涉及任何数学变换，而直接在时间变量域内对系统进行分析，称为系统的时域分析。
其方法有两种：时域经典法与时域卷积法。
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。
这种方法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应用上也有局限性。
所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时域经典法。
20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善，已成为系统分析的重要方法之一。
时域分析法是各种变换域分析法的基础。
在本章中，首先建立系统的数学模型——微分方程，然后用经典法求系统的零输入响应，用时域卷积法求系统的零状态响应，再把零输入响应与零状态响应相加，即得系统的全响应。
其思路与程序是：其次，将介绍：系统相当于一个微分方程；系统相当于一个传输算子H(p)；系统相当于一个信号——冲激响应h(t)。
对系统进行分析，就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系，这种关系就是卷积积分。
2-1 系统的数学模型——微分方程与传输算子研究系统，首先要建立系统的数学模型——微分方程。
建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束：拓扑约束(KCL，KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。
为了使读者容易理解和接受，我们采取从特殊到一般的方法来研究。
图2-1(a)所示为一含有三个独立动态元件的双网孔电路，其中为激励，，为响应。
对两个网孔回路可列出KVL方程为上两式为含有两个待求变量，的联立微分积分方程。
为了得到只含有一个变量的微分方程，须引用微分算子 ，即，，…，在引入了微分算子后，上述微分方程即可写即(2-1)根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型，如图2-1(b)所示。
将图2-1(a)与(b)对照，可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b)，即将L 改写成Lp ，将C 改写成 ，其余一切均不变。
系统的数学模型
• 大多数实际系统的参数随时间变化并不明显，按 定常系统来处理可保证足够的精确度。
3.1引言-非线性系统
• 不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。 • 虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大
多数情况下，实际的关系并非真正线性的。 • 许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围
内保持真正的线性关系。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 根据系统是否含有参数随时间变化的元件， 自动控制系统可分为时变系统与定常系统两 大类。
• 定常系统：又称为时不变系统，其特点是：
– 描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数 – 在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系
统 – 反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号
3.2 传递函数
3.2.2 传递函数的说明
• 对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的次数n ， 且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯 性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数 的函数，而元件参数只能是实数。
• 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参 数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与 输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统 的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。
的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t) ，当输入延 迟一时间τ，则系统的响应也延迟同一时间τ且形状 保持不变，如下图 所示。定常系统的这种基本特 性给分析研究带来了很大的方便。
线性定常系统特性
3.1引言-线性定常系统与时变系统
1.比例环节
下图为反相运算放大器电路 ui (t) 为输入电压 uo (t) 输出电压
3.1引言-非线性系统
• 不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。 • 虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大
多数情况下，实际的关系并非真正线性的。 • 许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围
内保持真正的线性关系。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 根据系统是否含有参数随时间变化的元件， 自动控制系统可分为时变系统与定常系统两 大类。
• 定常系统：又称为时不变系统，其特点是：
– 描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数 – 在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系
统 – 反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号
3.2 传递函数
3.2.2 传递函数的说明
• 对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的次数n ， 且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯 性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数 的函数，而元件参数只能是实数。
• 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参 数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与 输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统 的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。
的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t) ，当输入延 迟一时间τ，则系统的响应也延迟同一时间τ且形状 保持不变，如下图 所示。定常系统的这种基本特 性给分析研究带来了很大的方便。
线性定常系统特性
3.1引言-线性定常系统与时变系统
1.比例环节
下图为反相运算放大器电路 ui (t) 为输入电压 uo (t) 输出电压
系统数学模型建立
di ui = iR + L + u0 dt du0 1 u0 = ∫ idt i = c c dt d 2 u0 du0 代入得: Lc 2 + Rc + u 0 = ui dt dt
外
x-x
c
阻尼力与元件所受合外力 构成平衡力系
阻力F
& -cx+F外 = 0
(3)、弹性元件 、 与阻尼元件相似。 与阻尼元件相似。
2、机械平移系统 、
建立机械平移系统的微分方程时， 建立机械平移系统的微分方程时，一般以 质量元件为研究对象，对其进行受力分析， 质量元件为研究对象，对其进行受力分析，然 后根据受力平衡方程建立微分方程。 后根据受力平衡方程建立微分方程。
第二节系统微分方程的建立 一、步骤
1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。 、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。 、对非线性方程线性化。 4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出 、消除中间变量，建立只含有系统输入、 及系统结构性能参数的微分方程。 及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的 一般表达式写作
例1：系统如图示，建立系统的微分方程。 ：系统如图示，建立系统的微分方程。 解：
r ∑F = 0 F1 F2 F3 F4 = 0 d 2 x(t ) dx(t ) f (t ) m c kx(t ) = 0 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m +c + kx(t ) = f (t ) 2 dt dt
2、举例 、
电路的微分方程。 例1：建立R-C电路的微分方程。 ： 电路如图， 解：R-C电路如图，设电路电流为i
外
x-x
c
阻尼力与元件所受合外力 构成平衡力系
阻力F
& -cx+F外 = 0
(3)、弹性元件 、 与阻尼元件相似。 与阻尼元件相似。
2、机械平移系统 、
建立机械平移系统的微分方程时， 建立机械平移系统的微分方程时，一般以 质量元件为研究对象，对其进行受力分析， 质量元件为研究对象，对其进行受力分析，然 后根据受力平衡方程建立微分方程。 后根据受力平衡方程建立微分方程。
第二节系统微分方程的建立 一、步骤
1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。 、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。 、对非线性方程线性化。 4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出 、消除中间变量，建立只含有系统输入、 及系统结构性能参数的微分方程。 及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的 一般表达式写作
例1：系统如图示，建立系统的微分方程。 ：系统如图示，建立系统的微分方程。 解：
r ∑F = 0 F1 F2 F3 F4 = 0 d 2 x(t ) dx(t ) f (t ) m c kx(t ) = 0 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m +c + kx(t ) = f (t ) 2 dt dt
2、举例 、
电路的微分方程。 例1：建立R-C电路的微分方程。 ： 电路如图， 解：R-C电路如图，设电路电流为i
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数学模型的形式
• 时间域：微分方程组、差分方程、状 态方程
• 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
系统数学模型
线性定常系统 线性系统
线性时变系统
非线性系统
• 能用线性微分方程描述的系统称为线性 系统
• 线性微分方程的系数为常数，称为线性 定常系统
线性（叠加）定理：
系统总的输出为单个输入产生的输 出的线性叠加
线性化的提出
• 线性系统是有条件存在的，只在一定的 工作范围内具有线性特性；
• 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； • 对于实际系统而言，在一定条件下，采
用线性化模型近似代替非线性模型进行 处理，能够满足实际需要。
2、非线性数学模型的线性化
（1）泰勒级数展开法
• 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰 勒级数展开式为：
J
d2 dt 2
o
(t)
C
d dt
o
(t)
K o
(t)
K
i
(t)
3、无源网络
• 三要素：电阻、电容、电感 • 主要掌握：电压电流关系
• 电阻
i(t)
R
u(t)
电容：
i(t) C u(t)
电感
i(t) L u(t)
例： RC
ui
L u0
例
i1
C1
ui
i2 R
i
u0
C2
列写方程的一般步骤：
Fk(t)
Fc(t)
m
f(t)
k
y(t)
y(t) c
微分方程标准形式：
• 等号左边：与输出有关的信息 • 等号右边：与输入有关的信息 • 各项元素按降阶排列
例
fi(t)
fi(t)
m
m
fm(t)
0
0
xo(t)
xo(t)
K
C
fK(t) fC(t)
静止（平衡） 工作点作为零 点，以消除重 力的影响
机械平移系统及其力学模型
（1）分析系统，确定系统或各元件的输入 量、输出量
（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入 端开始，根据各变量所遵循的运动规律， 列写出在运动过程中的各个环节的动态 微分方程；（注意列写时按工作条件， 忽略一些次要因素，并对非线性项进行 线性化处理）
（3）消除所列各微分方程的中间变量，得 到描述系统的输入量、输出量之间关系 的微分方程；
i(t) 0
o(t) 0
TK(t)
K
J TC(t)
柔性轴
粘性液体
齿轮
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
TK (t) K i (t) o (t)
TC
(t
)
C
d dt
o
(t)
J
d2 dt 2
o
(t)
TK
(t)
TC
(t)
系统的数学模型
2.1 系统的微分方程 2.2 系统的传递函数 2.3 系统的传递函数方框图及其简化 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 相似原理
数学模型定义：
• 数学模型是描述系统输入、输出量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间 的内在关系。
• 描述控制系统在动态过程中各变量 之间的数学表达式
• 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样 可采用泰勒级数展开获得线性化的增量 方程。
（4）整理所得微分方程，一般将与输出量 有关的各项放到方程左侧，与输入量有 关的各项放到方程的右侧，各阶导数项 按降幂排列。
二、非线性微分方程的线性化
1、线性化问题的提出 • 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，
阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合 系统由于间隙的存在导致的非线性传输 特性；具有铁芯的电感，电流与电压的 非线性关系等。 • 线性化：在一定条件下作某种近似或缩 小系统工作范围，将非线性微分方程近 似为线性微分方程进行处理。
d2
fi (t) fC (t) fK (t)
fK
(t)
Kxo (t )
m dt 2
d2
xo (t)
d
fC
(t)
C
d dt
xo (t)
m dt 2
xo (t) C dt
xo (t ) Kxo (t )
fi (t)
例
c
k1 xi
m
k2
x0
2、机械旋转系统
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化 的形式，但又能正确地反映所描述系统 的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和 简化，忽略系统特性影响小的因素，并 对一些非线性关系进行线性化，建立一 个比较纯粹的近似数学模型。
2.1 系统的微分方程
一、系统微分方程的列写
1、机械平移系统 三要素：质量、阻尼、弹簧
阻尼
v1(t)
v2(t)
x1(t)
x2(t)
fC(t)
fC(t)
C
fC (t) Cv1 (t) v2 (t) Cv(t)
C dx1 (t) dx2 (t)
dt
dt
C dx(t) dt
例：一机械系统如图所示，试列出其微分方程
k
y(t)
m
f(t)
c
Fk(t) Fc(t)
xi1(t) xi2(t)
系统
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t)
系统
xo1(t)+xo2(t)
Hale Waihona Puke 建立数学模型的方法1、 分析法 • 根据系统和元件所遵循的物理或化学定
律来推导出数学表达式，从而建立数学 模型 2、实验法 • 人为地对系统施加某种测试信号，记录 其输出响应，并用适当的数学模型进行 逼近。这种方法也称为系统辨识。
df (x)
y f (x) f (x0 )
dx
(x x0 ) x x0
1 2!
d
2 f (x) dx 2
x
x0
(x
x0 )2
1 3!
d
3 f (x) dx 3
x
x0
(x
x0 )3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f (x0 )
df ( x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df ( x) dx
x
x0
• 上式即为非线性系统的线性化模型，称 为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态 方程；
• 增量方程的数学含义就是将参考坐标的 原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研 究系统运动的起始点，这时，系统所有 的初始条件均为零。
ma=∑fi(t)
质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
弹簧
x1(t)
x2(t)
v1(t)
v2(t)
fK(t)
K
fK(t)
f K (t) K x1 (t) x2 (t) Kx(t)
K
t
v1 (t) v2 (t) dt
t
K v(t)dt