系统的数学模型

d2
fi (t) fC (t) fK (t)

fK
(t)

Kxo (t )
m dt 2
d2
xo (t)
d

fC
(t)

C
d dt
xo (t)
m dt 2
xo (t) C dt
xo (t ) Kxo (t )
fi (t)
例
c
k1 xi
m
k2
x0
2、机械旋转系统
系统的数学模型
2.1 系统的微分方程 2.2 系统的传递函数 2.3 系统的传递函数方框图及其简化 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 相似原理
数学模型定义：
• 数学模型是描述系统输入、输出量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间 的内在关系。
• 描述控制系统在动态过程中各变量 之间的数学表达式
J
d2 dt 2
o
(t)

C
d dt
o
(t)

K o
(t)

K
i
(t)
3、无源网络
• 三要素：电阻、电容、电感 • 主要掌握：电压电流关系
• 电阻
i(t)
R
u(t)
电容：
i(t) C u(t)
电感
i(t) L u(t)
例： RC
ui
L u0
例
i1
C1
ui
i2 R
i
u0
C2
列写方程的一般步骤：
数学模型的形式
• 时间域：微分方程组、差分方程、状 态方程
• 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
系统数学模型
线性定常系统 线性系统
线性时变系统
非线性系统
• 能用线性微分方程描述的系统称为线性 系统
• 线性微分方程的系数为常数，称为线性 定常系统
线性（叠加）定理：
系统总的输出为单个输入产生的输 出的线性叠加
xi1(t) xi2(t)
系统
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t)
系统
xo1(t)+xo2(t)
建立数学模型的方法
1、 分析法 • 根据系统和元件所遵循的物理或化学定
律来推导出数学表达式，从而建立数学 模型 2、实验法 • 人为地对系统施加某种测试信号，记录 其输出响应，并用适当的数学模型进行 逼近。这种方法也称为系统辨识。
线性化的提出
• 线性系统是有条件存在的，只在一定的 工作范围内具有线性特性；
• 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； • 对于实际系统而言，在一定条件下，采
用线性化模型近似代替非线性模型进行 处理，能够满足实际需要。
2、非线性数学模型的线性化
（1）泰勒级数展开法
• 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰 勒级数展开式为：
df (x)
y f (x) f (x0 )
dx
(x x0 ) x x0

1 2!
d
2 f (x) dx 2
x

x0
(x

x0 )2

1 3!
d
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3 f (x) dx 3
x

x0
(x

x0 )3

略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f (x0 )
df ( x) dx
阻尼
v1(t)
v2(t)
x1(t)
x2(t)
fC(t)
fC(t)
C
fC (t) Cv1 (t) v2 (t) Cv(t)
C dx1 (t) dx2 (t)
dt
dt
C dx(t) dt
例：一机械系统如图所示，试列出其微分方程
k
y(t)
m
f(t)
c
Fk(t) Fc(t)
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化 的形式，但又能正确地反映所描述系统 的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和 简化，忽略系统特性影响小的因素，并 对一些非线性关系进行线性化，建立一 个比较纯粹的近似数学模型。
2.1 系统的微分方程
一、系统微分方程的列写
1、机械平移系统 三要素：质量、阻尼、弹簧
Fk(t)
Fc(t)
m
f(t)
k
y(t)
y(t) c
微分方程标准形式：
• 等号左边：与输出有关的信息 • 等号右边：与输入有关的信息 • 各项元素按降阶排列
例
fi(t)
fi(t)
m
m
fm(t)
0
0
xo(t)
xo(t)
K
C
fK(t) fC(t)
静止（平衡） 工作点作为零 点，以消除重 力的影响
机械平移系统及其力学模型
ma=∑fi(t)
质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
弹簧
x1(t)
x2(t)
v1(t)
v2(t)
fK(t)
K
fK(t)
f K (t) K x1 (t) x2 (t) Kx(t)

K
t
v1 (t) v2 (t) dt
t
K v(t)dt
（1）分析系统，确定系统或各元件的输入 量、输出量
（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入 端开始，根据各变量所遵循的运动规律， 列写出在运动过程中的各个环节的动态 微分方程；（注意列写时按工作条件， 忽略一些次要因素，并对非线性项进行 线性化处理）
（3）消除所列各微分方程的中间变量，得 到描述系统的输入量、输出量之间关系 的微分方程；
i(t) 0
o(t) 0
TK(t)
K
J TC(t)
柔性轴
粘性液体
齿轮
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数

TK (t) K i (t) o (t)
TC
(t
)

C
d dt

o
(t)
J
d2 dt 2
o
(t)

TK
(t)

TC
(t)
（4）整理所得微分方程，一般将与输出量 有关的各项放到方程左侧，与输入量有 关的各项放到方程的右侧，各阶导数项 按降幂排列。
二、非线性微分方程的线性化
1、线性化问题的提出 • 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，
阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合 系统由于间隙的存在导致的非线性传输 特性；具有铁芯的电感，电流与电压的 非线性关系等。 • 线性化：在一定条件下作某种近似或缩 小系统工作范围，将非线性微分方程近 似为线性微分方程进行处理。
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K

df ( x) dx
x

x0
• 上式即为非线性系统的线性化模型，称 为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态 方程；
• 增量方程的数学含义就是将参考坐标的 原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研 究系统运动的起始点，这时，系统所有 的初始条件均为零。
• 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样 可采用泰勒级数展开获得线性化的增量 方程。