线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器
FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同， 对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而 FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。
[ e j(k )d
2
2
e
1
j (k
)d]
sin[2 (k )] sin[1(k )] (k )
可见，带通滤波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1)
习题1：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带 通滤波器：wpl=0.4 π, wph=0.6 π, wsl=0.2π, wsh=0.8π, Apl=1dB, Aph=1dB, Asl=60dB , Ash=60dB 。选择一个合适的窗函数，确定单位冲 激响应. (ex4_bandpass.m)
3、线性相位FIR带阻滤波器的设计 理想带阻的频率响应为：
e j
H
d
(e
j
)
0
0 | | 1,2 | | 其他,,(其中 N-1)
2
其单位抽样响应为：
hd
(k)Biblioteka 122[ e j(k )d
1
e j (k )d
1
e j(k )d]
2
sin[ (k )] sin[1(k )] sin[2 (k )] (k )
从(a)→(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。
（N=51， =0.8π）
图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最 窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克 曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过 渡带最宽，约为矩形窗的三倍。
fir滤波器的原理
fir滤波器的原理fir滤波器是数字信号处理中常用的一种滤波器，它的作用是对输入的数字信号进行滤波处理，以实现特定的信号处理效果。
fir滤波器的原理基于线性滤波理论，它可以通过一组有限长的数字滤波器系数来实现滤波操作。
fir滤波器的主要特点是具有线性相位和有限脉冲响应，因此在数字信号处理中得到广泛的应用。
fir滤波器的原理基于卷积运算，它通过将输入信号与滤波器系数进行卷积运算，得到输出信号。
滤波器系数是fir滤波器设计的关键，它的不同设置可以实现不同的滤波效果。
fir滤波器的系数通常是通过一定的设计方法得到的，例如窗函数法、最小二乘法等。
fir滤波器的设计方法主要包括两种：一种是频域设计方法，另一种是时域设计方法。
频域设计方法是通过对滤波器在频域上的特性进行设计，例如设计滤波器的通带和阻带的频率范围、通带和阻带的衰减等参数，以得到一组合适的滤波器系数。
时域设计方法是通过对滤波器在时域上的特性进行设计，例如设计滤波器的脉冲响应、群延迟等参数，以得到一组合适的滤波器系数。
fir滤波器的应用非常广泛，它可以用于数字信号处理中的滤波、降噪、去混叠等方面。
fir滤波器在音频处理、图像处理、通信系统等领域都有着重要的应用。
在音频处理中，fir滤波器可以用于音频信号的均衡和滤波处理。
在图像处理中，fir滤波器可以用于图像的去噪和增强处理。
在通信系统中，fir滤波器可以用于数字调制和解调、信道均衡等方面。
fir滤波器作为数字信号处理中的一种重要滤波器，其原理基于线性滤波理论，可以通过一组有限长的数字滤波器系数来实现滤波操作。
fir滤波器的设计方法有时域设计和频域设计两种，滤波器系数的不同设置可以实现不同的滤波效果。
fir滤波器在音频处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
线性相位FIR滤波器的特点
特点：对FIR系统而言，冲激响应就是系统函数旳系数
5.1 线性相位FIR滤波器旳特点
学习三个内容 ①什么是线性相位 ②满足什么样条件旳数字滤波器才是线性相位FIR ③怎样设计一种线性相位FIR，需满足哪些约束条件
线性相位条件
线性相位FIR DF 旳特征 幅度特征
零点特征
§ 5.1.1 FIR数字滤波器线性相位旳条件
e jn e j N 1n
h
N
1 e
j
N 1 2
n0
2
H (e j )
e
j
N 1 2
N 3 2
h
n0
n
j n N 1
(e 2
j n N 1
e 2 )
h
N 2
1
e
j
N 1 2
N 3
2 n0
2hn
cos
n
N 2
1
h
N 2
1
H e j ＝H ()e()
FIR滤波器在确保幅度特征满足技术要求旳同步，很 轻易做到有严格旳线性相位特征
设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数
H(z)为：
N 1
H (z) h(n)z n
n0
H(z)是z-1旳N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，
原点z=0是N-1阶重极点。所以，H(z)永远稳定。
稳定和线性相位特征是FIR滤波器突出旳优点
, N 1 2
N 1/ 2
则 H a(n) cos n n0
因为 cos n关于 0, ,2 呈偶对称，所以 H 对
这些频率也呈偶对称
( N 1) 2
H1( ) a(n) cos(n )
第6章FIR滤波器
I0[] is the modified zero-order Bessel function
0
clear all; N=50; w1=kaiser(N); [h,w1]=freqz(w1/sum(w1),1); plot(w1/pi,20*log10(abs(h))); grid on;
-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80
clear all; M=40; W=boxcar(M); subplot(2,3,1),plot(W); W=triang(M); subplot(2,3,2),plot(W); W=hanning(M); subplot(2,3,3),plot(W); W=hamming(M); subplot(2,3,4),plot(W); W=blackman(M); subplot(2,3,5),plot(W); beta=2; W=kaiser(M,beta); subplot(2,3,6),plot(W);
d d
这种操作称为“加窗”。h(n)可看作是 hd (n) 和 w(n) 的乘积 h(n) = hd (n)w(n)
其中 根据 w(n) 的不同定义，可得到不同的窗函数。 本例中，窗口被称为“矩形窗”
矩形窗口函数
• 这是最简单的窗口函数。其表达式如下：
1, 0 ≤ n ≤ M − 1 w(n) = otherwise 0, sin ( wM ) − jw M2−1 sin ( wM ) jw 2 2 W (e ) = e ⇒ Wr ( w) = w w sin ( 2 ) sin ( 2 ) H r ( w) ≈ 1 2π
clear all; N=50; w1=blackman(N);plot(w1); [h,w1]=freqz(w1/sum(w1),1); figure; plot(w1/pi,20*log10(abs(h))); grid on;
05_01(第19讲)第5章FIR滤波器线性相位
nω
⎨
n =1
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n ⎟⎞ ⎠
数字信号处理 V. 2013 第5章
⎧
N −1
⎪ ⎪
H
(ω
)=
2
∑
c ( n ) sin
nω
⎨
n =1
0
π
2π
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h ⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n
⎟⎞ ⎠
由于 sinnω对ω = 0,π,2π 点呈奇对称，所以 H (ω )
器，如高通、带阻滤波器。
数字信号处理 V. 2013 第5章
b(n) = 2h⎜⎛ N −1+ n ⎟⎞
⎝2
⎠
∑ H
(ω
)
=
N /2 n =1
b(n)
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
1 2
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
数字信号处理 V. 2013 第5章
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
N −3
n=0
cos ⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ H
(ω
)
=
N / 2−1
2h(n)
n=0
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ 令 n = N −1+ m ，则
2
− N +1
H (ω) =
2 m=0
2h
FIR滤波器的设计说明
WR
( )
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改
变WR( 的绝对值大小和起伏的密度。
肩峰值的大小决定了滤 波器通带内的平稳程度 和阻带内的衰减，所以 对滤波器的性能有很大 的影响。
c
0. 0895 1
一、FIR数字滤波器的线性相位特性
H (e j )线性相位是指 ()是的线性函数
第一类线性相位
()
第二类线性相位
d () d
可以证明，线性相位FIR滤波器的单位脉冲 响应应满足下面条件：
h(n)为实序列，且满足 h(n) h(N 1 n)，N为 长度，即，h(n)关于 N 1 偶对称或奇对称。
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n)
N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为奇数
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
Io
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数； β可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。
0 n N 1
β越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。 一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明；β=8.5 接近布莱克曼 β=0 为矩形
第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻。
第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。
fir滤波器原理
fir滤波器原理
滤波器是一种用于改变信号频率内容的电子或数字设备。
FIR 滤波器是一种常见的数字滤波器，其工作原理基于离散时间信号的有限脉冲响应（Finite Impulse Response，简称FIR）。
FIR滤波器的工作原理如下：首先，输入信号通过FIR滤波器的输入端，经过一系列的延迟操作。
延迟操作将信号的各个采样值按照规定的时间间隔向后移动，形成了一系列的延迟输入信号。
接下来，这些延迟输入信号与滤波器的一组系数相乘，得到一组乘积。
这些乘积值随后被相加，形成最终的输出信号。
这一过程称为卷积操作，其结果是通过不同延迟输入信号与滤波器系数的加权和获得的输出信号。
FIR滤波器的特点是具有线性相位响应和稳定性。
线性相位响应意味着FIR滤波器对不同频率的信号都能够实现同样的延迟，从而不会导致信号的相位失真。
稳定性指的是滤波器在任何输入情况下都能够产生有限的输出，而不会出现无界的振荡或爆炸。
FIR滤波器的设计方法可以通过指定所需的频率响应来实现。
常见的设计方法包括窗函数法、最佳线性逼近法等。
窗函数法通过选择适当的窗函数和截断长度，来实现对滤波器频率响应的控制。
最佳线性逼近法则通过最小化实际输出与所需输出之间的误差来设计滤波器。
总之，FIR滤波器通过延迟、加权和卷积等操作，对输入信号进行滤波处理，达到改变其频率内容的目的。
这种滤波器具有线性相位响应和稳定性，并可以通过不同设计方法来实现所需的频率响应。
详解FIR滤波器和IIR滤波器的区别
详解FIR滤波器和IIR滤波器的区别数字滤波器广泛应用于硬件电路设计，在离散系统中尤为常见，一般可以分为FIR滤波器和IIR滤波器，那么他们有什么区别和联系呢。
FIR滤波器定义：FIR滤波器是有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。
特点：●FIR滤波器的最主要的特点是没有反馈回路，稳定性强，故不存在不稳定的问题；●FIR具有严格的线性相位，幅度特性随意设置的同时，保证精确的线性相位；●FIR设计方式是线性的，硬件容易实现；●FIR相对IIR滤波器而言，相同性能指标时，阶次较高，对CPU的性能要去较高。
图1 FIR滤波原理图IIR滤波器定义：IIR滤波器是无限脉冲响应滤波器，又称递归型滤波器，即结构上带有反馈环路。
特点：●IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式，具有反馈回路；●IIR数字滤波器的相位非线性，相位特性不好控制，随截止频率变化而变化，对相位要求较高时，需加相位校准网络；●IIR滤波器有历史的输出参与反馈，同FIR相比在相同阶数时取得更好的滤波效果；●IIR数字滤波器采用递归型结构，由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
图2 IIR基础原理图区别●稳定性：由于FIR滤波器没有反馈回路，稳定性要强于IIR；●相位特性：FIR 为线性相位延迟，IIR 为非线性相位延迟。
如下图所示为10Hz的方波信号，采样率为1KHz图3 方波信号FIR滤波器后，滤波后效果图下图所示图4 FIR滤波效果图IIR滤波器后，滤波后效果图下图所示图5 IIR滤波效果图通过对比不难发现，IIR滤波器存在非线性相位延迟，校正时需要双向滤波进行校正，复杂不易控制；FIR滤波器为线性延迟，可通过左右平移的方式直接校正，误差小。
信号处理速度：FIR的滤波输出取决于当前输入数据和历史输入数据，IIR的滤波输出取决于当前输入数据、历史输入数据和历史输出数据。
线性相位FIR滤波器的特点
是常数
H(e jω ) = ∑h(n)e jωn = ± H(e jω ) e jθ (ω) = ± H(e jω ) e jωτ
n=0
N 1
第一类线性相位： 第一类线性相位： θ (ω) = τω
n=0 N1
n=0 N N1
N1 n=0
n=0 N1
n=0
∑h( n) sin (τ n)ω = 0
n=0
N1
τω的充要条件： 第一类线性相位 θ (ω) = 的充要条件：
h(n) = h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1
N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 τ = 的偶对称中心 2
1 i ( N 1)
H(zi ) = 0
2）h(n)为实数，则零点共轭成对 ） 为实数， 为实数
即 zi*, 1/ zi* 也是零点
线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对。 即共轭成对且镜像成对。
jθ 1） zi = re i ） i
ri ≠1 θi ≠ 0或 π
re i
jθi
N /2
1 ω = π 时 cos ω n = 0 2
则 H(π ) = 0 ∴z = 1是零点
H(ω)对ω = 0, 2π呈偶对称 H(ω)对ω = π呈奇对称
z = 1 为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器 故不能设计成高通、
3）h(n)奇对称，N为奇数 ） 奇对称， 为奇数 奇对称 幅度函数： 幅度函数：
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
第6章FIR数字滤波器的设计
表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性 类型 h(n) h(n)=h(N-1-n) N为奇数 h(n)=h(N-1-n) N为偶数
H ( )
( )
1型
关于 0, ,2 偶对称
( )
2型
关于 0,2 偶对称 关于 奇对称
N 1 2
第一类线性相位
H()
1 H ( ) d ( n) sin ( n ) 2 n 1 o N N 其中：d ( n) 2h( n) n 1,2,3, , 2 2 由此看出：
N /2
2
1 （）由于sin ( n ) 在 0，处为0， 1 2 2 即H ( )在 0,2处为零。即H ( z )在z 1处有一零点。 H ( )对 0，处呈奇对称，对 呈偶对称。 2 （2 ）此类型不能用于设计 低通、带阻滤波器。
0
N 1 2
N 1 π
N/2 1 H () b(n) cos n 2 n1
N-1 n H() o
2
2型
情 况 2
b(n)
0
N 2
n
19
奇对称单位冲激响应
相位响应
h(n)=-h( N-1-n)
3型
情 况 3
7
H (e j ) sin 4e j 3 | sin 4 | e j ( )
1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
1 0.5 0
-1
-2
-0.5 -1
-3
滤波器的线性相位和非线性相位设计方法
滤波器的线性相位和非线性相位设计方法滤波器是一种常用的信号处理器件，它可以通过选择特定频率范围内的信号，对信号进行滤波和处理。
滤波器的设计涉及到很多方面，其中一个重要的考虑因素是相位特性。
本文将介绍滤波器的线性相位和非线性相位设计方法。
一、线性相位设计方法线性相位滤波器是指滤波器的相位响应与频率成线性关系。
线性相位滤波器一般使用FIR (Finite Impulse Response) 滤波器来实现，其特点是具有稳定的相移特性，适用于实时信号处理应用。
线性相位滤波器的设计方法有两种常用的方式：窗函数法和最小相位反演法。
1.1 窗函数法窗函数法是一种常用的设计线性相位滤波器的方法。
该方法的基本思想是将滤波器的频率响应与理想滤波器的频率响应进行近似拟合。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、黑曼窗等。
在窗函数法中，首先确定滤波器所需的通带、阻带和过渡带的频率范围，然后选择合适的窗函数进行设计。
通过对窗函数进行傅立叶变换，可以得到滤波器的冲激响应。
最后，通过将冲激响应作为滤波器的系数，即可实现线性相位的滤波器设计。
1.2 最小相位反演法最小相位反演法是另一种常用的设计线性相位滤波器的方法。
该方法的基本原理是通过对滤波器的幅度响应进行傅立叶变换，并计算其对数幅度谱，然后将对数幅度谱反变换得到滤波器的冲激响应。
最小相位反演法的优点是可以设计出更短的线性相位滤波器，适用于信号处理时延较为严格的应用场景。
然而，该方法的计算复杂度较高，需要进行频域的计算和反变换，因此在实际应用中需要根据具体情况进行权衡和选择。
二、非线性相位设计方法非线性相位滤波器是指滤波器的相位响应与频率不成线性关系。
非线性相位滤波器常用于对信号的组成部分进行时间或相位延迟的处理。
非线性相位滤波器的设计方法有FIR型和IIR型两种。
2.1 FIR型非线性相位滤波器FIR型非线性相位滤波器是通过设计多通的滤波器来实现的。
其基本思想是在滤波器的频域响应上引入不同频率的群延迟，从而实现非线性相位特性。
FIR滤波器的设计及特点讲解学习
加窗得到设计结果
.低通滤波器设计——汉明窗 • wp=0.2*pi; • ws=0.3*pi; • N=67; • n=0:N-1; • wc=(wp+ws)/2; • a=(N-1)/2; • hd=sin(wc*(n-a+eps))./(pi*(n-a+eps)); • [H0,w0]=freqz(hd,[1],1000,'whole'); • H0=(H0(1:1:501)); • w0=(w0(1:1:501)); • mag0=abs(H0); • db0=20*log10((mag0+eps)/max(mag0));
B、实际低通滤波器 单位脉冲响应h(n)是有限时宽的，是因果的，可以实现的
h(n)hd(n)R N(n)
hd(n)
h(n)
实际低通滤波器的幅频特性
p : 通带边界频率
边
s : 阻带截止频率
界 频
c : 3 d B 截止频率
率
p : 通带最大衰减
s : 阻带最小衰减
缓冲带越窄就越接近理想低通滤波器
Z
1
1
，Z
1
，(Z11)
都是其零点
二、理想低通滤波器和实际低通滤波器的特点
1、低通滤波器的特点 （1）容许低于截止频率的信号通过， 滤除高于截止频 率的信号。 （2）通频带中心位于2π的整数倍。
（2）理想低通滤波器和实际低通滤波器
A、想低通滤波器 单位脉冲响应hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，无法 实现的
Hg(w)关于0，2π奇对称，π 偶对称
不能设计低通、高通、带阻滤 可设计高通、带通滤波器，不
波器，只能设计带通。
能设计低通，带阻滤波器。
FIR滤波器与IIR滤波器的区别与特点
FIR 滤波器与IIR 滤波器的区别与特点FIR 和IIR 滤波器的一个主要区别：FIR 是线性相位，IIR 为非线性相位（双线性变换法），对于非线性相位会造成的影响，可以这样考虑：对于输入的不同频率分量，造成的相位差与频率不成正比，则输出时不同频率分量的叠加的相位情况和输入时有变化，得到的通带信号产生失真。
iir 滤波器有以下几个特点：​​1 iir 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。
​​2 iir 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。
iir 滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。
由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
​​3 iir 数字滤波器在计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。
在设计一个iir 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。
​​4 iir 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。
在matlab 下设计iir 滤波器可使用buttterworth 函数设计出巴特沃斯滤波器，使用cheby1 函数设计出契比雪夫i 型滤波器，使用cheby2 设计出契比雪夫II 型滤波器，使用ellipord 函数设计出椭圆滤波器。
与fir 滤波器的设计不同，iir 滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻带衰减等），由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。
线性相位FIR滤波器频率响应的特点hn
N 2 1 N 1
2
h(n)
c
sin c (n N21)
c
(n
N 1) 2
0,
,
0 n N 1 otherwise
窗函数截断的影响
Hd (e j ) W (e j )
h(n) hd (n) w(n)
H
图例
对于第二类线性相位
()
(2)
h(n) h(N 1 n)
图例
线性相位FIR： 1、h(n)是实数 2、h(n)=±h(N-1-n)
三、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
h(n)=±h(N-1-n)
N 1
N 1
H (z) h(n)zn [h(N 1 n)]zn
去逼近Hd(ejω) 逼近方法有三种：
窗函数设计法(时域逼近)
频率抽样设计法(频域逼近)
最优化设计法(等波纹逼近)
窗函数设计法就是使所要设计的滤波器的单位冲激响
应h(n)逼近理想滤波器的单位冲激响应hd(n)
一般来说，理想频率响应Hd(ejω)是分段恒定的，在边 界频率处有突变点，所以，得到的理想单位冲激响应 hd(n)往往是无限长非因果序列。
但FIR的h(n)是因果有限长的
怎样用一个有限长的h(n)去近似无限长的hd(n) ?
最简单的办法是直接截取一段hd(n)得到h(n)
截取可以想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段
hd(n)，因此，h(n)可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘
积
h(n) w(n) hd (n)
在这里窗函数就是矩形函数RN(n)，以后还会看到， 为了改善所设计滤波器的性能，窗函数还可以有其它 形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。
线性相位FIR数字滤波器的基本特性
数字信号处理简明教程
8
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
什么是线性相位
线性相位是指θ (ω )是ω的线性函数，产生的相移是一常数，
即：
线性相位
（举例： 理想延迟系统）
广义线性相位
数字信号处理简明教程
h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列，即：h(n) = h(N1n)
数字信号处理简明教程
13
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
（2）广义线性相位与奇对称
H e ( ) N 1
H e j h n e jn
数字信号处理简明教程
2
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
6.1.1 滤波器的基本 类型与指标
数字信号处理简明教程
3
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
合并同类项
数字信号处理简明教程
24
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
偶对称情况：
h(n) = h(N1n)
（讨论N分别为奇数和偶数时的幅频函数）
数字信号处理简明教程
25
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986
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由 h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z)h (n )z n h (N 1 n )z n
n 0
n 0
令 mN1nN1h(m)z(N1m) m0
N1
z(N1) h(m)zm
m0
z(N1)H(z1)
6
由 H z z (N 1 )H (z 1 )
第一节 线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应：
h (n ) 0 nN 1
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
1
1、线性相位条件
h(n)为实序列时，其频率响应：
N1
H(ej) h(n)ejn H()ej() H(ej)ej()
其中：
b(n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
16
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
其中：
b(n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
17
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
时 c o s n 1 2 0 则 H ( ) 0 z 1 是 零 点
c(n)2hN21n
n0
线性相位是指 是 的线性函数
即群延时 d () 是常数 d
第一类线性相位：()
第二类线性相位：()0
2
N1
H(ej) h(n)ejn H(ej)ej() H(ej)ej
n0
第一类线性相位： ()
N 1
H (ej)co s hnco sn
n 0
N 1
H (ej)sin hnsinn
H ( ) 对 0 ,,2 呈 偶 对 称 14
2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n
N1
n202h(n)cosN21n
15
N1
H()n 202h(n)cosN21n
令
N 2
n
m
N
m212hN 2mcosm12
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
2
z z N21n
N21n
2
ejx ejx
zej
cosN21n jsinN21n
"" ""
cosx
2
H(ej)H(z)zej
ejejN jN 221 1N nN n 01 01hh((nn))csoisnN N2211nn ""8
" "
1）h(n)偶对称 h (n ) h (N 1 n )
ejN 2 1 j 2N n 0 1h(n)sin N 2 1n
相位函数：
()N1
22
为第二类线性相位
N 1 2
0数
幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n
Q c o s N 2 1 (N 1 n ) c o s n N 2 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 N 1 2
N1
hnsinn0
n0
4
第二类线性相位 ()0的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 /2
5
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
H () 对 0 ,2 呈 偶 对 称 H () 对 呈 奇 对 称
z1 为 零 点 故不能设计成高通、带阻滤波器 18
3）h(n)奇对称，N为奇数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)sinN 2 1n
Q s in N 2 1 (N 1 n ) s in n N 2 1
频率响应：
H ( e j ) H ( z )z e j e jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) c o s N 2 1 n
相位函数：
()N1
2 为第一类线性相位
N 1
2
9
2）h(n)奇对称 h (n ) h (N 1 n )
频率响应：
H ( e j ) H ( z )z e j je jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) s in N 2 1 n
cosN21n
co s N 2 1n 对 N 2 1呈 偶 对 称
11
N -3
H ()h N 2 1 n2 02h(n)co s N 2 1n
令N21nmhN2 1N m 2 1 12hN2 1m cos(m )
N1 2
H()a(n)cos(n) n0
得 H (z) 1 2 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
1 2N n 0 1h(n)znz(N1)N n 0 1h(n)zn
1 2N n 01h(n)znz(N1)zn
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n 2
7
Hz
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n
n 1,..., N 1 2
12
N1
2
H()a(n)cos(n)
n0
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n
n 1,..., N 1 2
13
N1 2
H()a(n)cos(n)
n0
Q c o s ( n ) 对 0 ,， 2 呈 偶 对 称
n 0
N1
tgcsions
hnsinn
n0 N1
hncosn
N 1
n0 N 1
h n s in c o s n h n c o s s in n 0
n 0
n 0
N1
hnsinn0
3
n0
第一类线性相位 ()的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
sinN21n
sin N 2 1n 对 N 2 1呈 奇 对 称 19
h (n )奇 对 称 且 N 为 奇 数 h N 2 1 0
N-3
H()n2 02h(n)sinN21n
令N1nm 2
N1
m212hN21msin(m)
N1
2
H()c(n)sin(n)
n1
其中：