大一文科高数试题
大一上高数考试题库
《高数》试卷 1 （上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分） .1 ．下列各组函数中，是相同的函数的是（） .（ A ）（ B ）和（ C ）和（ D ）和 12 ．函数在处连续，则（） .（ A ） 0 （ B ）（ C ） 1 （ D ） 23 ．曲线的平行于直线的切线方程为（） .（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）4 ．设函数，则函数在点处（） .（ A ）连续且可导（ B ）连续且可微（ C ）连续不可导（ D ）不连续不可微5 ．点是函数的（） .（ A ）驻点但非极值点（ B ）拐点（ C ）驻点且是拐点（ D ）驻点且是极值点6 ．曲线的渐近线情况是（） .（ A ）只有水平渐近线（ B ）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（ D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7 ．的结果是（） .（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）8 ．的结果是（） .（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）9 ．下列定积分为零的是（） .（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）10 ．设为连续函数，则等于（） .（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）二．填空题（每题 4 分，共 20 分）1 ．设函数在处连续，则.2 ．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则.3 ．的垂直渐近线有条 .4 ．.5 ．.三．计算（每小题 5 分，共 30 分）1 ．求极限①②2 ．求曲线所确定的隐函数的导数.3 ．求不定积分①②③四．应用题（每题 10 分，共 20 分）1．作出函数的图像 .2 ．求曲线和直线所围图形的面积 .《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1 ． B2 ． B3 ． A4 ． C5 ． D6 ． C7 ． D8 ． A9 ． A 10 ． C 二．填空题1 ．2 ．３．２４．５．２三．计算题１①② 2.3. ①②③四．应用题１．略２．《高数》试卷 2 （上）一 . 选择题 ( 将答案代号填入括号内 , 每题 3 分 , 共 30 分 )1. 下列各组函数中 , 是相同函数的是 ( ).(A) 和 (B) 和(C) 和 (D) 和2. 设函数，则（） .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3. 设函数在点处可导，且>0, 曲线则在点处的切线的倾斜角为 { }.(A) 0 (B) (C) 锐角 (D) 钝角4. 曲线上某点的切线平行于直线, 则该点坐标是 ( ).(A) (B) (C) (D)5. 函数及图象在内是 ( ).(A) 单调减少且是凸的 (B) 单调增加且是凸的 (C) 单调减少且是凹的 (D) 单调增加且是凹的6. 以下结论正确的是 ( ).(A) 若为函数的驻点 , 则必为函数的极值点 .(B) 函数导数不存在的点 , 一定不是函数的极值点 .(C) 若函数在处取得极值 , 且存在 , 则必有=0.(D) 若函数在处连续 , 则一定存在 .7. 设函数的一个原函数为, 则=( ).(A) (B) (C) (D)8. 若, 则( ).(A) (B) (C) (D)9. 设为连续函数 , 则=( ).(A) (B) (C) (D)10. 定积分在几何上的表示 ( ).(A) 线段长(B) 线段长(C) 矩形面积(D) 矩形面积二 . 填空题 ( 每题 4 分 , 共 20 分 )1. 设, 在连续 , 则=________.2. 设, 则_________________ .3. 函数的水平和垂直渐近线共有 _______ 条 .4. 不定积分______________________.5. 定积分___________.三 . 计算题 ( 每小题 5 分 , 共 30 分 )1. 求下列极限 :①②2. 求由方程所确定的隐函数的导数.3. 求下列不定积分 :①②③四 . 应用题 ( 每题 10 分 , 共 20 分 )1. 作出函数的图象 .( 要求列出表格 )2. 计算由两条抛物线：所围成的图形的面积 .《高数》试卷 2 参考答案一 . 选择题： CDCDB CADDD二填空题： 1. － 2 2. 3.3 4. 5.三 . 计算题： 1. ①② 1 2.3. ①②③四 . 应用题： 1. 略 2.《高数》试卷 3 （上）一、填空题 ( 每小题 3 分 , 共 24 分 )1. 函数的定义域为 ________________________.2. 设函数, 则当 a =_________ 时 , 在处连续 .3. 函数的无穷型间断点为 ________________.4. 设可导 , , 则5.6. =______________.7.8. 是 _______ 阶微分方程 .二、求下列极限 ( 每小题 5 分 , 共 15 分 )1. ;2. ;3.三、求下列导数或微分 ( 每小题 5 分 , 共 15 分 )1. , 求.2. , 求.3. 设, 求.四、求下列积分 ( 每小题 5 分 , 共 15 分 )1. .2. .3.五、 (8 分 ) 求曲线在处的切线与法线方程 .六、 (8 分 ) 求由曲线直线和所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分 ) 求微分方程的通解 .八、 (7 分 ) 求微分方程满足初始条件的特解 .《高数》试卷 3 参考答案一． 1 ． 2. 3. 4.5. 6.0 7. 8. 二阶二 .1. 原式 =2.3. 原式 =三 .1.2.3. 两边对 x 求写：四 .1. 原式 =2. 原式 ===3. 原式 =五 .切线：法线：六 .七 . 特征方程 :八 .由《高数》试卷 4 （上）一、选择题（每小题 3 分）1 、函数的定义域是（） .A B C D2 、极限的值是（） .A 、B 、C 、D 、不存在3 、（） .A 、B 、C 、D 、4 、曲线在点处的切线方程是（）A 、B 、C 、D 、5 、下列各微分式正确的是（） .A 、B 、C 、D 、6 、设，则（） .A 、B 、C 、D 、7 、（） .A 、B 、C 、D 、8 、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（） .A 、B 、C 、D 、9 、（） .A 、B 、C 、D 、10 、微分方程的一个特解为（） .A 、B 、C 、D 、二、填空题（每小题 4 分）1 、设函数，则；2 、如果, 则 .3 、；4 、微分方程的通解是 .5 、函数在区间上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1 、求极限；2 、求的导数；3 、求函数的微分；4 、求不定积分；5 、求定积分；6 、解方程；四、应用题（每小题 10 分）1、求抛物线与所围成的平面图形的面积 .2、利用导数作出函数的图象 .参考答案一、 1 、 C ； 2 、 D ； 3 、 C ； 4 、 B ； 5 、 C ； 6 、 B ； 7 、 B ； 8 、A ； 9 、 A ； 10 、 D ；二、 1 、； 2 、； 3 、； 4 、； 5 、 8 ， 0三、 1 、 1 ； 2 、； 3 、； 4 、； 5 、； 6 、；四、 1 、；2 、图略《高数》试卷 5 （上）一、选择题（每小题 3 分）1 、函数的定义域是（） .A 、B 、C 、D 、2 、下列各式中，极限存在的是（） .A 、B 、C 、D 、3 、（） .A 、B 、C 、D 、4 、曲线的平行于直线的切线方程是（） .A 、B 、C 、D 、5 、已知，则（） .A 、B 、C 、D 、6 、下列等式成立的是（） .A 、B 、C 、D 、7 、计算的结果中正确的是（） .A 、B 、C 、D 、8 、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（） .A 、B 、C 、D 、9 、设﹥，则（） .A 、B 、C 、 0D 、10 、方程（）是一阶线性微分方程 .A 、B 、C 、D 、二、填空题（每小题 4 分）1 、设，则有，；2 、设，则；3 、函数在区间的最大值是，最小值是；4 、；5 、微分方程的通解是 .三、计算题（每小题 5 分）1 、求极限；2 、求的导数；3 、求函数的微分；4 、求不定积分；5 、求定积分；6 、求方程满足初始条件的特解 .四、应用题（每小题 10 分）1 、求由曲线和直线所围成的平面图形的面积 .2 、利用导数作出函数的图象 .参考答案（ B 卷）一、 1 、 B ； 2 、 A ； 3 、 D ； 4 、 C ； 5 、 B ； 6 、 C ； 7 、 D ； 8 、A ； 9 、 D ； 10 、 B.二、 1 、，； 2 、； 3 、，； 4 、； 5 、.三、 1 、； 2 、； 3 、；4 、；5 、；6 、；• 1 、； 2 、图略。
大学文科高数试题及答案
大学文科高数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 假设函数f(x)在点x=a处可导，那么下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处可能不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 1B. 0C. 2D. 不存在答案：A3. 以下哪个选项是微分方程的解：A. y = e^x + CB. y = e^(-x) + CC. y = x^2 + CD. y = sin(x) + C答案：A4. 函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. 2答案：C5. 积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 以下哪个函数是偶函数：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|答案：B7. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2的原函数：A. x^3B. 2xC. x^3/3D. x^2/2答案：C8. 如果函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则：A. f(x)在区间(a,b)上一定连续B. f(x)在区间(a,b)上可能不连续C. f(x)在区间(a,b)上一定存在最大值D. f(x)在区间(a,b)上一定存在最小值答案：B9. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的导数：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A10. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. e^x/x + CD. e^x * x + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数是________。
答案：32. 极限lim(x→∞)(1/x)的值是________。
答案：03. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是________。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大学文科高数试题及答案
文科高等数学一、填空题1、函数x x f -=51)(的定义域是（5,∞-）2、已知极限32lim 22=-+-→x k x x x ,则2-=k 。
3、曲线），在（211+=x y 处切线斜率是：21 4、设x xy 2=，则)1(ln 2'2+=x x y x 5、若⎰⎰+=-+=C x dx x f C x dx x f )1()(，则6、已知)(cos x f x 是的一个原函数，则⎰+-=C x x x dx x xf sin cos )(。
二、选择题1、设{}{}＝，则、、＝，、、M P M P /531321=（B ） A 、{}5 B 、{}2 C 、{}1 D 、{}3 2、在112+-∙=x x e e x y 其定义域（∞∞-，）内是（B ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、有界函数3、以下计算正确的是（D ）A 、)(22ex d dx xe x =B 、x d x dxsin 12=-C 、)1(2x d xdx -= D 、x dx x 3ln 21= 5、下列在指定区间是单调增函数的为（C ）A 、)1,1(,-=x yB 、),(,sin +∞-∞=x yC 、)0,(,2-∞-=x yD 、),0(,3+∞=-xy6、已知的值为处有极小值，则在a x x x ax x f 11)(023=---=（A ） A 、1 B 、31 C 、0 D 、31-7、设函数32cos 21cos )(π=-=x x x a x f 在点处取得极值，则=a （C ） A 、0 B 、21 C 、1 D 、2三、判断题1、若有极限在点可导，则在点00)()(x x f x x f （V ）2、极限d x e d bx xa =++∞→)1(lim （X ） 3、⎰+=C x f dx x f x xf )(21)(')(2222（X ） 4、已知.....718.2=e 是一个无理数，则⎰+=C x dx x e e （X ） 四、证明题 若⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin sin )(2x x x x x f 证明：处可导在0)(=x x f 证明：xx x x f x f x x 1sin sin lim )0()(lim 200→→=-＝01sin sin sin lim 0=∙→x x x x x 处可导在0)(=∴x x f五、解答题 解不定积分⎰dx xx x 3sin cos 由原式＝⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x xd x dx xx x x x 233sin 121)(sin sin sin cos ＝⎰+-dx xx x 22sin 121sin 2 ＝⎰+-xdx x x 22csc 21sin 2 ＝C x x x +--cot 21sin 22欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
《大一高等数学》试卷(十份)
《大一高等数学》试卷（十份）《高等数学试卷》一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,bD.a,b343.函数y2某2y21某y122的定义域是（）.某,y1某C.2222A.某,y1某y2B.某,y1某y22y2某,y1某2D2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab05.函数z某3y33某y的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设z某iny，则zy1,4＝（）.A.22B.C.2D.2221收敛，则（）.pnn17.若p级数A.p1B.p1C.p1D.p1某n8.幂级数的收敛域为（）.n1nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1某9.幂级数在收敛域内的和函数是（）.n02nA.1221B.C.D.1某2某1某2某10.微分方程某yylny0的通解为（）.A.yce某B.ye某C.yc某e某D.yec某二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zin某y的全微分是______________________________.2z3.设z某y3某y某y1，则_____________________________.某y3234.1的麦克劳林级数是___________________________.2某5.微分方程y4y4y0的通解为_________________________________.三.计算题（5分6）u1.设zeinv，而u某y,v某y，求zz,.某yzz,.某y2.已知隐函数zz某,y由方程某22y2z24某2z50确定，求3.计算inD某2y2d，其中D:2某2y242.4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.5.求微分方程y3ye2某在y四.应用题（10分2）某00条件下的特解.1.要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线yf某上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点1,，求此曲线方程.313试卷3参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2某y2z60.2.co某yyd某某dy.3.6某2y9y21.4.n01n某n.2n12某5.yC1C2某e三.计算题1..zze某yyin某yco某y，e某y某in某yco某y.某y2.z2某z2y,.某z1yz13.4.20dind62.2163R.33某5.yee2某.四.应用题1.长、宽、高均为32m时，用料最省.2.y12某.3《高数》试卷4（下）一.选择题（3分10）1.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为某2y2z10和某y50，则两平面的夹角为（A.6B.4C.3D.23.函数zarcin某2y2的定义域为（）.A.某,y0某2y21B.某,y0某2y21C.某,y0某2y22D.某,y0某2y224.点P1,2,1到平面某2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数z2某y3某22y2的极大值为（）.A.0B.1C.1D.126.设z某23某yy2，则z某1,2（）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数arn是收敛的，则（）.n0A.r1B.r1C.r1D.r18.幂级数n1某n的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数inna是（n1n4）..）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程某yylny0的通解为（）.A.yec某B.yce某C.ye某D.yc某e某二.填空题（4分5）某3t1.直线l过点A2,2,1且与直线yt平行，则直线l的方程为z12t__________________________.2.函数ze的全微分为___________________________.3.曲面某yz2某24y2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.4.1的麦克劳林级数是______________________.21某某15.微分方程某dy3yd某0在y三.计算题（5分6）1条件下的特解为______________________________.1.设ai2jk,b2j3k，求ab.2.设zuvuv，而u某coy,v某iny，求22zz,.某yzz,.某y3.已知隐函数zz某,y由某33某yz2确定，求2222224.如图，求球面某yz4a与圆柱面某y2a某（a0）所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y2y0的通解.四.应用题（10分2）1.试用二重积分计算由y某,y2某和某4所围图形的面积.2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律某某t.（提示：d某d2某t0v0）g.当时，有，某某02dtdt试卷4参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题1.某2y2z1.112某y2.eyd某某dy.3.8某8yz4.n2n1某.n04.5.y某.三.计算题1.8i3j2k.2.zz3某2inycoycoyiny,2某3inycoyinycoy某3in3yco3y某y.3.zyzz某z.,22某某yzy某yz3232a.3234.5.yC1e2某C2e某.四.应用题1.16.32.某12gtv0t某0.2《高数》试卷5（上）一、填空题(每小题3分,共24分)1.函数y19某2的定义域为________________________.in4某,某02.设函数f某某,则当a=_________时,f某在某0处连续.某0a,某213.函数f(某)2的无穷型间断点为________________.某3某2某4.设f(某)可导,yf(e),则y____________.某21_________________.5.lim2某2某某5某3in2某d某=______________.6.41某某211d某2tedt_______________________.7.d某08.yyy30是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分,共15分)某31e某11.lim;2.;lim23.lim1.某3某9某0in某某2某三、求下列导数或微分(每小题5分,共15分)某co某,求y(0).2.ye,求dy.某2dy3.设某ye某y,求.d某某1.y四、求下列积分(每小题5分,共15分)11.2in某d某.2.某ln(1某)d某.某3.10e2某d某某t五、(8分)求曲线在t处的切线与法线方程.2y1cot六、(8分)求由曲线y某21,直线y0,某0和某1所围成的平面图形的面积,以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程y6y13y0的通解.八、(7分)求微分方程yye某满足初始条件y10的特解.某《高数》试卷5参考答案某某一．1．(3,3)2.a43.某24.ef(e)1某25.6.07.2某e8.二阶21二.1.原式=lim某0某某2.lim11某3某36112某1)]2e23.原式=lim[(1某2某三.1.y2,(某2)2y(0)122.dyin某eco某d某3.两边对某求写：y某ye某y(1y)e某yy某yyy'某e某y某某y四.1.原式=ln某2co某C某某2122.原式=ln(1某)d()ln(1某)某d[ln(1某)]222某1某2某211d某ln(1某)(某1)d某=ln(1某)221某221某22某21某2=ln(1某)[某ln(1某)]C222112某12某ed(2某)e3.原式=022dydyint,五.d某d某2101(e21)2t1.且当t2时,某2,y1切线：y1某2,即某y120法线：y1(某),即某y121132S(某1)d某(某某)六.03102043V某2dy(y1)dy11221(y2y)22112r32i七.特征方程:八.yer26r130ye3某(C1co2某C2in2某)某d某1(e某e某d某1d某C)[(某1)e某C]由y某11某0,C0某1某e某y《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式2-3的值为（d）45A、10B、20C、24D、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b的向量积为（c）A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k3、点P（-1、-2、1）到平面某+2y-2z-5=0的距离为（c）A、2B、3C、4D、54、函数z=某iny在点（1，）处的两个偏导数分别为（a）4A、22222222,,B、,,C、D、22222222zz,分别为（）某yD、5、设某2+y2+z2=2R某，则A、某Ry某Ry某Ry,B、,C、,zzzzzz22某Ry,zz26、设圆心在原点，半径为R，面密度为某y的薄板的质量为（）（面积A=R）A、R2AB、2R2AC、3R2AD、n12RA2某n7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A、2B、1C、1D、328、co某的麦克劳林级数为（）2n2n某2n某2n1n某n某nA、(1)B、(1)C、(1)D、(1)(2n)!(2n)!(2n)!(2n1)!n0n1n0n0n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（）A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（）A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L1：某=y=z与直线L2：直线L3：某1y3z的夹角为___________。
大一高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上（）A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内（）A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续，且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L，则f(x)在x=a处（）A.可导，f'(a)=LB.可导，f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上一定大于0。
（）3.若函数f(x)在区间I上有极值点，则f'(x)在I上一定存在零点。
（）4.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定可积。
（）5.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上一定连续。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。
2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。
3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。
4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。
5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述导数的定义。
2.简述连续与可导的关系。
3.简述罗尔定理。
4.简述拉格朗日中值定理。
大一高数试题及答案
大一高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是：A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C5. 曲线y=e^x与直线y=ln x的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是________。
答案：-12. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是________。
答案：03. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的驻点是________。
答案：x=-3或x=14. 曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程是________。
答案：y=x-15. 曲线y=e^x与y=x^2的交点坐标是________。
答案：(0,1)和(1,e)三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) [(x^2+1)/(x-1)]。
答案：-12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=1，极小值f(1)=0；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
3. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。
答案：y=-x+1四、证明题（每题15分，共15分）证明：函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
答案：略五、应用题（每题15分，共15分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100，其中x为生产量（单位：千件）。
求该产品的成本最低时的生产量。
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大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数 的定义域为______________________。
22111arcsin xx y -+-= ２．函数上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
2e x y += ３．设ｆ（X ）在可导,且，则0x A (x)f'=hh x f h x f h )3()2(lim000--+→＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是____________。
５．_____________。
=-⎰dx xx41 ６．__________。
=∞→xx x 1sinlim ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
９．微分方程的阶数为____________。
22233)(3dx y d x dxy d + ∞ ∞１０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题。
(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） x x g xx f -==1)(,1)( ① ② ③ ④xx 11-x 11-x -11２．是 （ ）11sin +xx ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是 （ ）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有，则在0)(",0)('><x f x f （ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧５．设，则 （ ）)(')('x G x F = ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ④⎰⎰=dx x G dxddx x F dxd )()( 1 6.( )=⎰-dx x 11-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３ ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ） ①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线８．设，则f(tx,ty)yx y x y x y x f tan),(233++==（ ）① ②),(y x tf),(2y x f t ③ ④ ),(3y x f t ),(12y x tａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1 ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 （二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X ）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X ）在 X ＝Xo 可导的 （ ）①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ3 0１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数 ∑ ａn ｘn 在ｘo （ｘo ≠０）收敛， 则 ∑ ａn ｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn 有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ） D ｘ 1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）１．设求 ｙ’ 。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
《大一高等数学》试卷(十份)
《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =12．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）.（A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x⎛⎫-+⎪⎝⎭8．xxdx e e-+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x xe eC --+ （D ）ln()x xe eC -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx xππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe edx --+⎰（D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21x y x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dx x x =+⎰.5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ①21limxx x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭②()2sin 1limxx x x x e→--2．求方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高等数学》试卷（一）参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３． ２ ４．arctan ln x c + ５．２三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln ||x C +③()1xex C--++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =(B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x fx →=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且0)(0>'x f ， 则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x xe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a>⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yxey y '=-3.①3sec 3x c + ②)lnx c + ③()222xx x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21MM （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x yx y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x-11 B.x-22 C.x-12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤yx D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()nn n nx ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y exz xy+++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x eyz xy+++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x xz . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R .5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷4（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21MM （ ）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n nna 是（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.x ce y = C.x e y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242yx z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()yy xy y y y x yz y y y y x xz 3333223cossincos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,zxy xz yz zxy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xxeC e C y --+=221.四.应用题1.316.2. 00221x t v gtx ++-=.《高数》试卷5（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+-6. 321421sin 1x x dx x x -+-⎰=______________.7.2_______________________.x td e dt dx-=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2.; 233lim 9x x x →-- 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x y x =+, 求(0)y '. 2. cos xy e=, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求d y d x.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xe dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x ty t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程xy y ex '+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷5参考答案一．1．(3,3)- 2.4a= 3.2x = 4.()x xe f e '5.126.07.22xxe- 8.二阶二.1.原式=0lim1x x x →=2.311lim36x x →=+3.原式=112221lim[(1)]2xx ex--→∞+=三.1.221,(0)(2)2y y x ''==+2.c o s sin xdy xedx =-3.两边对x 求写：(1)x y y xy e y +''+=+'x yx yeyxy y y x ex xy++--⇒==--四.1.原式=ln 2cos x x C -+2.原式=2221ln(1)()ln(1)[ln(1)]222x xx d x x d x +=+-+⎰⎰=222111ln(1)ln(1)(1)221221x xxx dx x x dxxx+-=+--+++⎰⎰=221ln(1)[ln(1)]222xxx x x C +--+++3.原式=12212111(2)(1)222xxe d x ee ==-⎰五.2sin ,1.,,122t dy dy t t x y dxdxπππ======且当时切线：1,1022y x x y ππ-=--+-=即法线：1(),1022y x x y ππ-=--+--=即六.1231014(1)()33Sx dx x x =+=+=⎰22211221(1)11()22V x dy y dy y y ππππ==-=-=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]xx e C x=-+由10,0x yC ==⇒=1xx y ex-∴=《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ c ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ a ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、zy zR x --, B 、zy zR x ---, C 、zy zR x ,--D 、zy zR x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnnx的收敛半径为（ ）A 、2B 、21 C 、1 D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnB 、∑∞=-1)1(n n)!2(2n xnC 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnD 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n xn9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设x x xx x f .（A ）(0)2f （B ）(0)1f （C ）(0)f （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3xx x xxx .（A ）()()x x 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x 与是等价无穷小；（C ）()x 是比()x 高阶的无穷小；（D ）()x 是比()x 高阶的无穷小.3.若()()()02x F x t x f t dt，其中()f x 在区间上(1,1)二阶可导且()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x 处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x 处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x 处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()yF x 的拐点；（D ）函数()F x 在0x处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()yF x 的拐点。
4.)()(,)(2)()(10x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x（C ）1x （D ）2x.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.xx x sin20)31(l i m . 6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x xxxx x f d cos )(则.7.lim(coscoscos)22221n n nnnn.8.21212211arcsin －dxxxx .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数()y y x 由方程sin()1x yexy 确定，求()y x 以及(0)y .10..d )1(177x x x x求11.． 求，， 设132)(120)(dx x f xx xx xex f x12.设函数)(x f 连续，1()()g x f xt dt，且()limxf x Ax，A 为常数. 求()g x 并讨论()g x 在0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xyyx x 满足1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xx y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线xx 0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线x yln 的切线，该切线与曲线x yln 及x 轴围成平面图形 D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(x f 在0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]01q ，1()()qf x d xqf x dx.17.设函数)(x f 在,0上连续，且)(0xd x f ，0cos )(0dxx x f .证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21f f （提示：设xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.c x x 2)cos (21 .7.2. 8.3.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)c os ()()x yey xy xy ycos()()cos()xyx ye y xy y x ex xy 0,0xy，(0)1y10.解：767ux x dx du 1(1)112()7(1)71u duduu u uu 原式1(ln ||2ln |1|)7u u c7712ln ||ln |1|77x x C11.解：101233()2xf x dx xe dxxx dx0123()1(1)xxd e x dx0232cos(1sin )xxxeed x 令3214e12.解：由(0)0f ，知(0)0g 。
大一高数试题及答案
大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B，求交点的横坐标。
A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案：C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
答案：-16. 求不定积分∫(1/x) dx。
答案：ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
答案：e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
当x<1或x>11/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<11/3时，f'(x)<0，函数单调递减。
因此，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。
解：首先求导数y'=3x^2-6x，代入x=1得y'|_(x=1)=-3。
切线方程为y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3。
11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。
解：将二重积分转换为极坐标系下的形式，即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。
大一高数试题和答案及解析
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ）。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+(C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ，A 为常数。
文科高等数学试题及答案
文科高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^54. 曲线y = e^x在点(0,1)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. eD. e^25. 以下哪个级数是收敛的（）。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...6. 函数y = ln(x)的不定积分是（）。
A. x ln(x) + CB. x + CC. e^x + CD. 1/x + C7. 微分方程dy/dx = 2x的通解是（）。
A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x^3 + CD. y = 2x^3 + C8. 以下哪个矩阵是可逆的（）。
A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [2 3; 4 6]9. 以下哪个事件是必然事件（）。
A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，既不正面也不反面朝上10. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是_________。
12. 极限lim(x→∞) (x^2 - 1)/(x^2 + 1)的值是_________。
大一高数试题及答案
大一高数试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，下面哪个选项是其导函数？A. f'(x) = 2x + 3B. f'(x) = 2x + 6C. f'(x) = x^2 + 3x + 2D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 32. 已知函数 f(x) 连续，则 f(x) = 3x 的解集为：A. x ∈ RB. x = 3C. x = 0D. x = -33. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4，求其极值点。
A. (1, 6)B. (-1, -3)C. (0, 4)D. (2, 2)二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。
三、解答题1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。
答案解析：一、选择题1. A解析：由 f(x) = x^2 + 3x + 2，对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。
2. A解析：由 f(x) = 3x，函数 f(x) 直接写出，解集为整个实数集 R。
3. B解析：求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3，令 f'(x) = 0 解得 x = -1，代入原函数求得 y = -3，故极值点为 (-1, -3)。
二、计算题1. 首先，通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。
2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。
大学文科高等数学习题
一、极限1.根据极限定义证明：(1)0n 1lim 2n =∞→(2)11n n lim n =+∞→ (3)231n 21n 3lim n =-+∞→(4)11n n 5n n lim 22n =-++-∞→ (5)1n a n lim22n =+∞→(6))1a (1a lim n1n >=∞→2.根据极限定义证明：11n 1n u n →+-=. 问n 应从何值开始，使4n 10u 1-<-？3.设n2n cosu n π=，问=∞→n n u lim ？n 从何值开始，才能使n u 与其极限之差的绝对值小于正数ε？当001.0=ε时，n 应为何值？4.根据极限定义证明：(1)42x 4x lim4x =--→(2)53x 6x x lim 23x =---→ (3)63x 29x 4lim223x =--→ 5.证明：x xlim 0x →不存在.6.证明：当0x →时，2x 4-+与3x 9-+是同阶无穷小量.7.证明：1x 1-+～)0x (2x →.8.当1x →时，两无穷小x1x 1+-和x 1-中哪一个是高阶的？9.当1x →时，无穷小x 1-和下列无穷小是否同阶？是否等价？(1)3x 1-; (2))x 1(2-.10.设当0x →时，x cos 1-～2xsin a 2，求a 的值. 11.求极限：(1)232x )2x (2x lim ++-→(2)4x 5x 3x 2lim 21x +--→(3)1x x1x 3lim 21x -++-→(4)xxsin limx ∞→(5)x1sin x lim 0x →(6)xx arctan lim x ∞→ (7)xcos x 2xcos x lim x -+∞→12.求极限：(1)1x x 21x lim 22x ---∞→(2)3x 5x 1x lim 43x +--∞→(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1x 2x 1x 2x lim 223x (4)332x 1x 3x lim+-+∞→(5)1n 1n nn n 3232lim ++∞→++ (6)⎪⎭⎫⎝⎛-+++++∞→2n 2n n 321lim n Λ (7)n n n 31913112141211lim ++++++++∞→ΛΛ (8)())1n (21n 21lim n -+++-+++∞→ΛΛ (9)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅+⋅+⋅∞→)1n 2)(1n 2(1751531311lim n Λ (10)x x 1x 2x lim 321x -+-→ (11)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x 11x 13lim 31x (12))N n (1x 1x limn 1x +→∈-- (13)x 2x 3xx 2x 4lim 2230x ++-→ (14)4x 5x 8x 6x lim 224x +-+-→(15)x cot )x cos 1(lim 20x -→ (16)1x x1x 3lim21x -+--→ (17)220x x11x lim +-→(18)xx 1x 1lim0x --+→ (19)()x x x lim 2x -++∞→ (20)()x 1x x lim 2x -++∞→ (21)()1x 1x lim 22x --+∞→(22)()x x x xlim22x --++∞→(23)1x 1x lim31x --→(24)38x x 23x 1lim+---→ (25)1x 11x 1lim30x -+-+→*13.若0b ax 1x 1x lim 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→，求a ，b 的值.*14.求下列极限： (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222n )n 2(1)1n (1n 1lim Λ (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n 12n 11n 1lim 222n Λ (3)⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n 2n n 21n n 1lim 222n Λ*15.利用极限存在准则证明： (1)1n11lim n =+∞→ (2)1n n 12n 1n 1n lim 222n =⎪⎭⎫ ⎝⎛π+++π++π+∞→Λ*16.利用极限存在准则证明数列2 ，22+，222++，…的极限存在，并求出该极限.17.求下列极限：(1)xsin x 1sinx lim20x ⋅→(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛→3x sin x lim 22x(3)x 5sin x 2tan lim 0x → (4)x 3cot x lim 0x ⋅→(5)xsin x cos 1lim 20x -→(6)x 3x arcsin 2lim 0x →(7)x cos 1x lim 0x -+→ (8)n nn 2x sin 2lim ∞→(9)x sin xsin x tan lim30x -→ (10)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++∞→x 2sin 3x 55x 3lim 2x (11)x sin x1x 1lim 0x --+→ (12)xx x 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→(13)x20x )x 1(lim -→ (14)x21x )x 31(lim -→(15)xx x 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→(16)xx x 1x lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→(17)x 2x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (18)12xx x 21lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-(19)x2x 2x 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→ (20)xx 1x 1x lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→ (21)1x x a x a x lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+(22)1x x 1x 23x 2lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++ (23)x 22x 1x x lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ (24)xsec 32x )x cos 1(lim +π→(25)()x10x x sin 1lim +→(26)xcot 20x 2)x tan 31(lim +→ 18.已知4a x a x lim xx =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→，求常数a .*19.求下列极限：(1)503020x )1x 5()2x 3()3x 2(lim ++-∞→(2))x cos 1(x x cos 1lim0x --+→(3)333lim n Λ∞→(n 重根号) (4)()x3x x x x 532lim +++∞→(5)∑=∞→+++n1k n k211lim Λ (6)2x 3x 3x 663x lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+(7)ex 1x ln lim e x --→(8))0a (x 1a lim x 0x >-→ (9)x111x xlim -→ (10)π-π→+x 212x )x cos 1(lim二、连续函数20.设函数1t )t (3+=ϕ，求)t (2ϕ，[]2)t (ϕ.21.设x1x1)x (f +-=，求)x (f -，)x 1(f -，⎪⎭⎫⎝⎛x 1f .22.设1x x)x (f -=，求)1x (f -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-1x x f . 23.设⎪⎩⎪⎨⎧>=<=0x ,10x ,00x ,1)x (f ，求)1x (f ,)1x (f 2--. 24.设⎩⎨⎧>≤=1.x ,01x ,1)x (f ，求[])x (f f . 25.设⎩⎨⎧≤<≤≤=+ϕ2x 1,x 21x 0,x )1x (2，求)x (ϕ.26.设函数)y x (f y x z -++=，当0y =时，2x z =，求)x (f 及z .27.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=2x 1,21x 0,1)x (f ，求函数)3x (f +的定义域.28.设)x (f 为定义在)a ,a (-上的奇函数，且)x (f 在)a ,0[上单调减少. 试证明：)x (f 在]0,a (-上也单调减少.29.设函数)x (f 在),(+∞-∞内单调增加，且对一切x 有)x (g )x (f ≤. 证明：[][])x (g g )x (f f ≤.30.证明任一定义在区间)a ,a (-)0a (>上的函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.31.求下列各函数的定义域：(1)2x x 11y 2++-=(2)21x arcsin y -= (3)1x )x 3lg(y --=(4)4x x 5lgy 2-= (5)2x )x 1lg(1y ++-=(6)x sin x 16y 2+-=(7))x x 2ln(xx 1y 22-+-=32.求函数2x 1x2arccos y +=的定义域与值域.33.求下列函数的反函数：(1)122y x x+=(2)110101010y xxxx +-+=-- (3)1e 1e y x x +-=(4)5x 23y +=(5))2x lg(1y ++=(6)x411x411y +++-=34.已知x sin )x (f =，[]2x 1)x (f -=ϕ，求)x (ϕ及其定义域.35.设函数)x (f 的定义域为[]0,1-，求下列各函数的定义域：(1))x (f 3(2))x 2(sin f(3))a x (f )a x (f -++ )0a (> 36.设一矩形面积为A ，是将周长s 表示为宽x 的函数，并求其定义域.37.在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域.38.用铁皮做一个容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.39.拟建一个容积为V的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域.40.设生产与销售某产品的总效益R是产量x的二次函数，经统计得知：当产量0x=、2、4时，总效益0R=、6、8，试确定总效益R与产量x的函数关系.41.某商品供给量Q对价格p 的函数关系为pcba)p(QQ⋅+==今知当2p=时30Q=；3p=时50Q=；4p=时90Q=. 求供给量9Q=对价格p的函数关系.42.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.43.在区间2x0≤≤上有3克重的物质均匀分布着. 此外又有1克重的物质集中在3x=处. 设x 在),(∞+-∞内变化，试将区间)x,(-∞一段的质量M表为x的函数.44.求函数x21xy2+-=当1x=，5.0x=∆时的增量.45.求函数x1y+=当3x=，2.0x-=∆时的增量.46.若x2cos)x(f=，求x)x(f)xx(flimx∆-∆+→∆.47.下列函数)x(f在0x=处是否连续？为什么？(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0x ,10x ,x x sin )x (f (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0x ,00x ,x 1sin x )x (f 2(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0x ,x xsin 0x ,e )x (f x48.讨论函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧π<<≤<π-=x 0,xsin x 1sin x 0x ,1)x (f 2 在0x =处的连续性.49.设⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+=0x ),x x b ln(0x ,10x ,x a )x (f 22，已知)x (f 在0x =处连续，试确定a ，b的值.50.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>=0x ,x a 0x ,x 1sin x )x (f 2，要使)x (f 在),(∞+-∞内连续，应当怎样选择a ？51.求极限：(1)1x 5x 2x lim 221x +++→(2)221x x11x lim+-→(3))x 1arcsin(xcos e lim 2x 0x +⋅→(4)x)x 1ln(lim0x +→(5)x)x 1ln(lim0x α+→(6))x 1ln()x cos 1(x 1cosx x sin 3lim20x +++→ 52.求证：当0x →时，x sin sin ～)x 1ln(+.53.求函数322x 3x 1)x (f +-=的连续区间，并求)x (f lim 0x →.*54.若43x kx 2x lim23x =-+-→，求k 的值.*55.若5x 1bax x lim21x =-++→，求a ，b 的值.56.根据连续函数的性质，验证方程1x 3x 5=-至少有一个根介于1和2之间.57.证明方程01x x sin =++在开区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ-2,2内至少有一个根.58.试证方程12x x =⋅至少有一个小于1的正根.59.试证方程b x sin a x +=，其中0b ,0a >>，至少有一个正根，并且它不超过a b +.60.证明方程03x x 3x 23=+--在区间)4,2(,)2,0(,)0,2(-内各有一个实根.61.证明曲线10x 7x 3x y 24-+-=在1x =与2x =值之间至少与x 轴有一个交点.*62.若函数)x (f 在闭区间[]b ,a 上连续，a )a (f <，b )b (f >.证明：至少有一点)b ,a (∈ξ，使得ξ=ξ)(f .三、导数与微分63.按照导数定义，求下列函数的导数：(1)1x 3x y 2-+= (2))1x 3sin(y +=64.一物体的运动方程为10t s 3+=，求该物体在3t =时的瞬时速度.65.求在抛物线2x y =上点3x =处的切线方程.66.求曲线3x 3)1x (y -⋅+=在点)0,1(A -处的切线方程.67.曲线1e y x +=上哪一点处的切线与直线01y x 2=+-平行？68.试求曲线2x y +-=在它与直线x y =的交点处的切线方程和法线方程.69.求曲线53)1x 2()2y 5(+=+在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,0处的切线方程和法线方程.70.确定a ，b 之值，使曲线b ax x y 2++=与直线x 2y =相切于点)4,2(.71.设曲线ax x )x (f 3+=与c bx )x (g 2+=都通过点)0,1(-，且在点)0,1(-有公共切线，求a ，b ，c 的值.*72.设函数)x (f 可导，且0)x (f ≠，证明曲线)x (f y 1=与曲线x sin )x (f y 2=在交点处相切.73.设3)x (f 0-='，求x )x 3x (f )x x (f lim000x ∆∆--∆+→∆.74.设2)3(f ='，求h2)3(f )h 3(f lim0h --→.75.设)x (f 在a x =处可导，求h)mh a (f )nh a (f lim0h --+→.*76.证明：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；(2)可导的奇函数的导数是偶函数；(3)可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数.77.设函数1x 1x )x (f ++=，证明：)x (f 在0x =处右连续，但右导数不存在.78.函数⎩⎨⎧≤-<≤+=x1,1x 31x 0,1x )x (f 2在点1x =处是否可导？为什么？79.讨论函数x x y =在点0x =处的可导性.80.2x )x (f -=在点2x =处的导数是否存在？81.设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=1x 0,x 1x 10x 1,)x 1ln()x (f ，讨论)x (f 在0x =处的连续性与可导性.82.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥π+=0x ,x 1arctan 0x ,2x sin )x (f ，试问)x (f 在0x =处是否可导？83.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0x ,00x ,x 1arctan x )x (f 2在0x =处的连续性与可导性.84.设⎩⎨⎧>≤+=0x ,ax sin 0x ,b e )x (f x ，试确定a ，b 的值，使)x (f 在0x =处可导，并求)0(f '.*85.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0x ,00x ,x sin x 1)x (f 2，求)0(f '，⎪⎭⎫⎝⎛π'2f .*86.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0x ,00x ,x 1cos x )x (g 2，又)x (f 在0x =处可导，求[]0x )x (g f dxd=. *87.设函数)x (f 在1x =处连续，且21x )x (f lim1x =-→，求)1(f '.88.求下列函数的导数：(1)x x 1y 3-=(2)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1x 11x y(3)22x 51)x 32(y ++= (4)2x1x y -=(5)x1x 1y -+=(6)x log y a =(7)x ln x ln y +=(8)xx 1x ln y 2-+=(9)x1x1lny -+= (10)x tan ln 5y =(11)x cos e y x -=(12)2xarcsin y =(13)x arcsin y =(14)x 1cot arc y = (15)2x1x2arctan y -= (16)2x 1x arccos y -=(17)22x arcsin y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=(18)x sin e y 2x ⋅=(19))x 21ln(cos y += (20)x ln ln y =(21)x arcsin x 1x y 2+-=(22)x arccos x arcsin y +=(23)x tan ln x cos 2xtan ln y ⋅-= (24)xsin x x cos xcos x x sin y +-=(25)2xcsc 2x sec y 22+= (26))x 2(tan 1y 2= *(27)n 21a n a 2a 1)a x ()a x ()a x (y ---=Λ(28)x x y =(29)()n 2x 1x y ++=(30)n1x 2x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=(31)x sec 2)x 1(y += (32)x1x1x y +-⋅= (33)b x 2a x 3x y 3++⋅= (34)322)x 3(x3x 1x y +-⋅-= 89.求下列隐函数的导数（其中ａ，ｂ为常数）：(1)1x y y x 22=-+(2)0b ax y 2y 2=+-(3)y ln x y +=(4)y x e 1y +=(5)x )y x arctan(=+ 90.方程xy arctany x ln 22=+确定y 是x 的函数，求y '.91.方程0a y x =-+确定y是x 的函数，求y '.92.求下列函数的导数：(1))x (f x e )e (f y =(2))x1(arcsin f y =(3))x e (f y e x += (4))x (cos f )x (sin f y 22+=93.已知x1x x 1f +=⎪⎭⎫⎝⎛，求)x (f '.94.求下列函数的二阶导数：(1))3x 5sin(x y 2-=(2))x 1ln(y 2+=(3)x ln x y =(4)x arctan )x 1(y 2+=(5)2x xe y = (6)x ln x cos y 2⋅=95.求下列函数的二阶导数（其中函数)x (f 二阶可导）：(1))e (f y x=(2))x ((f y = 0)x (f >(3))x (f e )x (f y =(4))x (f )x (ln y 2=(5))x (f ln )x (f y 2+=0)x (f >96.设函数)x (y y =由方程e x y e y =+确定，求)0(y ''.97.设函数)x 3arctan(y -=，当04.0x ,2x =∆=时，求dy .98.求下列函数的微分：(1)2x1xy -= (2)x cos e y x -=(3)x arcsin y =(4)2x 1ln y -= (5)2x x )e e (y -+=(6)x 2e x 1arccos y -⋅⎪⎭⎫⎝⎛=(7)()xcos x sin y =99.求函数x e y =当x 由9变到99.8的微分.100.求由x sin y 2=，)1t 3ln(x +=复合而成的复合函数的微分.101.正方体的棱长10x =米，如果棱长增加米，求此正立方体体积增加的精确值与近似值.102.证明当x 很小时，下列各近似公式成立：x 1e )1(x+≈；nx1x 1)2(n+≈+； x x sin )3(≈；x )x 1ln()4(≈+.四、中值定理·导数的应用103.证明：x1x ln )x 1ln(1x 1<-+<+，)0x (>. 104.证明：)b a (pa b a )b a (pb 1p p p 1p -<-<---，其中0<a<b, p>1.105.设)x (f 在[]1,0内具有二阶导数，0)1(f =，又)x (f x )x (F 2=. 证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(F =ξ''.106.求极限：(1)1x x x 2x 3x lim 23231x +--+-→(2)1x 1x lim n 1x --→(3)x1)x 1(lim a 0x -+→（a 为任何实数）(4)1x x x lim21x --→(5)ax a x a a a x lim --λλ→(6)x sin e e lim xx 0x -→-(7)xx 1e lim 2x 0x --→(8)1x cos 1e lim 2x 0x --→(9)20x x)x 1ln(lim+→ (10)x tan 2x ln lim 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→(11)xln )1x (x ln x 1x lim1x ---→(12)x 3sin )x 21ln(lim0x +→(13)x sin x xx tan lim 0x --→(14)ax nx e x lim +∞→ （n 为正整数，0a >）(15)xsin x x 2e e lim x x 0x ----→ (16)2x x x 1)e 1ln(lim+++∞→(17)x 3tan x tan lim 2x π→ (18)x2tan ln x7tan ln lim0x +→(19)x cos x sec )x 1ln(lim 20x -+→ (20)xsin xarcsin x lim 30x -→ (21)xcot arc x 11ln lim x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ (22)x arcsin x xarctan x lim 0x --→(23)20x x x 3cos x cos lim -→ (24))e e ln()a x ln(x cos lim a x a x --⋅+→ (25)2x tan)x 1(lim 1x π-→ (26)2x 120x e x lim →(27)x ln x lim30x +→(28))0m (x ln x lim m0x >+→(29)⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1e 1x 1lim x 0x (30)⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x ln 11x x lim 1x (31)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x 1)x 1ln(1lim 0x (32)⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x tan x 1x 1lim 20x (33)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1e x lim x 1x (34)⎪⎭⎫⎝⎛-π+∞→x arctan 2x lim x(35)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∞→x e )x 2(lim x 1x(36)x 10x )x sin 1(lim +→ (37)x111x xlim -→(38)xtan 0x x 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→ *(39)()x 22x x cos lim -π-π→*(40)1x 121x 2x x lim -→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+*(41))1e ln(10x x xlim -+→*(42)()xcos 11x 2x ex 1lim -→+*(43)xln 1x x arctan 2lim ⎪⎭⎫⎝⎛-π+∞→*(44)nxx1n x 12x 11x n a a a lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→Λ 107.证明函数2x x 2y -=在区间)1,0(上单调增加，而在区间)2,1(上单调减少.108.求下列函数的单调区间：(1)5x 18x 12x 2y 23++-=(2)5x 2x y 24--=(3)45)1x 2()2x (y +-=(4))x 1ln(x y +-=109.证明不等式：(1))1x (x13x 2>->(2))0x ()x 1ln(x >+>(3))0x (x1arctgx )x 1ln(>+>+(4)x )x 1ln(2x x 2<+<- )0x (>(5)2x 1x sin e2x+<+-)1x 0(<<(6)x x arctan ≤ )0x (≥，x x arctan ≥ )0x (≤.110.求下列函数的极值：(1)23x 3x 2y -= (2)42x x 2y -=(3)7x 18x 6x 2y 23+--=(4)234x x 31x 41y --=(5)32)2x ()1x (y --=(6)xln xy =(7)32x )1x (y ⋅-=(8)32x 3x 2y ⋅+=(9)1x x 4x 4x 3y 22++++= (10)2x x 2y -+=111.试问a 为何值时，函数x 3sin 31x sin a )x (f +=在3x π=处具有极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.112.求下列函数在所给区间的最大值与最小值：(1)]2,1[,1x 5x 5x y 345-++-=(2)]4,0[,x 2x y +=(3)]1,0[,x x 1x x 1y 22-++-=113.求函数x 1x y 2+=的单调区间，并求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21上的最大值与最小值.114.试证方程01x x 3=-+只有一个正实根.115.讨论方程)0a (a x e x >=-有几个实根.116.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？117.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？118.欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的2倍. 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？五、不定积分119.求下列不定积分： (1)dx 1x x 1x sin 22x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++++ (2)dx x)x 1(32⎰-(3)⎰-+-dx 2x 2x 22x 2(4)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 112(5)⎰-+dx x1x 142(6)⎰++dx )x 1(x x 21222(7)⎰+dx x1x 24(8)dx 32532x3x ⎰⋅-⋅ (9)dx e b bx x ⎰ (10)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx 2x cos 2x sin 2(11)⎰-dx x sin 1x sin 423(12)⎰dx 2x sin 22(13)⎰-dx xsin x cos x 2cos (14)⎰++dx x2cos 1xcos 12120.求下列不定积分： (1)⎰'dx )x (f (2)⎰'dx )x 2(f (3)[]dx )x (f x )x (f ⎰'+121.设()()1x xcos x sin f 22<='，求)x (f .122.已知一个函数的导函数为2x11)x (f -=，并当1x =时，这个函数值等于π23，求这个函数)x (F .123.已知曲线)x (f y =上任一点的切线的斜率为6x 3ax 2--，且1x -=时，211y =是极大值，求)x (f 和)x (f 的极小值.124.已知)x (f 的图形过点)3,0(，)x (f '的图形是过点)0,1(且不平行于坐标轴的直线，2是)x (f 的极值，求)x (f . 125.求下列不定积分：(1)⎰+dx )bx a (k )0b (≠ (2)⎰-dx )x 21(32(3)dx x 23dx 3⎰-(4)⎰-++1x 1x dx(5)⎰+dx x1x 23(6)⎰+-dx xe 1x 22(7)⎰β-αdx)x cos((8)xdx sin x cos 22⎰(9)⎰dx xx cos(10)⎰+dx xcos 11 (11)⎰+-dx xcos x sin 21x sin x cos(12)⎰+dx x xln 2(13)⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx)1x (x x 11ln (14)xdx sin 4⎰(15)xdxcos 3⎰ (16)xdx cos x sin 53⎰(17)⎰xdx 5tan(18)⎰dx xsin xcos 43(19)dx xsin xcos 3⎰(20)⎰xdxsec 4(21)xdx tan 4⎰(22)⎰+dx)x tan x (tan 42 (23)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx x tan 1x sec 2(24)dx x 3212⎰+(25)⎰+4x 2xdx(26)dx 25x 8x 12⎰+- (27)⎰-2x arcsin x 4dx2(28)⎰-2xx dx (29)⎰+++dx 1x x 1x 2(30)⎰+-+dx 13x 6x 5x 2(31)⎰+⋅dx )x 1(x 3235(32)dx xsin 2x tanln ⎰(33)⎰-dx x9412(34)⎰-dx e11x(35)⎰+dx e 11x(36)⎰+-dx 1e 1e xx 126.求下列不定积分：(1)⎰-dx )x 1(x 1002 (2)⎰+dx )x 1(x 13(3)⎰++x11dx(4)⎰+1e dx x(5)⎰-23)x 1(dx 2(6)⎰-222xa dx x(7)⎰+22a x dx(8)⎰+dx )a x (12322(9)⎰+dx x 9412(10)⎰-dx1x x 12(11)⎰-9x x dx 22(12)⎰-dx 2x 312(13)dx xa x 22⎰- 127.求下列不定积分：(1)dt te t2⎰- (2)dx e x x 2⎰(3)dx 2xcos x ⎰(4)xdx cos x 2⎰(5)dx x cos x sin x ⎰ (6)xdxtan x 2⎰(7)⎰dx x cos x 2sin 1(8)⎰xdx sec 3(9)xdx ln 2⎰ (10)xdx arctan x 2⎰(11)⎰+x dx arctan x 1x 22 (12)dx 2xsin ex2⎰- (13)⎰xdx ln sin(14)⎰dx )x (arcsin 2(15)⎰+dx )x 1ln(x 2 (16)⎰+dx )x 1ln(x 2(17)dx x x ln 2⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛(18)⎰dx xsin xsin ln 2 (19)⎰dx x xarcsin 2(20)⎰-dx 1e xe xx(21)⎰+dx )x ln x 1(x e x(22)⎰-dx e arctan e x x*(23)⎰xdx sin xe x 128.设)x (f 的原函数为xxsin ，求⎰'dx )x (f x .129.设x 1)e (f x +='，求)x (f . 130.求下列不定积分：(1)dx )2x )(1x (1x ⎰--+ (2)dx x x 41x 33⎰-- (3)⎰+dx x 3x 3*(4)⎰--+dx xx 8x x 345 *(5)⎰+++dx )1x x )(1x (122*(6)⎰-++dx )1x ()1x (1x 22六、定积分131.不计算积分的值，比较各对积分中哪一个较大：(1)⎰102dx x 与⎰13dx x (2)⎰43x dx ln 与⎰432dx )x (ln(3)⎰-1x dx e 与⎰+1dx )x 1((4)⎰π20xdx sin 与⎰π20xdx(5)⎰-e1dx )x 1(与⎰e1x dx ln*132.估计下列积分的值： (1)⎰+-412dx )2x 3x ((2)⎰-20xx dx e 2 (3)⎰π20x sin dx e *133.证明下列不等式：(1)⎰≤--≤30212dx x5x 16548 (2)⎰---≤≤2121x 212dx e e 22134.求下列函数的导数：(1)dt t 1)x (f x⎰+=(2)⎰=3x 02dt t sin )x (f (3)⎰+=2x 04dt t11)x (f(4)⎰--=1x t dt te )x (f(5)⎰=23x x tdt e )x (f (6)⎰=x20t 22dt e x )x (f (7)⎰+=2e2x dt )1t ln(tan )x (f(8)⎰+=xcos x sin 2dt t 1tcos )x (f*135.设)x (f 是连续函数，且⎰-=1x 03x dt )t (f ，求)1(f .136.设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠=⎰0x ,00x ,x dt )t (tf )x (F 2x，其中)x (f 有连续的导数且0)0(f =. 研究：(1))x (F 在0x =处的连续性；(2))x (F 在0x =处的可导性.*137.设⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰x 0220x ,dt t cos x 10x ,10x ,)x cos 1(x 2)x (f ，讨论函数)x (f 在0x =处的连续性与可导性.*138.试求由⎰⎰=+y 0xt 0tdt cos dt e 所确定的隐函数对于x 的导数y '. *139.设⎰-=+xy 022tdt cos y x ，求dxdy . 140.求下列极限： (1)xdt t cos limx20x ⎰→(2)2xx xtdt arctan lim⎰→141.判断函数⎰+-+=x 02dt 1t t 1t 3)x (f 在区间[]1,0上的单调性.142.求函数⎰-=x0t dt te )x (f 的极值.143.求函数⎰-=x0dt)4t (t )x (f 在[]5,1-上的最大值与最小值.*144.设函数)x (f 在),0(∞+内可微，且⎰+=x1dt )t (f x 11)x (f ，试求)x (f .145.求下列定积分： (1)⎰πθ-θ60d )12cos 2((2)⎰π20xdx 2sin x cos(3)⎰πθθ-03d )sin 1( (4)⎰ππ212dx xx 1sin(5)⎰+312x x dx (6)()⎰-10x 4x dx e 1e(7)⎰-+10x x e e dx(8)⎰+e 1dx xx ln 1 (9)⎰+3e 1xln 1x dx (10)⎰-2a 022ra 3rdr )0a (>(11)⎰-++0222x 2x dx146.设)x (f 在[]b ,b -上连续，试证 ⎰⎰---=bbbbdx )x (f dx )x (f .147.证明dx )x (f 2dx )x (f a2aa2⎰⎰=-，其中)x (f 为连续函数.148.证明)0x (x 1dx x 1dx x1121x 2>+=+⎰⎰.149.证明dx )x 1(x dx )x 1(x 1m n n 1m ⎰⎰-=-.150.求下列定积分：(1)dx )x 1(132⎰-(2)⎰-41dxx x(3)⎰-12122dx x x 1 (4)⎰-a0222dx x a x(5)dx )x 1(x 10222⎰+ (6)dx x 1x 212⎰- (7)⎰+4x1dx(8)⎰+1023dx x 1x(9)⎰-51dx x1x (10)⎰--11x45x dx(11)dx 1e 2ln 0x ⎰-(12)⎰π+2022dx )x sin(1)x 2sin(x151.已知6dx 1e 12ln 2ax π=-⎰，求a .152.求下列定积分： (1)dt te102t 2⎰- (2)⎰π20x xdxcos e(3)⎰-+1e 0dx )1x ln( (4)⎰230xdx arccos(5)⎰10x dx arctan x (6)⎰e1dx )x sin(ln(7)⎰π202x dx cos x(8)⎰π403dx xcos xsin x (9)x dx 2cos x 02⎰π(10)⎰ee 1dxx ln153.已知常数0b >，且⎰=b11x dx ln ，求b 的值.*154.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0x ,e 110x ,x 11)x (f x ，求⎰-2dx )1x (f .155.求下列各题中平面图形的面积： (1)曲线)0a (x a y 2>-=与x 轴所围成的图形.(2)曲线3x y 2+=在区间[0，1]上的曲边梯形.(3)曲线2x y =与2x 2y -=所围成的图形. (4)曲线3x y =与直线0x =、1y =所围成的图形. (5)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上，曲线x sin y =与直线1y ,0x ==所围成的图形. (6)曲线x1y =与直线2x ,x y ==所围成的图形.(7)曲线8x y 2-=与直线4y ,08y x 2-==++所围成的图形.156.求由抛物线5x 4x y 2+-=，横轴及直线5x ,3x ==所围成的图形的面积.157.求由曲线2x xey -=，横轴及直线1x ,0x ==所围成的图形的面积.158.求由曲线x ln y =，纵轴与直线a ln y =，b ln y =(b>a>0)所围成的图形的面积.159.求由抛物线2x x 23y --=与横轴所围成的图形的面积.160.抛物线2x 21y =分割圆8y x 22=+成两部分，分别求出这两部分的面积.161.求下列平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积：(1)曲线x y =与直线0y ,4x ,1x ===所围成的图形.(2)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上，曲线x sin y =与直线0y ,2x =π=所围成的图形.(3)曲线3x y =与直线0y ,2x ==所围成的图形.(4)曲线1y x 22=+与x 23y 2=所围成的两个图形中较小的一块.162.求曲线)0a (a xy >=与直线a x =，a 2x =及0y =所围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积.163.设平面图形由x e y =，e y =，0x =所围成，(1)求此平面图形的面积；(2)求此平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积.164.证明圆锥体的体积为其底面积与高的乘积的三分之一.165.求下列广义积分： (1)dx e 0x ⎰+∞-(2)⎰∞+1xdx(3)dx x e 0x ⎰+∞-(4)⎰∞+e2)x (ln x dx(5)x dx sin e 0x ⎰+∞- (6)⎰∞+12dx x xarctan(7)⎰--112x1dx(8))0a ()1x (dx 21a>-⎰(9)⎰-22)x 1(dx(10)x dx ln x 102⎰(11)⎰+-2023x 4x dx166.计算x e y -=与直线0y =之间位于第一象限内的平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积.。
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一、填空题（每小题1分，共10分）
_______ _ 1
1．函数y＝arcsin√1－x2＋——————的定义域为
_________
√1－x2
_______________。
2．函数y＝x＋ex上点（0，1 ）处的切线方程是______________。
f（Xo＋2h）－f（Xo －3h）
3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ———————————————
h→o
h
＝_____________。
4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是
____________。
x
5．∫—————dx＝_____________。
1－x4
1
6．lim Xsin———＝___________。
x→∞X
7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。
_______
R√R2－x2 8．累次积分∫ dx∫f（X2 ＋Y2）dy 化为极坐标下的累次积分为
____________。
00
d3y3d2y
9．微分方程———＋——（———）2的阶数为____________。
dx3x dx2
∞
∞
10．设级数∑an发散，则级数∑ an_______________。
n=1
n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）
（一）每小题1分，共10分
1
1．设函数f（x）＝——，g（x）＝1－x，则f〔g（x）〕＝（）
x
1
1 1
①1－——②1＋——③————④x
x
x1－x
1
2．x→0 时，xsin——＋1 是（）
X
①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
3．下列说法正确的是（）
①若f（X ）在X＝Xo连续，则f（X ）在X＝Xo 可导
②若f（X ）在X＝Xo不可导，则f（X ）在X＝Xo 不连续
③若f（X ）在X＝Xo不可微，则f（X ）在X＝Xo 极限不存在
④若f（X ）在X＝Xo不连续，则f（X ）在X＝Xo 不可导
4．若在区间（a，b）内恒有f'（x）〈0，f"（x）〉0，则在（a，b）
内曲线弧y＝f（x）为（）
①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧
5．设F'(x)＝G'(x)，则（）
① F(X)＋G(X) 为常数
② F(X)－G(X) 为常数
③ F(X)－G(X) ＝0
d
d
④——∫F（x）dx＝——∫G（x）dx
dx dx
1
6．∫│x│dx＝（）
-1。