高中数学例题：平面向量模的问题

高中数学例题：平面向量模的问题

例．已知|a |=|b |=4，向量a 与b 的夹角为

23π，求|a +b |，|a ―b |。

【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|a +b |和|a ―b |用向量的模和夹角的来表示，所以先求出()2a b +和()2a b -，然后再开方即可。

【答案】4，

【解析】 因为a 2=|a |2=16，b 2=|b |2=16，

2||||cos 44cos

83a b a b πθ⋅=⋅=⨯⨯=-， 所以222||()216164a b a b a b a b +=+=++⋅=+=。

同事可求22

2||()21616a b a b a b a b -=-=+-⋅=+=。

【总结升华】关系式a 2=|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。因此欲求|a +b |，可求(a +b )·(a +b )，并将此式展开。由已知|a |=|b |=4，得a ·a =b ·b =16，a ·b 也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。

举一反三：

【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==⋅=-，求||,||a b a b -+。

【解析】 222()2425635a b a ab b -=-+=++=，||35a b ∴-= 同理，||23a b +=

【变式2】已知a b 与的夹角为0120，3a =，13a b += ，则b 等

于( )

A 5 B. 4 C. 3 D. 1

【解析】222

2cos12013

∴+︒+=，解

a a

b b

2

a b a a b b

+=+⋅+，22

得4

b=，故选B.

【总结升华】涉及向量模的问题一般利用22

=⋅=，注意两边

a a a a

平方是常用的方法.