二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算

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二次根式

【知识要点】

1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数.

2.二次根式的性质

（１)()()02≥=a a a

（2）()

()()

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a

(3）()0,0≥≥⋅=⋅b a b

a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a

3.运算法则：

（１）乘法运算：()0,0≥≥=⋅b a ab

b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a

b a

【化简以及分母有理化】

外移：2||a b a b = 内移:a b ，

当0a >时,2a b a b =

当0a <时,2a b a b =-

4．最简的二次根式：

（１）被开方数因数是整数,因式是整式.

（２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．

5．分母有理化

定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式:利用a a a ⋅=来确定.

②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定.

如: a b +与a b -，a b a b +-与,

a x

b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

a x

b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ⋅= ． 例题32

27= . 2

3649y x ＝ ;

同类二次根式

(1)定义:

几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类

二次根式。

(2)判断方法: 注意以下三点：

①都是二次根式,即根指数都是2；

②必须先化成最简二次根式；

③被开方数相同.

【重难点解析】

1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。

如:21223=⨯= 23 21832=⨯＝ 32 25052=⨯＝ 52

2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。

如29482379=⨯⨯= 2379⨯，24202553=⨯＝ 253⨯

３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =⋅=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++

4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333⨯==⨯ 、 2223233233823233

⨯====⨯⨯

１. 9的算术平方根是 ;平方根是 . 49

25的平方根是 ；81的算术平方根是 ． 2、一个数的立方根是４，这个数的平方根是 .

例6、解方程（1）（x+1)２

=36 （2)27（x+1)3＝64

2、已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。

3、已知互为相反数，

求a ，b 的值。

4.一个正数的平方根是２a-１与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.

5.已知＋1的整数部分为a ,小数部分为b ,求a －b 的值.

【经典例题】

1．下列式子一定是二次根式的是 ( ）

A .2--x Ｂ．x C ．22+x Ｄ．22-x

A . a ≥3 Ｂ. ａ>３ C . a ≤３ D ． ａ<３

３. （1）当x _＿＿＿＿_时，二次根式3x -在实数范围内有意义.

(２）当x ＿_____时，二次根式2)1(--x 在实数范围内有意义.

4.x 为何值时，下列代数式有意义

（1）x x -+-22 （2)32+x （5）2)1(--x

2.计算下列各题：

（1）

()27 (2)243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()

223

（4）255⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （5)2(4)- (6）22

例题. 化简：（1）3227a b ＝ ; (2)3

2418a a ⋅= . 5．化简

4515562154108504812

⨯⨯

121699⨯⨯ 637⨯ ()()2512-⨯-

例题32

27= ． 2

3649y x ＝ ; 4．把下列各式分母有理化

(1）

121 (2)233 (3）12121ﻩ (4)50

351-

例６.计算

(1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯32335 （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯56215

(3）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯614123ﻩ(4）5433112785⋅⋅⋅-

（6）3

2n n m m ·（－331n m m )÷32n m （ｍ>0,n>０）

同类二次根式 １、已知最简二次根式3b a b -和22b a -+是同类二次根式，则a =_＿____,ｂ=_______．

50511221832++-, 错误!＋错误!-错误!－错误!

2a 错误!-错误!错误!+错误!错误! 2错误!-3错误!+5错误!－2b 错误!

【作业】

1.下列化简过程正确的是( ）

A.()()1553535

322=⨯=⨯=ﻩＢ．()()66622-=-=- C ．

()()0222≥=a a a D.()34394332332222=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. =⨯259,

=+916, =+2286, ()()=-226226.

3．化简:

(1)50ﻩ（２)98

(３）162 ﻩ

（４）

32 (5)312ﻩ(6)57 (7)15

362