数列和不等式的综合复习题新版

数列和不等式的综合复习I

♦知识回顾

1. 等差数列的定义

(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列. —

(2) 符号语言：a n +1 — a n = d(n € N). 2. 等差数列的通项公式

若等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d . 推广：a n = a m + (n — m)d.

3. 等差中项

a + b

如果三个数a, A, b 成等差数列，贝U A 叫a 和b 的等差中项，且有 A= =+

^ . 4. 等差数列的前n 项和公式

5. 等差数列的性质

(1) 等差数列｛a n ｝中，对任意的 m n, p, q € N,若m+ n = p+ q,贝U

a m + a n = a + a q .特殊的，若 m+

n= 2p ，贝U a m + a n = 2a p .

(2) 等差数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 S m , Sm — S m , S 3m — S 2m ,…仍成等差数列.

S 禺 a n +1 S (禺

6. 当项数为2n(n € N+),则S 偶一 S 奇=nd , = ------ ;当项数为2n — 1(n € N+),则S 奇一 S 偶=an,'=

S t a n S 奇

n — 1 n

♦ 基础练习：

1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1= 2, S= 12，贝U a 6= _____________________________ .

2. 在等差数列｛a n ｝中，

(1) 已知 a 4 + a 14= 2,贝U S 17=___________ ;

(2) 已知 Sn = 55,贝U a 6 = _____________________ ;

(3) 已知 S= 100, Si 6= 392，贝U S 24= ___________ .

3、 已知｛a n ｝是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a ?a 3= a 4a 5, S= 1,则3的值是 ________________

4、 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2= 7, S 7=— 7,则a ?的值为 _____________ .

♦ 判断或证明一个数列是否是等差数列

已知数列｛a n ｝的各项均为正数，前 n 项和为S ，且满足2S = a 2

+ n — 4. (1) 求证：｛a n ｝为等差数列； (2) 求｛a n ｝的通项公式.

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等差数列的性质

1、 已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a 1+ a 2=— 3, S 5= 10,则a g 的值是 _____________

2、 在等差数列｛a n ｝中，若 a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a ?= 25,贝U a 2+ a 8= ____________ ;

3、 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且So= 10, So= 30,则So= _______________ .

♦

等差数列中的最值问题)

(1)若等差数列｛a n ｝满足a ?+ a 8 + a g >0, a ? + ae<0，当n 取何值时，｛a n ｝的前n 项和最大？

数列部分

(一)、等差数列

(1) S

n

= na 1 + n ( n —1)d . (2) S

n (a + a n )

⑵已知数列｛a n｝为等差数列.若田<—1，且｛a n｝的前n项和S n有最大值，求使 S>0时n的最大值. a6

(二)、等比数列

♦知识回顾

1. 等比数列的概念

(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列. — —

a “+1 *

⑵ 符号语言： 一=q(n € N, q 是等比数列的公比). a n 2. 等比数列的通项公式

设｛a n ｝是首项为a i ，公比为q 的等比数列，则第 n 项a n = a i q n _1 推广：a n = amf m

. 3. 等比中项

若a, G, b 成等比数列，则 G 为a 和b 的等比中项且 G=± ab. 4.

等比数列的前n 项和公式 ’

(1)当 q= 1 时，S= na 1.

, , a 1 (1 — q n

) ⑵当q z 1时，S== = 1 — q 5. 等比数列的性质

(1) 等比数列｛a n ｝中，对任意的 m, n, p, q € N*，若m+ n = p + q,贝U

a m a n =

a p a .特殊的，若 m+ n= 2p,贝y a m a n = a p .

(2) 等比数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和(非零)仍成等比数列，即 S m , S 2m — Sn, S m — $m,…仍成等比数

列，其公比为 q m

(q — 1).(其中S m z 0)

♦基础练习:

1. 设S 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1, a §= 32，则0= ____________ .

2. 若一1, x, y, z ，— 3成等比数列，则y 的值为 ___________ .

3. 等比数列｛a n ｝中，a 1>0, 8284+ 2a 3a 5+ a 4a 6= 36,贝U a 3+ a 5= ___________ .

4. 在各项均为正数的等比数列 __________________________ ｛a n ｝中，若a 2= 1, a 8= a 6+ 2a 4，贝U a 6的值是

5. _____________________________________________________________________ 设等比数列｛a n ｝满足a 1+ a 3 = 10, a 2+ a 4= 5，贝U aa 2a 3…a n 的最大值为 _____________________________________ .

♦等比数列的判定与证明

已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S, 3S n = a n — 1(n € N *).

(1) 求 a 1, a 2；

(2) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； (3)

求 a n 和 S.

♦等比数列的性质

已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足 af 9 = 4,则数列｛log 2a n ｝的前9项之和为 __________

♦等比数列的应用

设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1= 1, S+1 = 4a n + 2. (1) 设b n = a n + 1— 2a n ,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.

a 1 — a n q

1 — q