数列和不等式的综合复习题新版
数列综合--单调性、不等式
数列综合----单调性、不等式1.在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .2、已知等比数列{}n a 的首项114a =，公比14q =，设，数列{}n c 满足n n n c a b =． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和n S ；（Ⅲ）对任意21,2--≤∈*m m c N n n 恒成立，求m 的取值范围．3、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．4、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．5、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1<c n ≤13.6、已知点⎝⎛⎭⎪⎫1，13是函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n是多少？7、已知等比数列{a n}和等差数列{b n}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求使ab n<0.001成立的正整数n的最小值．8.满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是 ( )．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C9．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.10．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为K n，设c n＝S n T nK n，求证：c n＋1>c n(n∈N*)．答案：1、(1)解：由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①－②得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴数列{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .3、解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，解得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．4、解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.5．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①， 得a n ＝2S n －1＋1(n≥2，n ∈N *)②， ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1. ∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ， ∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1<0，∴c n ＋1<c n <…<c 1＝13，即c n ＋1<c n ≤13.6．解：(1)∵f(1)＝a ＝13，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1. ②由①－②得，23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－(2n －1)×13n ＋1＝23－2 n＋1 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n， ∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 2n－1 × 2n＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n>1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112.第Ⅱ卷：提能增分卷7．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q，2＋2d ·2q＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝12，，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－38.(舍)∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，b n ＝2n.(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000，∴2n －2≥10，即n≥6， ∴满足题意的正整数n 的最小值为6.9、(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ①当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n .(3)证明 由(2)得1a n ＝13n －2n . 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n>2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.10、(1)解 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1 a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4.所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝ n ＋3 2n－1 2n ＋1.c n ＋1－c n ＝ n ＋4 2n ＋1－1 2n ＋2－ n ＋3 2n －12n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n＋1>c n(n∈N*)．。
数列与不等式复习题
数列与不等式复习题（一）1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a nn D ．()43)1(1--=-n a n n2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．523、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01312>+-x x 的解集是 （ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 2 6．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212nn n ++B ．12212+++-nn nC ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+7．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -9．已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a .10．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是__________________．11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）． 12.已知实数a ，b ，c 成等差数列，和为15，且a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，求a ，b ，c ．13．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15，求S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式.14. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.数列与不等式复习题（一）答案9．12n - 10．11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．-1 12．解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ⎧++=⎪+=⎨⎪++=+⎩………………由(1)(2)两式，解得5b =将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+=，解得 2a =或11a =故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。
数列与不等式30大题(有答案)
S1 S2
Sn
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10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大 小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =
数列与不等式30大题(有答案)
数列与不等式综合问题30道1. 已知数列是等差数列，()．证明：数列是等差数列．2. 已知曲线，过上的点作斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．(1) 求与的关系式；(2) 令，求证：数列是等比数列；(3) 若(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有成立．3. 设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，(1) 求数列的通项公式；(2) 记，证明：．4. 已知数列满足，．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：．5. 已知数列的前项和为，点在直线上．数列满足，，且其前项和为．(1) 求数列，的通项公式．(2) 设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．6. 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列．(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值．7. 已知是正整数组成的数列， ,且点( )( )在函数的图象上；(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列满足， ,求证：8. ，且，若依次成等差数列，依次成等差数列，试比较与的大小．9. 已知数列的各项为正数，其前项和满足．(1) 求与之间的关系式，并求的通项公式；(2) 求证：．10. 在等比数列和等差数列中，，，，试比较和的大小．11. 设数列的前项和为，且，．(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列为等差数列，且，公差为．当时，比较与的大小．12. 已知数列中，，．(1) 求证：是等比数列，并求的通项公式；(2) 设，记其前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．13. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，点在函数图象上．(1) 求数列的通项公式；(2) 求；(3) 试比较和的大小，并证明．14. 已知等差数列的前项和为，非常数等比数列的公比是，且满足：，，，．(1) 求与；(2) 设，若数列是递减数列，求实数的取值范围．15. 某种汽车的购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？16. 是否存在一个等差数列，使是一个与无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请说明理由．17. 函数，数列满足，，(1) 求证：数列是等差数列；(2) 令，，，若对一切成立，求最小正整数．18. 已知常数满足，数列满足，．(1) 求，，；(2) 猜想的通项公式(不用给出证明)；(3) 求证：对成立．19. 设，数列满足，．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数，．20. 已知常数满足，数列满足，．(1) 求，，；(2) 猜想的通项公式，并给出证明；(3) 求证：对成立．21. 设，，，若将适当排序后可构成公差为的等差数列的前三项．(1) 求的值及的通项公式；(2) 记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求．22. 已知数列的首项，，(1) 求证：是等比数列，并求出的通项公式；(2) 证明：对任意的，，(3) 证明：．23. 在数列中，，．(1) 证明数列是等差数列；(2) 求数列的通项；(3) 若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围．24. 在数列中，，()．(1) 证明：数列是等差数列；(2) 求数列的通项；(3) 若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围．25. 已知数列中，，，且．(1) 求数列的通项公式；(2) 求证：对一切，有．26. 已知数列满足，．(1) 证明：数列为单调递减数列；(2) 记为数列的前项和，证明：．27. 已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．(1) 证明：数列是等比数列；(2) 若对一切，恒成立，求的取值范围．28. 设数列的前项和满足，其中．(1) 求证：是首项为的等比数列；(2) 若，求证：，并给出等号成立的充要条件．29. 设数列定义为，，．(1) 证明：存在正实数，使得，，成等差数列；(2) 求实数的取值范围，使得当时，．30. 已知数列满足，()．(1) 证明：数列是等比数列；(2) 令，数列的前项和为，(ⅰ)证明：；(ⅱ)求证：当时，．数列与不等式30大题答案1. 设公差为，则所以，，根据等差数列的定义，得是首项为，公差为的等差数列．2. (1) 依题意得：．又和在曲线上，所以．所以，即．(2) ．所以．将(1)中的结论代入整理得．所以数列是首项为，公比的等比数列．(3) 由(2)知，要使恒成立，即恒成立，所以恒成立，当为奇数时，恒成立，所以．当为偶数时，恒成立，所以．所以，因为为非零整数，所以．3. (1) ，曲线在点处的切线斜率为．从而切线方程为．令，解得切线与轴交点的横坐标．所以数列的通项公式．(2) 由题设和(1)中的计算结果知当时，．当时，因为，所以综上可得，对任意的，均有．4. (1) 由已知可得，所以，即，所以，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．(2) 证明：因为所以，因为是正整数，所以，所以，所以，所以．5. (1) 由已知得，所以．当时，有当时，也符合上式，所以由知是等差数列，由的前项和为，可得，得又，所以的公差．因为，所以，所以．(2) ，所以因为增大时，增大，所以是递增数列，所以所以对一切都成立，只要即可，解得，所以．6. (1) 由题意可知：，所以，即，于是，因为，所以；因为，所以．(2) 因为，所以，所以，所以，所以，所以得：，所以，因为恒成立，只需，因为，所以为递增数列，所以当时，，所以，所以的最大值为．7. (1) 由已知得 ,又 ,所以数列是以为首项，公差为的等差数列．故．(2) 证法一：由(1)知，从而．因为所以 .证法二：因为， ,所以．8. 由题意知，所以因为且，所以．所以，所以．9. (1)由得，．是公差的等差数列．而，． (2) 由(1)知，．，10. 设等比数列的公比是，等差数列的公差时．由及，得；由，从而．．所以．11. (1) 因为所以当时，由两式相减，得，即，因为当时，，所以，所以．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．(2) 因为，所以，，因为，由，得，所以当时，．12. (1) 证明：因为数列中，，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．(2) 因为，所以①-②，得所以，因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以对一切恒成立，设，则是递增函数，所以．所以．13. (1) 当时，，所以；当时，由，得，两式作差，得即所以数列从第二项起是等比数列，所以(2) 因为点在直线上，所以时，；时，因为所以由得所以时，，经检验，时也成立．综上，．(3) ，所以时，，所以；时，，所以；时，，所以．14. (1) 设等差数列的公差为，则，且，即有，解得或(舍去)，即有，，则；．(2) ，由题意可得对恒成立，即有，即，即对恒成立，由为递减数列，即有的最大值为，则有，解得，故实数的取值范围为．15. 设这种汽车使用年时，它的年平均费用为万元，则当且仅当，即时．因此，使用年时，年平均费用最小，最小值是万元．16. 假设存在一个等差数列，使，且为首项，为公差．由，得整理，得式是关于的一元一次方程，且对都成立．只需即或(i)当时，；(ii)当时，．17. (1) 证明：由已知得，两边取倒数得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；(2) 由(1)得，所以，所以．所以显然当时，单调递增且，又，，所以．若对一切成立，则，解得最小正整数18. (1) ，，．(2) 猜想：．(3) 因为，，所以，而由(2)知道，，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明．因为，而，所以，所以，，所以，所以，即．19. (1) 因为，所以所以① 当时，则是以为首项，为公差的等差数列，所以即② 当且时，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以所以所以综上所述，且(2) ① 当时，② 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证因为所以原不等式成立，所以对于一切正整数，20. (1) ，，．(2) 猜想：．下面用数学归纳法证明：当时，，结论成立，假设当时，结论成立，即；当时，因为，所以，即时，结论成立，所以对成立．(3) 因为，，所以，而由(2)知道，，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明．因为，而，所以，所以，，所以，所以，即．21. (1) 依题意有，可得所以最大．又．当时，，，解得，满足．当时，，，解得，不满足．所以的前三项为，，，此时．因此．(2) 因为，所以时，，即．所以．又因为，所以所以所以22. (1) ，，即，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．(2)(3) 由，知，当时等号成立．．由(2)知，对于任意，有，取，则．故．23. (1) 由得，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．(2) 由(1)可得， .所以．(3) 由对的整数恒成立，即对 ( )恒成立．整理得 ( ， )，令，因为，所以，所以为单调递增数列，最小，且，故的取值范围为 .24. (1) 将()整理得()．所以数列是以为首项、为公差的等差数列．(2) 由(1)可得，，所以．(3) 对任意的整数恒成立，即对任意的整数恒成立，整理得，令，则．因为，所以，所以数列为单调递增数列，所以最小，．所以的取值范围为．25. (1) 由已知，对有，两边同除以，得，即于是即所以所以又时也成立，故．(2) 当，有所以时，有又时，，故对一切，有．26. (1) 证明：由题意知，故，所以数列为单调递减数列．(2) 证明：因为，，所以，当时，，得，故．因为，故．所以．27. (1) ．令，由，得，即．而对于，当时，若，即，则；若，即，则；因此，在区间与上，的符号总相反．于是，当时，取得极值，所以．此时，，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列．(2) 对一切，恒成立，即恒成立，亦即恒成立(因为)．设，则，由得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．因为，且当时，，，所以．因此，恒成立，当且仅当，解得，故的取值范围是．28. (1) 证法一：由，得即，因，故，得又由题设条件知两式相减得即由，知，因此综上，对所有成立．从而是首项为，公比为的等比数列．证法二：用数学归纳法证明．当时，由，得即，再由，得，所以结论成立．假设时，结论成立，即，那么这就是说，当时，结论也成立．综上可得，对任意．因此是首项为，公比为的等比数列．(2) 证法一：当或时，显然等号成立．设，且．由(1)知，，所以要证的不等式化为即证当时，上面不等式的等号成立．当时，与同为负；当时，与同为正．因此当且时，总有，即上面不等式对从到求和得由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立．证法二：当或时，显然，等号成立．当时，，等号也成立．当时，由(1)知，．下证：且当时，上面不等式化为令当时，，故即所要证的不等式成立．当时，求导得其中则即是上的减函数，故，从而进而是上的增函数，因此所要证的不等式成立．当时，令，则，由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式．综上，当且时，有当且仅当或时等号成立．-29. (1) ，，．当，，成等差数列时，，即，当时，有，则．设，则，，在上有零点．所以存在正实数，使得，，成等差数列．(2) 由题意，有，则，显然．所以，．当时，，因为当时，，所以，解得．下面证明当时，对任意整数，有．所以，故当时，数列递减．因此，即当时，对任意整数，有．30. (1) 因为()，所以，两边同除以得，即，也即．又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．(2) 由(1)得，，所以，所以．(ⅰ)原不等式即为：．先用数学归纳法证明不等式：当时，．证明过程如下：当时，左边，不等式成立．假设时，不等式成立，即；则时，左边所以当时，不等式也成立．因此，当时，．显然，当时，，所以当时，．又当时，左边，不等式成立，故原不等式成立．(ⅱ)由(i)可得，．方法一：当时，将上面式子累加得，因为所以即故原不等式成立．方法二：且所以当时，令，则因为，所以因为所以当时，．。
高中数学数列、解三角形、不等式综合复习
本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。
在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。
考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。
（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。
（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。
分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。
通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。
再对m取特值验证。
也可利用二次函数的图像解决。
（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。
或取特值验证。
（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。
解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。
（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。
故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。
首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。
（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。
考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
数列与不等式综合习题
数列与不等式的题型分类.解题策略题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立⇔f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1a n 恒成立的正整数n 的取值围.【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值围.【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立，则须a 1(q n －1)q －1＞1a 1[1－(1q )n]1－1q ，把a 21＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q(1－1qn )，q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值围．【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f(n)恒成立等价于a ≤f(n)min 求解．【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ， 由此得S n+1－3 n+1＝2(S n －3n )．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N*, ① (Ⅱ)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N*，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2，a n+1－a n ＝4×3n -1＋(a －3)2n -2＝2n -2·[12·(32)n -2＋a －3]，当n ≥2时，a n+1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32)n -2＋a －3≥0，∴a ≥－9，综上，所求的a 的取值围是[－9，＋∞]．【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n的关系求解.本题求参数取值围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二 数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】 （Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.（Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ＋1，∴S n ＝n(a 1＋a n )2＝n 2＋2n ．2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＝2[(p ＋q)2＋2(p ＋q)]－(4p 2＋4p)－(4q 2＋4q)＝－2(p －q)2， ∵p ≠q ，∴2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＜0，∴S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】 (08·高考)设数列{a n }满足a 1＝0，a n+1＝ca n 3＋1－c ，c ∈N*，其中c 为实数.(Ⅰ)证明：a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c ＜13，证明：a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*；（Ⅲ）设0＜c ＜13，证明：a 12＋a 22＋…＋a n 2＞n ＋1－21－3c ，n ∈N*.【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n 项和求和，再进行适当放缩.【解】（Ⅰ）必要性：∵a 1＝0，a 2＝1－c ， 又∵a 2∈[0，1]，∴0≤1－c ≤1，即c ∈[0，1].充分性：设c ∈[0，1]，对n ∈N*用数学归纳法证明a n ∈[0，1].(1)当n ＝1时，a 1∈[0，1].(2)假设当n ＝k 时，a k ∈[0，1](k ≥1)成立，则a k ＋1＝ca k 3＋1－c ≤c ＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca k 3＋1－c ≥1－c ≥0， ∴a k ＋1∈[0，1]，这就是说n ＝k ＋1时，a n ∈[0，1]. 由（1）、（2）知，当c ∈[0，1]时，知a n ∈[0，1]对所胡n ∈N*成立. 综上所述，a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1].（Ⅱ）设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 1＝0，结论成立.当n ≥2时，由a n ＝ca n -13＋1－c ，∴1－a n ＝c(1－a n -1)(1＋a n -1＋a n -12)∵0＜c ＜13，由(Ⅰ)知a n -1∈[0，1]，所以1＋a n -1＋a n -12≤3，且1－a n -1≥0，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)≤(3c)2(1－a n -2)≤…≤(3c) n -1(1－a 1)＝(3c) n -1，∴a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*.(Ⅲ)设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 12＝0＞2－21－3c ，结论成立.当n ≥2时，由（Ⅱ）知a n ≥1－(3c)n -1＞0，∴a n 2≥[(1－(3c)n -1)] 2＝1－2(3c)n -1＋(3c)(n -1)＞1－2(3c)n -1，a 12＋a 22＋…＋a n 2＝a 22＋…＋a n 2＞n －1－2[3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1]＝n －1－2[1＋3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1－1]＝n ＋1－2[1－(3c)n ]1－3c ＞n ＋1－21－3c .【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三 求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】 (08·高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 1与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的围，由此可确定a 4的最大值.【解】 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝4a 1＋4×32d ≥10S 5＝5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ≥5－3d 2＋3d ＝5＋3d 2a 4＝a 1＋3d ＝(a 1＋2d)＋d ≤3＋d ， ∴5＋3d2≤a 4≤3＋d ，则5＋3d ≤6＋2d ，即d ≤1. ∴a 4≤3＋d ≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4.【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.【例6】 等比数列{a n }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－12．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n 取何值时，f(n)有最大值．【分析】 第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{a n }的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅱ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.【解】 (Ⅰ)a n ＝2002·(－12)n -1，f(n)＝2002n ·(－12)n(n -1)2(Ⅱ)由(Ⅰ)，得|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ，则当n ≤10时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，当n ≥11时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者． ∵f(12)f(9)＝200212·(12)6620029·(12)36＝20023·(12)30＝(2002210)3＞1， ∴当n ＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212·(12)66．【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.题型四 求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在围的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ)求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k ，使S k+1－2S k －2＞2成立.【分析】 第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列a n +1与a n 的关系，结合定义判断数列{a n }为等比数列；而第(Ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】 (Ⅰ)由题意，S n ＋a n ＝4，S n +1＋a n +1＝4，由两式相减，得(S n +1＋a n +1)－(S n ＋a n )＝0，即2a n +1－a n ＝0，a n +1＝12a n ，又2a 1＝S 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，∴数列{a n }是以首项a 1＝2，公比为q ＝12的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得S n ＝2[1―(12)n ]1―12＝4－22-n .又由S k+1－2S k －2＞2，得4－21-k －24－22-k －2＞2，整理，得23＜21-k ＜1，即1＜2 k -1＜32，∵k ∈N *，∴2k -1∈N *，这与2k -1∈(1，32)相矛盾，故不存在这样的k ，使不等式成立.【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】 (08·高考)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n+1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n－3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值围；若不存在，说明理由.【分析】 第(Ⅰ)小题利用反证法证明；第(Ⅱ)小题利用等比数列的定义证明；第(Ⅲ)小题属于存在型问题，解答时就假设a ＜S n ＜b 成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ.【解】 （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即 (23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列. (Ⅱ)解：因为b n+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n+1(23a n －2n ＋14)＝－23(a n －3n －21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N*)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0，∴b n+1b n ＝－23(n ∈N*).故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ＝－18，b n ＝0(n ∈N*)，S n ＝0，不满足题目要求；.∴λ≠－18，故知b n ＝－(λ＋18)×(－23)n -1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]要使a ＜S n ＜b 对任意正整数n 成立，即a ＜－－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]＜b ，(n ∈N*).得a1－(－23)n ＜－35(λ＋18)＜b 1－(－23)n，(n ∈N*) ① 令f(n)＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1＜f(n)≤53，当n 为正偶数时59≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值为f(1)＝53，f(n)的最小值为f(2)＝59,于是，由①式得59a ＜－35(λ＋18)＜35b ，∴－b －18＜λ＜－3a －18，(必须－b ＜－3a ，即b ＞3a).当a ＜b ＜3a 时，由－b －18≥－3a －18，不存在实数满足题目要求； 当b ＞3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b,且λ的取值围是(－b －18，－3a －18).【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ及项数n 的双重讨论.【专题训练】一、选择题1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ）A ．a 4a 6＜a 6a 8B ．a 4a 6≤a 6a 8C ．a 4a 6＞a 6a 8D ．a 4a 6≥a 6a 82．设{a n }是由正数构成的等比数列，b n ＝a n+1＋a n+2，c n ＝a n ＋a n+3，则（ ） A ．b n ＞c nB ．b n ＜c nC ．b n ≥c nD ．b n ≤c n3．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）A ．a 6＝b 6B ．a 6＞b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＞b 6或a 6＜b 6 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足５＜a k ＜８，则k ＝ （ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 5．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）A ．S 4a 5＜S 5a 4B ．S 4a 5＞S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数f(n)＝S n(n ＋32)S n+1的最大值为（ ）A ．120B ．130C ．140D ．1507．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx －12)，lg(1－y)顺次成等差数列，则（ ）A ．y 有最大值1，无最小值B ．y 有最小值1112，无最大值C ．y 有最小值1112，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值18．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值围是（ ）Ａ．(－∞，－1] Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设等比数列{a n }的首相为a 1，公比为q ，则“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1＞a n ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分比要条件 D ．既不充分又不必要条件11．{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝ （ ）A ．11B ．17C ．19D ．2112．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值围是（ ）A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]二、填空题13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________．14．无穷等比数列{a n }中，a 1＞1，|q|＜1，且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半，则q的取值围是________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)2cd 的最小值是________. Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．416．等差数列{a n }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A ．若d ＜0，且S 3＝S 8，则{S n }中，S 5和S 6都是{S n }中的最大项；②给定n ，对于一定k ∈N*(k ＜n)，都有a n -k ＋a n+k ＝2a n ；③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项；④存在k ∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号其中真命题的序号是____________. 三、解答题17．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{a n }的通项n a ；（Ⅱ）求{a n }前n项和S n 的最大值．18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1＝1,b n +1＝b n ＋2a n ，求证：b n·b n +2＜b 2n +1.19．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n+1，其中n 为正整数．20．已知数列{a n }中a 1＝2，a n+1＝(2－1)( a n ＋2)，n ＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }中b 1＝2，b n+1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1，2，3，….证明：2＜b n ≤a 4n -3，n＝1，2，3，…21．已知二次函数y ＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x)＝6x －2，数列{a n }的前n项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ；22．数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =L ，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．【专题训练】参考答案 一、选择题 1．B 【解析】a 4a 8＝(a 1＋3d)(a 1＋7d)＝a 12＋10a 1d ＋21d 2，a 62＝(a 1＋5d)2＝a 12＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.2．D 【解析】设其公比为q,则b n －c n ＝a n (q －1)(1－q 2)＝－a n (q －1)2(q ＋1)，当q ＝1时，b n ＝c n ，当q ＞0，且q ≠1时，b n ＜c n ，故b n ≤c n .3．B 【解析】因为q ≠1，b 1＞0，b 11＞0，所以b 1≠b 11，则a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112＞b 1b 11＝b 6.4．B 【解析】因数列为等差数列，a n ＝S n －S n -1＝2n －10，由5＜2k －10＜8，得到k ＝8.5．A 【解析】S 4a 5－S 5a 4 ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 4q －(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)a 4＝－a 1a 4＝－a 12q 3＜0，∴S 4a 5＜S 5a 4． 6．D 【解析】由S n ＝n(n ＋1)2，得f(n)＝n (n ＋32)(n ＋2)＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f(n)max ＝f(8)＝150．7．B 【解析】由已知y ＝－13(sinx －12)2＋1，且sinx ＞12，y ＜1，所以当sinx ＝1时，y有最小值1112，无最大值.8．D 【解】∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1q ＋1＋q)＝1＋q ＋1q .∴当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－(－q －1q)≤1－2(－q)·(－1q)＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).9．B 【解析】3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则3b 2＝1－a 2⇔a 2＋3b 2＝1，令a ＝cos θ，3b ＝sin θ，θ∈(0，2π)，所以a ＋3b ＝cos θ＋3in θ＝2sin(θ＋π6)≤2.10．A 【解析】当a 1＜0，且0＜q ＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a 1＞0，且q ＞1，故选A.11．C 【解析】由a 11a 10＜－1，得a 10＋a 11a 10＜0⇔a 1＋a 20a 10＜0⇔12×20(a 1＋a 20)12×19(a 1＋a 19)＜0⇔S 20S 19＜0，则要使S n 取得最小正值必须满足S 19＞0，且S 20＜0，此时n ＝19.12．C 【解析】f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，a n+1＝f(n ＋1)＝f(1)f(n)＝12a n ，∴S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .则数列{a n }的前n 项和的取值围是[12，1).二、填空题13．2 【解析】由a 4－a 2＝8，可得公差d ＝4，再由a 3＋a 5＝26，可得a 1＝1，故S n ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴T n ＝2n －1n ＝2－1n，要使得T n ≤M ，只需M ≥2即可，故M 的最小值为2，答案：214．(－1，0]∪(0，13] 【解析】a 1q 1－q ≤a 12⇒q ≤13，但|q|＜1，且q ≠0，故q ∈(－1，0]∪(0，13]. 15．4 【解析】∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy＝4.16．D 【解析】对于①：∵S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴S 5＝S 6，又d ＜0，S 5＝S 6为最大，故A 正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d ＞0，点(n ，S n )分布在开口向上的抛物线，故{S n }中一定有最小的项，故③正确；而a k －a k+1＝－d ，a k －a k -1＝d ，且d ≠0，故④为假命题. 三、解答题17．【解】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋n(n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 18．【解】(Ⅰ)由已知得a n +1＝a n ＋1，即a n +1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故a n ＝1＋(a －1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n ＝n 从而b n +1－b n ＝2n .b n ＝(b n －b n -1)＋(b n -1－b n -2)＋…＋（b 2－b 1）＋b 1＝2n -1＋2n -2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n +2－b 21+n ＝(2n －1)(2n +2－1)－(2n -1－1)2＝(22n +2－2n +2－2n ＋1)－(22n +2－2－2n +1－1)＝－5·2n ＋4·2n ＝－2n ＜0, 所以b n ·b n +2＜b 21+n .19．【解】（Ⅰ）由a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….整理得1－a n ＝－12(1－a n -1)．又1－a 1≠0，所以{1－a n }是首项为1－a 1，公比为－12的等比数列，得a n ＝1－(1－a 1)(－12)n -1， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜a n ＜32，故b n ＞0．那么，b n+12－b n 2＝an+12(3－2a n+1)－a n 2(3－2a n )＝(3－a n 2)2(3－2×3－a n 2)－a n 2(3－2a n )＝9a n4(a n －1)2.又由（Ⅰ）知a n ＞0，且a n ≠1，故b n+12－b n 2＞0，因此b n ＜b n+1，为正整数．20．【解】（Ⅰ）由题设：a n+1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)，＝(2－1)(a n －2)＋2，∴a n+1－2＝(2－1)(a n －2)．所以，数列{a n －2}a 是首项为2－2，公比为2－1)的等比数列，a n －2＝2(2－1)n ，即a n 的通项公式为a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1，2，3，….（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n ＝1时，因2＜2，b 1＝a 1＝2，所以2＜b 1≤a 1，结论成立．（ⅱ）假设当n ＝k 时，结论成立，即2＜b k ≤a 4k -3，，也即0＜b n －2≤a 4k -3－2， 当n ＝k ＋1时，b k+1－2＝3b k ＋42b k ＋3－2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＞0，又12b k ＋3＜122＋3＝3－22， 所以b k+1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＜(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k -3－2)＝a 4k+1－ 2也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a ≠0) ，则 f`(x)＝2ax ＋b ，由于f`(x)＝6x －2，得a ＝3 ，b ＝－2，所以f(x)＝3x 2－2x.，又因为点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上，所以S n ＝3n 2－2n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（n ∈N*）. （Ⅱ）由（Ⅰ）得知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n －1)－5]＝12(16n －5－16n ＋1)，故T n ＝∑n i=1b i ＝12[(1－17)＋(17–113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1–16n ＋1），因此，要使12(1－16n ＋1）＜m 20（n ∈N*）成立的m ，必须且仅须满足12≤m20，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.22．【解】（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=L ，，，且11a =． 所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-． （Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=L ，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k ==L ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。
数列和不等式的综合复习题新版
数列和不等式的综合复习Ⅰ一、 数列部分（一）、等 差 数 列◆知识回顾：1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2) 符号语言：a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *)． 2. 等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 推广：a n ＝a m ＋(n －m)d. 3. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 和b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2．4. 等差数列的前n 项和公式(1) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．(2) S n ＝n （a 1＋a n ）2．5. 等差数列的性质(1) 等差数列{a n }中，对任意的m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．(2) 等差数列{a n }中，依次每m 项的和仍成等差数列，即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列．6. 当项数为2n(n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；当项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n◆ 基础练习：1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________．2.在等差数列{a n }中，(1) 已知a 4＋a 14＝2，则S 17＝________； (2) 已知S 11＝55，则a 6＝________；(3) 已知S 8＝100，S 16＝392，则S 24＝________． 3、 已知{a n }是公差不为0 的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________； 4、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________． ◆ 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4. (1) 求证：{a n }为等差数列； (2) 求{a n }的通项公式．◆ 等差数列的性质1、已知{a n }是等差数列，{S n }是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________； 2、在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________；3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________． ◆ 等差数列中的最值问题)(1) 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，当n 取何值时，{a n }的前n 项和最大？(2) 已知数列{a n }为等差数列．若a 7a 6<－1，且{a n }的前n 项和S n 有最大值，求使S n >0时n 的最大值．（二）、等比数列◆知识回顾1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n ＋1a n＝q(n ∈N *，q 是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项a n ＝a 1q n －1．推广：a n ＝a m q n －m. 3. 等比中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G 4. 等比数列的前n 项和公式 (1) 当q ＝1时，S n ＝na 1．(2) 当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q1－q．5. 等比数列的性质(1) 等比数列{a n }中，对任意的m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(2) 等比数列{a n }中，依次每m 项的和(非零)仍成等比数列，即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列，其公比为q m(q ≠－1)．(其中S m ≠0)◆基础练习：1.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．2. 若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则y 的值为________．3.等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．4、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________；5、设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2a 3…a n 的最大值为________．◆等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N *)． (1) 求a 1，a 2；(2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .◆等比数列的性质已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1a 9＝4，则数列{log 2a n }的前9项之和为________．◆等比数列的应用设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．（三）、数列求和◆知识回顾1. 已知数列{a n }，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .2. 已知数列{a n }，满足a n ＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项a n .3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4) 倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法． 4. 常见的拆项公式(1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3) 1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）. ◆基础练习：1.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________．2.求和：11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝________．3.等比数列1，2，4，8，…中从第5项到第10项的和为________．4.已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.5.数列{a n }中，a n ＝(2n －1)3n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．◆分组转化法求和求数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，1a 3＋10，…，1an －1＋(3n －2)的前n 项和．◆错位相减法求和设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q.已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d>1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .◆裂项相消法求和在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1) 求S n 的表达式；(2) 设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .（四）、数列的综合应用1.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．2.)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的________．(参考数据：1.14≈1.46，1.15≈1.61)4. (设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1 的前n 项和．5. (2017·苏锡常镇一模)已知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4(n ＋1)a 2n －na 2n ＋1＝0，设数列{b n }满足b n ＝a 2ntn .(1) 求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为等比数列；(2) 若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；(3) 若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 21S n －a 41n 2＝16b m成立，求满足条件的所有整数a 1的值．6、已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q(q ＞1)的等比数列． (1) 若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2) 若存在正整数k(k ≥2)，使得a k ＝b k ，试比较a n 与b n 的大小，并说明理由．二、 不等式部分（一）一元二次不等式◆一元二次不等式及其解法1.不等式3x 2－x －4≤0的解集是__________. 2.不等式2x 2－x －1>0的解集是________．3.不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为__________． ◆含参的一元二次不等式的解法1 解关于x 的不等式：ax 2＋(a －2)x －2≥0.◆2 一元二次不等式的恒成立问题 1、 设函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1) 若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2) 若对于x ∈[1，3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．◆3 三个二次之间的关系已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为{x|m<x<m ＋6}，则实数c 的值为__________；◆课后作业1.函数y ＝1－xx ＋2的定义域为________． 2.已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{x|x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________．3. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f(3－a 2)＜f(2a)，则实数a 的取值范围是________．（二）基本不等式◆基础练习1.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________． 2.若f(x)＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f(x)的最大值为________．3.已知a>0，b>0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值为________．◆通过配凑法利用基本不等式求最值1、 已知x<54，则f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为________；2、若－4＜x ＜1，求x 2－2x ＋22x －2的最大值．◆通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值1、已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________；2、 已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． ◆基本不等式与函数的综合应用已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．◆课后作业1.若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值是________．2.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．3.若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．4.已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．5、已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________；函数y ＝1－2x －3x(x ＜0)的最小值为________．6. 已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．7. 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数a 的值是________． 8.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc 的取值范围是________．9.已知a>0，b>0，c>2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．（三）不等式的综合应用1.函数y ＝x ＋4x(x ≠0)的值域是________．2. 设x ∈R ，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围？ 3.已知x>0，y>0且满足2x ＋8y ＝1，则x ＋y 的最小值是________ .4. 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
高三复习经典专题14：数列不等式综合训练经典30题
高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）1. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.2.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+.⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足nn b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈ 4.设.2)(,ln )(),(2)(--==--=ep qe e g x x f x f xq px x g 且其中（e 为自然对数的底数）（I ）求p 与q 的关系；（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明： ①)1()1(->≤+x xx f ；②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n nn （n ∈N ，n ≥2）.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设021n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n nn c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：123n T n >-．6.已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n nn n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范7.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
数列与不等式30大题(有答案)
n∈
∗
．
13. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = 1，Sn = an+1 − 3，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，点 an ,bn (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 求 Tn ；
5 2 n2
在函数 y = nx−1 图象上．
恒成立，求 λ 的取值范围．
⋅ an ，记其前 n 项和为 Tn ，若不等式 2n−1 λ < 2n−1 Tn + n 对一切 n ∈
− tbn (t 为非零整数，n ∈
+ ，求证：数列 bn 是等比数列；
+ )，试确定
t 的值，使得对任意 n ∈
+ ，都有 cn+1
> cn
4. 已知数列 an 满足 a1 = ，2an+1 − an = 1． (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 证明：
a1 +a2 +⋯+an n
(2) 记 Tn = x2 x2 ⋯x2 ，证明：Tn ≥ 1 3 2n−1
数列与不等式综合问题 30 道
1. 已知数列 an 是等差数列，bn =
2. 已 知 曲 线 C:xy = 1 ， 过 C 上 的 点 An xn,yn 作 斜 率 为 kn =− An+1 xn+1 ,yn+1 ，点列 An 的横坐标构成数列 xn ，其中 x1 = (1) 求 xn 与 xn+1 的关系式； (2) 令 bn = 3. 设 n ∈ (3) 若 cn = 成立．
Sn 1
an +1 2
．
< 2．
第 1页（共 23页）
10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0 ，a3 = b3 > 0 ，a1 ≠ a3 ，试比较 a5 和 b5 的大 小． 11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ (1) 求数列 an 的通项公式； ⋯ + bn 的大小．
高考数学数列题型之数列与不等式交汇的综合题
数列与不等式交汇的综合题例31 已知数列{}n a 满足.21211--+=n n n a na a *)(N n ∈(1)若数列{}n a 是以常数1a 首项,公差也为1a 的等差数列,求a 1的值; (2)若012a =,求证：21111n n a a n--<对任意n N *∈都成立； (3)若012a =,求证：12n n a n n +<<+对任意n N *∈都成立. 解 (1)由21121()n n n a a a n N n*--=+∈得：[]211121(2)a a n a n =+-即221121()n a a n-=，求得10a =（2）由10n n a a ->>知1121n n n n a a a a n--<+，两边同除以1n n a a -，得21111n n a a n--< （3）00112111111111()()()n n na a a a a a a a --=-+-++- 222111123n <++++ 11111223(1)n n<++++⨯⨯- 111111111()()()()233445(1)n n=+-+-+-++--12n =-，将012a =代入，得n a n <； ㈠ 11n a n -<- ∴ 21121n n n a a a n --=+1121n n n a a n ---<+2121n n n a a n n ->+- 2112211n n n n n a a a a n n n -->+∙+-211111111n n a a n n n n -->>-+-+11223111111111()()()n n na a a a a a a a --=-+-++-111111()()()23341n n >-+-++-+ 1121n =-+ 而134a =，1512611n n a n n +∴<+<++ 12n n a n +∴>+ ㈡ 由㈠㈡知，命题成立.例32 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n nS a a nn 。
数列与不等式综合题(详解)
1 2 n −1 ∗ f + f + + f ， n ∈ N ，且 n ≥ 2 ，求 S n ； n n n 2 , ( n = 1) 3 ，其中 n ∈ N* ． Tn 为数列 {an } 的前 n 项和，若 （3）已知 an = 1 , ( n ≥ 2) ( S n + 1)( S n +1 + 1) Tn < λ ( S n +1 + 1) 对一切 n ∈ N∗ 都成立，试求 λ 的取值范围．
2a 4 2na 2 n + 4 ，求证： < 1 S + < 3． n 1 − a2 1 − a2 解： （1）设 2 ， f (a1 ) ， f (a2 ) ， f (a3 ) ，…， f (an ) ， 2n + 4 的公差为 d ，则 2n + 4 = 2 + (n + 2 − 1)d ⇒ d = 2 ． ∴ f (an ) = 2 + (n + 1 − 1) d = 2 + nd = 2n + 2 ，即 log a a = 2n + 2 ． n
数列与不等式综合题
目录
一、求和后放缩 ....................................................................................................................................................... 1 （一）错位相减 ............................................................................................................................................... 1 （二）倒序相加 ............................................................................................................................................... 1 （三）裂项相消 ............................................................................................................................................... 2 （四）借助单调性放缩 ................................................................................................................................... 4 （五）利用结论放缩 ....................................................................................................................................... 6 二、放缩后求和 ....................................................................................................................................................... 8 （六）利用分数性质放缩 ............................................................................................................................... 8 （七）综合法 ................................................................................................................................................. 10 三、其它方法 ......................................................................................................................................................... 13 （八）先猜想后证明 ..................................................................................................................................... 13 四、练习 ................................................................................................................................................................. 13 （一）错位相减法练习 ................................................................................................................................. 13 （二）倒序相加法练习 ................................................................................................................................. 15 （三）裂项相消练习 ..................................................................................................................................... 16 （四）借助单调性放缩练习 ......................................................................................................................... 17 （五）利用结论放缩练习 ............................................................................................................................. 20 （六）利用分数性质放缩练习 ..................................................................................................................... 20 （七）综合法练习 ......................................................................................................................................... 22
考点09 数列与函数、不等式的综合(1月)(期末复习热点题型)(文)(原卷版)
考点09 数列与函数、不等式的综合一、单选题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，且2nn2S S ≤，则等比数列公比q A ．有最大值，无最小值 B ．有最小值，无最大值 C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值2．n S 是数列{}n a 的前n 项和，82n a n ，有且只有两个正整数n 满足n S λ<，则实数λ的取值范围是 A ．[0,12) B ．(,12)-∞ C ．[10,12)D ．[8,10)3．若数列{}n a 的通项公式为12n n a n +=，则满足10112020n a <的最小的n 的值为 A ．1009 B ．1010 C ．1011D ．10124．若不等式()()11131n na n +--⋅<++对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．83,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)8,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ C ．83,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．()8,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭5．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为 A ．11 B ．10 C ．9D ．86．已知函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，()()1g x f x =+，即2014n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2013项和为 A ．2014B ．2013C ．2012D ．20117．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是 A ．19 B ．20 C ．21D ．228．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是 A．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭9．已知数列{}n a 中，11a =且()2*1132,2n n n a a n n N --⎛⎫-=⨯-≥∈ ⎪⎝⎭．若不等式15n ma ≤≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数m 的取值范围是A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且通项公式为n b n =，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．(][),13,-∞-+∞11．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0nn n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设*N k ∈，若数列{}n a 是无穷数列，且满足对任意实数k 不等式()()20n n ka a k --<恒成立，则下列选项正确的是A ．存在数列{}n a 为单调递增的等差数列B ．存在数列{}n a 为单调递增的等比数列C ．2122n a a na n n +++>-恒成立 D ．2122n a a na n n +++<+13．设*k N ∈，若数列{}n a 是无穷数列，且满足对任意实数k 不等式()()20n n ka a k --<恒成立，则下列选项正确的是A ．存在数列{}n a 为单调递增的等差数列B ．存在数列{}n a 为单调递增的等比数列C ．2122n a a na n n +++>-恒成立 D ．2122n a a na n n +++<+恒成立14．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12945g a g a g a ++⋯+=，则129a a a ++⋯+=A ．45B ．15C ．10D ．015．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，若(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”，现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()xf x e =； ③()||f x x =()f x =ln x ，则其中是“保等比数列函数()f x 的序号为 A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④16．定义函数348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间12n ⎡⎤⎣⎦，（*n N ∈）内所有零点的和为A ．nB ．2nC ．()3214n-D ．()3212n- 17．已知数列{}n a 中，112n n a -=其前n 项和n S ，数列{}2n a 的前n 项和n T ，若2(1)0n n n S T -->λ对*n N ∈恒成立，则实数λ取值范围是A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭18．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S k <恒成立，则实数k 的最小值为 A ．12B ．23C ．32D ．219．设a 为正实数，数列{}n a 满足1a a =，()142n n na a n N a *+=+-∈，则 A ．任意0a >，存在2n >，使得2n a < B ．存在0a >，存在2n >，使得1n n a a +< C ．任意0a >，存在*m N ∈，使得mn a a <D ．存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=20．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2，2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值范围为A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．27,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为 A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞22．若不等式()()1112n na n---<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．32,2⎛⎤- ⎥⎝⎦23．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为A ．3λB ．4λC ．23λD ．34λ二、多选题1．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为 A ．2- B ．1-C ．1D ．22．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为 A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =3．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()1 1f x f x +=-．若()11f =，则 A ．()f x 是周期函数 B ．当n 为偶数时，()0f n =C ．()()()()22212 2336 616f f f f +++⋅⋅⋅+=D ．()()()()()22222233...42428811f f f n f n n n ++++++=++5．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是 A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a 3p s a a a ⋅=，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为116三、填空题1．已知数列{}n a 的通项公式是231n n a n +=+，若n N >时，恒有12100n a -<成立，则正整数N 的最小值为_________． 2．已知正项数列{}n a 中，21129n n a a +=+，若对于一切的*n N ∈都有1n n a a +>成立，则1a 的取值范围是__________．3．以1a 为首项､以q 为公比的等比数列{}n a 满足132a =，12q =-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3n t S t ≤≤恒成立，则实数t 的取值范围是__________． 4．已知数列{}n a 是首项为32的正项等比数列，n S 其前n 项和，且755314S S S S -=-，若()421k k S ≤⋅-，则正整数k 的最小值为__________．5．已知数列{}n a 对任意m ，n *∈N 都满足m n m n a a a +=+，且11a =，若命题“n *∀∈N ，212n n a a λ+≤”为真，则实数λ的最大值为__________．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，1055S =．数列1na 的前n 项和为n T ，若对一切*n ∈N ，恒有220n n mT T ->，且*m ∈N ，则m 的最大值为__________． 7．数列{}n a 的前项和记为n S ，若112a =，120n n a S ++=，1n =，2…，若n S k ≤恒成立，则k 的最小值是__________．8．等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈，且21526a a =，则使1212111n na a a a a a +++>+++成立的正整数n 的取值范围为__________．9．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()11102n n na n a +-++=，且132a =．若对任意的*n N ∈，都有2nn S m >，则实数m 的取值范围为__________． 10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若2a ，3a ，6a 成等比数列，且48S =-，当不等式22nnS a a <≤+恒成立时，求a 的取值范围__________． 11．已知数列{}n a 中，132a =，且满足11122n n n a a -=+()*2,N n n ≥∈，若对于任意*N n ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是__________． 12．如果函数()f x 满足：对于任意给定的等比数列{}(){},n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为__________．①()2f x x = ②()1f x x =+ ③()2f x x = ④()2xf x = ⑤()ln f x x =13．数列{}n a 中，()*1132,22n n a a n n N -=--≥∈，且1a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()34n S n λ⋅+≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为__________．14．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为__________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为122n n n S a +=-，若对一切正整数n ，不等式()2232019n n n a λ--<-恒成立，则满足条件的最小整数λ为__________．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为__________．17．数列{}n a 中，18a =，34a =且满足*212,n n n a a a n N ++=-∈．设*1()(12)n n b n N n a =∈-，1n T b =*2()n b b n N +++∈，对任意*n N ∈，均有32n m T >成立，则m 的最大值为__________． 四、双空题1．已知数列{}n a 满足：11a =，121(2)n n a a n n -=+-≥，则数列{}n a 的通项公式是___________；令n n b a n λ=+当{}n b 为单调递增数列时，实数λ的取值范围是__________． 2．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈．若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是__________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+，则整数k =___________．3．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根．记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =__________；设数列{}n a 的前n 项和为n S 则2020S =__________．4．函数y=f （x ），x ∈[1，+∞），数列{a n }满足()*n a f n n N ，=∈，①函数f （x ）是增函数； ②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f （x ）的解析式__________；写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）的解析式__________．5．数列{}n a 满足：1*1151,2(),22n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n a =__________，若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ∀∈恒成立，则实数t 的最小值为__________． 五、解答题 1．已知． （1）设，，求． （2）设，，且，问是否存在最小正整数，使得对任意，都有成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．2．已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列的通项公式； （2）设，，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 3．已知数列的前n 项和，点在函数的图象上（1）求的通项公式；（2）设数列的前n 项和为；（3）不等式对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n N ++=+∈，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；21()4f x x =+11a =()11n n f a a +=n a 22212,n n S a a a =+++1nn n b S S +=-1223341n n n T b b b b b b b b +=⋅+⋅+⋅++⋅m *n N ∈25n mT <m {}n a 11a =0d >{}n a ()()*13a nb n N n a =∈+22nn S b b b =+++t n 36n tS >t {}n a n S (),*()n n S n N ∈21122y x x =+{}n a 21n n a a -n T 1log (1)3n a T a >-（2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=⋅且()12211n n c c c b λ+++≥-+对任意n ∈+N 恒成立，求实数λ的取值范围．5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()n n a n n S *+=∈N．（1）证明{}1n a -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()211n n b n a =--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）求证：12311112nn a a a a ++++<+． 6．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，且1123a b =+=，227a b +=，4313a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设1122334451...(1)n n n n S a a a a a a a a a a ++=-+-++-．若0n n S tb +≤对任意的n ∈+N 恒成立，求t 的取值范围．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，1241n n a S n +=++，令22n n na b a +=，*n N ∈．（1）求证：数列{}2n a +为等比数列，并求n a ； （2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n n T +<． 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）在函数21122y x x =+的图象上．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()312n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（3）设()11412n n a n n c λ+-=+-⋅⋅（λ为非零整数，n *∈N ），是否存在确定的λ值，使得对任意n *∈N ，有1n n c c +>恒成立，若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．。
高三数学理培优辅导试题二数列不等式综合问题
（二）数列不等式综合问题1.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅2.在数列{}n a 中，11a =，()11302n n n n a a a a n --+-=≥（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项；（2）若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设数列n b ={}n b 的前n 项和为n T，求证：)213n T >。
3.对n N *∈，不等式组002x y y nx n >⎧⎪>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域为n D ，n D 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列112233(,),(,),(,),,(,)n n x y x y x y x y 。
（1）求n x 、n y ；（2）数列{}n a 满足11a x =，且2n ≥时，)111(2122212-+++=n n n y y y y a 。
证明：当2≥n 时，12221(1)n n a a n n n +-=+；（3）在（2）的条件下，试比较)11()11()11()11(321na a a a ++⋅+⋅+ 与4的大小关系4.设函数321()3g x x ax =+的图象在1x =处的切线平行于直线20x y -=。
记()g x 的导函数为()f x ，数列{}n a 满足：112a =,1()n n a f a +=。
（1）求函数()f x 的解析式； （2）试判断数列{}n a 的增减性,并给出证明；（3）当2,n n N ≥∈*时，证明:1211112111na a a <+++<+++。
5.已知函数),0(,12)(+∞∈++=x x x x f ，数列}{n x 满足),2,1)((1==+n x f x n n ，且11=x .(1)设2-=n n x a ，证明：n n a a <+1； (2)设(1)中的数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明22<n S .6.已知数列{}n a 、{}n c 中，10a =，112n n a a +=-，11n n c a =-。
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数列和不等式的综合复习I♦知识回顾1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列. —(2) 符号语言：a n +1 — a n = d(n € N). 2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d . 推广：a n = a m + (n — m)d.3. 等差中项a + b如果三个数a, A, b 成等差数列，贝U A 叫a 和b 的等差中项，且有 A= =+^ . 4. 等差数列的前n 项和公式5. 等差数列的性质(1) 等差数列｛a n ｝中，对任意的 m n, p, q € N,若m+ n = p+ q,贝Ua m + a n = a + a q .特殊的，若 m+n= 2p ，贝U a m + a n = 2a p .(2) 等差数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 S m , Sm — S m , S 3m — S 2m ,…仍成等差数列.S 禺 a n +1 S (禺6. 当项数为2n(n € N+),则S 偶一 S 奇=nd , = ------ ;当项数为2n — 1(n € N+),则S 奇一 S 偶=an,'=S t a n S 奇n — 1 n♦ 基础练习：1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1= 2, S= 12，贝U a 6= _____________________________ .2. 在等差数列｛a n ｝中，(1) 已知 a 4 + a 14= 2,贝U S 17=___________ ;(2) 已知 Sn = 55,贝U a 6 = _____________________ ;(3) 已知 S= 100, Si 6= 392，贝U S 24= ___________ .3、 已知｛a n ｝是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a ?a 3= a 4a 5, S= 1,则3的值是 ________________4、 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2= 7, S 7=— 7,则a ?的值为 _____________ .♦ 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列｛a n ｝的各项均为正数，前 n 项和为S ，且满足2S = a 2+ n — 4. (1) 求证：｛a n ｝为等差数列； (2) 求｛a n ｝的通项公式.♦等差数列的性质1、 已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a 1+ a 2=— 3, S 5= 10,则a g 的值是 _____________2、 在等差数列｛a n ｝中，若 a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a ?= 25,贝U a 2+ a 8= ____________ ;3、 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且So= 10, So= 30,则So= _______________ .♦等差数列中的最值问题)(1)若等差数列｛a n ｝满足a ?+ a 8 + a g >0, a ? + ae<0，当n 取何值时，｛a n ｝的前n 项和最大？数列部分(一)、等差数列(1) Sn= na 1 + n ( n —1)d . (2) Sn (a + a n )⑵已知数列｛a n｝为等差数列.若田<—1，且｛a n｝的前n项和S n有最大值，求使 S>0时n的最大值. a6(二)、等比数列♦知识回顾1. 等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列. — —a “+1 *⑵ 符号语言： 一=q(n € N, q 是等比数列的公比). a n 2. 等比数列的通项公式设｛a n ｝是首项为a i ，公比为q 的等比数列，则第 n 项a n = a i q n _1 推广：a n = amf m. 3. 等比中项若a, G, b 成等比数列，则 G 为a 和b 的等比中项且 G=± ab. 4.等比数列的前n 项和公式 ’(1)当 q= 1 时，S= na 1., , a 1 (1 — q n) ⑵当q z 1时，S== = 1 — q 5. 等比数列的性质(1) 等比数列｛a n ｝中，对任意的 m, n, p, q € N*，若m+ n = p + q,贝Ua m a n =a p a .特殊的，若 m+ n= 2p,贝y a m a n = a p .(2) 等比数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和(非零)仍成等比数列，即 S m , S 2m — Sn, S m — $m,…仍成等比数列，其公比为 q m(q — 1).(其中S m z 0)♦基础练习:1. 设S 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1, a §= 32，则0= ____________ .2. 若一1, x, y, z ，— 3成等比数列，则y 的值为 ___________ .3. 等比数列｛a n ｝中，a 1>0, 8284+ 2a 3a 5+ a 4a 6= 36,贝U a 3+ a 5= ___________ .4. 在各项均为正数的等比数列 __________________________ ｛a n ｝中，若a 2= 1, a 8= a 6+ 2a 4，贝U a 6的值是5. _____________________________________________________________________ 设等比数列｛a n ｝满足a 1+ a 3 = 10, a 2+ a 4= 5，贝U aa 2a 3…a n 的最大值为 _____________________________________ .♦等比数列的判定与证明已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S, 3S n = a n — 1(n € N *).(1) 求 a 1, a 2；(2) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； (3)求 a n 和 S.♦等比数列的性质已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足 af 9 = 4,则数列｛log 2a n ｝的前9项之和为 __________♦等比数列的应用设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1= 1, S+1 = 4a n + 2. (1) 设b n = a n + 1— 2a n ,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.a 1 — a n q1 — q♦知识回顾1. 已知数列｛a n ｝，满足a n +i — a n = f(n)，且f ⑴ + f(2) +…+ f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 a n ・ a n +1 ..2. 已知数列｛a n ｝，满足 =f(n)，且f(1) f (2)…f (n)可求，则可用累乘法求数列的通项a n .a n 3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再 求和； (3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4) 倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导方法. 4.常见的拆项公式♦基础练习:1. ____________________________________________________ 在数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 中，x= ________________________________________________________… 1 1 12. 求和：1X 2 + 2x 3+ …+ ( n — 1) n =------------ ' 3. 等比数列1 , 2, 4, 8,…中从第5项到第10项的和为♦分组转化法求和1 1 1 求数列1+1, a +4,孑+7尹10,♦错位相减法求和设等差数列｛a n ｝的公差为d,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q.已知b = a 1, b 2= 2, q= d, S 10 =100.(1) 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a n(2) 当d>1时，记C n =「，求数列｛c n ｝的前n 项和T n .b n♦裂项相消法求和在数列｛a n ｝中，a = 1,当n 》2时，其前n 项和S 满足&= an?—* (1) 求S 的表达式；S n(2) 设b n = 2n+1 求｛b n ｝的前n 项和T n .(三)、数列求和(1) 1n (n + 1) 1 1 n — n+7； (2) 1 (2n — 1)_( 2n + 1) 1( 1 — 1 、 2 2n — 1 2n + 1 ；_______ 11(n+1) (n +2)4. 已知数列｛a n ｝的通项公式a n =5. 数列｛a n ｝中，a n = (2n — 1)3n —1则该数列的前 项之和等于9.，则数列｛a n ｝的前n 项和S= 1e + (3n — 2)的前n 项和.(四)、数列的综合应用a 21. 若等差数列｛a n ｝和等比数列蚀满足十“ 一 1,十b 4= 8,则百2. )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和.若a 4+ a 5= 24, 48,则｛a n ｝的公差为 _________ .3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年45递增10%则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的 _______________ .(参考数据：1.1〜1.46 , 1.1〜1.61)4. (设数列｛a n ｝满足 a 1+ 3a 2 + …+ (2n — 1)a n = 2n. (1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 求数列%： [ f 的前n 项和.5. (2017 苏锡常镇一模)已知n 为正整数，数列｛a n ｝满足a n >0, 4(n + 1)a 2— na 2+1 = 0,设数列｛b n ｝满 2a n^足 b n = j~n.a n 、求证：数列*不『等比数列；若数列｛b n ｝是等差数列，求实数t 的值；若数列｛b n ｝是等差数列，前 n 项和为S,对任意的n € N ,均存在m € N *,使得8a 2S n — a 1n 2= 16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1的值.6、已知数列｛a n ｝是首项为1,公差为d 的等差数列，数列｛b n ｝是首项为1,公比为q(q > 1)的等比数列. (1)若a 5= b 5, q= 3,求数列｛a n • b n ｝的前n 项和；⑵ 若存在正整数k(k >2)，使得a k = b k ,试比较a n 与b n 的大小，并说明理由.不等式部分(一)一元二次不等式♦一元二次不等式及其解法1. 不等式3x 2— x — 4 < 0的解集是 ________ . 2. 不等式2x 2— x — 1>0的解集是 ______ .3. ____________________________________ 不等式—x 2— 2x+ 3>0的解集为2.. r x — 2x + 2 —冃 t ..2、 若—4 v x v 1,求的最大值.2x — 2(1) ⑵ ⑶♦含参的一元二次不等式的解法1 解关于x的不等式：ax2 + (a — 2)x — 2>0.♦2 一元二次不等式的恒成立问题1、设函数 f(x) = mx— mx- 1.(1) 若对于一切实数 x, f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于x € [1 , 3] , f(x)< — m+ 5恒成立，求 m的取值范围.♦3三个二次之间的关系已知函数f(x) = x2+ ax + b(a , b € R)的值域为[0 , + ^),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为｛x|m<x<m + 6｝，则实数c的值为___________ ;♦课后作业1. 函数y=羞的定义域为 ________________ .22. 已知集合 U= {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} , W {x|x — 6x+ 5< 0, x € Z}，则？鳩___________ .—x2— 2x, x>0, “3. 已知函数f(x) =* 2若f(3 — a2) v f(2a)，则实数a的取值范围是________x —2x , x v 0,(二)基本不等式♦基础练习1. 若实数a, b满足a + b= 2，贝U 3a+ 3b的最小值是_________ .12. 若 f(x) = x + -—2(x v 0)，贝U f(x)的最大值为 ___ .x2 1 m3. 已知a>0, b>0,若不等式- +丄恒成立，则 m的最大值为 a b 2a + b♦通过配凑法利用基本不等式求最值5 11、已知XU，贝U f(x) = 4x— 2+ —的最大值为；44x — 5 --------♦通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值8 21、已知x>0, y>0且x+ y = 1,^卜+ -的最小值为x y2、 已知 x>0 , y>0, x+ 3y + xy = 9,贝U x + 3y 的最小值为 _______♦基本不等式与函数的综合应用♦课后作业1、 3 1o< x v ,则x+y^3的最小值是 ___________ •4 12.已知正数x, y 满足x + y= 1,则x^2 + R 的最小值为 _______________ •y 43. __________________________________________________ 若正实数x, y 满足x + y= 1,则j + y 的最小值是 __________________________________________________ . a 22 14. 已知a, b 均为正数，且 ab — a — 2b = 0,则-+ b 2—；-的最小值为4 a b--------1 25. ______________________________________________________ 已知x>0, y>0,且+ y = 1,贝U x + y 的最小值是 ___________________________________________________ ;3函数y = 1 — 2x — -(x < 0)的最小值为 _____ .x 19 —6. 已知正数a, b 满足-+厂=3面一5，贝U ab 的最小值为a b * 1 |ai7. 已知a + b = 2, b>0,当亍厂+丫一取最小值时，实数a 的值是2|a| b--------Q Q QQa QK8. 已知a, b, c 为正实数，且 a + 2b< 8c, - + r<-，则 --------- 的取值范围是a b c cac c c\[5，亠9. 已知 a>0, b>0, c>2，且 a+ b = 2,则的最小值为b ab 2c — 2(三)不等式的综合应用4 1.函数y = x + _(x 丰0)的值域是 ________ .—，若不等式f(x) + f(2x) < k 对于任意的(已知函数f(x)2 —x + ax + 11 x + 1(a € R),若对于任意 x € N , f(x) > 3恒成立，则a 的取值范围是x € R 恒成立，贝U 实数k 的取值范围?2 8 3. 已知x>0, y>0且满足- + -= 1，则x+ y 的最小值是.x y4. 若正数a, b 满足ab= a+ b+ 3，贝U ab 的取值范围是 __________2. 设 x € R,f(x)。