c换底公式D
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论首先，我们来介绍一下换底公式：对于任意实数a，b，c，且a≠1，b≠1，有以下的换底公式：1. logₐb = logcₐ / logcₒb2. logₐ(b^c) = c * logₐb3. logₐ1 = 04. logₐa = 15. logₐ(ab) = logₐa + logₐb6. logₐ(b/c) = logₐb - logₐc接下来，我们将详细说明这些换底公式的推论：推论一： logₐb = 1 / logbₐ根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = b，并将logcₐ化简为1，得到 logₐb = logbₐ / logbₐ，再根据对数的倒数性质，可得 logₐb =1 / logbₐ。
推论二： loga(b^c) = logb(a^c)根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，将c替换成a^c，可得loga(b^c) = log(a^c)ₐ / log(a^c)ₒb，再根据log的指数性质loga(b^c) = logₐ(b^c)，log(a^c)ₐ = c，log(a^c)ₒb = c * log(a)ₒb，可得loga(b^c) = log(b)ₐ / log(b)ₒa^c = logb(a^c)。
推论三： loga1 = 0根据换底公式 logₐb = logₐ1 / logₐb，可以判断 logₐ1 = 0。
推论四： logaa = 1根据换底公式 logₐa = logₐa / logₐb，可以判断 logₐa = 1推论五： log(ab) = loga + logb根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = a * b，并将logcₐ化简为loga + logb，可得 log(ab) = loga + logb。
推论六： log(b/c) = logb - logc根据换底公式 logₐ(b/c) = logcₐ / logcₒ(b/c)，取c = b，logcₐ化简为1 / logbₐ，logcₒ(b/c)化简为logbₒ(b) - logbₒ(c)，可得 log(b/c) = logb - logc。
对数换底公式及其应用.
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
利用对数的换底公式化简下列各式：
利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
3.4.2 换底公式
3.4.2 换底公式导入新课问题 从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．新知探究提出问题①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a >0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1，100．301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2. 因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b x log c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a ≠1，b ＞0，c ＞0，c ≠1)称为对数换底公式． ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年． 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1计算：(1)log 927；(2)log 89·log 2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log 927＝log 327log 39＝32. (2)解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. 解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109. 解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109. 点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log 248；log 310；log 8π；log 550；log 1.0822.解：log 248＝5.585；log 310＝2.096；log 8π≈0.550；log 550＝2.431；log 1.0822＝8.795.例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ； (2)已知log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，求证：log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即log a x log ab x＝1＋log a b (获证)． 证法二：左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． (2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝λ. 所以log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .则经过1年，剩留量是y ＝0.84；经过2年，剩留量是y ＝0.842；……经过x 年，剩留量是y ＝0.84x .即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．方法二：依题意得0.84x ＝0.5，用科学计算器计算得x ＝log 0.840.5＝ln 0.5ln 0.84＝3.98， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．拓展提升 探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a. 证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂练习：P86 练习2，3，4课堂小结：1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．课后作业：P88 习题3-4B 组 4 补充：已知1271log 7＝a ，131log 5＝b ，求log 81175的值． 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n32＝52.。
对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式是解决不同底数下对数之间的转换问题的公式。
在数学中，对数换底公式是一个非常重要且常用的公式，它可以简化对数计算的过程，提高计算的效率。
下面我们将介绍对数换底公式的推导过程及总结。
对数换底公式的推导过程如下：
假设a、b为任意的正数且a≠1，我们需要推导loga(b)和logc(b)之间的关系，其中c是任意的正数且c≠1。
首先，我们知道对数的定义：loga(b)表示以a为底，b的对数。
所以有以下等式：
b = a^(loga(b))
接着，我们将b表示为以c为底的对数，即：
b = c^(logc(b))
将上面两个等式相等，得到：
a^(loga(b)) = c^(logc(b))
两边取对数，分别以a和c为底，得到：
loga(b) * loga(a) = logc(b) * logc(c)
由对数的定义可知，loga(a) = 1，logc(c) = 1，所以上式化简为：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
这就是对数换底公式的推导过程。
总结一下对数换底公式：
对数换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b为任意的正数，a≠1，c为任意的正数，c≠1。
对数换底公式的应用非常广泛，可以简化对数计算的过程，特别是在解决实际
问题或进行数学推导时，对数换底公式可以大大简化计算的复杂度，提高计算的效率。
通过对数换底公式的推导过程和总结，我们更深入地理解了对数的性质和应用，也为我们在数学计算中更灵活地运用对数提供了有力的工具和方法。
希望以上内容对您有所帮助。
对数 换底公式(二)
对数换底公式(二)
对数换底公式
一、定义
对数换底公式是指将一个对数的底换成另一个底的公式。
对于任
意正数a、b和c，且a≠1，b≠1，c≠1，对数换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a
二、公式解释及示例
1.对数换底公式可以用来计算不同底数下的对数值。
例
如，若要计算以3为底的对数7的值，可以利用对数换底公式进
行转换：
log3 7 = log10 7 / log10 3 ≈
这里利用了常用对数（底数为10）进行计算。
2.对数换底公式也可以用来转换为以e为底的自然对数。
例如，若要计算以e为底的对数8的值，可以利用对数换底公式
进行转换：
ln 8 = loge 8 = log10 8 / log10 e ≈
这里利用了常用对数和自然对数之间的换底关系。
3.另外，对数换底公式还可以用于解决一些复杂的指数
方程。
例如，要求解方程x^log5 2 = 3的解x，可以利用对数换底公式进行转换：
x^log5 2 = 3
logx (x^log5 2) = logx 3
log5 2 * logx x = logx 3
logx x = logx 3 / log5 2
x = 3^(logx 3 / log5 2)
这里利用对数换底公式将指数方程转化为对数方程，从而解得x的值。
以上是对数换底公式的相关公式及示例解释，希望对你的学习有所帮助。
换底公式怎么用
换底公式怎么用
1、对数计算
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题。
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有log2的。
要计算
只有计算
（或
两者结果一样）。
2、工程技术
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。
此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
高中数学同步学案 换底公式
2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥 换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明． 证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥 换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________． 解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值． 解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。
换底公式
log927
lg9
lg32
2
⑵ lo g 89lo g 2 73 2llg g3 2 2 3llg g3 2 5 32 3llg g3 25 3 llg g2 31 9 0
点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.
再思考活动:从例题的解答过程中，引导学生思考一 般真上(2)数 题性原 式 的也结 次 可论lo g 2 方 直，3 l3 o2 g数 接alo mg 为 这b3 3 n2 分 样5 m n子 算2 3 lloo g ：)g，2 a3 bl(o(15 3 强g)lo ag 原 调b3 式 2 l 底o1 g9 l0 数o bga32的331次(强3 2方lo调g3数3互为3 2为分倒母数，).
知识点——
换底公式
换底公式
【定义】
根据相等的两个正数的同底对数相等,若N=bx ，
两边取以 a为底的对数，得 ㏒a N=㏒abx
而㏒abx =x㏒ab,所以 ㏒a N= x㏒ab
由于b ≠1 ，则 ㏒ab ≠0 ，解出x ，得
因为 x= ㏒bN，所以 ㏒bN =
lo g a N lo g a b
x loga N loga b
换底公式
【变式训练】
解法二：对已知条件取以6为底的对数，得：
a log 6 3 2， b log 6 2 1
2
1
a
log 6
3, b
log 6
2
2 a
1 b
log 6
3
log 6
2
1
点评：本题考查对数的性质，一个等式的两边取
对数，是一种常用的技巧，一般地说，给出的等
对数换底公式
对数换底公式
换底公式，即自然对数的换底公式，是一个有力的数学工具，可
以用来解决多种多样的数学问题。
换底公式的全称叫“换底重要性定理”，它可以将任何字符串的对数从一个底数转换到另外一个底数。
换底公式的数学表述为：如果y=loga（x），则logb（x）=loga （x）/loga（b）。
其中a和b是常数，而x为等式的变量，换句话说，将任何数字从一个底数转换到另外一个底数需要除以固定的数值，即a 除以b。
例如，如果要将一个数从底数2转换到底数10，那么需要除
以2对10的比例，即log2（x）/log2（10）。
换底公式在很多领域中都有广泛的应用，例如科学计算、数学建模、统计分析等。
它可以用来计算指数函数关系、确定对数函数的斜
率和定义复杂的对数函数。
此外，换底公式还在大部分计算硬件中都
有应用，可以提高系统的计算效率。
换底公式的应用十分广泛，它能有效解决很多复杂的问题。
它是
很多数学问题的基础，可以帮助我们更好的理解不同的知识和方法。
所以，换底公式确实对学习数学有着重要的意义。
换底公式推导过程
换底公式推导过程如下：
换底公式：$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$，其中$c>0$且$c \neq 1$。
证明：设$log_{b}a=x$，则$b^{x}=a$。
同时，设$log_{c}a=y$，则$c^{y}=a$。
因为$c^{x}=a$，所以有$c^{x}=c^{y}$，根据指数函数的性质可知，当底数相等时，指数相等。
所以$x=y$，即$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$。
换底公式在各种数学、物理、工程领域都有广泛的应用。
拓展资料
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底
公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。
要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a 为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。
此时就要用到换底公式来换成以e 或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
换底公式的证明范文
换底公式的证明范文换底公式是指对于任意实数a、b、c，且a、b、c>0，有如下等式成立：logb a = logc a / logc b下面给出换底公式的证明。
首先，我们利用对数的定义来证明换底公式。
对于任意实数x、y，且x、y>0，有以下两个对数定义：logx a = m 表示 x^m = alogy b = n 表示 y^n = b我们要证明：logx a = logy a / logy x首先，根据对数的定义，我们有：x^logx a = a (1)y^logx a = a （2）接下来，我们将公式（2）代入公式（1）中，即：x^(logx a) = y^logx a即：(y^logx a)^(logx a) = y^logx a利用指数幂的性质，左侧可以化简为：y^(logx a * logx a) = y^logx a由于y>0，因此可以把上式两边取对数，得到：logy (y^(logx a * logx a)) = logy (y^logx a)即：logx a * logy x = logy a将上式左侧的logx a除以logy x，得到：logx a = (logx a * logy x) / logy x即：logx a = logy a / logy x因此，我们证明了换底公式logb a = logc a / logc b的正确性。
通过以上证明，我们可以得出结论：对于任意的实数a、b、c，且a、b、c>0，换底公式logb a = logc a / logc b是成立的。
换底公式在解决对数计算问题时非常有用，可以简化计算过程，提高计算效率。
换底公式
教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b m n b a n am log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a2︒ b m n a m b n ab b a m n nam log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log 3log 52.0===2︒ 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b∴ a b a -+=++==22l o g 15l o g 9l o g 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：yx z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq 3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++=254545452l o g 233l o g 6532=+=+⋅= 例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m 四、小结：换底公式及其推论 五、作业：1． 求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252． 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222l o g x 的值。
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1 1 1 0 求证：abc=1 x y z
6、求值： lg 5 log 7、求值： 2
log
2
10
20 (lg 2 2 ) 2 3log3 21
3)
3
log ( 2
(7 4 3 ) 10 2 lg 2 (189)
n
两个较为常用的推论： 1 loga b logb a 1 2 log a m b 例一、计算：1 5
1 log 0.2 3
n log a b （a，b>0 且均不为 1） m 2 log 4 3 log 1 4 32
2
解：1原式=
5 5
log0.2 3
5
5
1 log5 3
换底公式： loga N
logm N (a>0，a1) logm a
证：设 logaN=x，则 ax=N 两边取以 m 为底的对数： logm a x logm N x logm a logm N 从而得： x
logm N logm N ∴ loga N logm a logm a
lg 5 q ∴ lg 5 q lg 3 3 pq(1 lg 5) lg 3
3 pq 1 3 pq
∴ (1 3 pq) lg 5 3 pq ∴ lg 5 以下例题备用：
例五、计算： (log 4 3 log 8 3)(log 3 2 log 9 2) log 1
5 15 1 3
2原式=
1 1 5 1 5 3 log 2 3 log 3 2 log 2 2 2 2 4 4 4 2 18 1 log 18 2 a ∴log182=1a 2
例二、已知 log189=a，18b=5，求 log3645（用 a，b 表示） 解：∵log189=a∴ log 18 ∵18b=5∴log185=b ∴ log36 45
例六、若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 求 m 解：由题意：
1 lg 4 lg 8 lg m 1 ∴ lg m lg 3 ∴ m 3 2 lg 3 lg 4 lg 8 2
1、求下列各式的值：1 log9
1 log6 5 1 log8 7
3 5 3 5 6
x
1 4
பைடு நூலகம்
25 ) 12
7 2 2 2 的值。 ( ) 4 3(1 m ) ) 3、已知 lg5=m，lg3=n 用 m，n 表示 log308 ( 1 m 1 a 4、已知 log 3 2 求 log123(a) a
5、设 a，b，c 为不等于 1 的正数，若 a b c 且
x y z
∴
1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg 4 1 z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y
例四、若 log83=p，log35=q，求 lg5 解：∵log83=p∴ log2 3 3 p lg 3 3 p lg 2 3 p(1 lg 5) 又∵ log3 5
1 ( ) 4
2 25
49
(10)
3 (log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5) ( ) 4 log9 6 32(log2 3 log4 9 log8 27 log16 81 log32 243 )( 2、已知 2 lg(3x 2) lg x lg(3x 2) 求 log
log18 45 log18 9 log18 5 a b log18 36 1 log18 2 2a
y z
例三、设 3 4 6 t 1 求证：
x
1 1 1 z x 2y
证：∵ 3 4 6 t 1 ∴ x
x y z
lg t lg t lg t ，y ，z lg 3 lg 4 lg 6
2
4
32
5
解：原式 (log22 3 log23 3)(log3 2 log32 2) log 1 2 4
2
1 1 1 5 ( log 2 3 log 2 3)(log 3 2 log 3 2) 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 log 2 3 log 3 2 6 2 4 4 4 2