【必考题】初三数学上期中试题(含答案)
初三数学期中考试试卷及答案
初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。
求 sin A 和 cos C 的值。
...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。
2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。
第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。
求汽车在去程和返程时的平均速度。
...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。
注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。
九年级第一学期期中考试数学试卷(含参考答案)
九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。
人教版九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共6套)
人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一.选择题1、下列关于 X 的方程：①ax2+bx+c=0:②x'+ •!二6；③x—0；④x=3x2（5）（x+l ）（x・1） =XMX中，一元二次方程的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列标志既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）©c©D⅛⅛3、已知关于X的一元二次方程（a - 1） X2 - 2x÷l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a>2B、a<2C、a<2 且D、&V ・ 24、若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）B、x=lC、x=2DX x=33、一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2 - 7x÷10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A、12B、9C、13D、12 或 96、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD ±修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm',那么通道宽应设计成多少m?设通道宽为xm,则由题意列得方程为（）B、(30 - 2x) (20 - 2x) =78C、(30∙2x) (20 ・ x) =6X78D、(30∙2x) (20 ・ 2x)二6X787、如图，∆ABC为OO的内接三角形，ZAOB=IOO o ,则ZACB的度数为(C、150°D、160°8、如图，在OO中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、 AB丄CDB、ZAOB=4 ZACDC、AD= BDD、 Po二PD9、已知抛物线y二∙x'+2x∙3,下列判断正确的是（）A、开口方向向上，y有最小值是・2B、抛物线与X轴有两个交点C、顶点坐标是（■ 1, -2）D、当x<l时，y随X增大而增大10、有下列四个命题中，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②等弦所对的弧相等；③圆心角相等所对的弦相等；④半径相等的两个半圆是等弧.A、4个B、3个C、2个D、1个11、将抛物线y二3x：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A、y=3 （x+2）2+3B、y二3 （X ・ 2）2+3C、y二3 （x+2）2- 3D、y二3 （x・2）2- 312、下列说法正确的是（）A、弦是直径B、平分弦的直径垂直弦C、长度相等的两条弧是等弧D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个13、已知抛物线y=a X=+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2,・3）,那么该抛物线有（）A、最小值・3B、最大值・3C、最小值2D、最大值2二、填空题14、钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了 _______ 度.15、___________________________________________ 一元二次方程x'・4x+6二O实数根的悄况是_____________________________ .16、如图，在RtΔABC 中，ZBAC二90° , ZB二60° , ΔAB, C,可以由 AABC 绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点）, 连接CC',则ZCC' B'的度数是____________ .17、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、18、已知二次函数y=aX=+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，Φabc<0;②2a+b=0:③b'∙4dc<0;④d+b+c>O;⑤a - b+c<O.其中正确的结论有20、某商店四月份的利润为6. 3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的白分比下降，至六月份利润为5. 4万元.设下降的白分比为X,由题意列出方程21、__________________________________________________________ 已知In 是关于X的方程X2 - 2X- 3=0的一个根，则2m: - 4m= _______________ •22、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有_______ (填序号)23、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF. HMNo均为矩形，EF二b,NH=c,则b与C之间的大小关系是b ________ C (填＜、二、＞)三.解下列方程24、解下列方程(1)X2÷6X - 1=0(2)(2x+3) 2 - 25=0.四、解答题25、在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90° ,得ZU' B Z 0.(1)画岀旋转后的图形；(2)写出点A' , B,的坐标.26、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm, 水的最大深度为2c∏b求该输水管的半径是多少？27、如图，在RtΔABC中，ZACB二90, AD平分ZBAC,过A, C, D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(2)若AC=6, CB=8,求Z∖ACD的外接圆的直径.28、如图，已知抛物线与X交于A ( - 1, 0)、E (3, 0)两点，与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式：(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29、某体育用品丿占购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为X(X$60)元，销售量为y套.(1)求出y与X的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分—、＜b ＞选择题〈/b＞1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①当沪O时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②X2+ ≥=6 是分式方程；③x'=()是一元二次方程；④x=3x'是一元二次方程⑤(x÷l) (x・1) =X Mx,整理后不含X的二次项，不是一元二次方程.故选：B.【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.2、【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选：A.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.3、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△二4 - 4 (a - 1)二8 ・ 4a>0得：a<2.又a・l≠0Λa<2 且 &H1.故选C.【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出&的取值范围. 4、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为点(2, 5)、(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴X=故选D.【分析】由已知，点(2, 5)、(4, 5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点, 所以只需求两对称点横坐标的平均数.5、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：X2- 7x÷10=0,(X ・ 2) (x ・ 5) =0,X ・ 2=0, X ・ 5=0,Xι~2, x：=o >①等腰三角形的三边是2, 2, 5V2+2<5,・・・不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2, 5, 5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5二12；即等腰三角形的周长是12.故选：A.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.6、【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 ・ 2x) (20 ・ x)二6X78,故选C.【分析】设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30∙2x) m, 宽为(20・x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30・2x) (20・x)二6X78. 7、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D,连接AD, BD,V ZAOB=IOO O ,Λ ZD= 4 ZAOB=50° ,・•・ZACB=I80° ・ ZD二130° .【分析】首先在优弧AB上取点D,连接AD, BD,然后由圆周角定理，求得ZD 的度数，乂山圆的内接四边形的性质，求得ZACB的度数.8、【答案】D【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：TP是弦AB的中点，CD是过点P的直径，・・・AB丄CD,兄沪云方，ZiAOB是等腰三角形，・•・ ZAoB二 2 ZAOP,Y ZAOP二 2 ZACD,・•・ ZAoB二 2 ZAOP二2 × 2 ZACD二4 ZACD.故选D.【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答.9、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y- ■ x'+2x - 3= - (X-I) ^ - 2,a二・1,抛物线开口向下，对称轴为直线X二1,顶点坐标为(1, -2) , △二4・12二・8<0,抛物线与X轴没有交点，当x<l时，y随X的增大而增大. 故选：D. 【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可.10、【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故本选项错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；④半径相等的两个半圆是等弧，故本选项正确；其中正确的有1个；故选D.【分析】根据轴对称图形的概念和弧、弦和圆心角之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案.11、【答案】A【考点】二次函数图象与儿何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y二3x'向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3:IJI “左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3 (x+2) 2+3.故选A.【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.12、【答案】D【考点】垂径定理【解析】【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D.【分析】根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断.13、【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,所以该抛物线有最大值・3.故选B.【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,可直接做出判断.二、＜b ＞填空题＜∕b＞14、【答案】60【考点】生活中的旋转现象【解析】【解答】解：Y钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360。
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷及答案(各版本)
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2B. 0.5C. 3/4D. √23. 下列等式中，正确的是（）A. 3x + 4y = 7B. 2x 3y = 5C. 4x + 5y = 9D. 5x 6y = 84. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 b^2 = c^25. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a b)^2 = a^2 2ab +b^2 C. (a + b)^2 = a^2 2ab + b^2 D. (a b)^2 = a^2 + 2ab +b^26. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdB. (a b)(c d) =ac ad bc + bd C. (a + b)(c d) = ac + ad bc bd D. (ab)(c + d) = ac ad + bc bd7. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^3 + b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2)D.a^3 b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)8. 下列各式中，正确的是（）A. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^4 b^4 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)D. a^4 b^4 = (a b)(a^2 ab + b^2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3B. (a b)^3 =a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 C. (a + b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 + b^3 D. (a b)^3 = a^3 + 3a^2b 3ab^2 b^310. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4B. (a b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 4ab^3 + b^4C. (a + b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4D. (a b)^4 = a^4 + 4a^3b6a^2b^2 4ab^3 + b^4二、填空题（每题4分，共40分）11. 若一个数的平方根是±3，则这个数是_________。
九年级(上)期中数学试卷附答案解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE ∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC ∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE ∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=6cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．。
九年级上册数学期中考试试卷【含答案】
九年级上册数学期中考试试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列哪个是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 下列哪个数是虚数？（）A. 3B. -5C. √-1D. 04. 二项式展开式（x+y）^3的项数为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列哪个图形不是中心对称图形？（）A. 正方形B. 矩形C. 圆D. 正三角形二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）7. 一元二次方程的解可以是两个相同的实数根。
（）8. 函数y=2x+3的图像是一条直线。
（）9. 所有的正方形都是矩形。
（）10. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若a、b是不为0的实数，且a+b=0，则a和b的关系是_________。
12. 一个等差数列的第5项是10，第10项是20，则这个数列的公差是_________。
13. 若一个圆的半径为r，则它的直径是_________。
14. 二项式展开式（x+y）^4中x^2y^2的系数是_________。
15. 一个正六边形的内角和是_________度。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 简述一元二次方程的求解公式。
17. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
18. 什么是相似三角形？相似三角形的性质有哪些？19. 什么是中心对称图形？给出一个中心对称图形的例子。
20. 什么是概率？如何计算一个事件的概率？五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求它的面积和周长。
22. 解方程：2x-5=3x+4。
23. 一个等差数列的第1项是3，公差是2，求第10项。
24. 一个圆的半径是7cm，求它的周长和面积。
25. 抛掷一个正方体，求得到一个偶数面的概率。
(必考题)初中数学九年级上期中经典习题(含答案解析)
一、选择题1．题目文件丢失！2．题目文件丢失！3．题目文件丢失！4．题目文件丢失！5．题目文件丢失！6．题目文件丢失！7．题目文件丢失！8．题目文件丢失！9．题目文件丢失！10．题目文件丢失！11．题目文件丢失！12．题目文件丢失！13．题目文件丢失！14．题目文件丢失！15．题目文件丢失！二、填空题16．题目文件丢失！17．题目文件丢失！18．题目文件丢失！19．题目文件丢失！20．题目文件丢失！21．题目文件丢失！22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．题目文件丢失！三、解答题26．题目文件丢失！27．题目文件丢失！28．题目文件丢失！29．题目文件丢失！30．题目文件丢失！【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．D4．B5．D6．D7．A8．D9．B10．B11．C12．B13．A14．B15．C二、填空题16．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m的方程求得m的值即可【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=17．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了18．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根19．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB20．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键21．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D坐标为（46）；当将点C与点O重合时点C向下平移4个单位得到△22．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概23．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故24．【解析】【分析】连接OB根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB是⊙O的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P在线段AO上时AP最小为2当点P在25．18°【解析】【分析】设圆心为O连接OCODBD根据已知条件得到∠COD==72°根据圆周角定理即可得到结论【详解】设圆心为O连接OCODBD∵五边形ABCDE为正五边形∴∠COD==72°∴∠CB三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：解析丢失2．B解析：解析丢失3．D解析：解析丢失4．B解析：解析丢失5．D解析：解析丢失6．D解析：解析丢失7．A解析：解析丢失8．D解析：解析丢失9．B解析：解析丢失10．B解析：解析丢失11．C解析：解析丢失12．B解析：解析丢失13．A解析：解析丢失14．B解析：解析丢失15．C解析：解析丢失二、填空题16．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m的方程求得m的值即可【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：解析丢失17．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：解析丢失18．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：解析丢失19．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB解析：解析丢失20．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：解析丢失21．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D坐标为（46）；当将点C与点O重合时点C向下平移4个单位得到△解析：解析丢失22．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概解析：解析丢失23．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：解析丢失24．【解析】【分析】连接OB根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB是⊙O的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P在线段AO上时AP最小为2当点P在解析：解析丢失25．18°【解析】【分析】设圆心为O连接OCODBD根据已知条件得到∠COD==72°根据圆周角定理即可得到结论【详解】设圆心为O连接OCODBD∵五边形ABCDE为正五边形∴∠COD==72°∴∠CB解析：解析丢失三、解答题26．解析丢失27．解析丢失28．解析丢失29．解析丢失30．解析丢失。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。
2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。
3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。
4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。
5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。
6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。
7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。
【必考题】九年级数学上期中试题及答案
【必考题】九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为( )A．(x+3)2＝1B．(x﹣3)2＝1C．(x+3)2＝19D．(x﹣3)2＝194．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（）A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°5．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．1B．22C．2D．26．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120°D．125°7．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( ) A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 10．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y xB ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211+x x ＝﹣1，则k 的值为_____． 14．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.15．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．16．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．17．关于x 的方程的260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．18．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．19．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．20．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转150︒，得到ADE ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B 的度数为______．三、解答题21．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A ．“解密世园会”、B ．“爱我家，爱园艺”、C ．“园艺小清新之旅”和D ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，4OC =，42AC =．(1)求点O 到AC 的距离；(2)求ADC ∠的度数．23．已知关于x 的方程x 2+4x +3-a =0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．24．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于210cm ？ (2)在(1)中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由.25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s ） 频数（人数） A90＜s≤100 4 B80＜s≤90 x C70＜s≤80 16 D s≤70 6根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n= ，C 等级对应的扇形的圆心角为 度；（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a 1，a 2表示）和两名女生（用b 1，b 2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a 1和b 1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．2．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C ．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．D解析：D【解析】【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即2(3)19x -=，故选D ． 4．D解析：D【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．D解析：D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB ）=12×250°=125°． 故选D ． 点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．7．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA 1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A 、B 、C 1在同一条直线上，得到∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA 1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R 180π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数． 8．A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.9．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．10．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=， 故选C ． 点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.11．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一 解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k+＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k＞﹣34，∴k1＝﹣1舍去．∴k=3.故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．15．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：3 2【解析】【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝12·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，∴EA⊥BD，∴S△DEB＝12•x（6﹣3x）＝﹣32x2+3x=﹣32（x﹣1）2+32，∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .故答案为：32．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.17．9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根所以△=b2-4ac=0根据判别式列出方程求解即可【详解】∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根∴△=b2-4ac=0即（-6）2-4解析：9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2-4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．【详解】∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即（-6）2-4×1×m=0，解得m=9故答案为：9【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：1 8【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0，整理得：1-8m=0，解得：m=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．19．【解析】【分析】连接OAOB根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得∠AOB＝90°又OA＝OBAB＝4根据勾股定理得圆的半径是2【详解】解：连接OAOB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵解析：22．【解析】【分析】连接OA，OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠AOB＝90°，又OA＝OB，AB＝4，根据勾股定理，得圆的半径是22．【详解】解：连接OA，OB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵OA＝OB，AB＝4∴2224OA OB+=∴OA＝．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理根据圆周角定理得出∠AOB＝90°是解题的关键. 20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．(1) 14；(2)14【解析】【分析】(1)由概率公式即可得出结果；(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41164=．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．2；(2)135°．【解析】【分析】（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到2即可得到结论；（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】(1)作OM AC ⊥于M ，∵42AC =∴22AM CM ==∵4OC =， ∴2222OM OC MC =-=(2)连接OA ，∵OM MC =，090OMC ∠=，∴045MOC MCO ∠=∠=，∵OA OC =，∴045OAM ∠=，∴090AOC ∠=，∴045B ∠=，∵0180D B ∠+∠=，∴0135D ∠=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）a ＞-1;(2) x 1=-3,x 2=-1.【解析】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a 的取值范围；（2）把a 代入后解方程即可.试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根∴16-4（3-a ）＞0,∴a ＞-1 .（2）由题意得：a =0 ,方程为x 2+4x +3=0 ,解得12-3,-1x x == .点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．(1)3秒后，PQ 的长度等于10；(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .【解析】【分析】（1）由题意根据PQ=10，利用勾股定理BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【详解】解：(1)设x 秒后，10PQ =，5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(2225210x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于10(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =， 又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a 1和b 1的概率为16． 【解析】【分析】（1）根据D 组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x 的值；（2）用A 、C 人数分别除以总人数求得A 、C 的百分比即可得m 、n 的值，再用360°乘以C 等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a 1和b 1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人， ∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14； （2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%， ∴m=10、n=40，C 等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144； （3）列表如下：a 1和b 1的有2种结果，∴恰好选取的是a 1和b 1的概率为21126=．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。
【必考题】初三数学上期中试卷(附答案)
【必考题】初三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．133．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°4．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．235．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣46．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④ 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．±1D ．2 9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．1或4C ．4D ．010．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 11．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.15．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．16．已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，阴影部分的面积为_____．17．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________18．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．19．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．三、解答题21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．（1）小丽选到物理的概率为；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．24．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=34，AD=6，求线段AE的长．25．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.2．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B ．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.3．D解析：D试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．4．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．5．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．6．D解析：D【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．7．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.8．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 9．C解析：C【解析】【分析】先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1，而a−1≠0，所以m ＝4．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．10．C解析：C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；C. 如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a 是必然事件，正确;D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．C解析：C【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++， ∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误；∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.12．A解析：A【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r 则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr=12030180π⋅， 解得：r=10， 所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．14．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ， ∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+b x+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义.15．【解析】【分析】设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x 根据S △DEB ＝·BD·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x ∵∠A ＝90° 解析：32【解析】【分析】设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ，根据S △DEB ＝12·BD ·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ，∵∠A ＝90°，∴EA ⊥BD ，∴S △DEB ＝12•x （6﹣3x ）＝﹣32x 2+3x=﹣32（x ﹣1）2+32， ∴当x ＝1时，S 最大值＝32. 故答案为：32． 【点睛】 本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.16．π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积根据AB ＝10BC ：AC ＝3：4可以求得ACBC 的长再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算【详解】∵AB 为直径 解析：252π﹣24 【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，可以求得AC ，BC 的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．【详解】∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵BC ：AC ＝3：4，∴sin ∠BAC ＝35， 又∵sin ∠BAC ＝BC AB ，AB ＝10， ∴BC ＝35×10＝6， AC ＝43×BC ＝43×6＝8， ∴S 阴影＝S 半圆﹣S △ABC ＝12×π×52﹣12×8×6＝252π﹣24． 故答案为：252π﹣24． 【点睛】 本题考查求阴影部分的面积，解题关键在于能找到阴影部分的面积与半圆的面积、直角三角形的面积，三者的关系.17．x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可【详解】由题意得二次函数的对称轴为故当时y 随x 的增大而增大当时y 随x 的增大而减小∵∴当函数值y ＞0时x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为解析：x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可．【详解】由题意得，二次函数的对称轴为1x =故当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，∵()()1,0,3,0-∴当函数值y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为：x ＜-1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键．18．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概解析：1 4【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41 164，故答案为：14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答19．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为解析：1 24；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24．故答案为1 24．20．【解析】【分析】连接OAOB根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得∠AOB＝90°又OA＝OBAB＝4根据勾股定理得圆的半径是2【详解】解：连接OAOB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵解析：22．【解析】【分析】连接OA ，OB ，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠AOB ＝90°，又OA ＝OB ，AB ＝4，根据勾股定理，得圆的半径是22．【详解】解：连接OA ，OB∵∠C ＝45°∴∠AOB ＝90°又∵OA ＝OB ，AB ＝4∴2224OA OB +=∴OA ＝22．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理根据圆周角定理得出∠AOB ＝90°是解题的关键.三、解答题21．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=22222290?·1390?·11360360ππ++-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（1）12；（2）16【解析】【分析】（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为1 2（2）设思想政治为 A，地理为 B，化学为 C，生物为 D，画出树状图如下：共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种，∴P（选中化学、生物）=212=16.【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．24．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=34，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）证明见解析；（2）y=x2+4x+3．【解析】【分析】（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值.【详解】解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．当m≠0时，原方程为一元二次方程．∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0解得x1=-3，x2=-1m．∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1．∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．考点：二次函数综合题．。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.53．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=8009．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是度．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为度．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合所给图形的特点进行判断即可．【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；综上可得符合题意的有2个．故选：B、D．【点评】本题考查了轴对称及中心对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.5【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】先把x=0代入方法求出a的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x=0代入方程得a2﹣1=0，解得a=1或﹣1，由于a﹣1≠0，所以a的值为﹣1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．3．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点公式（﹣，）解题．也可以用配方法求顶点坐标．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1，y===5．∴顶点坐标为（1，5）．故选B．【点评】熟练运用顶点公式进行解题．4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．【专题】分类讨论．【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．【解答】解：x2﹣7x+12=0，（x﹣3）（x﹣4）=0，x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4，当3和4是两直角边时，第三边是=5；当4是斜边，3是直角边时，第三边是=，即第三边是5或，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，注意：解此题时要进行分类讨论．5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张【考点】中心对称图形．【专题】压轴题．【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义即可求解．【解答】解：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张．故选A．【点评】当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的，有变化的时候，旋转的便是有变化的．6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形；等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形；菱形是中心对称图形，是轴对称图形；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．【点评】注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，故选D．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，由此即可判定此结论是否正确；④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0；②∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，∴当x＜﹣1，y＜0；④从图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标都大于﹣1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．故错误的有①③．故选C．【点评】此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】点关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此知道（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【点评】本题主要是通过作图总结规律，记住，然后应用．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是y=6（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y=6x2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3．故答案为：y=6（x+2）2+3．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是25度．【考点】圆周角定理．【分析】先求出∠ACB的度数，圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，再根据平行，得到内错角∠OAC=∠ACB．【解答】解：∵AO∥BC，∴∠OAC=∠ACB．又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角，∴∠ACB=∠AOB=25°，∴∠OAC的度数是25°．故答案为：25．【点评】本题利用了圆周角定理和两直线平行内错角相等求解．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是30°；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴先AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°．【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是40．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这个班的人数是x，则每人需送出（x﹣1）张照片，共送出x（x﹣1）张，结合题意即可列出方程，进而求出答案．【解答】解：设这个班的人数是x，根据题意得：x（x﹣1）=1560，解得x1=40，x2=﹣39（舍去）答：这个班的人数是40．故答案为：40．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为6cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】动点型．【分析】根据垂线段最短，可以得到当OP⊥AB时，点P到圆心O的距离最短．根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当点P运动到OP⊥AB时，点P到到点O的距离最短，由垂径定理知，此时点P为AB中点，AP=8cm，由勾股定理得，此时OP==6cm．【点评】本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为15度．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据量角器的读数，可求得圆心角∠AOB的度数，然后利用圆周角与圆心角的关系可求出∠1的度数．【解答】解：∵∠AOB=70°﹣40°=30°；∴∠1=∠AOB=15°（圆周角定理）．故答案为：15°．【点评】本题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为﹣2．【考点】二次函数的定义；二次函数的性质．【分析】先依据二次函数的定义知，系数1﹣m一定不为0，1﹣m＞0，再得出m 2﹣2=2，求出m的值即可．【解答】解：由题意：∴1﹣m≠1，1﹣m＞0，m＜1，m 2﹣2=2，解得：m=±2，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据性质得出m的值是解题关键．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）先移项得到3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程．【解答】解：（1）（y﹣3）（y﹣1）=0，y﹣3=0或y﹣1=0，所以y1=3，y2=1；（2）（x﹣1）2=，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（3）3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x）=0，x﹣1=0或3x﹣3﹣x=0，所以x1=1，x2=；（4）x2﹣x+（）2=0，（x﹣）2=0，所以x1=x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．【解答】证明：∵AD=BC，∴=，∴+=+，即=．∴AB=CD．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式．【解答】解：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得，①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④，①+②×2得6a+3c=0⑤，④×3﹣⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=﹣4，把a=6，c=﹣4代入②得，b=2，故．∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=1﹣4×（c﹣a）=0，整理得4a﹣4c+1=0 ①，∴a≠c，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，∴a=b ②，∴△ABC为等腰三角形；（2）a，b是方程x2+mx﹣3m=0的两个根，∴方程x2+mx﹣3m=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×（﹣3m）=0，即m2+12m=0，∴m1=0，m2=﹣12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），∴m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】（1）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠BAC=∠OAC即可；（2）根据平行得出相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠O AC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）解：∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．∴OE=AB•cos60°=2×=．【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据图象可得出A、B两点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出对称轴和顶点坐标．（3）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，P，Q关于抛物线的对称轴对称，那么两点的纵坐标相等，因此P点到x轴的距离同Q到x轴的距离相等，均为m的绝对值．【解答】解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．【点评】本题考查二次函数的有关知识，通过数形结合来解决．。
九年级数学上册期中考试试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 如果 a = 3，b = 4，那么a² + b² 等于多少？A. 25B. 30C. 35D. 403. 下列哪个数是质数？A. 12B. 17C. 20D. 214. 如果一个三角形的两边分别是3和4，那么第三边的长度可能是多少？A. 1B. 4C. 6D. 75. 下列哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √18二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何偶数乘以偶数都是偶数。
（）2. 任何奇数乘以奇数都是奇数。
（）3. 0是一个自然数。
（）4. 任何一个整数都可以分解为几个质数的乘积。
（）5. 任何一个正整数都有因数1和它本身。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么第四项是______。
2. 如果一个三角形的两边分别是5和12，那么第三边的长度不可能是______。
3. 下列哪个数是合数？______4. 下列哪个数是立方数？______5. 下列哪个数是平方数？______四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是等差数列。
2. 解释什么是等比数列。
3. 解释什么是质数。
4. 解释什么是合数。
5. 解释什么是无理数。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的前三项分别是3，7，11，求这个数列的公差。
2. 如果一个三角形的两边分别是6和8，那么第三边的长度可能是多少？3. 如果 a = 2，b = 3，那么a² + b² 等于多少？4. 如果一个数是12的倍数，那么这个数也一定是3的倍数吗？为什么？5. 如果一个数是9的倍数，那么这个数也一定是3的倍数吗？为什么？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析为什么0既不是正数也不是负数。
2. 分析为什么1既不是质数也不是合数。
九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=122．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣13．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+24．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：36．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣167．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞011．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是，对称轴是．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案．【解答】解：由=，得4m=3n．A、4m=3n，故A正确；B、4m=3n，故B错误；C、m=，故C错误；D、4m=3n，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键．2．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）【解答】解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴m+1＞0，解得m＞﹣1．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】解：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1）2﹣2．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ADE∽△ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）因此本题的三个结论都正确，故选A．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2DE，∴．故选B．【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．6．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣16【考点】二次函数的三种形式．【分析】将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值．【解答】解：∵y=x2+6x+7=x2+6x+9﹣9+7=（x+3）2﹣2，∴h=﹣3，k=﹣2．故选：B．【点评】此题考查二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1==﹣3，y2=，y3==1．∵﹣3＜1＜，∴y1＜y3＜y2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；B、由图象可知函数有最小值，故正确；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；D、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】本题形数结合，根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象位置，可判断a、b、c的符号；再由一次函数y=ax+b，反比例函数y=中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0；与y轴交于正半轴，c＞0；对称轴x=﹣＜0，故b＜0；于是直线y=ax+b过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限．故选B．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；开放型．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣2即可．【解答】解：根据题意得：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一），故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是m＜1．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】利用抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+1，∴顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．故答案为：（2，1），x=2．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线的形状与|a|有关，开口方向与a的正负有关．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，∴二次项系数的绝对值相等，都为；∵开口方向相反，∴二次项系数互为相反数，即y=ax2中，a=．故答案为：．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是﹣6．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义即可直接求解．【解答】解：S△POD=|k|=3，又∵k＜0，∴k=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于1：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=1：9．故答案为1：9．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】判别式法．【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=0，∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；∴m=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D（注：只需写出一个正确答案即可）．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知一组角对应相等，要使△ABC∽△ADE，则可补充∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D 或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=或．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1．【考点】二次函数的图象．【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1=0，利用这两个条件即可求出a的值．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=﹣4．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1，﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知，当x=0或2时，y=﹣2，根据二次函数图象的对称性，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，对称轴为x==1，顶点（1，﹣2），根据对称性，x=3与x=﹣1时，函数值相等，都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，对称轴，利用二次函数的对称性解答．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为（1，8）；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】规律型．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P1（1，8），P2（2，4），P3（3，），P4（4，2），再利用矩形的面积公式分别计算出S1=，S2=，S3=，观察面积的值得到分子为8，分母为序号数和比序号数大1的数的积，由此得到Sn=．【解答】解：当x=1时，y==8，则P1（1，8）；当x=2时，y==4，则P2（2，4）；当x=3时，y==，则P3（3，）；当x=4时，y==2，则P4（4，2）；S1=1×（﹣）=，S2=1×（﹣）=，S3=1×（﹣）=，…，所以Sn=．故答案为（1，8），，．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x﹣4）2﹣8，然后把点（6，0）代入进行计算即可得解；（2）设抛物线交点式解析式y=a（x+2）（x﹣3），然后把点（0，6）代入计算即可得解．【解答】解：（1）设y=a（x﹣4）2﹣8，则a（6﹣4）2﹣8=0，解得a=2，则y=2（x﹣4）2﹣8；（2）设y=a（x+2）（x﹣3），则a（0+2）（0﹣3）=6，解得a=﹣1，则y=﹣（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．（2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．（3分）∴△ABE∽△DFA．（4分）（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出对应边的比例式，根据CD=AB，进行相关线段的等量代换即可．【解答】证明：在▱ABCD中，因为AB∥DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD，又因为∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF，所以=，又CD=AB，所以=，故AD•AB=AF•CE．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明△ECD和△DAF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．（3）∵一次函数的解析式是y1=x+1；∴直线AB与y轴的交点为（0，1），∴S△AOB=+=．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【专题】计算题．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y1=ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标；（3）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象；（4）观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3）；当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（3，0）；（3）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），如图，（4）当x＜﹣1或x＞3时，y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴=∴x=（2）假设两三角形可以相似情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=cm，情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP=cm或AP=20cm．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【解答】解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．。
【必考题】九年级数学上期中试题(附答案)
【必考题】九年级数学上期中试题(附答案)一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 3．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°4．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④6．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．7．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k ≠1B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1D ．12k < 8．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．89．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 二、填空题13．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．14．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____度．15．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．16．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是_____.17．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，边AB=6，AD=8，四边形OCED为菱形，若将菱形OCED绕点O旋转一周，旋转过程中OE与矩形ABCD的边的交点始终为M，则线段ME的长度可取的整数值为___________________．18．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．19．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.20．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm三、解答题21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．22．某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润W（元）与销售单价x元）之间的函数关系式；（3）若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？23．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.24．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠CDA=23，求CD的长．25．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．D解析：D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法3．D解析：D【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC ＝90°，求出∠DCE ＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD ，如图，∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∵∠DOE ＝40°，∴∠DCE ＝20°，∴∠A ＝90°−∠DCE ＝70°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.5．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．6．D解析：D【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0≤t≤3），即S=12t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．7．A解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．8．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；故答案为B ．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 9．D解析：D【解析】【分析】求出b 2-4ac 的值，根据b 2-4ac 的正负即可得出答案．【详解】x 2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．11．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．12．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x++=，289x x+=-，2228494x x++=-+，所以()247x+=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.二、填空题13．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M= C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．14．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm 圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm 扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×解析：240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm ，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm ，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．【点睛】此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．15．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可【详解】∵关于x 的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故解析：k ≤43且k ≠0； 【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0，解得k≤43且k≠0， 故答案为：k≤43且k≠0 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.17．345【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M 根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE 的长在旋转过程中求出OM 的取值范围进而得出ME 的取值范围进而求解【详解】如图连接OE 交CD 与点M ∵矩形ABCD 对角线A解析：3，4，5【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解．【详解】如图，连接OE 交CD 与点M ，∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===，∴由勾股定理知，10BD =，∴5OA OB OC OD ====，∵四边形OCED 为菱形，∴OE CD ⊥，132DM CD ==，∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3，当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5，∴35OM ≤≤，∵8OE =，∴35ME ≤≤，∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5，故答案为：3，4，5．【点睛】本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME 的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．18．1800°【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°故答案为1800°考点：多边形内角与外角解析：1800°【解析】 试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．考点：多边形内角与外角．19．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x 即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A ′D=x ，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x ，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA ′=8或AA ′=4．【详解】设AA ′=x,AC 与A ′B ′相交于点E ，∵△ACD 是正方形ABCD 剪开得到的，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，=4,x2=8，解得x1即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.20．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．三、解答题21．（I）BD＝22；（II）见解析.【解析】【分析】（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；（II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．【详解】解：（I）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∵BC＝4，∴BO＝OD＝2，∴BD==；（II）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵∠BAD＝∠CBD，∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．22．（1）y＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；（2）W＝﹣20x2+2200x﹣56000；（3）商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【解析】【分析】（1）销售量y件为200件加增加的件数（60-x）×20；（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x-40）（-20x+1400），整理即可；（3）先利用二次函数的性质得到w=-20x2+2200x-56000=-20（x-55）2+4500，而56≤x≤60，根据二次函数的性质得到当56≤x≤60时，W随x的增大而减小，把x=56代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．【详解】（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20＝﹣20x+1400，∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为: y＝﹣20x+1400，（2）设该品牌童装获得的利润为W（元）根据题意得，W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，∴销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式为：W＝﹣20x2+2200x﹣56000；（3）根据题意得56≤x≤60，W＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500∵a＝﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当56≤x≤60时，W 随x 的増大而减小，∴当x ＝56时，W 有最大值，W max ＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元），∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．23．（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322【解析】 试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长．试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：2，则903232180n r l ππ⨯===． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．24．（1）证明见解析；（2）4.【解析】分析：（1）连接OD ，如图，先证明∠CDA=∠ODB ，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由于∠CDA=∠ODB ，则tan ∠CDA=tan ∠ABD=23，根据正切的定义得到tan ∠ABD=23AD BD =，接着证明△CAD ∽△CDB ，由相似的性质得23CD AD BC BD ＝＝，然后根据比例的性质可计算出CD 的长．详（1）证明：连接OD ，如图，∵OB=OD ，∴∠OBD=∠BDO ，∵∠CDA=∠CBD ，∴∠CDA=∠ODB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵∠CDA=∠ODB ，∴tan ∠CDA=tan ∠ABD=23， 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD=23AD BD ， ∵∠DAC=∠BDC ，∠CDA=∠CBD ，∴△CAD ∽△CDB ， ∴23CD AD BC BD ＝＝， ∴CD=23×6=4． 点睛：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．25．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣22．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=25．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．9．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【考点】圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】几何变换．【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．16．观察下列图形规律：当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可．【解答】解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；n=2时，“●”的个数是6=3×2；n=3时，“●”的个数是9=3×3；n=4时，“●”的个数是12=3×4；∴第n个图形中“●”的个数是3n；又∵n=1时，“△”的个数是1=；n=2时，“△”的个数是3=；n=3时，“△”的个数是6=；n=4时，“△”的个数是10=；∴第n个“△”的个数是；由3n=，可得n2﹣5n=0，解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．故答案为：5．【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣（2015+π）0=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用十字相乘法因式分解得到（2x﹣3）（x﹣2）=0，推出2x﹣3=0，x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2，【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β和αβ，再把α2+β2变形（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可；（2）把化为，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11；（2）∵α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴===﹣11．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】根据A点坐标得到OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB 绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，根据旋转的性质得到A′C=AB=3，OC=OB=4，再写出A′点的坐标．【解答】解：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，如图，OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，则A′C=AB=3，OC=OB=4，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE可知=，再由=即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE的度数，再由BE=CE可得出∠BOE=∠COE，根据补角的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，∴=．∵=，∴=，∴BE=CE；（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，∴∠BOE=180°﹣50°﹣50°=80°．∵由（1）知，BE=CE，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°﹣80°﹣80°=20°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=PA=，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得PD=P′B=，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ 的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B=，在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，∵（）2+（2）2=（）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴A B2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0即可求出a的取值范围和交点的坐标；（2）根据轴对称性质表示出点P的坐标并代入抛物线，求出a的值，用△ACP的面积减去△ADC 的面积即可求出△PCD的面积．【解答】解：（1）由题意联立，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由△=25+32a＞0，解得：，∵a≠0，∴且a≠0，当x=0时，y=a，∴A（0，a），∵y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+a+1，∴M（﹣1，a+1）．（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，，解得：，所以直线MA为y=﹣x+a，联立，解得，所以：N（，），∵点P是N关于y轴的对称点，∴P（﹣，），代入y=﹣x2﹣2x+a，得，解得：a=，或a=0（舍去），∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+，直线BC为y=﹣，当x=0时，y=﹣，∴C（0，﹣），A（0，），M（﹣1，），∴|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△DAC=|AC|×|x p|﹣|AC|×|x D|=××3﹣××1=．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象的交点和三角形的面积是解题的关键．。
九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=94．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．65．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3 8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=209．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了度．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE 的最大面积及E点的坐标．参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选：B．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B．4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．6【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．故选：C．6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：∵∠BOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=30°．故选：D．7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，3），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：A．8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．故选：B．9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴CE=DE，即AB为CD的垂直平分线，∴AC=AD；∴选项B、C正确；∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE，∴选项A正确；故选：D．10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=﹣2．【解答】解：由对称轴公式：对称轴是直线x=﹣=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=1．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，∴x1•0=k﹣1，解得k=1．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程7800（x+1）2=9100．【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．故答案为：7800（x+1）2=9100．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了270度．【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．故答案为：270．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．【解答】解：连接AC，则∠ACB=90°．∵E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥CD，CD=BD=BC=×8=4cm．设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r．故OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得：r=5．故AB=2r=2×5=10cm．在Rt△ABC中，AC===6cm．在Rt△ADC中，AC=6cm，CD=4cm，故AD===2（cm）．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是（4，5）．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1．∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．故点Q的坐标是（4，5）．故答案为：（4，5）．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，∴k＞，又∵二次项系数不为0，∴k≠1，即k≥且k≠1．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴弦AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°；故答案为：30°或150°．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有n2﹣n+1个点．【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为x1＜a＜b＜x2．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x ﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：x1＜a＜b＜x2，故答案为：x1＜a＜b＜x2．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，所以x1=2，x2=3；（2）（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵△=1＞0，∴AB≠AC，∴AB、AC中有一个数为5．当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，解得：k1=4，k2=5．当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0，∴x1=4，x2=5．∵4、5、5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；当k=5时，原方程为x2﹣11x+30=0，解得：x1=5，x2=6．∵5、5、6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意．综上所述：k的值为4或5．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，A''B''C''即为所求；（3）如图，P'（2.5，0）．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？【解答】解：由题意，得（350﹣10x）（x﹣21）=400，解得：x1=25，x2=31．∵x＜21（1+20%），∴x＜25.2．∴x=31应舍去．∴x=25．答：每件衣服的售价为25元．25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，∴DF是⊙O的直径所在的直线，∴DF⊥DE，又∵AC∥DE，∴DF⊥AC，∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）（2）证明：由（1）知：AG=GC，又∵AD∥BC，∴∠DAG=∠FCG；又∵∠AGD=∠CGF，∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）∴AD=FC；∵AD∥BC且AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴FC=CE；（5分）（3）解：连接AO，∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm；在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2﹣AG2=52﹣42=9，∴GD=3；（6分）设圆的半径为r，则AO=r，OG=r﹣3，在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，有：r2=（r﹣3）2+42，解得r=，（8分）∴⊙O的半径为cm．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，解得：m=﹣，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．。
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x
28
80
1 4
x
42
5000
1 x2 129x 8416 4
1 x 2582 8225 ，
4
∵当 x=258 时， y 1 258 42 22.5 ，不是整数， 4
∴x=258 舍去，
∴当 x=256 或 x=260 时，函数取得最大值，最大值为 8224 元，
又∵想让客人得到实惠，
4a 故选 B.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解： y x2 2mx 4=(x m)2 m2 4 ，∴点 M（m，﹣m2﹣4），∴点 M′（﹣m，
m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得 m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）． 故选 C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质．
是甲出发后（ ）
A．1h
B． 0.75h
C．1.2h 或 0.75h
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
D．1h 或 0.75h
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60 ， 90 ， 210 ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 ( )
这条抛物线上，则点 M 的坐标为（ ）
A．（1，-5）
B．（3，-13）
C．（2，-8）
D．（4，-20）
4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知实数 a 0 ，则下列事件是随机事件的是（ ）
A． a 0
B． a 1 0
C． a 1 0
D． a2 1 0
6．某宾馆共有 80 间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年 7 月份，每天的房间空闲
A． 1 6
B． 1 4
C． 1 3
D． 7 12
11．如图，已知二次函数 y ax2 bx c （ a 0 ）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
对称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结
论：
①当 x＞3 时，y＜0；
②3a+b＜0；
23．已知关于 x 的方程 mx2 (3m 1)x 3 0 . （1）求证：不论 m 为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线 y mx2 3m 1 x 3与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试
确定此抛物线的解析式． 24．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某 葡萄种植基地 2017 年种植“早黑宝”100 亩，到 2019 年“卓黑宝”的种植面积达到 196 亩. （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为 20 元/千克时，每天能售出 200 千克，售价每 降价 1 元，每天可多售出 50 千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已 知该基地“早黑宝”的平均成本价为 12 元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利 1750 元， 则售价应降低多少元？ 25．如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC， AB 相交于点 D，E，连结 AD．已知∠CAD=∠B, （1）求证：AD 是⊙O 的切线．
数 y（间）与定价 x（元/间）之间满足 y＝ 1 x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本 4
为 5000 元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出 28 元的各种费用，宾馆想要
获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252 元/间
B．256 元/间
C．258 元/间
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案. 【详解】 A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意， C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图 重合．
（2）若 BC=8，tanB= 1 ，求⊙O 的半径． 2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】 把 x1 代入方程 ax2+2x+c=0 得 ax12+2x1=-c，作差法比较可得． 【详解】 ∵x1 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax12+2x1+c=0，即 ax12+2x1=-c， 则 M-N=（ax1+1）2-（2-ac） =a2x12+2ax1+1-2+ac =a（ax12+2x1）+ac-1 =-ac+ac-1 =-1， ∵-1＜0， ∴M-N＜0， ∴M＜N． 故选 C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知 数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
18．在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测，抽 到合格产品的概率是 ． 19．如图，是一个长为 30m，宽为 20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余 的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为 532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
k≤4,当 k=3 时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选 B. 考点：函数图像与 x 轴交点的特点.
8．D
解析：D 【解析】
【分析】
据题画出图形如图，设走了 x 小时，则 BF=AG=4x，AF=7－4x，根据勾股定理列出方程，
解方程即得答案.
【详解】
解：如图，设走了 x 小时，根据题意可知：BF=AG=4x，则 AF=7－4x，根据勾股定理，得
20．如图所示过原点的抛物线是二次函数 y ax2 3ax a2 1的图象，那么 a 的值是
_____．
三、解答题
21．某商场经销一种成本为每千克 40 元的水产品，经市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能售出 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克．针对这种水产品 的销售情况，请解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克 55 元，计算月销售量和月销售利润； （2）商场计划在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销 售单价应定为多少？ 22．某市场将进货价为 40 元/件的商品按 60 元/件售出，每星期可卖出 300 件．市场调查反 映：如调整价格，每涨价 1 元/件，每星期该商品要少卖出 10 件． （1）请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润 y（元）与该商品每件涨价 x（元）间的 函数关系式； （2）每月该商场销售该种商品获利能否达到 6300 元？请说明理由； （3）请分析并回答每件售价在什么范围内，该商场获得的月利润不低于 6160 元？
∴x=260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为 256 元时，才能获得最大利润，最大利润为 8224 元．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模
型，利用配方法求最值．
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：若此函数与 x 轴有交点，则 (k 3)x2 2x 1=0 ，Δ≥0，即 4-4(k-3)≥0,解得：
故选：B． 【点睛】 本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必 然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的 事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配 方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况． 【详解】 设每天的利润为 W 元，根据题意，得： W=（x-28）（80-y）-5000
7
4x2
4x2
25
，即
4x2
7x
3
0
.解得：
x1
1，
x2
3 4
.
故选 D. 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是 解题的关键.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】
线 x=﹣1，给出四个结论： ①c＞0；
②若点
B（
3 2
，
y1
）、C（
5 2
，
y2
）为函数图象上的两点，则
y1
y2
；
③2a﹣b=0；
④ 4ac b2 ＜0，其中，正确结论的个数是（ ） 4a
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知抛物线 y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M′，若点 M′在
③ 1 a 2 ； 3
④ 4ac b2 8a ；
其中正确的结论是（ ）
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