2019年天津市高考数学模拟试卷及参考答案
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学模拟试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A、B全集U＝{1、2、3、4}，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A ∩∁U B＝（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅2．（3分）设变量x，y满足约束条件{x+y≤52x−y≤4−x+y≤1y≥0，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．453．（3分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．10C．﹣6D．﹣154．（3分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）设函数f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4），则函数y＝f（x）是（）A．奇函数，其图象关于点（π，0）对称B．奇函数，其图象关于直线x=π2对称C．偶函数，其图象关于点（π，0）对称D ．偶函数，其图象关于直线x =π2对称 6．（3分）已知函数f （x ）=x 3cosx 的定义域是（−π2，π2），当x i ∈(−π2，π2)，i ＝1，2，3时，若x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 1+x 3＞0，则有f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）的值（ ） A ．恒等于零 B ．恒小于零 C ．恒大于零D ．可能小于零，也可能大于零 7．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2＝2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4√3D ．4√58．（3分）设f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣g（x ）在x ∈[﹣2，3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（2√2，113） B ．（2√2，113] C ．（2√3，4） D ．（2√3，4]二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．（3分）设复数z 满足1+z 1−z=i 其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是 ．10．（3分）若（x +a√x3）8的展开式中x 4的系数为56，则实数a ＝ ．11．（3分）在极坐标系中，直线θ=π3(ρ∈R)被圆ρ＝2a sin θ（a ＞0）所截弦长为2√3，则a ＝ ．12．（3分）已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥面BCD ，∠BDC ＝90°，AB ＝BD ＝2，CD ＝1，则三棱锥的外接球的体积为 ． 13．（3分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞1，且a +b ＝1，则（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为 ．14．（3分）在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，若AO →=14AC →，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →+OB →+OD →|的最小值是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，角A ＝60°，且sin B +sin C =13√314． （1）求bc 的值；（2）若b ＜c ，求cos （2B +A ）的值．16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望．17．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，DE ＝EF ＝1，DC ＝2，∠EAD ＝30°． （1）求证：CD ⊥平面ADE ；（2）在线段BD 上是否存在点G ，使得平面EAD 与平面F AG 所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出DG DB的值；若不存在，说明理由．18．数列{a n }是公比为12的等比数列，且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ，数列{b n }是等差数列，b 1＝8，前n 项和T n 满足T n ＝n λ•b n +1（λ为常数，且λ≠1）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及λ的值； （Ⅱ）令∁n =1T 1+1T 2+⋯+1T n ，求证：∁n ≤14S n ． 19．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，椭圆的左焦点为F ，椭圆上任意点到F 的最远距离是√6+2，过直线x =−a 2c 与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：C、F、B三点共线；（3）求△MBC面积S的最大值．20．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（2）若f（x）在x＝1处取得极值，判断当x∈（0，2]时，存在几条切线与直线y＝﹣2x 平行，请说明理由；（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞5 4．2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为全集U ＝{1.2.3.4．}，且∁U （A ∪B ）＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}， B ＝{1，2}，所以∁U B ＝{3，4}，所以A ＝{3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}． 所以A ∩∁U B ＝{3}． 故选：A ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0，得如图所示的可行域，由{x +y =5−x +y =1解得A （2，3）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出S ＝﹣12+22﹣32+42的值， 可得：S ＝﹣12+22﹣32+42＝10． 故选：B ．4．【解答】解：由题意可得α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，若再满足a ⊥b ，则不能推得α⊥β； 但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a ⊥b 故“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．5．【解答】解：f （x ）＝sin （2x +π4）+cos （2x +π4）=√2sin （2x +π4+π4）=√2sin （2x +π2）=√2cos2x ，则函数f （x ）是偶函数，当x =π2时，f （π2）=√2cos （2×π2）=√2cos π=−√2，则图象关于直线x =π2对称，故选：D ．6．【解答】解：因为当x ∈（−π2，π2）时，f （﹣x ）=−x 3cosx=−f （x ），所以函数y ＝f （x ）为奇函数， 当0＜x ＜π2时，f ′（x ）=x 2(3cosx+xsinx)cos 2x ＞0，所以函数y ＝f （x ）在（0，π2）为增函数， 又f （0）＝0，所以函数y ＝f （x ）在（−π2，π2）为增函数，又x 1+x 2＞0， 所以x 1＞﹣x 2，所以f （x 1）＞f （﹣x 2），即f （x 1）+f （x 2）＞0， 同理：f （x 2）+f （x 3）＞0，f （x 1）+f （x 3）＞0， 所以2（f （x 1）+f （x 2）+f （x 3））＞0， 即f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞0， 故选：C ．7．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为x =−p2，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a ＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y ＝±12x ，由双曲线的性质，可得b ＝1； 则c =√5，则焦距为2c ＝2√5；8．【解答】解：∵f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），令函数y ＝f （x ）﹣g （x ）＝0，则x ≠0， 则k ={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，令h （x ）={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，则函数h （x ）的图象与y ＝k 在x ∈[﹣2，3]内有4个交点， 函数h （x ）的图象如下图所示：由图可得：k ∈（2√2，113]，故选：B ．二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．【解答】解：由1+z 1−z=i ，得1+z ＝i ﹣iz ，∴z =−1+i 1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i ， ∴复数z 的虚部是1． 故答案为：1．10．【解答】解：由（x +a√x3）8的展开式的通项T r +1=C 8r x 8﹣r （√x3）r ＝a r C 8rx24−4r 3，令24−4r 3=4，解得r ＝3，即a 3C 83=56，则a ＝1，故答案为：1． 11．【解答】解：联立{ρ=π3ρ=2asinθ得ρ＝2a sinπ3=√3a ，√3a =2√3，解得a ＝2．故答案为：2 12．【解答】解：如图，∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥DC ，又∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC ，而AB ∩BD ＝B ， ∴DC ⊥平面ABD ，则DC ⊥AD ．∴AC 为三棱锥A ﹣BCD 的外接球的直径，∵AB ＝BD ＝2，CD ＝1，∴AC =√22+22+12=3． ∴三棱锥的外接球的半径为32．∴三棱锥的外接球的体积为V =43π×(32)3=92π． 故答案为：92π．13．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝1， ∴2a+b ab=2b+1a=2a+2b b+a+b a=2ab+2+1+b a =2a b +b a +3≥2√2a b ⋅ba +3＝2√2+3，∵c ＞1， ∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1≥2√2•c +√2c−1=√2[2（c ﹣1）+1c−1+2] ≥√2[2√2(c −1)⋅1c−1+2] ＝4+2√2，其中等号成立的条件为：当且仅当{a +b =12a b =ba2(c −1)=1c−1，解得：a =√2−1，b ＝2−√2，c ＝1+√22，∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．14．【解答】解：建立以点B 为直角坐标系的原点，BA ，BC 所在直线为x ．y 轴的直角坐标系，由已知有B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），O （32，√32），D （cos θ，2√3+sin θ）， 则OA →+OB →+OD →=（cos θ−52，sin θ+√32），则|OA →+OB →+OD →|的几何意义为点E （cos θ，sin θ）与点F （52，−√32）的距离，又点E 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由圆的性质可得：|EF |的最小值为(52)2+(−32)2−1=√7−1， 即|OA →+OB →+OD →|的最小值是√7−1， 故答案为：√7−1．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【解答】解：（1）由正弦定理结合合分比的性质有：asinA=b+c sinB+sinC，则b +c =a(sinB+sinC)sinA =7×13√31422=13，由余弦定理有：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2＝（b +c ）2﹣2bc ﹣2bc cos A ， 则：72＝132﹣bc ﹣2bc ×12，据此可得：bc ＝40． （2）∵b +c ＝13，bc ＝40，b ＜c ，∴b ＝5，c ＝8，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =1114，sin B =5√1314， 可得：cos2B ＝2cos 2B ﹣1=46196，sin2B ＝2sin B cos B =110√3196， ∴cos （2B +A ）＝cos2B cos π3−sin2B sinπ3=−7198．16．【解答】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4， P （X ＝0）=1C 84=170 P （X ＝1）=C 41C 43C 84=1670 P （X ＝2）=C 42C 42C 84=3670 P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （X ＝4）=1C 84=170 （2）此员工月工资Y 的所有可能取值有3500、2800、2100， P （Y ＝3500）＝P （X ＝4）=1C 84=170 P （Y ＝2800）＝P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （Y ＝2100）＝P （X ＝0）+P （X ＝1）+P （X ＝2）=5370EY =3500×170+2800×1670+2100×5370=228017．【解答】证明：（1）∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ， 正方形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面ADE ．解：（2）由（1）知平面ABCD ⊥平面AED ．在平面DAE 内，过D 作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），A （2，0，0），F （12，1，√32）， DB →=（2，2，0），AF →=（−32，1，√32），设DG →=λDB →=(2λ，2λ，0)，λ∈[0，1]，则AG →=（2λ﹣2，2λ，0），设平面F AG 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AF →=−32x +y +√32z =0n →⋅AG →=(2λ−2)x +2λy =0， 令x =−√3λ，得n →=（−√3λ，√3(λ−1)，2−5λ），平面EAD 的一个法向量m →=（0，1，0），由已如得cos30°=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|√3(λ−1)|√3λ2+3(1−λ)2+(2−5λ)2=√32， 化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得λ=13，∴DGDB =13．18．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }是公比为12的等比数列， 且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，∴（1﹣a 2）2＝a 1（1+a 3），解得a 1=12，∴a n =(12)n ，（2分）由已知得{T 1=λb 2T 2=2λb 3，从而{8=λ(8+d)16+d =2λ(8+2d)， 解得λ=12，d ＝8，解得b n ＝8n ．（4分） （Ⅱ）c n =1T 1+1T 2+⋯+1T n =14（1−12+12−13+⋯+1n+1） =14(1−1n+1)，14S n =14[1−(12)n ]，（8分）c n ≤14S n ，即14(1−1n+1)≤14[1−(12)n ]， ∴n +1≤2n ，（9分）当n ＝1时，2n ＝n +1，（10分）当n ≥2时，2n ＝（1+1）n =C n 0+C n 1+⋯+C n n =1+n +…+1＞n +1．∴n +1≤2n 成立．∴∁n ≤14S n ．（12分）19．【解答】解：（1）由题意可得：{c a =√63a +c =√6+2a 2=b 2+c 2，解得：{a 2=6b 2=2c 2=4， 故椭圆的离心率为：x 26+y 22=1．（2）结合（1）中的椭圆方程可得：−a 2c =−62=−3，故M （﹣3，0）， 设直线l 的方程为x ＝ty ﹣3，联立直线方程与椭圆方程：{x =ty −3x 26+y 22=1可得： （t 2+3）y 2﹣6ty +3＝0．直线与椭圆相交，则：△＝36t 2﹣12（t 2+3），解得：t ＞√62或t ＜−√62．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 1，﹣y 1），F （﹣c ，0），则：y 1y 2=3t 2+3，y 1+y 2=6t t 2+3， 故：k BF −k CF =y 2x 2+c −y 1x 1+c =y 2ty 2−3+c +y 1ty 1−3+c =2ty 1y 2+(c−3)(y 1+y 2)t 2y 1y 2+(c−3)t(y 1+y 2)+(3−c)2 =2t⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3t 2⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3+(3−c)2 将c ＝2代入上式可得：k BF ﹣k CF ＝0，故C 、F 、B 三点共线；（3）结合（2）中的结论可得：△BMC 的面积S ＝S △MAC ﹣S △BAC =12(x 1+3)⋅AC −12(x 1−x 2)•AC ＝（x 2+3）|y 1|＝ty 1y 2|=3|t|t 2+3≤2√3t =√32． 当且仅当t =±√3时等号成立，故△MBC 的面积的最大值为√32． 20．【解答】解：（1）f （x ）＝（x ﹣1）lnx ﹣（x ﹣a ）2（a ∈R ）．由f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴f ′（x ）＝lnx +x−1x −2（x ﹣a ）＝lnx −1x −2x +1+2a ≤0恒成立．令g （x ）＝lnx −1x −2x +1+2a ，则g ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）， 可得：x ＝1时，函数g （x ）取得极大值即最大值．∴g （x ）max ＝g （1）＝2a ﹣2≤0，解得a ≤1．a 的取值范围是（﹣∞，1]．（2）f （x ）在x ＝1处取得极值，则f ′（1）＝0，可得a ＝1．令f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3＝﹣2，即lnx −1x −2x +5＝0．设h （x ）＝lnx −1x −2x +5，则h ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）． 故h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，注意到h （e ﹣5）＝﹣e 5﹣2e ﹣5＜0，h （1）＝2，h （2）＝ln 2+12＞0， 则方程lnx −1x −2x +5＝0在（0，2]内只有一个实数根，即当x ∈（0，2]时，只有一条斜率为﹣2且与函数f （x ）图象相切的直线． 但事实上，若a ＝1，则f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3，f ″（x ）=−(2x+1)(x−1)x 2， 故函数f ′（x ）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减， 且f ′（1）＝0﹣1﹣2+3＝0，故函数f ′（x ）≤0在区间（0，2]上恒成立， 函数f （x ）在区间（0，2]上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线．（3）证明：若函数有两个极值点x 1，x 2，不妨设0＜x 1＜x 2，由（Ⅰ）可知a ＞1，且：f ′（x 1）＝lnx 1−1x 1−2x 1+1+2a ①，f′（x2）＝lnx2−1x2−2x2+1+2a②，由①﹣②得：ln x1x2+x1−x2x1x2−2（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）（1x1x2−2）=−ln x1x2＞0，∴1x1x2＜2．，即∴x1x2＞12＞1e．由①+②得：ln（x1x2）+2−x1+x2x1x2−2（x1+x2）+4a＝0．∴x1+x2=ln(x1x2)+2+4a1x1x2+2＞−1+2+42+2=54．∴x1+x2＞5 4．。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学模拟试卷(4月份)+答案
2019年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1．（5分）设全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＝0}，B ＝{0，﹣2}，则B ∩（∁U A ）＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣2，0}C ．{﹣1，﹣2}D ．{0}2．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x+2x−1＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −y −1≤02x −y +4≥0，则目标函数z ＝﹣2x ﹣y 的最大值为（ ） A ．16B ．0C ．﹣2D ．不存在4．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）A ．21B ．58C ．141D ．3185．（5分）抛物线y 2＝ax （a ＞0）的准线与双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a 的值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．26．（5分）函数y ＝sin （2x +π3）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（−π12，0）中心对称（ ） A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π6D ．向右平移π67．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），且对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，若a =2−√3，b ＝log 23，c ＝e ln 4，则下面结论正确的是（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （c ）＜f （a ）＜f （b ）C ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （c ）＜f （b ）8．（5分）边长为2的菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ．若∠BAD ＝60°，则BE →⋅EF →=（ ） A ．1B ．14C ．3√310D ．2120二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9．（3分）设复数z =2ii+1，则z +z = ．10．（3分）已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为 ． 11．（3分）已知直线l ：y ＝kx （k ＞0）为圆C ：(x −√3)2+y 2=1的切线，则k 为 ． 12．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝0，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＞0，则不等式f(x)x ＞0的解集是 ．13．（3分）已知a ＞1，b ＞1，若log a 2+log b 16＝3，则log 2（ab ）的最小值为 ． 14．（3分）已知函数f （x ）={xlnx ，x ＞0x +1x+2，x ＜0，若方程[f(x)]2+af(x)+14e 2=0有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos （π﹣B ）=23，c ＝1，a sin B =√6c sin A ． （Ⅰ）求边a 的值；（Ⅱ）求cos （2B +π3）的值．16．点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为23和13，每人限点一餐，且100%中奖．现有A 公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X 、Y 表示，记ξ＝XY ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1．（Ⅰ）若M 为PC 的中点，求证DM ∥面P AB ； （Ⅱ）求证：面P AB ⊥面PBC ； （Ⅲ）求AC 与面PBC 所成角的大小．18．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =(−1)n−14n2+4n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T 2n ；（Ⅲ）若对于∀n ∈N *，T 2n ＜λ2−2λ−2恒成立，求λ范围． 19．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于G ，H 两点，|GH |＝3，△F 1GH 的周长为8．过A 点作直线l 交椭圆于第一象限的M 点，直线MF 2交椭圆于另一点N ，直线NB 与直线l 交于点P ；（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若△AMN 的面积为18√27，求直线MN 的方程； （Ⅲ）证明：点P 在定直线上．20．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣x 2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）与y＝m在[1e，e]内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．2019年天津市高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1．【解答】解：解一元二次方程x 2+x ﹣2＝0得：x ＝﹣2或x ＝1， 即A ={−2，1}，∁U A ={−1，0，2}，又B ＝{0，﹣2}， 则B ∩（∁U A ）={0}，故选：D ．2．【解答】由|x ﹣2|＜1知，1＜x ＜3．故A ＝{x |1＜x ＜3}． 由x+2x−1＞0，知x ＞1或x ＜﹣2．故B ＝{x |x ＞1或x ＜﹣2}．因为A ⊆B ，所以答案为充分不必要条件． 故选：A ．3．【解答】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y −1≤02x −y +4≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z ＝﹣2x ﹣y 得y ＝﹣2x ﹣z ，平移直线y ＝﹣2x ﹣z ，由图象知当直线y ＝2x ﹣z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x ﹣z 的截距最小，此时z 最大；由{x +y −1=02x −y +4=0，解得A （﹣1，2）， 所以z 的最大值为﹣2×（﹣1）﹣2＝0． 故选：B ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝0，k ＝1不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝1，k ＝2 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝6，k ＝3 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝21，k ＝4 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝58，k ＝5 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝141，k ＝6 满足条件k ＞5，退出循环，输出S 的值为141． 故选：C ．5．【解答】解：抛物线y 2＝ax 的准线为x =−a4， 双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线为y ＝±√22x ， 可得两交点为（−a4，√28a ），（−a4，−√28a ）， 即有三角形的面积为12•a 4•√24a ＝2√2，解得a ＝8， 故选：A ．6．【解答】解：假设将函数y ＝sin （2x +π3）的图象平移ρ个单位得到：y ＝sin （2x +2ρ+π3）关于点（−π12，0）中心对称∴将x =−π12代入得到：sin （−π6+2ρ+π3）＝sin （π6+2ρ）＝0∴π6+2ρ＝k π，∴ρ=−π12+kπ2，当k ＝0时，ρ=−π12 故选：B ．7．【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），则函数f （x ）关于直线x ＝3对称，c ＝e ln 4＝4，f （c ）＝f （4）＝f （2）， 又由对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则函数f （x ）在（0，3）上为减函数， 若a =2−√3=3，b ＝log 23，则有0＜a ＜1＜b ＜2，则f （c ）＜f （b ）＜f （a ）， 故选：C ．8．【解答】解：设AF →=λAD →+（1﹣λ）AC →，又AE →=12AD →+12AO →=12AD →+14AC →，且存在实数t 使得 AF →=t AE →，∴λAD →+（1﹣λ）AC →=12tAD →+14t AC →， ∴{λ=12t 1−λ=14t，∴λ=23，∴AF →=23AD →+13AC →， ∴EF →=AF →−AE →=16AD →+112AC →，∴BE →•EF →=（AE →−AB →）•EF →=（AD →+DE →−AB →）•EF →=（AD →+14DB →−AB →）•（16AD →+112AC →）＝（AD →+14AB →−14AD →−AB →）•（16AD →+112AC →）＝（34AD →−34AB →）•（14AD →+112AB →）=316AD →2−116AB →2−18AB →•AD →=316×4−116×4−18×2×2×12 =14故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9．【解答】解：∵z =2ii+1=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴z =1−i ，则z +z =2． 故答案为：2．10．【解答】解：∵正方体的内切球体积为36π， 设内切球的半径为r ，则43πr 3=36π，得r ＝3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6， ∴正方体的体对角线长为√62+62+62=6√3．故答案为：6√3．11．【解答】解：根据题意，圆C ：(x −√3)2+y 2=1的圆心为（√3，0），半径r ＝1， 若直线l ：y ＝kx （k ＞0）即kx ﹣y ＝0与圆C ：(x −√3)2+y 2=1相切，则有√1+k 2=1，解可得：k ＝±√22， 又由k ＞0，则k =√22， 故答案为：√22． 12．【解答】解：依题意，f （1）＝0 由xf '（x ）﹣f （x ）＞0，得函数g （x ）=f(x)x 在（0，+∞）上为增函数 又由g （﹣x ）=f(−x)−x =f(x)x =g （x ），得函数g （x ）在R 上为偶函数 ∴函数g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数 且g （1）＝0，g （﹣1）＝0 由图可知f(x)x＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．13．【解答】解：∵log a 2+log b 16＝3； ∴1log 2a+4log 2b=3；又a ＞1，b ＞1； ∴log 2a ＞0，log 2b ＞0；∴log 2（ab ）＝log 2a +log 2b =(log 2a +log 2b)(13log 2a +43log 2b )=13+log 2b 3log 2a +4log 2a 3log 2b +43≥53+43=3； ∴log 2（ab ）的最小值为3． 故答案为：3．14．【解答】解：设t ＝f （x ），则方程方程[f(x)]2+af(x)+14e 2=0可化为：t 2+at +14e2=0，设此方程有两根t ＝t 1，t ＝t 2， [f(x)]2+af(x)+14e 2=0有八个不等的实数根等价于y ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数之和为8，由已知有：当x ＞0时，f （x ）＝xlnx ， 则f ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，f ′（x ）＜0，当x ＞1e时，f ′（x ）＞0， 即f （x ）在（0，1e）为减函数，在（1e，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数之和为8， 则x 1，x 2∈（−1e，0），得{a 2−4×14e 2＞0−1e ＜−a 2＜0g(−1e )＞0g(0)＞0， 解得：1e＜a ＜54e， 故答案为：（1e，54e）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15．【解答】解：（Ⅰ）由cos（π﹣B）=23，得cos B=−23，………………………………（1分）∵c＝1，由a sin B=√6c sin A，得ab=√6ca，∴b=√6，……………………（3分）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得3a2+4a﹣15＝0，解得a=53，或a＝﹣3，（舍）∴a=5 3．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=−23，得sin B=√53，………………………………………………（7分）∴sin2B＝2sin B cos B=−4√59，cos2B＝2cos2B﹣1=−19，………………………………………………（10分）∴cos（2B+π3）＝cos2B cosπ3−sin2B sinπ3=4√15−118．…………………………（13分）16．【解答】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i＝0，1，2，3，4．则由P（A i）=C4i(13)i(23)4−i⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）得P=P(A0)+P(A1)=C40(13)0(23)4+C41(13)1(23)3=1681+3281=4881．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分）P(ξ= 0)=P(A0)+P(A4)=C40(13)0(23)4+C44(13)4(23)0=1781，（8分）P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=C41(13)1(23)3+C43(13)3(23)1=4081，…（10分）P(ξ=4)=P(A2)=C42(13)2(23)2=2481，………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034P178140812481…………………………（12分）ξ的数学期望E(ξ)=0×1781+3×4081+4×2481=83．………（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且MN=12BC，AD∥BC且AD=12BC，则MN∥AD且MN＝AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面P AB，AN⊂面P AB，所以DM∥面P AB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥P A，AB∩P A＝A，所以BC⊥面P AB，又BC⊆面PBC，所以面P AB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC＝B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．AN=√2，AC=2√2，sin∠ACN=12，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．18．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S 22=S 1S 4，解得a 1＝1， a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由于a n ＝2n ﹣1．所以：b n =(−1)n−1+(−1)n−1(12n−1+12n+1)T 2n =0+1+13−13−15+⋯−14n−1−14n+1=1−14n+1． （Ⅲ）由于：T 2n =1−14n+1＜1， 故：λ2﹣2λ﹣2≥1； ∴λ≥3或λ≤﹣1．19．【解答】解：（Ⅰ）|GH|=2b 2a=3，4a =8，解得：a =2，b =√3；所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），①当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y ＝k （x ﹣1），联立得：（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，△＝144（k 2+1）＞0，x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3；∴|MN|=12(k 2+1)4k 2+3；A （﹣2，0）到MN 直线kx ﹣y ﹣k ＝0的距离为d =√k +1，∴S =18⋅|k|⋅√k 2+14k 2+3=18√27⇒17k 4+k 2−18=0⇒k =±1； 当k ＝﹣1时，MN 直线方程过F 2（1，0）直线MN 与椭圆的交点不在第一象限（舍）； 所以MN 方程为x ﹣y ﹣1＝0．②当直线MN 斜率k 不存在时，S =12⋅2b 2a ⋅(a +c)=92≠18√27（舍）．综上：直线MN 方程为：x ﹣y ﹣1＝0证明（Ⅲ）设AM ：y ＝k 1（x +2）（k 1＞0），与椭圆联立：(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，∵{x A x M =16k 12−124k 12+3x A =−2∴x M =6−8k 124k 12+3，y M =12k 14k 12+3同理设BNy ＝k 2（x ﹣2）（k 2＞0），可得x N =8k 22−64k 22+3，y N =−12k 24k 22+3，所以MN 的方程为：y−y M x−x M=y N −y M x N −x M，以及MN 方程过F 2（1，0），将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2﹣3k 1）＝0， ∵k 1k 2＞0，∴k 2＝3k 1．又因为AM 与NB 交于P 点，即{y p =k 1(x p +2)y p =k 2(x p −2)，x p =2(k 1+k 2)k 2−k 1，将k 2＝3k 1代入得x P ＝4，所以点P 在定直线x ＝4上 MN 方程为x ﹣y ﹣1＝020．【解答】解：（Ⅰ）f ′(x)=2x −2x =2−2x 2x，则f '（2）＝﹣3，且切点坐标为（2，2ln 2﹣4）， 所以所求切线方程为：3x +y ﹣2﹣2ln 2＝0； （Ⅱ）f ′(x)=2−2x 2x=0⇒x =±1（﹣1舍去）， 所以f （x ）在(1e ，1)为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴f(1e )=−2−1e2，f （1）＝﹣1，f （e ）＝2﹣e 2； 所以m ∈[2−e 2，−2−12)∪{−1}； （Ⅲ）证明：g （x ）＝2lnx ﹣x 2﹣nx ，g ′(x)=2x −2x −n ， 假设g '（x 0）＝0，则有{2lnx 1−x 12−nx 1=0①2lnx 2−x 22−nx 2=0②x 1+x 2=2x 0，③2x 0−2x 0−n =0④，①﹣②得：2ln(x1x 2)−(x 12−x 22)−n(x 1−x 2)=0，∴n =2⋅ln(x1x 2)x 1−x 2−2x 0，由④得n =2x 0−2x 0，∴ln(x1x 2)x 1−x 2=1x 0；即ln(x 1x 2)x 1−x 2=2x 1+x 2；即ln(x1x 2)=2x1x 2−2x 1x 2+1⑤； 令t =x1x 2，u(t)=lnt −2t−2t+1，(0＜t ＜1)，则u ′(t)=(t−1)2t(t+1)2＞0∴u(t)在0＜t ＜1上增函数．u （t ）＜u （1）＝0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g '（x 0）≠0．。
2019年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）
2019年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|-1＜x＜0}C. {x|1＜x＜2}D. {x|-1＜x＜2}2.若f（x），g（x）均是定义在R上的函数，则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）？g（x）是偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 5D. 74.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. 7B. 15C. 31D. 635.设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），则下列结论中错误的是（）A. f（x）的一个周期为2πB. f（x）的最大值为2C. f（x）在区间（）上单调递减D. f（x+）的一个零点为x=6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（）A. 108石B. 169石C. 237石D. 338石7.已知离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A. =1B. =1C. =1D. =18.已知函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，当x∈（0，π）时，f（x）=πln x-f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（logπ3），b=f（log9），c=f（），则a，b，c的大小关系是（）A. b＞a＞cB. a＞b＞cC. c＞b＞aD. b＞c＞a二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为______．10.在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为______．（用数字填写答案）11.已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．12.已知直线l的参数方程是（t为参数），若l与圆x2+y2-4x+3=0交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的斜率为______．a-1|恒成立，则实数a的取值范围为______．13.若对任意的x∈R，不等式|x-1|-|x+2|≤|214.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E，F分别在边AD，DC上，=（），=，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，c=3，cosA=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16.某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A，B，C，D四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在B，C，D三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所．（i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率；（ii）记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA=2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C-PB-Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=a n+2（n∈N*），a3+a4=12，数列{b n}为等比数列，且b1=a2，b2=S3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（-1）n a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点P（-2，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F的直线（不经过点P且不与x轴重合）与椭圆交于A、B 两点，与直线l：x=-3交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3（k3≠０），则是否存在常数λ，使得向量=（k1+k2，λ），=（k3，1）共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由．20.设函数f（x）=ax-2-ln x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a=1时，若对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-ln x）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．答案和解析1.【答案】 D【解析】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|-1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x＜2}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】 A【解析】解：若f（x）和g（x）都是偶函数，则f（x）?g（x）是偶函数，即充分性成立，当f（x）和g（x）都是奇函数时，满足f（x）?g（x）是偶函数，即必要性不成立，（x）?g（x）是偶函数”充分不必要条件，（x）和g（x）都是偶函数”是“ｆ即“ｆ故选：A．根据函数奇偶性关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3.【答案】 C【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，-1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3-1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.【答案】 C【解析】解：当n=5时查询终止，则程序的功能是计算S=1+2+22+23+24=1+2+4+8+16=31，故选：C．寻找程序终止是n的值，了解程序功能进行计算即可．本题主要考查程序框图的应用，了解程序终止的条件是解决本题的关键．5.【答案】 D【解析】解：f（x）=sinx+cosx=．f（x）的一个周期为2π，故A正确；f（x）的最大值为2，故B正确；由＜x＜，得＜＜π，∴f（x）在区间（）上单调递减，故C正确；f（x+）=，取x=时，函数值为，故D错误．故选：D．利用辅助角公式化积，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．6.【答案】 A【解析】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为：1536×=108（石）．故选：A．利用概率的性质能求出结果．本题考查米内夹谷的数量的求法，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】 C【解析】解：离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x-3y=0，抛物线y2=12x的准线：x=-3，可得P（-3，-4），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），满足PF1⊥PF2，（3-c，4）?（3+c，4）=0，解得c=5，则a=3；b=4；舍去的双曲线方程为：=1．故选：C．求出抛物线的直准线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】 A【解析】解：函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）=πlnx-f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）=-f′（）cosx，令x=，则f′（）=2，∴f′（x）=-2cosx，当x∈时，≥２，2cosx≤２．∴f′（x）=-2cosx＞0．当x∈时，＞0，2cosx≤０．∴f′（x）=-2cosx＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）=-2cosx＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a=f（logπ3），b=f（log9）=f（-2）=f（2），c=f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：A．函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，可得函数f（x）为（-π，π）0上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）=πlnx-f′（）sinx （其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）=-f′（）cosx，令x=，可得f′（）=2，于是f′（x）=-2cosx，可得：x∈（0，π）时，f′（x）＞0．利用其单调性奇偶性即可得出大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的奇偶性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】-2【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=-2．故答案为：-2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】20【解析】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=?x12-3r，令12-3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】2π【解析】解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V=2×=2π．故答案为：2π．将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，由此能求出其体积．本题考查几何体的体积的求法，考查旋转体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】±【解析】解：根据题意，直线l 的参数方程是（t 为参数），圆的方程为x 2+y 2-4x+3=0，若l 与圆x 2+y 2-4x+3=0交于A ，B 两点，则有（tcos α）2+（tsin α）2-4tcos αx+3=0，变形可得t 2-4tcos αx+3=0，则有t 1+t 2=4cos α，t 1t 2=3，又由|AB|=，则有（t 1+t 2）2-4t 1t 2=16cos 2α-12=3，解可得cos 2α＝，则有sin 2α＝，则有tan α=±，则直线l 的斜率tan α=±；故答案为：±．根据题意，将直线的参数方程与圆的方程联立，则有（tcos α）2+（tsin α）2-4tcos αx+3=0，变形可得t 2-4tcos αx+3=0，由根与系数的关系分析可得t 1+t 2=4cos α，t 1t 2=3，又由|AB|=，则有（t 1+t 2）2-4t 1t 2=16cos 2α-12=3，解可得cos 2α的值，由三角函数的基本关系式可得tan α的值，结合直线参数方程的意义分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的参数方程，属于基础题．13.【答案】（-∞，-1]∪[2，+∞）【解析】解：由|x-1|-|x+2|=|x-1|-|-2-x|≤｜（x-1）+（-2-x ）|=3，∴不等式|x-1|-|x+2|≤|2a -1|恒成立转化为|2a-1|≥３成立，即2a-1≥3或2a-1≤-3，可得a ≥２或a ≤-1，故答案为（-∞，-1]∪[2，+∞）．根据绝对值不等式即求解；本题考查了绝对值不等式的应用和解法．属于基础题．14.【答案】【解析】解：由=（），=，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC的三等分点靠近点D处，由菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，得：||=2，∠ABD=30°，则=（）?（）=-+=×12-+×=，故答案为：．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算得：=（）?（）=-+=×12-+×=，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又a=4，c=3，cosA=，2b2+3b-14=0，解得b=2；（Ⅱ）由cosA=-，所以sinA=，由正弦定理得：，得sinB=，又0，所以cosB=，所以sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B-1=，所以sin（2B+）=+=，故答案为：．【解析】（Ⅰ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又a=4，c=3，cosA=，2b2+3b-14=0，解得b=2（Ⅱ）由正弦定理得：，得sinB=，又0，所以cosB=，由二倍角公式得：sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B-1=，由两角和的正弦公式得：sin（2B+）=+=，得解．本题考查了余弦定理、正弦定理及二倍角公式、两角和的正弦公式，属中档题．16.【答案】解：（I）设甲、乙、丙三名同学分别选D高校的概率为P i（i=1，2，3）．则P1=P2=P3=，∴甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率P==．（II）（i）设乙、丙未选D高校的概率都为：=．∴甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率==．（ii）X的取值为0，1，2，3．P（X=0）=（1-）××=，P（X=1）=+2×（1-）××=，P（X=2）=++（1-）×=．P（X=3）=×=．∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（I）设甲、乙、丙三名同学分别选D高校的概率为P i（i=1，2，3）．可得P1=P2=P3=，再利用相互独立概率计算公式即可得出．（II）（i）设乙、丙未选D高校的概率都为：．利用相互独立概率计算公式即可得出甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率．（ii）X的取值为0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件概率计算公式即可得出概率及其分布列．本题考查了相互独立概率计算公式、互斥事件概率计算公式、随机变量的概率计算公式及其分布列与期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，AB∩QA=A，CD∩PD=D，∴平面ABP∥平面DCP，∵QB?平面ABQ，∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），=（2，2，-2），=（0，2，-2），=（2，0，-1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），设平面PBQ的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），设二面角C-PB-Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝-==-，∴θ＝，∴二面角C-PB-Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设DH=t，则H（0，0，t），A（2，0，0），=（-2，0，t），=（2，2，-2），∴|cos＜＞|===，解得t=，∴线段DH的长为．【解析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而平面ABP∥平面DCP，由此能证明QB∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-Q的大小．（Ⅲ）设DH=t，利用向量法能求出线段DH的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n+2，则数列{a n}是公差为2的等差数列，又由a3+a4=12，则a3+a3+d=12，解可得a3=5，则a n=a3+（n-3）d=2n-1，又由数列{b n}为等比数列，且b1=3，b2=1+3+5=9，则数列{b n}的公比为3，则b n=3n，（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，a n=2n-1，b n=3n，则c n=（-1）n a n?b n=（-1）n×（2n-1）×3n=（2n-1）（-3）n，则T n=1×（-3）+3×（-3）2+……+（2n-1）（-3）n，①-3T n=1×（-3）2+3×（-3）3+……+（2n-1）（-3）n+1，②①-②可得：4T n=-3+2[（-3）2+（-3）3+……（-3）n]-（2n-1）×（-3）n+1=-×（-3）n-1，变形可得：T n=-×（-3）n-1．【解析】（Ⅰ）根据题意，由a n+1=a n+2分析可得数列{a n}是公差为2的等差数列，又由a3+a4=12可得a3+a3+d=12，解可得a3=5，由等差数列的通项公式可得{a n}的通项公式，进而可得b1=3，b2=9，分析可得数列{b n}的公比为3，结合等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出数列{c n}的通项公式，由错位相减法分析可得答案．本题考查数列的递推公式以及求和，关键是求出两个数列的通项公式，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=2，故椭圆的方程为+=1，（Ⅱ）假设存在常数λ，使得向量=（k1+k2，λ），=（k3，1）共线，∴k1+k2=λk3，由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+2），①代入椭圆方程并整理得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-6=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=-，x1x2=，在方程①中，令x=-3得，M（-3，-k），从而k1=，k2=，k3==k+，∴k1+k2=+=+=2k-?=2k-×=2k+ =2（k+）=2k3，∵k3=k+≠０，∴k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意【解析】（Ⅰ）由题意可得，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）可先设出直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λｋ3即可求得参数的值；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．20.【答案】解：（I）f′（x）=a-，（x＞0）．a≤０时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）=，（x＞0）．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）a=1时，f（x）=x-2-ln x（x＞0）．f′（x）=，（x＞0）．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=-1．x→０+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a=1时，对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-ln x）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜ln x+=g（x），g′（x）=+=．令u（x）=x-ln x-2，x∈（1，+∞），u′（x）=1-＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）=1-ln3，u（4）=2-2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）=0，即x0-ln x0-2=0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min=g（x0）=ln x0+=x0-2+=x0+-1∈（，），∵4k＜，k∈Z．∴k的最大值为0．【解析】（I）f′（x）=a-，（x＞0）．对a分类讨论，可得其单调区间．（II）a=1时，f（x）=x-2-lnx（x＞0）．f′（x）=，（x＞0）．根据单调性可得x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=-1．进而得出零点的个数．（III）当a=1时，对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-lnx）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+=g（x），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(文科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，集合B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣2}B ．{0}C ．{﹣2，﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}2．（5分）设x ∈R ，则“2x ＜18”是“2x＜1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读下边的程序框图，若输入N 的值为26，则输出N 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A ．5B ．17C ．﹣3D ．95．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b6．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 212=1 B ．x 236−y 232=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=17．（5分）将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y ＝f （x ）的图象，若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[311，35) B ．(53，113] C ．（1，2] D ．(35，53)8．（5分）已知函数f(x)={x 2+4x ，−3≤x ≤02x −3，x ＞0，若方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[−23，3−2√2) B ．[−23，3+2√2)C ．(−∞，−23]D ．[−23，16]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．（5分）设a ∈R ，若a 1+i+1+i 是实数，则a ＝ ．10．（5分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ，f '（x ）是函数f （x ）的导函数，若f '（1）＝﹣2，则a 的值为 ．11．（5分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，已知四棱锥的表面积是12，则它的体积为 ．12．（5分）已知圆C 的圆心在第四象限，直线y ＝﹣2x 过圆心，且点（2，1）在圆C 上，直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则圆C 的方程为 ．13．（5分）已知a ＞2b （a ，b ∈R ），函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞），则a 2+4b 2a−2b的最小值为 ．14．（5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2，∠BAD =π3，若BA →⋅BD →=2，CE →=ED →，点F 为边BC 上的动点，则FE →⋅FA →的取值范围为 ．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，c＝3，求a和sin（2B﹣A）的值．17．（13分）如图，在多面体ABCDE中，△AEB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥AB，CE=2√2，AB＝BC＝2AD＝2，点F为边EB的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面DEC；（Ⅱ）求证：平面DEC⊥平面EBC；（Ⅲ）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值．18．（13分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）a＝6时，直线y＝﹣6x+m与f（x）相切，求m的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求此时函数（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．20．（14分）已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为√32，过点A且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于点D，与y轴交于点E．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P为AD的中点（i）若x轴上存在点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ（O为原点），求出点Q 的坐标；（ii）射线PO（O为原点）与椭圆C交于点M，满足√1+4k2tan∠AMD=6MA→⋅MD→，求正数k的值．2019年天津市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．【解答】解：根据题意，A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， 则∁R A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，又由B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝{﹣2，﹣1，1}； 故选：C ．2．【解答】解：由2x ＜18=2﹣3，得x ＜﹣3，由2x＜1得x ＜0或x ＞2，则“2x ＜18”是“2x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．3．【解答】解：若输入N 的值为26， 则N 是偶数，N ＝13，N ≤2不成立， N ＝13不是偶数，N =13−12=6，N ≤2不成立， N ＝6是偶数，N ＝3，N ≤2不成立 N ＝3不是偶数，N =3−12=1，N ≤2成立， 输出N ＝1， 故选：C ．4．【解答】解：画出约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0表示的平面区域，如图所示；根据图形知，由{5x +3y =15y =x +1，解得A （32，52）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大，z 取得最大值． 将坐标代入求得z 的最大值为3×32+5×52=17． 故选：B ．5．【解答】解：根据题意，函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， a ＝f （2cos2π3）＝f （2cos π3）＝f （1），b ＝f （log 124.1）＝f （log 24.1）c ＝f （20.8），又由函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log 24.1， 则a ＜c ＜b ； 故选：A ．6．【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F 为（2，0）， 可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0）， 抛物线的准线为x ＝﹣2，由△OAB 的面积为6，可得12•2|AB |＝6，即|AB |＝6，可设A （2，3），可得A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 |√(2+2)2+32−3|＝2， 即2a ＝2，可得a ＝1，由b =√c 2−a 2=√4−1=√3， 可得双曲线的方程为x 2−y 23=1． 故选：D ．7．【解答】解：将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝sin （x +π6）的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），可得f （x ）＝sin（ωx +π6）的图象．在区间（0，π2）上，ωx +π6∈（π6，ωπ2+π6），若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点， 则ωπ2+π6∈（π，2π]，ω∈（53，113]，故选：B ．8．【解答】解：设h （x ）＝f （x ）+|x ﹣2|={x 2+3x +2，(−3≤x ≤0)x −1，(0＜x ≤2)3x −5，(x ＞2)，方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象有三个交点，又y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象如图所示， 求得k 1=−23，k 2=3−2√2，即实数k 的取值范围是−23≤k ＜3−2√2， 故选：A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．【解答】解：∵a 1+i+1+i =a(1−i)(1+i)(1−i)+1+i =a+22+2−a 2i 是实数，∴2﹣a ＝0，即a ＝2． 故答案为：2．10．【解答】解：∵函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ， ∴f '（x ）＝2xlnx +x 2−ax， ∴f '（1）＝2ln 1+1−a1=1﹣a ＝﹣2， ∴a ＝3， 故答案为：311．【解答】解：设正四棱锥的斜高为h ′，则2×2+4×12×2ℎ′=12，解得h ′＝2， 则正四棱锥的高PO =2−12=√3． ∴正四棱锥的体积V =13×4×√3=4√33． 故答案为：4√33．12．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线y ＝﹣2x 上，设圆心的坐标为（a ，﹣2a ），（a ＞0）；又由直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且点（2，1）在圆C 上且在直线x ﹣2y ＝0上，则点A 或点B 的坐标为（2，1），又由直线y ＝﹣2x 与直线x ﹣2y ＝0垂直，则A 、B 关于原点对称，则A 、B 的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1），又由△ABC 为等腰直角三角形，则|CO |＝|AO |=√5，即a 2+（﹣2a ）2＝5， 解可得：a ＝1，即圆心C 的坐标为（1，﹣2），半径r ＝|AC |=√10， 则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝10， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝10．13．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞）， 则有a ＞0且1＝4a ×（2b ）＝8ab ，即8ab ＝1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=（a ﹣2b ）+12(a−2b)，又由a ﹣2b ＞0，则（a ﹣2b ）+12(a−2b)≥2√(a −2b)×12(a−2b)=√2，即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为：√2．14．【解答】解∵CE →=ED →，∴E 为CD 的中点， 过D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，则BA →⋅BD →=AB •BD •cos ∠ABD ＝2BD cos ∠ABD ＝2， ∴BD cos ∠ABD ＝1，即BM ＝1， ∴M 为AB 的中点．又BM ∥CD ，BM ＝CD ＝1，DM ⊥AB ， ∴四边形MBCD 是矩形．∵∠BAD =π3，AM =12AB ＝1，∴DM =√3，以D 为原点，以DC ，DM 为坐标轴建立平面直角坐标系， 则E （12，0），A （﹣1，√3），设F （1，m ），则0≤m ≤√3，∴FE →=（−12，﹣m ），FA →=（﹣2，√3−m ），∴FE →⋅FA →=m 2−√3m +1＝（m −√32）2+14， ∴当m =√32时，FE →⋅FA →取得最小值14，当m ＝0或m =√3时，FE →⋅FA →取得最大值1． 故答案为：[14，1]．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】解：（ I ）设高一参加会议的同学x 名，由已知得：728+21=x35，解得x ＝5∴高一参加会议的同学5名，（II ）（ i ）由已知，高二抽取28×17=4人，高三抽取21×17=3人， 设高二的4人分别表示为A ，B ，C ，D ，高三的3人分别表示为E ，F ，G则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }{E ，F }，{E ，G }{F ，G }共21种． （ ii ）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }共9种 所以事件M 发生的概率为P(M)=37， 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得：b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2， 由余弦定理，得：b 2+c 2−a 22bc=√33sinA ，………………（1分） cosA =√33sinA ，………………（2分） 即tanA =√3， 又A ∈（0，π），所以A =π3．………………（4分） （Ⅱ）a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ， ∴a 2=4+9−2×2×3×12=7， ∴a =√7，………………（6分） 又a sinA =b sinB ，∴√7√32=2sinB，∴sinB =√217，………………（7分） ∵b ＜a ， ∴B ∈(0，π3)，∴cosB =√1−sin 2B =2√7，………………（9分）∴sin2B =2sinBcosB =47√3，cos2B =17，………………（11分） ∴sin （2B ﹣A ）＝sin2B cos A ﹣cos2B sin A =47√3×12−17×√32=3√314．…………（13分）17．【解答】（本小题满分13分）（I ）证明：取EC 中点M ，连结FM ，∵AD ∥BC ∥FM ，AD =12BC =MF ∴AF ∥DM ；………………（2分）∵AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ，∴AF ∥平面DEC ．………………（4分）（II ）证明：∵EB 2+CB 2＝EC 2∴CB ⊥BE ………………（5分）又∵CB ⊥AB ，AB ∩BE ＝B ，∴CB ⊥平面ABE ，∵AF ⊂平面ABE ，∴AF ⊥CB ………………（6分）又∵ABE 为等边三角形，F 为边EB 的中点，∴AF ⊥BE ，∵CB ∩BE ＝B ，∴AF ⊥平面EBC ，由（ I ）可知，AF ∥DM ，∴AF ∥平面DEC ………………（7分）∵AF ⊂平面DEC ，∴平面DEC ⊥平面EBC ………………（8分）（ III ）解：取BC 的中点H ，∴直线AB 与平面DEC 所成角即为直线DH 与平面DEC 所成角，过N 作NH ⊥EC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面DEC ∩平面EBC ＝EC ，NH ⊂平面EBC ，NH ⊥EC ，∴NH ⊥平面DEC ．DN 为DH 在平面CDE 的射影，∴∠HDN 为直线DN 与平面DEC 所成角…………（11分）在Rt △DNH 中，HN =√22，DN =2，∴sin ∠HDN =HN DN =√24，∴直线AB 与平面DEC 所成角的正弦值为√24⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．则：6S3＝4S2+2S5，整理得：4（S3﹣S2＝2（S5﹣S3），即：2a3＝a4+a5，整理得：2＝q+q2，解得：q＝1或﹣2，①当q＝1时，a n＝a1＝2．②当q＝﹣2时，a n=2⋅(−2)n−1．（Ⅱ）由于数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，故：a n2⋅b n=2n−1，整理得：b n=2n−1 a n2，①当a n＝2时，b n=2n−14，故：T n =14+34+⋯+2n−14=n 24②当a n =2⋅(−2)n−1时，b n =(2n −1)⋅(14)n ，所以：T n =1⋅14+3⋅(14)2+⋯+(2n −1)⋅(14)n ，①，则：14T n =(14)2+3⋅(14)3+⋯+(2n −1)⋅(14)n+1②， ①﹣②得：34T n =14+2⋅116(1−(14)n−1)1−14−(2n −1)⋅14，解得：T n =59−6n+59⋅4n． 19．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）＝6x 2﹣12x ，………………（1分）则6x 2﹣12x ＝﹣6，所以，x ＝1，当x ＝1，y ＝﹣3，所以﹣3＝﹣6×1+m ，解得m ＝3．………………（3分）（Ⅱ）∵f （x ）＝2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ，x ∈（0，+∞））∴由f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ＝2x （3x ﹣a ）＝0，得到x 1＝0，x 2=a 3，………………（4分） 当a ≤0时，f ′（x ）＝2x （3x ﹣a ）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，即函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又因为函数f （x ）的图象过点（0，1），即f （0）＝1＞0，………………（5分） 所以函数f （x ）在（0，+∞）内没有零点，不合题意，………………（6分） 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得x ＞a 3，即函数f （x ）在区间（a 3，+∞）上单调递增， 由f ′（x ）＜0得0＜x ＜a 3，即函数f （x ）在区间在（0，a 3）上单调递减，………………（7分）且过点（0，1），要使函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则须f （a 3）＝0， 即2a 327−a 39+1＝0，解得a ＝3，………………（8分）综上可得函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点时a ＝3，此时函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）………………（9分）（Ⅲ）当a ＞0时，函数f （x ）在（﹣∞，0），（a 3，+∞）上单调递增，在（0，a 3）上单调递减，此时函数f （x ）有两个极值点，极大值为f （0）＝1，极小值为f （a 3）＝1−a 327， 且f （﹣1）＝﹣a ﹣1，f （1）＝3﹣a ．……………（9分）①当a 3≥1即a ≥3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f （x ）max ＝f （0）＝1，又f （﹣1）＝﹣1﹣a ，f （1）＝3﹣a ，即f （﹣1）＜f （1），f （x ）min ＝﹣1﹣a所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（11分）②当a 3＜1即0＜a ＜3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在(0，a 3)上单调递减，在(a 3，1)上单调递增f （﹣1）＝﹣1﹣a ＜0，即f(a 3)=1−a 327＞0，所以f （x ）min ＝﹣1﹣a ．………（12分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2≥0，即2≤a ＜3时，f （x ）max ＝f （0）＝1，所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（13分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2＜0，即0＜a ＜2时，f （x ）max ＝f （1）＝3﹣a ，所以（3﹣a ）+（﹣1﹣a ）＝1，解得a =12．综上，a =12．……………（14分）20．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a ＝2，又∵e =c a =√32， ∴c =√3∴b 2＝a 2﹣c 2＝1∴椭圆方程为：x 24+y 2=1（Ⅱ）：（ i ）假设x 轴上存在着点Q （m ，0）使得OP ⊥EQ ，设AD 所在的直线方程为：y ＝k （x +2），点D （x 1，y 1）由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)， 消y 得（4k 2+1）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0，△＝16＞0，∴−2+x 1=−16k 24k 2+1，∴x p =−2+x 12=−8k 21+4k 2，∴P(−8k 21+4k 2，2k1+4k 2)，∵E （0，2k ），∴k EQ =2k −m ，k op =−14k ， ∵OP ⊥EQ ，∴k EQ •k op ＝﹣1， 解得m =−12，∴x 轴上存在着点 Q(−12，0)使得 OP ⊥EQ 成立． （ ii ）设PO 所在直线方程为y =−14k x ， 则{y =−14k x x 2+4y 2=4⇒x 2=16k 24k 2+1， ∴M(√1+4k √1+4k )，M 到直线l 的距离：d =√2√k +1，∴|AD|=4√1+k24k 2+1，∵√1+4k 2tan∠AMD =6MA →⋅MD →， ∴√1+4k 2sin∠AMD cos∠AMD =6|MA||MB|cos∠AMD ∴12√1+4k 2sin∠AMD|MA||MB|=3， ∴S △AMD =3√1+4k ，∴S △AMD =12√2√k +1⋅4√1+k 24k 2+1=3√1+4k 解得√1+4k 2=4k ， ∵k ＞0，∴k =√36。
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{2，3}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ．{1，4}D ．{0，1}2．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0，则目标函数z ＝x +y 最小的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（3分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（3分）若a ＝﹣log 215，b ＝log 24.5，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b5．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=16．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（3分）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →，则EC →⋅ED →的值是（ ）A ．−45B ．−1516C ．−14D ．−588．（3分）已知函数f （x ）={log 12(x +1)，−1＜x ＜0−x 2+2x ，x ≥0，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a +b +c 的取值范围是（ ） A ．（12，1）B ．（34，1）C ．（34，2）D ．（32，2）二、填空题．9．（3分）已知i 是虚数单位，则1−i 3+i= ．10．（3分）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取 件．11．（3分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x ﹣y +1＝0，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．13．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =π3，b ＝2√3，则△ABC 周长的最大值是 ．14．（3分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数f （x ）＝cos x （sin x −√3cos x ），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最大值； （2）讨论f （x ）在区间[π3，2π3]上的单调性．16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会．已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23．假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响．（1）求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．．17．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝4，∠ACB ＝90°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：PQ ∥平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．18．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）•log 3a 2n +2（n ∈N *），数列{1b n}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．设a ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点P （1，﹣2）处的切线方程； （2）若f （x ）无零点，求a 的取值范围；（3）若f （x ）有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1+x 2＞2a ．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【解答】解：U ＝{0，1，2，3，4}，A ∩B ＝{2，3}； ∴∁U （A ∩B ）＝{0，1，4}． 故选：B ．2．【解答】解：作变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0的可行域，如图：由：{2x +y −2=0x −y −1=0解得A （1，0），则直线z ＝x +y 过点A （1，0）时，z 取最小值1， 故选：D ．3．【解答】解：经过第一次循环得到s ＝3，i ＝2，不满足i ＞4， 执行第二次循环得到s ＝4，i ＝3，不满足i ＞4， 执行第三次循环得到s ＝1，i ＝4，不满足i ＞4， 经过第四次循环得到s ＝0，i ＝5，满足判断框的条件 执行“是”输出S ＝0． 故选：C ．4．【解答】解：−log 215=log 25＞log 24.5＞log 24=2，20.6＜21＝2； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．5．【解答】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，∵以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3）， ∴{16+9=c 23=ba ×4，解得a ＝4，b ＝3，∴双曲线的方程为x 216−y 29=1．故选：D ．6．【解答】解：在三角形中，若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB，得sin A ＞sin B ．若sin A ＞sin B ，则正弦定理a sinA=b sinB，得a ＞b ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件． 故选：C ．7．【解答】解：AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →， 可得OD →=−OC →，EO →=14AO →，EC →⋅ED →=（EO →+OC →）•（EO →+OD →）＝（EO →+OC →）•（EO →−OC →） =EO →2−OC →2=116−1=−1516． 故选：B ．8．【解答】解：作图可得，a ∈(−12，0)，b +c ＝2，所以a +b +c ∈（32，2），故选：D ． 二、填空题． 9．【解答】解：1−i 3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ．故答案为：15−25i ．10．【解答】解：由题意得从C 种型号的产品中抽取90400+800+600×600＝30件．故填：30．11．【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为√2，所以棱锥的高为h =√6−2=2，∴V =13Sh =13×22×2=83． 故答案为：83．12．【解答】解：因为圆C 的方程为ρ＝2sin θ，所以x 2+y 2＝2y ，x 2+（y ﹣1）2＝1， 因此圆心到直线距离为√5＜1，所以直线l 与圆C 相交．故答案为：相交13．【解答】解：因为b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π3，B =π3，b ＝2√3，所以12＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ≥（a +c ）2﹣3（a+c2）2=(a+c)24，当且仅当a ＝c时取等号， 因此（a +c ）2≤48， 可得：a +c ≤4√3，可得：a +b +c ≤6√3，即△ABC 周长的最大值是6√3． 故答案为：6√3．14．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在4个盒子中任选2个，作为“空盒”，有C 42＝6种不同的情况，②，将4个不同的小球放进剩下的2个盒子中，每个盒子中至少放一个，有24﹣2＝14种不同的放法，则恰有2个空盒的放法共6×14＝84种； 故答案为：84．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）由题意，得f （x ）＝cos x sin x −√3cos 2x =12sin2x −√32（1+cos2x ）=12sin2x −√32cos2x −√32 ＝sin （2x −π3）−√32．所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，其最大值为1−√32． （2）令z ＝2x −π3则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[−π2+2k π，π2+2k π]，k ∈Z ．由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，得−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z 设A ＝[π3，2π3]，B ＝{x |−π12+k π≤x ≤512π+k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[π3，5π12]．所以，当x ∈[π3，2π3]时，f （x ）在区间[π3，5π12]上单调递增；在区间[5π12，2π3]上单调递减．16．【解答】解：（1）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有 ，P （A ）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23=518（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4， 所以，P （ξ＝2）=12×23+12×12=712，P （ξ＝3）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23+12×13×13=13， ．P （ξ＝4）＝（1−12）×12×（1−23）=112 从而ξ2 3 4P71213112E （ξ）＝2×712+3×13+4×112=52．17．【解答】（1）证明：∵P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， ∴PQ ∥BE ，PQ =12BE ， 又DC ∥BE ，DC =12BE ， ∴PQ ∥DC ，∵PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ；（2）解：∵DC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，以点C 为坐标原点，分别以CD →，CA →，CB →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则C （0，0，0），A （0，4，0），B （0，0，4），D （2，0，0），E （4，0，4）， AB →=(0，−4，4)，DE →=(2，0，4)， ∴cos ＜AB →，DE →＞=AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →|=√105，∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值√105； （3）解：由（Ⅱ）可知AB →=(0，−4，4)，AE →=(4，−4，4)， 设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则{n →⋅AB →=−4y +4z =0n →⋅AE →=4x −4y +4z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)． 由已知可得平面ACD 的法向量为CB →=（0，0，4）， ∴cos ＜n →，CB →＞=n →⋅CB →|n →|⋅|CB →|=√22． 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45°．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得b n＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1−12n+1），即有前n项和S n=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜1 2．19．【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1（﹣1，0）知：c＝1，即a2﹣b2＝1．①．又因为直线B1F1的方程为bx﹣y+b＝0，即√b2+1=√32，所以b=√3．由①解得a2＝4．故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），由{x24+y23=1y=k(x−2)，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且x A＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k3+4k 2)2]＝2，化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式△＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）． 20．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝lnx ﹣2x ，所以f ′（x ）=1x −2． 故切线的斜率k ＝f ′（1）＝﹣1，则切线方程为y +2＝﹣（x ﹣1），即x +y +1＝0．（2）f ′（x ）=1x −a ，①当a ＝0时，f （x ）＝lnx 有唯一零点x ＝1，不合题意； ②当a ＜0时，则f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，+∞）上的增函数，因为f （1）＝﹣a ＞0，f （e a ）＝a ﹣ae a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）有唯一零点，不合题意；③当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a ，所以，当x ∈（0，1a ）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，1a ）上是增函数； 当x ∈（1a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1a ，+∞）上是减函数． 所以在区间（0，+∞）上，函数f （x ）有极大值为f （1a ）＝ln 1a −1＝﹣lna ﹣1， ∵e a ＞a ＞0，故1e ＜1a，且e a ＞1， ∴f （1e ）＝﹣a −a e a =−a （1+1e a）＜0，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 若f （x ）无零点，则f （1a ）＜0，即﹣lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ，故所求实数a 的取值范围是（1e ，+∞）． （3）设x 1＞x 2＞0，由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得lnx 1﹣ax 1＝0，lnx 2﹣ax 2＝0，∴lnx 1﹣lnx 2＝a （x 1﹣x 2），即a =ln x 1x 2x 1−x 2， 要证：x 1+x 2＞2a ，只需证a （x 1+x 2）＞2，即证：lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2． 令t =x 1x 2＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnt ＞2(t−1)t+1． 设函数h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（t ＞1），求导得h ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0， 所以函数h （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以h （t ）＞h （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1在（1，+∞）上恒成立， 故所证不等式x 1+x 2＞2a 成立．。
【精品高考数学试卷】2019年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S＝{x|x＞﹣2}，T＝{x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．（5分）若变量x，y满足约束条件{y≤2xx+y≤1y≥−1，则x+2y的最大值是（）A．−52B．0C．53D．523．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．95B．116C．137D．1584．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“x﹣1＜12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a＝log3e，b＝e1.5，c＝log1314，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）以下关于函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（）A．函数f（x）在区间(0，23π)上单调递增B ．直线x =π8是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴 C ．点(π4，0)是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心D ．将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin2x 的图象7．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （1，m ）（m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（ ） A ．19B ．125C ．15D ．138．（5分）如图梯形ABCD ，AB ∥CD 且AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，E 在线段BC 上，AC →⋅BD →=0，则AE →⋅DE →的最小值为（ ）A ．1513B ．9513C ．15D ．−1513二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i 是虚数单位，若复数z 满足（3﹣4i ）z ＝5，则z ＝ ． 10．（5分）二项式（√x −1√x3）5的展开式中常数项为 （用数字作答）11．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为（2，2π3），则CP 的长度为 ．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且2x +8y ﹣xy ＝0，则xy 的最小值为 ．14．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）={x 2+2，0≤x ＜12−x 2，−1≤x ＜0，且f （x +2）＝f（x），g（x）=2x+5x+2，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，A，B，C对应的边为a，b，c，已知a cos C+12c＝b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b＝4，c＝6，求cos B和cos（A+2B）的值．16．（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响，我国PM2.5标准如表所示，我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．PM2.5日均值（微克/立方米）范围空气质量级别（1，35]Ⅰ（35，75]Ⅱ大于75超标（1）求这15天数据的平均值；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（13分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC ＝2，G为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP．①求证：PC∥平面BMG；②求直线PB 与平面BMG 所成的角的大小；（2）是否存在实数λ满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n +b n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．（1）若点C 的坐标为（43，13），且BF 2=√2，求椭圆的方程；（2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝e x +x 2﹣x ，g （x ）＝x 2+ax +b ，a ，b ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调区间；（2）若曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线l 与曲线y ＝g （x ）切于点（1，c ），求a ，b ，c 的值；（3）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合S ＝{x |x ＞﹣2}， ∴∁R S ＝{x |x ≤﹣2}，T ＝{x |x 2+3x ﹣4≤0}＝{x |﹣4≤x ≤1}， 故（∁R S ）∪T ＝{x |x ≤1} 故选：C ．2．【解答】解：作出不等式组{y ≤2x x +y ≤1y ≥−1表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （−12，﹣1），B （13，23），C （2，﹣1）设z ＝F （x ，y ）＝x +2y ，将直线l ：z ＝x +2y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝F （13，23）=53故选：C ．3．【解答】解：当k ＝4时，k ＞4不成立， 当k ＝5时，k ＞4成立，即程序功能是计算S ＝1+11×2+12×3+13×4+14×5 ＝1+1−12+12−13+⋯+13−14+14−15 ＝2−15=95， 故选：A ．4．【解答】解：由|x +1|＜1得﹣1＜x +1＜1，得﹣2＜x ＜0， 由x ﹣1＜12得1x＜12，得x ＜0或x ＞2，则“|x +1|＜1”是“x ﹣1＜12”的充分不必要条件，故选：A ．5．【解答】解：0＝log 31＜log 3e ＜log 33＝1，e 1.5＞e ＞2，1=log 1313＜log 1314＜log 1319=2；∴a ＜c ＜b 故选：D ．6．【解答】解：函数f （x ）＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4），在区间(0，23π)上，2x −π4∈（−π4，13π12），故函数在区间(0，23π)上不单调，故排除A ；令x =π8，求得f （x ）＝0，不是函数的最值，故直线x =π8不是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴，故排除B ；令x =π4，求得f （x ）＝1≠0，故点(π4，0)不是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心，故排除C ；将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到 y =√2sin[2（x +π8）−π4═√2sin2x 的图象， 故D 正确． 故选：D ．7．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x =−p2， 由抛物线的定义可得5＝1+p2，可得p ＝8， 即有y 2＝16x ，M （1，4）， 双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A （−√a ，0），渐近线方程为y ＝±√ax ， 直线AM 的斜率为1+√a，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行， 可得√a=1+√a，解得a =19，故选：A ．8．【解答】解：在梯形ABCD ，AB ∥CD ，则向量AD →与AB →的夹角和向量AD →与DC →的夹角相等，不妨设为θ．由AC →⋅BD →=0可知，(AD →+DC →)⋅(AD →−AB →)=0，整理得16﹣20cos θ+8cos θ﹣10＝0，解之得cosθ=12，∴θ＝60°，即∠DAB ＝60°，过点D 向AB 作垂线垂足为O ，建立如图所示直角坐标系，则A （﹣2，0），B （3，0），D （0，2√3），C （2，2√3），则BE →=λBC →=(−λ，2√3λ)，∴E(3−λ，2√3λ)．所以AE →=(5−λ，2√3λ)，DE →=(3−λ，2√3(λ−1)）． AE →⋅DE →=(5−λ)(3−λ)+12λ(λ−1)=13λ2﹣20λ+15， 又知0≤λ≤1，当λ=1013时，取得最小值9513．故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．【解答】解：由（3﹣4i ）z ＝5，得z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i ． 故答案为：35+45i ．10．【解答】解：二项式（√x −1√x3）5的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r•（﹣1）r •x 15−5r 6，令15−5r 6=0，求得r ＝3，可得展开式中常数项为−C 53=−10，故答案为：﹣10．11．【解答】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO =3×332=3√22， 所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V =13×2×3√2×3√22=6． 故答案为：6．12．【解答】解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，得x 2+y 2＝4x ，即（x ﹣2）2+y 2＝4，其圆心（2，0），点P 的极坐标为（2，2π3），其直角坐标为（﹣1，√3），|CP |=√(−1−2)2+(0−√3)2=2√3 故答案为：2√3．13．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，2x +8y ﹣xy ＝0， ∴xy ＝2x +8y ≥2√16xy =8√xy ，∴√xy ≥8，∴xy ≥64．当且仅当x ＝4y ＝16时取等号． 故xy 的最小值为64． 故答案为：6414．【解答】解：由题意知g(x)=2x+5x+2=2(x+2)+1x+2=2+1x+2，函数f （x ）的周期为2，则函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t （0＜t ＜1），则点A 的横坐标为﹣4﹣t ，所以方程f （x ）＝g （x ）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t ）+t ＝﹣7． 故答案为：﹣7．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵a cos C+12c＝b．∴由正弦定理可得：sin A cos C+12sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C），可得：sin A cos C+12sin C＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin C≠0，∴可得：cos A=1 2，∵A∈（0，π），∴A=π3⋯6分（Ⅱ）∵b＝4，c＝6，A=π3，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+36﹣2×4×6×12=28，可得：a＝2√7，∴由b sin A＝a sin B，可得：sin B=√3 7，∵b＜a，∴cos B=√1−sin2B=7，∴sin2B＝2sin B cos B=4√37，cos2B＝2cos2B﹣1=17，∴cos（A+2B）＝cos A cos2B﹣sin A sin2B=−1114⋯13分16．【解答】解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：x=115(25+28+31+⋯+92)=55（3分）（2）依据条件，ξ的可能值为0，1，2，3，当ξ＝0时，P(ξ=0)=C50C103C153=2491，（4分）当ξ＝1时，P(ξ=1)=C51C102C153=4591（5分）当ξ＝2时，P(ξ=2)=C52C101C153=2091，（6分）当ξ＝3时，P(ξ=0)=C53C100C153=291（7分）所以其分布列为：ξ0123P249145912091291（8分）数学期望为：Eξ=4591+2×2091+3×291=1（10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P=515=13，（11分）一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B(360，13 )，∴Eη=360×13=120（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．（13分）17．【解答】（1）①证明：∵AM＝MP，即M为AP的中点，G是AD的中点，∴MG∥PD，又MG⊂平面BMG，PD⊄平面BMG，∴PD∥平面BMG．∵AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2，DG=12AD＝2，∴四边形BCDG是正方形，∴CD∥BG，又BG⊂平面BMG，CD⊄平面BMG，∴CD∥平面BMG．又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴平面PCD∥平面BMG，又PC⊂平面PCD，∴PC∥平面BMG．②解：∵PG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG，由①知BG⊥AD，PG∩AD＝G，∴BG⊥平面P AD，又P A⊂平面P AD，∴BG⊥P A，∵PG＝AG，M是P A的中点，∴MG⊥P A，又BG∩MG＝G，∴P A⊥平面BMG，∴∠PBM为PB与平面BMG所成的角．∵PG ＝AG ＝BG ＝2，PG ⊥AG ，PG ⊥BG ，∴AP ＝BP ＝2√2，故PM =12AP =√2，∴sin ∠PBM =PM PB =12， ∴直线PB 与平面BMG 所成的角为30°．（2）解：以G 为原点，以GB ，GD ，GP 为坐标轴建立空间直接坐标系如图所示， 则A （0，﹣2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴DB →=（2，﹣2，0），BA →=（﹣2，﹣2，0），AP →=（0，2，2），∴BM →=BA →+AM →=BA →+λAP →=（﹣2，2λ﹣2，2λ），设平面BDM 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=0n →⋅BM →=0，即{2x −2y =0−2x +(2λ−2)y +2λz =0， 令x ＝λ可得n →=（λ，λ，2﹣λ），又BG ⊥平面ADP ，故m →=（1，0，0）为平面ADP 的一个法向量，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=λ√3λ−4λ+4，令√3λ2−4λ+4=12，解得λ＝2√2−2或λ＝﹣2√2−2（舍）． ∴存在实数λ＝2√2−2满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3．18．【解答】解：（1）由题意当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝3n 2+8n ﹣3（n ﹣1）2﹣8（n ﹣1）＝6n +5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；所以a n ＝6n +5，n ∈N *；（2）设数列{b n }的公差为d ，由{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3， 即{11=2b 1+d 17=2b 1+3d， 解之得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n +1，n ∈N *；（3）由（1）知c n =(a n +1)n+1(b n +2)n =(6n+6)n+1(3n+3)n =3（n +1）•2n +1， 又T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，即T n =3[2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)2n+1]，所以2T n =3[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)2n+2]，以上两式两边相减得﹣T n ＝3[8+23+24+…+2n +1﹣（n +1）•2n +2]＝3[8+8(1−2n−1)1−2−（n +1）•2n +2]，化简可得T n ＝3n •2n +2．19．【解答】解：（1）∵C 的坐标为（43，13）， ∴169a 2+19b 2=1，即16a 2+1b 2=9，∵BF 22=b 2+c 2=a 2，∴a 2＝（√2）2＝2，即b 2＝1，则椭圆的方程为x 22+y 2＝1．（2）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∵B （0，b ），∴直线BF 2：y =−b c x +b ，代入椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）得（1a +1c ）x 2−2c x =0， 解得x ＝0，或x =2a 2c a 2+c 2， ∵A （2a 2c a +c ，−b(c 2−a 2)a 2+c 2），且A ，C 关于x 轴对称， ∴C （2a 2c a 2+c 2，b(c 2−a 2)a 2+c 2），则k F 1C =−b(c 2−a 2)a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c =a 2b−bc 23a 2c+c 3， ∵F 1C ⊥AB ，∴b(a 2−c 2)3a 2c+c 3⋅×（−b c ）＝﹣1， 由b 2＝a 2﹣c 2得c 2a =15， 即e =√55．20．【解答】解：（Ⅰ）F （x ）＝e x ﹣2x ﹣b ，则F '（x ）＝e x ﹣2．令F '（x ）＝e x ﹣2＞0，得x ＞ln 2，所以F （x ）在（ln 2，+∞）上单调递增．令F '（x ）＝e x ﹣2＜0，得x ＜ln 2，所以F （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减．…（4分） （Ⅱ）因为f '（x ）＝e x +2x ﹣1，所以f '（0）＝0，所以l 的方程为y ＝1．依题意，−a 2=1，c ＝1．于是l 与抛物线g （x ）＝x 2﹣2x +b 切于点（1，1），由12﹣2+b ＝1得b ＝2．所以a ＝﹣2，b ＝2，c ＝1．…（8分）（Ⅲ）设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ，则h （x ）≥0恒成立． 易得h '（x ）＝e x ﹣（a +1）．（1）当a +1≤0时，因为h '（x ）＞0，所以此时h （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．①若a +1＝0，则当b ≤0时满足条件，此时a +b ≤﹣1；②若a +1＜0，取x 0＜0且x 0＜1−b a+1，此时ℎ(x 0)=e x 0−(a +1)x 0−b ＜1−(a +1)1−b a+1−b =0，所以h （x ）≥0不恒成立． 不满足条件；（2）当a +1＞0时，令h '（x ）＝0，得x ＝ln （a +1）．由h '（x ）＞0，得x ＞ln （a +1）；由h '（x ）＜0，得x ＜ln （a +1）．所以h （x ）在（﹣∞，ln （a +1））上单调递减，在（ln （a +1），+∞）上单调递增． 要使得“h （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ≥0恒成立”，必须有：“当x ＝ln （a +1）时，h （x ）min ＝（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣b ≥0”成立． 所以b ≤（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）．则a +b ≤2（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣1． 令G （x ）＝2x ﹣xlnx ﹣1，x ＞0，则G '（x ）＝1﹣lnx ．令G '（x ）＝0，得x ＝e ．由G '（x ）＞0，得0＜x ＜e ；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x＝e时，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的最大值为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1．…（14分）。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）集合M ＝{y |y ＝ln （x 2+1）}，N ＝{x |2x ＜4}，则M ∩N 等于（ ） A ．[0，2]B ．（0，2）C ．[0，2）D ．（0，2]2．（5分）设变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0，则目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．−6639B ．−135C ．﹣2D ．23．（5分）下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ＞0； ②命题p ：|2x ﹣1|≤1，命题q ：11−x＞0，则p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝±4； 其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，则φ等于（ ） A ．π3B ．π6C ．π2D ．π46．（5分）已知a =log 130.60.3，b =log 1214，c =log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a7．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√22xB ．y =±√2xC ．y =±√33xD ．y =±√3x8．（5分）已知函数f(x)={|log 3(2−x)|，x ＜2−(x −3)2+2，x ≥2，g(x)=x +1x −1，则方程f （g （x ））＝a 的实根个数最多为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）若z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，则a •b ＝ ．10．（5分）已知a =∫ π0sinxdx ，则(ax x )5的二项展开式中，x 2的系数为 ．11．（5分）已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．（5分）直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数），圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，则实数a ＝ ．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则1x+xy 的最小值 ．14．（5分）在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45°，高为m ，Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，AC →+AD →=2AE →设AE →⋅AQ →的最小值为f （m ），若关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S △ABC =25√34，且a ＝5，求b +c ． 16．（13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB =π3，AD ＝2，AM ＝1，E 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）设数列{a n }满足a 1＝2，且点P(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在直线y ＝x +2上，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝3b n ．（Ⅰ）数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ⋅(b n −(−1)n )}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（14分）已知椭圆W ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点P(√2a ，√3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ． ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |．20．（14分）函数f(x)=(n −mlnx)x 1n ，其中n ∈N *，x ∈（0，+∞）．（Ⅰ）当n＝2时，f（x）在[1，e]上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝1时，①n为定值，求f（x）的最大值；②若n＝2，lna≥1，求证：对任意k＞0，直线y＝﹣kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：M ＝{y |y ≥0}，N ＝{x |x ＜2}； ∴M ∩N ＝[0，2）． 故选：C ．2．【解答】解：变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0的可行域如下图所示：由图可知，由{2x +3y −6=03x −2y +6=0得A （−613，3013），由{2x +3y −6=0x −y +1=0解得B （35，85）目标函数z ＝x ﹣2y 化为y =12x −z2，平移直线经过的B 时，目标函数取得最大值：z ＝x ﹣2y 取最大值：−135． 故选：B ．3．【解答】解：①：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ≥0，故①错误， ②由|2x ﹣1|≤1，得﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， 由11−x＞0，得1﹣x ＞0得x ＜1，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件，故②错误，③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝b 5q 2；即b 7与b 7同号，则b 7＝4，故③错误，故真命题的个数为0个， 故选：A ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，k ＝1 S ＝2，不满足条件S ＞10，k ＝2，S ＝6 不满足条件S ＞10，k ＝3，S ＝15满足条件S ＞10，退出循环，输出k 的值为3． 故选：B ．5．【解答】解：将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，可得y ＝cos （2x +2φ−π6）的图象，根据已知得到函数y =cos(2x +π3)的图象， ∴2φ−π6=π3，∴φ=π4， 故选：D ．6．【解答】解：a =log 130．60.3=0.3log 130.6，b =log 1214=2，c =log 130．50.4=0.4log 130.5； ∵0＜log 130.6＜log 130.5＜1；∴0＜0.3log 130.6＜0.4log 130.5＜1；∴a ＜c ＜b ． 故选：C ．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ， 由题意可得AC ⊥BC ， 可得四边形F ABC 为矩形， 即有|AF |＝|BC |， 设|AC |＝m ，|BC |＝n ，可得n ﹣m ＝2a ，n 2+m 2＝4c 2，12mn ＝2a 2，即有4c 2﹣8a 2＝4a 2，即有c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ． 故选：B ．8．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：由z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ， 得（a +bi ）（1﹣2i ）＝（a +2b ）+（b ﹣2a ）i ＝8﹣i ， ∴{a +2b =8b −2a =−1，解得a ＝2，b ＝3． ∴ab ＝6． 故答案为：6．10．【解答】解：已知a =∫ π0sinxdx =−cos x |0π=2，则(ax +x )5=(2x x)5 的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 5r •25﹣r•x 5−3r2， 令5−3r 2=2，求得r ＝2，可得展开式中x 2的系数为C 52•23＝80， 故答案为：80．11．【解答】解：圆柱的底面半径为2，则底面直径为4， 又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形， 如图：则圆柱的外接球的半径为r =12√42+22=√5． ∴该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π． 故答案为：20π．12．【解答】解：直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数）化为普通方程，得：2ax +y −1=0，圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)化为普通方程，得：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8， 圆心C （﹣2，2），半径r ＝2√2，∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，∴圆心C （﹣2，2）到直线2ax +y −1=0的距离：d =|−2×2a +2−1|√4a2+1=√2，解得实数a ＝﹣4±2√6． 故答案为：﹣4±2√6．13．【解答】解：x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则2x •4y ＝2， ∴x +2y ＝1， ∴1x +x y=x+2y x+x y=1+2y x +x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2，当且仅当2y x =x y时，即x =√2−1，y =2−√22取等号， 故答案为：2√2+114．【解答】解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以AB 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 由已知可得：A （﹣2，0），B （2，0），D （m ﹣2，m ），C （2﹣m ，m ）， ∵AC →+AD →=2AE →， ∴E 为DC 的中点， ∴E （0，m ），由Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，故当Q 落在D 点时，AE →⋅AQ →取最小值f （m ）， ∵AE →=（2，m ），AD →=（m ，m ）即f （m ）＝（2，m ）•（m ，m ）＝m 2+2m ，（0＜m ＜2）； 关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，即m 2+（2﹣k ）m +3＝0在（0，2）上有两个不等式相等的实根，∴{△=(2−k)2−12＞00＜−2−k 2＜24+2(2−k)+3＞0解得：k ∈（2+2√3，112）∴实数k 的取值范围是（2+2√3，112）．故答案为：（2+2√3，112）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2， ∴2b(2b−c)cosA2ab=a 2+b 2−c 22ab，………（1分）∴（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，………（2分）∴由正弦定理得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，………（3分） ∴即：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin B ，………（4分） ∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0，………（5分） ∴cosA =12，………（6分） ∵0＜A ＜π，∴A =π3．………（7分） （Ⅱ）∵S △ABC =12bcsinA =25√34，………（8分） ∴bc ＝25，………（9分）∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−252×25=12，………（10分） ∴b 2+c 2＝50，………（11分）∴（b +c ）2＝b 2+c 2+2bc ＝100，………（12分） 即：b +c ＝10．………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n =C 94，事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A 包含的基本事件个数m =C 31C 21C 42，∴事件A 发生的概率P(A)=C 31⋅C 21⋅C 42C 94=36126=27⋯⋯⋯（3分）（列式（2分），结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为0，1，2，3………（4分） P(X =0)=C 64⋅C 30C 94=15126=542⋯⋯⋯（5分）（列式（1分），结果1分） P(X =1)=C 63⋅C 31C 94=60126=1021⋯⋯⋯（7分）（列式（1分），结果1分） P(X =2)=C 62⋅C 32C 94=45126=514⋯⋯⋯（9分）（列式（1分），结果1分） P(X =3)=C 61⋅C 33C 94=6126=121⋯⋯⋯（11分）（列式（1分），结果1分）∴X 的分布列为X 0123P 5421021514121EX =0×542+1×1021+2×514+3×121=43⋯⋯⋯（13分）（列式（1分），结果1分） （本题得数不约分不扣分） 17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………（1分）又EF ⊂平面MEC ，………（2分）AN ⊄平面MEC ，………（3分） 所以AN ∥平面MEC ………（4分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD ＝AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………（5分）如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E(√3，0，0)，C （0，2，0），M(√3，−1，1)，B(√3，1，0)，N （0，0，1）设平面MBC 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， MB →=(0，2，−1)，BC →=(−√3，1，0)，{MB →⋅n 1→=0BC →⋅n 1→=0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1→=(1，√3，2√3)⋯⋯⋯（6分）ME →=(0，1，−1)⋯⋯⋯（7分）cos ＜ME →，n 1→＞=ME →⋅n 1→|ME →||n 1→|=−√32⋅4=−√68⋯⋯⋯（8分） ∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68⋯⋯⋯（9分） （Ⅲ）设P(√3，−1，ℎ)，CE →=(√3，−2，0)，EP →=(0，−1，ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)则，{CE →⋅n 1→=0EP →⋅n 1→=0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1→=(2ℎ，√3ℎ，√3)⋯⋯⋯（10分）又平面ADE 的法向量n 2→=(0，0，1)，cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√3√7ℎ+3=12⋯⋯⋯（11分）解得，ℎ=3√77⋯⋯⋯（12分）， ∵3√77＞1， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3．………（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知：对于数列{a n}：∵点P(a n，a n+1)(n∈N∗)在直线y＝x+2上，∴a n+1＝a n+2∴a n+1﹣a n＝2（n∈N*）．∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝a1+（n﹣1）2＝2n．对于数列{b n}：∵b1＝3，b n+1＝3b n，∴{b n}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列．∴b n=3n．（Ⅱ）由题意及（1）知：对于一般项：a n⋅(b n−(−1)n)=2n⋅(3n−(−1)n)=2n⋅3n−(−1)n⋅2n．由题意，可设{2n•3n}的前n项和为T n′=2⋅31+4⋅32+6⋅33+⋯+2(n−1)⋅3n−1+ 2n⋅3n①3T n′=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+2(n−1)⋅3n+2n⋅3n+1②①﹣②得−2T n′=2⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1，∴−2T n′=6(1−3n)1−3−2n⋅3n+1=−3+(1−2n)⋅3n+1，∴T n′=32+(n−12)⋅3n+1．同理，可设{（﹣1）n•2n}的前n项和为T n''，∴当n为偶数时，T n″=−2+4−6+8−⋯−2(n−1)+2n=2⋅n2=n，当n 为奇数时，n +1为偶数，则：T n +1″＝2+4﹣6+8﹣…﹣2n +2（n +1）=2⋅n+12=n +1． ∴T n ''＝T n +1''﹣2（n +1）＝n +1﹣2n ﹣2＝﹣n ﹣1． ∵T n ＝T n ′﹣T n ″．∴T n ={32+(n −12)⋅3n+1−n(n 为偶数)52+(n −12)⋅3n+1+n(n 为奇数)．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知e =c a =√22，a 2＝b 2+c 2，得b ＝c ，a =√2c ， ∵△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c)2=(√2a −1)2+(√3)2解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立，由{y =x +1x 22+y 2=1可求B(−43，−13)．②当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |． 当l 2不与x 轴垂直时，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1）． 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，整理得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0． 则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1．由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 令x ＝﹣1，得点E 的纵坐标y E =x 2−y 2+1x 2． 把y 2＝k （x 2+1）代入得y E =(x 2+1)(1−k)x 2．由已知，x 1≠−43，则直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，令x ＝﹣1，得点G 的纵坐标y G =y 1−x 1−13(x 1+43)．把y1＝k（x1+1）代入得y G=(x1+1)(k−1)3x1+4．y E+y G=(x2+1)(1−k)x2+(x1+1)(k−1)3x1+4=(1−k)[(x2+1)(3x1+4)−x2(x1+1)]x2⋅(3x1+4)=(1−k)[2x1x2+3(x1+x2)+4]x2⋅(3x1+4)把x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=2×2k2−22k2+1+3×(−4k22k2+1)+4=0．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|．20．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，f(x)=(2−mlnx)x 12，f′(x)=(2−2√x−m x√x=2−mlnx−2m2√x≤在[1，e]恒成立．即2﹣mlnx﹣2m≤0在[1，e]恒成立，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，∴m≥22+lnx，令u（x）=22+lnx，u′（x）=−2x(2+lnx)2＜0．∴u（x）=22+lnx在[1，e]单调递减，∴φ（x）max＝φ（1）＝1，∴m≥1．（Ⅱ）①当m＝1时，f(x)=(n−lnx)⋅x 1 n，f′(x)=−1x⋅x 1n+(n−lnx)1nx1n−1=−x1n−1+(n−lnx)1nx1n−1=−1n⋅lnx⋅x1n−1．∵x＞0，∴令f′（x）＝0，x＝1．x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）max＝f（1）＝n．②要证明当a≥e，k＞0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g（t）＝kt2+2t﹣2tlnt﹣a有唯一零点．我们先证三个引理【引理1】x（1﹣lnx）≤1…（由第1问取n＝1即可）【引理2】lnx≥1−1x⋯（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x﹣1…（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1．证毕！．下面我们先证明函数g（t）存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a．令t=√a−2k，可知g（t）≤0．再由【引理3】得到lnx＜x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)＞t√t(k√t−4)(2t−a)．令t＞16k2，且t＞a2，可知g（t）＞0．由连续性可知该函数一定存在零点．下面我们开始证明函数g（t）最多只能有一个零点．我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lntt)．令ℎ(t)=lntt，则ℎ′(t)=1−lntt2，则h（t）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，即ℎ(t)max=1e．当k≥1e时，有g'（t）≥0恒成立，g（t）在（0，+∞）上递增，所以最多一个零点．当0＜k＜1e时，令g'（t1）＝g'（t2）＝0，t1＜e＜t2，即lnt1＝kt1，于是g（t1）＝t1lnt1+2t1﹣2t1lnt1﹣a＝t1（2﹣lnt1）﹣a．再令t1＝eT（0＜T＜1），由【引理1】可以得到g（t1）＝eT（1﹣lnT）﹣a＜e×1﹣a≤0．因此函数g（t）在（0，t1）递增，（t1，t2）递减，（t2，+∞）递增，t＝t1时，g（t）有极大值但其极大值g（t1）＜0，所以最多只有一个零点．综上，当k＞0，a≥e时，函数y＝f（x）与y＝﹣kx+a的图象有唯一交点．。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，则目标函数z ＝3x +2y 的最大值为（ ）A ．﹣4B ．92C ．6D ．83．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为9，则输出的结果S 为（ ）A ．109B ．48C ．19D ．64．（5分）设x ∈R ，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ） A ．﹣2B ．−14C ．−12D ．06．（5分）已知函数f （x ）＝e |x |，令a =f(sin 3π4)，b =f(2−3)，c =f(log 123)，则a ，b ，c的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．（5分）已知抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 为双曲线C 2：x 2−y 23=1的顶点，过点F 的直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足|MN |＝8，若|AM |＝|AN |，则△AMN 的面积为（ ） A ．3√6B ．6√3C ．6√2D ．8√28．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，且在(π12，5π12)上单调，把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ） A ．−√3 B ．√3 C ．﹣1 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）i 是虚数单位，复数−3+2i 1+i= ．10．（5分）在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于 ．11．（5分）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 ．12．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−1+√2cosαy =√2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝2√2．设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，则|PQ |的最小值为 ．13．（5分）若log 4(a +4b)=log 22√ab ，则a +b 的最小值是 ．14．（5分）已知函数f(x)={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且atanA=b 2sinB．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．16．（13分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率；（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X 表示王同学答对题的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为√2211，求线段CG 的长．18．（13分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＝5，S 5＝35，T n 是数列{b n }的前n 项和，满足T n ＝2b n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c n ={2S n ，n =2k −1a nb n ，n =2k(k ∈N ∗)，设数列{c n }的前n 项和P n ，求P 2n 的表达式．19．（14分）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√22，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=−4√3y 的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M （0，m ）（0＜m ＜b ）的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点A ，B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ．（i ）设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，k ′，证明：3k +k ′＝0；（ii）求直线BG的斜率的最小值．20．（14分）已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}={x |﹣2＜x ＜1，x ∈Z }＝{﹣1，0}， ∴A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 故选：C ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，作可行域如图．由z ＝3x +2y ，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A ，B 时，目标函数取得最值， 由：{x −y +3=02x +y −3=0，可得A （0，3），分别为z max ＝3×0+2×3＝6， 目标函数的最大值为6． 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得 k ＝9，n ＝1，S ＝1不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝4，S ＝6 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝7，S ＝19 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝10，S ＝48 此时，满足判断框内的条件n ＞k ，退出循环，输出S 的值为48．故选：B ．4．【解答】解：由x 3＜27得x ＜3， 由log 13x ＞−1得0＜x ＜3，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图： 则B （2，0），A （0，2），D 为AB 的中点，则D （1，1）， 点P 是线段CD 上的动点，设P （m ，m ），（0≤m ≤1）； 则PA →=（﹣m ，2﹣m ），PB →=（2﹣m ，﹣m ），则PA →⋅PB →=（﹣m ）（2﹣m ）+（2﹣m ）（﹣m ）＝2m 2﹣4m ＝2（m ﹣1）2﹣2， 又由0≤m ≤1，则当m ＝1时，PA →⋅PB →取得最小值﹣2； 故选：A ．6．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝e |x |，有f （﹣x ）＝e |﹣x |＝e |x |＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，则有c ＝f （log 123）＝f （﹣log 23）＝f （log 23），又由当x ＞0时，f （x ）＝e x ，易得f （x ）为[0，+∞）上为增函数， 又由log 23＞1＞sin 3π4=√22＞12＞2﹣3，则有f （log 23）＞f （sin 3π4）＞f （2﹣3）， 则有b ＜a ＜c ； 故选：A ．7．【解答】解：由题意可知，抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），则p2=1，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． 如图，设MN 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=2k 2+4k2，由|MN |＝x 1+x 2+2＝8，得2k 2+4k 2=6，解得k ＝±1．∴x 1+x 2＝6，则MN 的中点坐标为（3，2），不妨取k ＝1，可得MN 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣1×（x ﹣3）， 即y ＝﹣x +5．取y ＝0，得A （5，0）．此时A 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =2=2√2． ∴△AMN 的面积S =12×8×2√2=8√2． 故选：D ．8．【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，∴2sin φ=√3，∴φ=π3．f （x ）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k •2πω=π，k ∈Z ，∴ω＝2，f （x ）＝2sin （2x +π3）．当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，2x +π3∈（5π3，3π），若 f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＝2•5π2=5π，f （x 1+x 2）＝2sin （10π+π3）＝2sin π3=√3，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：−3+2i 1+i =(−3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+5i 2=−12+52i ．故答案为：−12+52i ．10．【解答】解：由在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256， 可得：2n ＝256，解得：n ＝8，又（√x 3−1x ）8的二项式展开式的通项为T r +1=C 8r （√x 3）8﹣r （−1x ）r ＝（﹣1）r C 8r x8−4r 3， 令8−4r 3=0，则r ＝2，即展开式中常数项等于（﹣1）2C 82=28，故答案为：28．11．【解答】解：∵圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3， ∴圆锥的母线l ＝5， ∴圆锥侧面积S ＝πrl ＝20π， 设球的半径为r ，则4πr 2＝20π， ∴r =√5，∴该球的体积为V =43•π•（√5）3=20√5π3． 故答案为：20√5π3．12．【解答】解：由C 1的参数方程消去参数α得曲线C 1的普通方程为：（x +1）2+y 2＝2， 由曲线C 2的极坐标方程以及互化公式可得C 2的普通方程为：x +y ﹣4＝0， 依题意可得|PQ |的最小值等于圆心到直线的距离减去半径， ∴|PQ |min =2−√2=32√2． 故答案为：32√2．13．【解答】解：∵log 4(a +4b)=log 22√ab =log 4（4ab ），∴a +4b ＝4ab ，{a +4b ＞04ab ＞0得{a ＞0b ＞0，得a+4b 4ab =1，即14b+1a=1，则a +b ＝（a +b ）（14b+1a）＝1+14+a 4b +b a ≥54+2√a 4b ⋅b a =54+1=94，当且仅当a4b=ba，即a ＝2b 时取等号，即a +b 的最小值为94， 故答案为：9414．【解答】解：由g （x ）＝f （x ）﹣kx +1＝0得kx ＝f （x ）+1， 当x ＝0时，0＝f （0）+1＝0+1不成立， 即x ≠0， 则k =f(x)+1x， 若g （x ）有四个零点，则等价为k =f(x)+1x有四个不同的根， 设h （x ）=f(x)+1x， 则当x ＞0时，h （x ）=xlnx−2x+1x =lnx +1x−2， h ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2，则当x ＞1时，h ′（x ）＞0，函数为增函数， 当0＜x ＜1时，h ′（x ）＜0，函数为减函数，即此时当x ＝1时，h （x ）取得极小值，极小值为h （1）＝﹣1， 当x →+∞，f （x ）→+∞，当x ≤0时，h （x ）=x 2+32x+1x =x +1x +32，h ′（x ）＝1−1x 2=x 2−1x2，由h ′（x ）＞0得x ＞1（舍）或x ＜﹣1，此时函数为增函数，由h ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜0，此时h （x ）为减函数，即当x ＝﹣1时，h （x ）取得极大值，极大值为h （﹣1）＝﹣1﹣1+32=−12， 作出函数h （x ）的图象如图： 要使k =f(x)+1x有四个根，则满足﹣1＜k ＜−12，即实数k 的取值范围是（﹣1，−12）， 故答案为：（﹣1，−12）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得acosA sinA=b 2sinB，…………（2分）∵a sinA=b sinB ，∴cosA =12，…………（4分） ∵A ∈（0，π），∴A =π3．…………（6分） （Ⅱ）∵a ＝6b ＝2c ，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，…………（8分） 整理可得36＝4c 2+c 2﹣2c 2， ∴解得c =2√3，…………（10分）∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×2√3×√32=6√3．…………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A ……（1分） P(A)=C 61C 42+C 43C 103=13⋯⋯（5分）（列式（2分），结果2分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3 ……（6分）P(X =0)=C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅(1−35)=245， P(X =1)=C 21⋅(23)⋅(13)⋅(1−35)+C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅35=1145， P(X =2)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅25+C 21⋅23⋅13⋅35=2045=49 P(X =3)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅35=1245=415⋯⋯（10分）（每个结果一分） X 0123P245114549415E(X)=0×245+1×1145+2×49+3×415=2915⋯⋯（13分）（列式（1分），结果2分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ， 故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ， ∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ， ∴AO ⊥平面CDEF ， ∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），A(0，0，√3)，D （0，﹣1，0），∴DC →=(3，0，0)，DA →=(0，1，√3)，BE →=(−3，2，−√3)，设平面ABCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅DC →=0m →⋅DA →=0，即{x =0y +√3z =0， 令z ＝﹣1，则y =√3，m →=(0，√3，−1)， ∴cos ＜m →，BE →＞=m →⋅BE→|m →|⋅|BE →|=3√38，∴直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为3√38， （Ⅲ）CG →=λCF →=λ(0，4，0)（0≤λ≤1）∴G （3，4λ﹣1，0）． ∴AE →=(0，2，−√3)，EG →=(3，4λ−3，0)，设平面AEG 的法向量为p →=(x ，y ，z)，则{p →⋅AE →=0p →⋅EG →=0，即{2y −√3z =03x +(4λ−3)y =0，令y ＝3，则z =2√3，x ＝3﹣4λ，∴p →=(3−4λ，3，2√3)，平面AED 的法向量为q →=(1，0，0)，|cos ＜p →，q →＞|=|p →⋅q →||p →|⋅|q →|=|4λ−3|√(4λ−3)+21=√2211，解得(4λ−3)2=143，∴4λ=3±√423，∴|CG |＝λ|CF |＝4λ=3±√423， ∵|CG |≤4，∴|CG|=3−√423．18．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列S 5＝35 ∴S 5=5(a 1+a 5)2=35，a 3＝7， ∵a 2＝5， ∴d ＝2，∴a n ＝a 2+（n ﹣2）•2＝2n +1． 当n ＝1时 T 1＝2b 1﹣1， ∴b 1＝1．当n ≥2时 T n ﹣1＝2b n ﹣1﹣1 又∵T n ＝2b n ﹣1， ∴b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1b n ＝2b n ﹣1∴{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =2n−1． （Ⅱ）∵S n =n(a 1+a n )2=n(n +2)， ∴2S n=2n(n+2)=1n−1n+2设前2n 项中奇数项的和为A n ，偶数项的和为B n A n =1−13+13−15+15−⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n 2n+1．B n =a 2b 2+a 4b 4+⋯+a 2n b 2n =5×21+9×22+⋯+(4n +1)×22n−1①4B n =5×22+9×23+⋯+(4n +1)×22n+1②， ①﹣②得：−3B n =5×21+4×(23+25+⋯+22n−1)−(4n +1)×22n+1．−3B n =5×21+4×23−22n−1⋅41−4−(4n +1)×22n+1， −3B n =5×21+4×(−83+22n+13)−(4n +1)×22n+1−3B n =−23+(13−4n)⋅22n+1B n =(12n−1)⋅22n+19+29．∴P 2n=(12n−1)⋅22n+19+29+2n2n+1． 19．【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线x 2=−4√3y 的焦点是(0，−√3)，∴b =√3⋯⋯（1分）． ∵ca =√22，a 2＝b 2+c 2∴a =√6，c =√3⋯⋯（2分）． ∴椭圆C 的方程x 26+y 23=1⋯⋯（3分）（Ⅱ）（i ）设A （x 0，y 0）那么D （x 0，﹣y 0）．∵M 是线段AN 的中点∴A （x 0，2m ）D （x 0，﹣2m ）……（4分）． ∴k =2m−m x 0=m x 0，k ′=−2m−m x 0=−3m x 0⋯⋯（5分）， ∴3k +k ′＝0……（6分）（ii ）根据题意得：直线AM 的斜率一定存在且k ＞0 设直线AM 为y ＝kx +m ，则直线DM 为y ＝k ′x +m ＝﹣3kx +m 由{y =kx +m x 26+y 23=1可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0……（7分） 利用韦达定理可知：x 0⋅x B =2m 2−61+2k2，∴x B =2m 2−6(1+2k 2)x 0⋯⋯（8分），∵3k +k ′＝0，∴同理可得x G =2m 2−6(1+2k ′2)x 0=2m 2−6(1+2(−3k)2)x 0=2m 2−6(1+18k 2)x 0⋯⋯（9分），∴k BG =y B −y G x B −x G =kx B +m−(−3kx G +m)x B −x G =kx B +3kx Gx B −x G=k 2m 2−6(1+2k 2)x 0+3k 2m 2−6(1+18k 2)x 02m 2−6(1+2k 2)x 0−2m 2−6(1+18k 2)x 0=k 1+2k 2+3k 1+18k211+2k 2−11+18k2=k+18k 3+3k+6k 31+18k 2−1−2k 2#/DEL/#=4k+24k 316k 2=14k +32k#/DEL/#∵k ＞0，∴k BG =14k +32k ≥2√14k ⋅32k =√62 当且仅当14k=32k 时 即为k =√66时 等号成立 ……（14分）（不求出k 值，不扣分）20．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝x •e ﹣x ， ∴f ′（x ）＝e ﹣x ﹣x •e ﹣x ＝e ﹣x （1﹣x ）……（1分）∴f ′（0）＝1，f （0）＝0，∴函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ．……（2分）（Ⅱ）由题意，f '（x ）＝（2ax +1）e ﹣x ﹣（ax 2+x +a ）e ﹣x ＝﹣e ﹣x [ax 2+（1﹣2a ）x +a ﹣1]＝﹣e ﹣x （x ﹣1）（ax +1﹣a ）．……（3分）（ⅰ）当a ＝0时，f '（x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1），令f '（x ）＞0，得x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＞1，所以f （x ）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（4分） （ⅱ）当a ＞0时，1−1a ＜1，令f '（x ）＞0，得1−1a ＜x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＜1−1a 或x ＞1，……（5分） 所以f （x ）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a )，（1，+∞）单调递减，………（6分）（Ⅲ）令g （a ）＝e ﹣x （x 2+1）a +xe ﹣x ，a ∈（﹣∞，0]，当x ∈[0，+∞）时，e ﹣x （x 2+1）≥0，g （a ）单调递增，则g(a)max =g(0)=xe −x ，………………（7分）则g （a ）≤bln （x +1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln （x +1）≥g （a ）max ＝g （0），即xe ﹣x ≤bln （x +1），对x ∈[0，+∞）恒成立．………（8分）（ⅰ）当b ≤0时，∀x ∈（0，+∞），bln （x +1）＜0，xe ﹣x ＞0，此时xe ﹣x ＞bln （x +1），不合题意，舍去．…………（9分）（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则ℎ′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……（10分）其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……（11分）①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………（12分）②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h （0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……（13分）综上所述，b≥1．…………（14分）。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题11 算法初步(含解析)
专题11 算法初步1．【2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 2．【2019年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可． 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+ B ．12A A =+C ．112A A=+D ．112A A=+【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【解析】初始：1,122A k ==≤，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-，故选C ．【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 5．【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可． 【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：（1）要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；（2）要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；（3）按照题目的要求完成解答并验证．6．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】在如图所示的计算1592017++++L 的程序框图中，判断框内应填入的条件是A ．2017?i ≤B ．2017?i <C ．2013?i <D ．2021?i ≤【答案】A【解析】由题意结合流程图可知当2017i =时，程序应执行S S i =+，42021i i =+=， 再次进入判断框时应该跳出循环，输出S 的值；结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是2017?i ≤．故选A ．7．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C【解析】由题3x =，231x x =-=-，此时0x >，继续运行，1210x =-=-<，程序运行结束，得1e y -=，故选C ．8．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷(六)】执行如图所示的程序框图，则输出的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由题可得3,27,315,431,563,6S i S i S i S i S i ==→==→==→==→==， 此时结束循环，输出6i =，故选C ．9．【山东省济宁市2019届高三二模】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】B【解析】由流程图可知该算法的功能为计算123412222S =++++的值，即输出的值为512341(12)122223112S ⨯-=++++==-．故选B ．10．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 值的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据程序框图的含义，得到分段函数221,2log ,2x x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，分段解出关于x 的方程，即可得到可输入的实数x 值的个数．【解析】根据题意，该框图的含义是：当2x ≤时，得到函数21y x =-；当2x >时，得到函数2log y x =， 因此，若输出的结果为1时，若2x ≤，得到211x -=，解得x = 若2x >，得到2log 1x =，无解，因此，可输入的实数x 的值可能为2个．故选B ． 11．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图所示的程序框图所实现的功能是A ．输入a 的值，计算2021(1)31a -⨯+的值B ．输入a 的值，计算2020(1)31a -⨯+的值C ．输入a 的值，计算2019(1)31a -⨯+的值D ．输入a 的值，计算2018(1)31a -⨯+的值 【答案】B【解析】由程序框图，可知1a a =，132n n a a +=-，由i 的初值为1，末值为2019， 可知，此递推公式共执行了201912020+=次，又由132n n a a +=-，得113(1)n n a a +-=-，得11(1)3n n a a --=-⨯即1(1)31n n a a -=-⨯+，故2021120202021(1)31(1)31a a a -=-⨯+=-⨯+，故选B ． 12．【山西省2019届高三考前适应性训练（二模)】执行如图所示的程序框图，则输出x 的值为A．2-B．1 3 -C．12D．3【答案】A【分析】根据程序框图进行模拟运算得到x的值具备周期性，利用周期性的性质进行求解即可．【解析】∵12x=，∴当1i=时，13x=-；2i=时，2x=-；3i=时，3x=，4i=时，12x=，即x的值周期性出现，周期数为4，∵201850442=⨯+，则输出x的值为2-，故选A．【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件判断x的值具备周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】模拟执行循环结构的程序得到n 与i 的值，计算得到2n =时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案．【解析】模拟执行循环结构的程序框图， 可得：6,1n i ==， 第1次循环：3,2n i ==； 第2次循环：4,3n i ==； 第3次循环：2,4n i ==，此时满足判断框的条件，输出4i =．故选B ．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考查了考生的运算与求解能力，属于基础题．14．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研】下图是一个算法流程图．若输出 的值为4，则输入x 的值为______________．【答案】1-【解析】当1x ≤时，由流程图得3y x =-， 令34y x =-=，解得1x =-，满足题意． 当1x >时，由流程图得3y x =+， 令34y x =+=，解得1x =，不满足题意． 故输入x 的值为1-．15．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三)】执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足24x -<≤，则输出y 值的取值范围是______________．【答案】[3,2]-【解析】根据输入x 值满足24x -<≤，利用函数的定义域，分成两部分：即22x <<﹣和24x ≤≤，当22x <<﹣时，执行23y x =- 的关系式，故31y -≤<，当24x ≤≤时，执行2log y x =的关系式，故12y ≤≤． 综上所述：[3,2]y ∈-，故输出y 值的取值范围是[3,2]-．。
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}2．（5分）若f （x ），g （x ）均是定义在R 上的函数，则“f （x ）和g （x ）都是偶函数”是“f （x ）•g （x ）是偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0，则目标函数z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．74．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．635．（5分）设函数f （x ）＝sin x +√3cos x （x ∈R ），则下列结论中错误的是（ ） A ．f （x ）的一个周期为2π B ．f （x ）的最大值为2 C ．f （x ）在区间（π6，2π3）上单调递减D ．f （x +π3）的一个零点为x =π66．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石7．（5分）已知离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，若点P 是抛物线y 2＝12x 的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足PF 1⊥PF 2，则双曲线的方程是（ ） A ．x 216−y 29=1 B ．x 23−y 24=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 24−y 23=18．（5分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣π，π），且函数y ＝f （x +2）的图象关于直线x ＝﹣2对称，当x ∈（0，π）时，f （x ）＝πlnx ﹣f ′（π2）sin x （其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a ＝f （log π3），b ＝f （log 139），c ＝f （π13），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．（5分）i 是虚数单位，若2+ai 1+i是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．（5分）在（x 2+1x）6的展开式中，含x 3项的系数为 ．（用数字填写答案） 11．（5分）已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ．12．（5分）已知直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A ，B 两点，且|AB |=√3，则直线l 的斜率为 ．13．（5分）若对任意的x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x +2|≤|2a ﹣1|恒成立，则实数a 的取值范围为 ．14．（5分）已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，BE →=12（BA →+BD →），DF →=13DC →，则BE →⋅BF →= ．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，c ＝3，cos A =−14． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．16．（13分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A ，B ，C ，D 四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校，他必选A 校，另在B ，C ，D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所． （i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝a n +2（n ∈N *），a 3+a 4＝12，数列{b n }为等比数列，且b 1＝a 2，b 2＝S 3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 19．（14分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2，√63），离心率e =√63． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线（不经过点P 且不与x 轴重合）与椭圆交于A 、B 两点，与直线l ：x ＝﹣3交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3（k 3≠0），则是否存在常数λ，使得向量m →=（k 1+k 2，λ），n →=（k 3，1）共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（14分）设函数f （x ）＝ax ﹣2﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}． 故选：D ．2．【解答】解：若f （x ）和g （x ）都是偶函数，则f （x ）•g （x ）是偶函数，即充分性成立， 当f （x ）和g （x ）都是奇函数时，满足f （x ）•g （x ）是偶函数，即必要性不成立， 即“f （x ）和g （x ）都是偶函数”是“f （x ）•g （x ）是偶函数”充分不必要条件， 故选：A ．3．【解答】解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ， 平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y =22x −3y =9，解得，即A （3，﹣1）， 代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×3﹣1＝5． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为5． 故选：C ．4．【解答】解：当n ＝5时查询终止，则程序的功能是计算S ＝1+2+22+23+24＝1+2+4+8+16＝31， 故选：C ．5．【解答】解：f （x ）＝sin x +√3cos x =2sin(x +π3)．f （x ）的一个周期为2π，故A 正确；f （x ）的最大值为2，故B 正确； 由π6＜x ＜2π3，得π2＜x +π3＜π，∴f （x ）在区间（π6，2π3）上单调递减，故C 正确； f （x +π3）=2sin(x +2π3)，取x =π6时，函数值为2sin 5π6=1，故D 错误． 故选：D ．6．【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒， 这批米内夹谷约为：1536×18256=108（石）． 故选：A ．7．【解答】解：离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）可得c a=53，则b a=43，双曲线的一条渐近线方程为：4x ﹣3y ＝0，抛物线y 2＝12x 的准线：x ＝﹣3，可得P （﹣3，﹣4）， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），满足PF 1⊥PF 2，（3﹣c ，4）•（3+c ，4）＝0，解得c ＝5，则a ＝3；b ＝4；舍去的双曲线方程为：x 29−y 216=1．故选：C ．8．【解答】解：函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣π，π），且函数y ＝f （x +2）的图象关于直线x ＝﹣2对称，∴函数f （x ）为R 上的偶函数．当x ∈（0，π）时，f （x ）＝πlnx ﹣f ′（π2）sin x （其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），f ′（x ）=πx −f ′（π2）cos x ， 令x =π2，则f ′（π2）＝2， ∴f ′（x ）=πx−2cos x ， 当x ∈(0，π2]时，πx ≥2，2cos x ≤2．∴f ′（x ）=πx −2cos x ＞0．当x ∈(π2，π)时，πx＞0，2cos x ≤0．∴f ′（x ）=πx−2cos x ＞0． ∴x ∈（0，π）时，f ′（x ）=πx −2cos x ＞0． ∴函数f （x ）在x ∈（0，π）时单调递增． ∵a ＝f （log π3），b ＝f （log139）＝f （﹣2）＝f （2），c ＝f （π13）， ∵0＜log π3＜1＜π13＜2，∴a ＜c ＜b ． 即b ＞c ＞a ． 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．【解答】解：∵2+ai 1+i=(2+ai)(1−i)(1+i)(1−i)=2+a 2+a−22i 是纯虚数，∴{2+a =0a −2≠0，即a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．10．【解答】解：由于（x 2+1x ）6的展开式的通项公式为 T r +1=C 6r •x 12﹣3r，令12﹣3r ＝3，解得r ＝3，故展开式中x 3的系数是C 63=20，故答案为：20．11．【解答】解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以√3为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： V ＝2×13×π×(√4−1)2×1=2π． 故答案为：2π．12．【解答】解：根据题意，直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），圆的方程为x 2+y 2﹣4x +3＝0，若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A ，B 两点，则有（t cos α）2+（t sin α）2﹣4t cos αx +3＝0，变形可得t 2﹣4t cos αx +3＝0， 则有t 1+t 2＝4cos α，t 1t 2＝3，又由|AB |=√3，则有（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝3， 解可得cos 2α=1516，则有sin 2α=116， 则有tan α＝±√1515， 则直线l 的斜率tan α＝±√1515； 故答案为：±√1515． 13．【解答】解：由|x ﹣1|﹣|x +2|＝|x ﹣1|﹣|﹣2﹣x |≤|（x ﹣1）+（﹣2﹣x ）|＝3， ∴不等式|x ﹣1|﹣|x +2|≤|2a ﹣1|恒成立转化为|2a ﹣1|≥3成立， 即2a ﹣1≥3或2a ﹣1≤﹣3， 可得a ≥2或a ≤﹣1，故答案为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．14．【解答】解：由BE →=12（BA →+BD →），DF →=13DC →，可得点E 为线段AD 的中点，点F 为线段DC 的三等分点靠近点D 处，由菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，得：|BD →|＝2√3，∠ABD ＝30°，则BE →⋅BF →=12（BA →+BD →）•（BD →−13BA →）=12BD →2−16BA →2+13BA →⋅BD →=12×12−16×4+13×2×2√3×√32=223， 故答案为：223．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得： a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 又a ＝4，c ＝3，cos A =−14， 2b 2+3b ﹣14＝0， 解得b ＝2；（Ⅱ）由cos A =−14， 所以sin A =√154，由正弦定理得：a sinA=b sinB ， 得sin B =√158，又0＜B ＜π2， 所以cos B =78， 所以sin2B ＝2sin B cos B =7√1532，cos2B ＝2cos 2B ﹣1=1732， 所以sin （2B +π6）=√32×7√1532+1732×12=17+21√564， 故答案为：17+21√564．16．【解答】解：（I ）设甲、乙、丙三名同学分别选D 高校的概率为P =3363=18．（II ）（i ）设乙、丙未选D 高校的概率都为：∁32∁42=12．∴甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率=13×12×12=112． （ii ）X 的取值为0，1，2，3． P （X ＝0）＝（1−13）×12×12=16，P （X ＝1）=13×12×12+2×（1−13）×12×12=512， P （X ＝2）=13×12×12+13×12×12+（1−13）×12×12=13． P （X ＝3）=13×12×12=112． ∴随机变量X 的分布列为：X 0 1 23 P1651213112∴数学期望E （X ）＝0×16+1×512+2×13+3×112=43． 17．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ， ∵四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，AB ∩QA ＝A ，CD ∩PD ＝D ， ∴平面ABP ∥平面DCP ，∵QB ⊂平面ABQ ，∴QB ∥平面PDC ．解：（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0），Q （2，0，1）， PB →=（2，2，﹣2），PC →=（0，2，﹣2），PQ →=（2，0，﹣1）， 设平面PBC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=2x +2y −2z =0n →⋅PC →=2y −2z =0，取y ＝1，得n →=（0，1，1）， 设平面PBQ 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=2x +2y −2z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，2）， 设二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cos θ=−|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=32⋅6=−√32，∴θ=5π6，∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小为5π6．（Ⅲ）点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，设DH ＝t ，则H （0，0，t ），A （2，0，0），AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2）， ∴|cos ＜AH →，PB →＞|=|AH →⋅PB →||AH →|⋅|PB →|=4+2t√4+t ⋅√12=7√315， 解得t =32，∴线段DH 的长为32．18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n }满足a n +1＝a n +2，则数列{a n }是公差为2的等差数列，又由a 3+a 4＝12，则a 3+a 3+d ＝12，解可得a 3＝5， 则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝2n ﹣1，又由数列{b n }为等比数列，且b 1＝3，b 2＝1+3+5＝9，则数列{b n }的公比为3， 则b n ＝3n ，（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，a n ＝2n ﹣1，b n ＝3n ，则c n ＝（﹣1）n a n •b n ＝（﹣1）n ×（2n ﹣1）×3n ＝（2n ﹣1）（﹣3）n ， 则T n ＝1×（﹣3）+3×（﹣3）2+……+（2n ﹣1）（﹣3）n ，① ﹣3T n ＝1×（﹣3）2+3×（﹣3）3+……+（2n ﹣1）（﹣3）n +1，②①﹣②可得：4T n ＝﹣3+2[（﹣3）2+（﹣3）3+……（﹣3）n ]﹣（2n ﹣1）×（﹣3）n +1=32−9×(4n−1)2×（﹣3）n ﹣1， 变形可得：T n =38−9×(4n−1)8×（﹣3）n ﹣1． 19．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得{4a 2+69b 2=1c a =√63a2=b 2+c 2，解得a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆的方程为x 26+y 22=1，（Ⅱ）假设存在常数λ，使得向量m →=（k 1+k 2，λ），n →=（k 3，1）共线， ∴k 1+k 2＝λk 3，由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k （x +2），① 代入椭圆方程并整理得（1+3k 2）x 2+12k 2x +12k 2﹣6＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=−12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，在方程①中，令x ＝﹣3得，M （﹣3，﹣k ），从而k 1=y 1−√63x 1+2，k 2=y 2−√63x 2+2，k 3=−k−√63−1=k +√63，∴k 1+k 2=y 1−√63x 1+2+y 2−√63x 2+2=k(x 1+2)−√63x 1+2+k(x 2+2)−√63x 2+2=2k−√63•x 1+x 2+4x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k −√63×−12k21+3k2+412k 2−61+3k 2−24k21+3k2+4=2k +2√63=2（k +√63）＝2k 3，∵k 3＝k +√63≠0， ∴k 1+k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意20．【解答】解：（I ）f ′（x ）＝a −1x ，（x ＞0）．a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．a ＞0时，f ′（x ）=a(x−1a )x ，（x ＞0）．则f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增．（II ）a ＝1时，f （x ）＝x ﹣2﹣lnx （x ＞0）． f ′（x ）=x−1x ，（x ＞0）．则f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． x ＝1时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （1）＝﹣1． x →0+时，f （x ）→+∞；x →+∞时，f （x ）→+∞． ∴函数f （x ）存在两个零点．（III ）当a ＝1时，对∀x ∈（1，+∞），都有（4k ﹣1﹣lnx ）x +f （x ）﹣1＜0（k ∈Z ）成立，化为：4k＜lnx+lnx+3x=g（x），g′（x）=1x+1−(lnx+3)2=x−lnx−22．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（1，+∞），u′（x）＝1−1x＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝2﹣2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+lnx0+3x0=x0﹣2+x0−2+3x0=x0+1x−1∈（73，134），∵4k＜(x0+1x0−1)min，k∈Z．∴k的最大值为0．。
2019年天津市高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
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祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．63．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5B．8C．24D．295．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，]B．（，]C．（，]∪{1}D．[，]∪{1}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．10．（5分）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．11．（5分）曲线y＝cos x ﹣在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE ，则•＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．18．（13分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．2019年天津市高考数学（文科）答案解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．【点评】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．6．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．8．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，以及直线y＝﹣x的图象，关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a＝或a＝，考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．【点评】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．10．【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜；即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．11．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sin x﹣，∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．12．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．13．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目16．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．17．【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面P AC，进而DN⊥P A，再上P A⊥CD，能证明P A⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，由此能求出直线AD与平面P AC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面P AC⊥平面PCD，平面P AC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴DN⊥P A，又P A⊥CD，CD∩DN＝D，∴P A⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面P AC所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．18．【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②解得：d＝3，q＝3，故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1＝﹣3×+n3n+1＝；故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝（n∈N*）【点评】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．19．【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，可得e＝＝＝＝；（Ⅱ）b＝a，c＝a，即a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得x＝c或x＝﹣，代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），可得P（c，），圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），可得＝，解得t＝2，即有C（4，2），可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，可得＝2，解得c＝2，可得a＝4，b＝2，可得椭圆方程为+＝1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d＝r，考查化简运算能力，属于中档题．20．【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019高考文科数学天津卷(附参考答案和详解)
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2019年天津市高考数学模拟试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C.D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log 23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）若M为PC的中点，求证DM∥面PAB；（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）求AC与面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁UA=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.【答案】A【解析】由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.【答案】2【解析】解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【解析】解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.【答案】3【解析】解：∵loga 2+logb16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据loga 2+logb16=3即可得出，从而得出log2（ab）=可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.【答案】【解析】解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=xlnx，则f′（x）=lnx+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.【答案】解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cosB的值，利用正弦定理化简已知等式可求b的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6分），（8分），…（10分），………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034Pξ的数学期望．………（13分）【解析】，由此利用n次（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.【答案】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，AD∥BC且，则MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面PAB，AN⊂面PAB，所以DM∥面PAB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥面PAB，又BC⊆面PBC，所以面PAB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC=B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．【解析】（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB．（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC 与面PBC所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k 1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y=k （x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k 的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM ：y=k 1（x+2）（k 1＞0），与椭圆联立，求出点M 的左边，同理求出点N 的坐标，将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2-3k 1）=0，即可求证点P 在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.【答案】解：（Ⅰ），则f '（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x +y -2-2ln2=0； （Ⅱ）（-1舍去），所以f （x ）在为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴，f （1）=-1，f （e ）=2-e 2； 所以；（Ⅲ）证明：g （x ）=2ln x -x 2-nx ，，假设g '（x 0）=0，则有，①-②得：， ∴， 由④得，∴；即； 即⑤； 令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2lnx-x2-nx，，假设g'（x）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。