近五年山东高考真题汇总之圆锥曲线
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山东高考真题圆锥曲线
(08年) (22)(本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物
线2
2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+
（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明：由题意设2
2
1
2
12120(,
),(,
),,(,2).22x x A x B x x x M x p p
p
-＜
由2
2x py =得2
2x
y p
=
，则,x y p
'=
所以12,.M A M B x x k k p
p
=
=
因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=
-
直线MB 的方程为202().x y p x x p
+=
-
所以
2
1
1102(),2x x p x x p p +=
-
①
2
2
2202().2x x p x x p
p
+=
-
②
由①、②得
2
12
120,2
x x x x x +=+-
因此 2
12
02
x x x +=
，即0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：
22
11440,x x p --=
22
22440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，
因此212124,4,x x x x p +==-
又2
2
2
1
01221
22,2AB x x x x x p
p
k x x p
p
-
+=
=
=
-
所以2.AB k p
=
由弦长公式得
2
2
2
12122
41()411616.AB k
x x x x p p
=
++-=
+
+
又410AB =， 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =
（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123
123
(
,
),2
2
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为011(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上，并注意到点12
12
(
,)2
2
x x y y ++也在直线AB 上，
代入得033.x y x p
=
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或2
002(2,
).x D x p
（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.
（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时2
2
12
22
22
12
1200
2(2,
),,224C D x x x x x x p C x k p
x px +++=
=
又0,AB x k p
=
AB ⊥CD ，
所以2222
01212201,44A B C D
x x x x x k k p px p
++===- 即222
124,x x p +=-矛盾.
对于2
002(2,
),x D x p
因为22
12
0(2,
),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴，
又00,AB x k p
=
≠
所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.
(09年)（22）（本小题满分14分） 设椭圆E:
222
2
1x y a
b
+
=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 222
2
1x y a
b
+
=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118
114a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为
22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥
,设该圆的切线方程为y k x m
=+
解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪
⎩得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x km x m +++-=,
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>