一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》
2.1一元二次方程教学设计
一、内容和内容解析
（1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式
（2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

二、目标和目标解析
（1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）目标解析：
1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性．
2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。

学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．
三、学情分析
教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。

而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。

这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。

四、教学问题诊断分析
一元二次方程第一次实现“次”的提升，新事物的产生，学生必然存在着疑问。

同时，一个学期没有触及到方程，对等量关系的确立认知模糊，对题意的理解、抽象事物的本质、归纳概括事实、数学符号语言的应用等能力相对偏弱。

基于此，本课的教学重点确定为一元二次方程概念的形成过程，教学难点是一元二次方程的概念和对一元二次方程的项、系数的认识．
五、教学支持条件分析
结合本节课制作课件，结合多媒体教室的使用引导，讲解，分析课程内容。

六、教学过程设计
1．创设情境，探究交流
PPT展示教材“动脑筋”，单数组探究交流情境（1），双数组探究交流情境（2）。

思考：（①x2-2500=0;②25x2+50x-11=0）
问题1．这两个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动:学生独立思考，组员合作，小组内部交流，选派代表展示小组成果，其他学生提出质疑；整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念；观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名。

老师参与小组活动，适时指导，梳理思路，解疑释惑。

【设计意图】新课标指出：“学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展；教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。

”问题情境具有一定的挑战性，为满足学生的求知欲和好胜心，问
题解决给足学生充分的时间和空间，使学生充分认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
问题2．情境（1）（2）中的这些方程含有多少个元？最高次数是多少？
师生活动：学生在教师的引导下，将实际问题中的语言转化成数学符号语言，寻找等量关系，学习建模，将列得的方程化简整理，判断出方程的元数和次数。

【设计意图】教材所列举的两个实例体现二次方程产生的背景,出现与面积有关的平方（即二次项），与经历的时间为两年的二次项，让学生了解二次项产生的根源，加深对一元二次方程概念的理解。

让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动接受走向主动学习．
问题3．这些方程是什么方程？
师生活动:学生观察（1）（2）方程，思考它们的共性：①整式方程②只含有一个未知数③未知数的最高次数为2。

尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式.老师补充、强调．
（1）一元二次方程的概念：
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，这样的方程叫做一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【设计意图】设计适当的学习活动引导学生通过观察、尝试、归纳、类比等活动发现一些规律，猜测某些结论。

通过对两个方程结构的观察，寻找它们的共性，抽象它们的本质，类比一元一次方程的定义，尝试定义一元二次方程。

概括一般形式是从另一个角度对一元二次方程理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．
3．辨析应用，加深理解
问题4．请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．
师生活动:根据学情，随机选择学生回答，调动学生广泛地参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？
【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化对概念的理解，在追问的过程中，引导学生比较新旧知识的联系和区别，建立新的认知结构，形成概念域。

体系如下：
其它二次方程
分式方程整式方程
一元一次方程
二元一次方程(组)
一元二次方程
其它
其它
其它
一次方程方程
开发学生认知资源，激发学生从不同角度、以不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学、分层指导的目的．
问题5． 请判断下列方程哪些是一元二次方程?
例1．下列方程哪些是一元二次方程?说明理由。

① x 2=9 ② 3x 2-3=y 2+2； ③ x x
5； ④ x 2-7=x 2+2x ； ⑤ (x+1)2=3； ⑥ x 2+1=0；.
答案①⑤⑥
师生活动:学生独立思考，抢答。

方程③、④、⑥（优生）可能会产生争议，③帮助学生明确一元二次方程是整式方程，④体会化为一般形式的必要性，对a ≠0条件加深认识，⑥判断的依据是概念的三个要素。

【设计意图】“学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上”。

补充学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识。

问题6．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．
例2(教材例题改编)．将下列方程化为一般形式，判断是否是一元二次方程？若是，指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
① 3x(1-x)+10=2(x+2)； ② 5x(x+1)+7=5x 2-4．
师生活动:．请小组派代表的尝试解题，完后讲解思路，学生质疑。

教师适时引导，
强调注意事项（比如系数的符号问题）。

【设计意图】将问题充分暴露，培养学生的口头表达能力，对症下药。

引导学生归纳其中用到的知识、解决问题的思路和方法、解题的基本步骤和格式规范，形成正确的解题策略。

4．学以致用，巩固提高
教科书第28页： 练习
能力拓展题：
1 1 下列方程是一元二次方程的是 （只填序号）
（1）x 2= -1 （2）x 2+xy+1=0 （3）a 2+bx+c=0
（4）21x 2+3x-1=0 （5）0112
=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x （6）(x+1)(x-1)-3=x 2 +1 2.把一元二次方程（3x-2）（x+1）=8x-3 化为一般形式是
3.关于x 的方程(k －3)x 2 ＋ 2x －1＝0,
当k 时，是一元二次方程．
师生活动：独立完成，组内自纠、帮扶。

【设计意图】基础性、巩固性练习，检查本课内容的掌握情况．
5．引导反思，归纳总结
1.这节课在知识方面你学习了哪些内容？
2.你有什么疑惑与感悟？
3.想进一步探究的问题是什么？
【设计意图】不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与，为每个学生都创造参加数学活动的机会，积累数学学习经验。

6．布置作业：
必做题:教科书习题P28/A/1
选做题（拓展提高）: 已知关于x 的方程(k 2-1)x 2+(k+1)x-2=0.
(1)当k 取何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当k 取何值时，此方程为一元二次方程？
【设计意图】分层布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性；开拓学生思维，体现数学的严谨性（分类讨论）。

七、目标检测设计
【设计意图】对学有困难的学生，适当放低评价起点，允许再次评价，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。

1．下列方程哪些是关于x 的一元二次方程
（1）kx 2-x=1； （2）x=x 2； （3）x x =-1
1； （4）(x+1)2-x 2=0． 【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解．
2．关于x 的方程ax 2-3x-2=0是一元二次方程，则（ ）．
A ．a>0
B ． a ≠0
C ．a=1
D ．a ≥0
【设计意图】考查a ≠0的条件．
3．将关于x 的一元二次方程(x-1)(x+3)=2(x+1)2化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式、所及概念的掌握情况．。